第一篇：丘成桐先生在北师大附中的演讲
哈佛终身教授丘成桐：说中国学生基础好，是自
我麻醉！
丘成桐，1949年生，美籍华人，原籍广东省梅州，生于汕头，长于香港。哈佛大学数学教授。他被公认为是近1/4世纪里世界上最有影响的数学家之一，他在29岁时就攻克几何学上的难题“卡比拉猜想”，在1982年获得数学界的“诺贝尔奖”——菲尔兹奖，他是迄今唯一获得该奖的华人。(更正：丘成桐先生，是第一个获得华尔兹奖的华人，2006年澳籍华人陶哲轩亦获华尔兹奖)
丘成桐几次来到中国，对中国教育、美国教育发表演讲。他的有些观点还是蛮激烈的。比如，很多人认为中国学生的数理化成绩要比同龄的美国孩子好，中国学生基础知识要扎实得多，只是创新能力差一些。而丘成桐对这种观点毫不客气地泼冷水：“这都是多少年来可怕的自我麻醉！我不认为中国学生的基础知识学得有多好！”
他说：“美国最好的学生真是好得不得了。应该这样比较，不管是美国，还是中国，能进哈佛大学的学生都应该是这两个国家最好的学生。而两类最优秀的人相比，美国学生的基础知识绝对不会逊色于中国学生，相反是要强很多”
教育界和社会上还有这种说法，认为中国的中小学生要比美国的学生数理化知识学得多，比如，在某个年龄段，中国孩子加、减、乘、除的混合运算已经学得滚瓜烂熟，但美国孩子加减法还做得磕磕绊绊。丘认为：“这也是错的，在美国比较好的中小学校里，中国学生念的功课，他们也都是要学的，而且学得很灵活，绝对不是像中国那样填鸭式地教。一些好的学校，十一、十二年级学生的微积分已经做得非常漂亮，但听说国内不是所有的高中生都学微积分。”
丘成桐还在一些演讲里反复强调：对于中小学生来说，语言、数学、写作是三门最重要的功课。
他说：西方的教育，从小学开始就训练小孩子的表达能力，无论语言和文字的技巧都得到良好的训练。一般来讲，受过这种训练的孩子都能够毫无困难地在集会中表达自己的想法和科研的成果，因此他们在课堂上能够自由发挥自己的意见而得到老师跟同学的重视。我们常常讲，中国的学生为什么到了美国念研究院，讨论的时候比不上国外的学生，我想这是他们从小训练出来的一个结果。
除了语言以外，推理是西方教育很重要的一环，因此数学是中学和大学最受重视的一门学科。欧氏几何定理不见得对社会有直接贡献，可是它的推理方式却是最有效的逻辑训练。以前，美国主要的大学非常看重两门学科，一个是语言，一个是数学。语言和数学不能够得到高分的话，他们基本上不会考虑接受你做他的大学生。最近还加了一个写作的能力，三门，语言、数学和写作，这三点是美国所有名校最重视的训练。
很多美国中小学还加上基础的法律训练。懂得法律和遵守法律是现代国民应有的知识和操守。
丘成桐还认为，美国小孩的用功并不比中国学生差：
一般来讲，美国中小学鼓励学生交流。初中二年级以前，美国的中小学都比较鼓励小孩子发挥所长，让他尽量去博物馆走走，去运动场上玩玩。我们中国有的教育家因此以为，美国的中小学生不行，比不上中国。事实上，到了初
三、高一以后，美国小孩的用功并不比中国的学生差。他们不用考试来训练学生，也很注重他们的基本能力。我们看到很多好的美国小孩，他们到了高中一年级或二年级才开始发挥热情，拼命去念书。到了大学以后，他们不会觉得学问是枯燥的。美国的名校我去过好几个，在念理科重要的学科的时候，他们很用功，花的功夫绝对不会少，往往是念书念到两三点钟才睡觉。而中国很多小孩经过小学和中学沉重的考试冲击以后，丧失了追求学问的兴趣和热情，这是很可惜的。
光批评自然不够，丘教授还是在一些场合，给了中国学生不少中肯的建议。丘成桐曾经在北京著名的北师大附中发表过一次演讲，比较详细地和中学生们分享了自己的成长经历、治学思想，以及对数学的看法。
下面是整篇演讲的文稿，和大家分享。
兴趣的培养 决定终身事业
丘成桐在北师大附中的演讲 今天非常高兴能来到北京师范大学附属中学。北京师范大学附属中学是一所历史非常悠久的学校，到今年已经成立110周年了。历史上培养了很多人才，我在这表示钦佩。
中学是培养人才非常重要的阶段，所以非常愿意和中学生交流。由于中学生数学奖的评选，我也了解了国内中学的一些情况，总的来说很不错，但是也有一些需要改进的地方。其实我没有受过教师的训练，也没有在中学教过书，我今天来到这里，主要想结合我自己的亲身经历来谈谈我对中学教育尤其是中学数学教育的看法。
1博览群书很重要 天才不一定能成才
一位学生首先受到的教育是家庭教育，所以我结合个人的成长经验先谈谈家庭教育。
我在1960年通过考试到香港培正中学读书。培正中学是一所非常有名的学校，而我的小学教育是在香港的乡村完成的，连最基本的英文和算术都不够水平，所以念中学一年级需要比较用功才能追上培正的课程。但是在乡下的学校闲散惯了，始终提不起很大的兴趣念书。
当时的班主任是一位叫叶息机的女老师，培正当时每学期有三段考试，每段结束时，老师会写评语。第一期叶老师说我多言多动，第二期说我仍多言多动，最后一期结语说略有进步，可见我当时读书的光景。
所幸先父母对我管教甚严。先父丘镇英，1935年厦门大学政治经济学专业毕业，翌年进入日本早稻田大学大学院深造，专攻政治制度与政治思想史。先父当学院的教授时，学生常到家中论学，使我感受良多。我10岁时，父亲要求我和我的大哥练习柳公权的书法，念唐诗、宋词，背诵古文。这些文章到现在我还可以背下来，做学问和做人的态度，在文章中都体现出来。我们爱看武侠小说，父亲觉得这些小说素质不高，便买了很多章回小说，还要求孩子们背诵里面的诗词，比如《红楼梦》里的诗词。后来，父亲还让我读鲁迅、王国维、冯友兰等的著作，以及西方的书籍如歌德的《浮士德》等。这些书看起来与我后来研究的数学没有什么关系，但是这些著作中所蕴含的思想对我后来的研究产生了深刻的影响。
我小时候家里很穷，虽然父亲是大学教师，但薪水很低，家里入不敷出。我至今非常感激父母从来没有鼓励我为了追求物质生活而读书，总是希望我们有一个崇高的志愿。
他在哲学上的看法，尤其讲述希腊哲学家的操守，和寻求大自然的真和美，使我觉得数学是一个高尚而雅致的学科。父亲在所著《西洋哲学史》的引言中引用了《文心雕龙·诸子》篇的一段：“嗟夫，身与时舛，志共道申，标心于万古之上，而送怀于千载之下。”这一段话激励我，使我立志清高，也希望有所创作，能够传诸后世。我父亲一直关心着国家大事，常常教育子女，做人立志必须以国家为前提。我也很喜欢读司马迁的诗词。司马迁的“究天人之际”正可以来描述一个读书人应有的志向。
一个学者的成长就像鱼在水中游泳，鸟在空中飞翔，树在林中长大一样，受到周边环境的影响。历史上未曾出现过一个大科学家在没有文化的背景里，能够创造伟大发明的。比如爱因斯坦年轻时受到的都是一流的教育。
一个成功的学者需要吸收历史上累积下来的成果，并且与当代的学者切磋产生共鸣。
人生很短，无论一个人多聪明，多有天分，也不可能漠视几千年来伟大学者共同努力得来的成果。这是人类了解大自然、了解人生、了解人际关系累积下来的经验，不是一朝一夕所能够成就的，所以一个人小的时候博览群书是非常重要的。有人自认为天赋很高，不读书就可以做出重要的题目，在我看来是没有意义的。四十多年来，我所接触的世界上知名的数学家、物理学家、社会学家还没有这样的天才。
最近有一位日本80后作家加藤嘉一在新书《中国的逻辑》中谈道，在中国知识非常廉价。中国的物价、房价都在涨，独书价不涨。书价便宜的原因是买书的人少。中国的文化是很深厚的，如果你们年轻人不读书，几千年的文化不能传承。不论经济怎么发展，但是文化不发展，中国都不可能成为大国。所以我希望大家多看书，看有意义的书，这是一件有意义的事情。
在小学学习的数学不能引起我的兴趣，除了简单的四则运算外，就是鸡兔同笼等问题，因此大部分时间花在看书和到山间田野去玩耍，也背诵先父教导的古文和诗词，反而有益身心。
在中学一年级开始学习线性方程，使我觉得兴奋。因为从前用公式解答鸡兔同笼问题，现在可以用线性方程来解答，不用记公式而是做一些有挑战性的事情，让我觉得很兴奋，成绩也比小学的时候好。我父亲在我读9年级的时候就去世了。先父的去世使我们一家陷人困境。但母亲坚持认为孩子们应该继续学业。尽管当时我有政府的奖学金，但仍不够支付我所有的费用。因此我利用业余时间给小孩子做家教挣钱。
我参考了历史上著名学者的生平，发现大部分成名的学者都有良好的家庭背景。人的成长规律很多，原因也很多，相关的学术观点也莫衷一是。但是良好的家教，无论如何都是非常重要的。
童年的教育对一个孩子的影响是重要的，启蒙教育是不可替代的，它往往奠定一生事业的基础。虽然一位家长可能受教育的程度不高，但是他在孩子很小的时候仍然能够培养孩子的学习习惯和学习乐趣。对孩子们来说，学到多少知识并不是最重要的。兴趣的培养，才是决定其终身事业的关键。我小学的成绩并不理想，但我父亲培养了我学习的兴趣，成为我一生中永不枯竭的动力，可以学任何想学的东西。相比之下，中国式的教育往往注重知识的灌输，而忽略了孩子们兴趣的培养，甚至有的人终其一生也没有领略到做学问的兴趣。
无论如何，学生回家以后，一定要有温习的空间和时间。遇到挫折的时候，需要家长的安慰和鼓励。这是很重要的事情。
另外，家长和老师需要有一个良好的交流渠道，才会知道孩子遇到的问题。现在有些家长都在做事，没有时间教导小孩，听任小孩放纵，反而要求学校负责孩子的一切，这是不负责任的。反过来说，由于只有一个小孩的缘故，父母很宠爱小孩，望子成龙。很多家长对小孩期望太高，往往要求他们读一些超乎他们能力的课程。略有成就，就说他们的孩子是天才，却不知是害了孩子。每个人应该努力了解自己的能力，努力学习。
2平面几何提供了中学期间唯一的逻辑训练
平面几何的学习是我个人数学生涯的开始。
在中学二年级学习习近平面几何，第一次接触到简洁优雅的几何定理，使我赞叹几何的美丽。欧氏《几何源本》流传两千多年，是一本流传之广仅次于《圣经》的著作。这是有它的理由的。它影响了整个西方科学的发展。17世纪，牛顿的名著《力学原理》的想法，就是由欧氏几何的推理方法来构想的。用三个力学原理推导星体的运行，开近代科学的先河。到近代，爱因斯坦的统一场论的基本想法是用欧氏几何的想法构想的。平面几何所提供的不单是漂亮而重要的几何定理，更重要的是它提供了在中学期间唯一的逻辑训练，是每一个年轻人所必需的知识。平面几何也提供了欣赏数学美的机会。
一个很有名的例子，江泽民主席在澳门濠江中学提出的五点共圆的问题。我第一次听说觉得非常有意思，很多读者对江主席这个问题都很感兴趣，都想从基本定理出发推导这个定理。最近我很惊讶地听说，很多数学教育家们坚持不教证明，原因是学生们不容易接受这种思考。
诚然，从一个没有逻辑思想训练的学生，到接受这种训练是有代价的。怎么样训练逻辑思考是比中学学习其他学科更为重要的。
将来无论你是做科学家，是做政治家，还是做一个成功的商人，都需要有系统的逻辑训练，我希望我们中学把这种逻辑训练继续下去。中国科学的发展都与这个有关。
明朝利玛窦与徐光启翻译了《几何原本》这本书，徐光启认为这本书的伟大在于一环扣一环，能够将数学的真理解释清楚明了，是了不起的著作。开始时中国数学家不能接受这种证明的方法，甚至到了清朝康熙年间，几何只讲定理的内容不讲证明，影响了中国近代科学的发展。
几何学影响近代科学的发展，包括工程学、物理学等，其中一个极为重要的概念就是对称。希腊人喜爱柏拉图多面体，就是因为它们具有极好的对称性。他们甚至把它们与宇宙的五个元素联系起来：
△火——正四面体
△土——正六面体
△气——正八面体
△水——正二十面体 △正十二面体代表第五元素，乃是宇宙的基本要素。
这种解释大自然的方法虽然并不成功，但是对称的观念却自始至终地左右了科学的发展，并终于演化成群的观念。到20世纪时，它提供了高能物理的计算以及基本观点的形成，这个概念今天已经贯穿到现代数学与物理及其他自然科学和工程应用等许多领域。
我个人认为，即便在目前应试教育的非理想框架下，有条件的、好的学生也应该在中学时期就学习并掌握微积分及群的基本概念，并将它们运用到对中学数学和物理等的学习和理解中去。牛顿等人因为物理学的需要而发现了微积分。而我们中学物理课为什么难教难学，恐怕主因就是要避免用到微积分和群论，并为此而绞尽脑汁，千方百计。这等于是背离了物理学发展的自然的和历史的规律。
至于三角代数方程、概率论和简单的微积分都是重要的学科，这对于以后想学理工科或经济金融的学生都极为重要。
3音乐、美术、体能对学问和人格训练至关重要
我还想谈谈体育、音乐、美术以及这些课程与数学的关系。柏拉图于《理想国》中以体育和音乐为教育之基，体能的训练让我们能够集中精神，音乐和美术则能陶冶性情。古代希腊人和儒家教育都注重这两方面的训练，它们对学问和人格训练至为重要。
从表面上看，音乐的美是用耳朵来感受的，美术的美是用眼睛来感觉的，但是对美的感觉都是一种身心感受，数学本身就是追求美的过程。20世纪伟大的法国几何学家E．cartan也说：“在听数学大师演说数学时，我感觉到一片的平静和有着纯真的喜悦。这种感觉大概就如贝多芬(Beethoven)在作曲时让音乐在他灵魂深处表现出来一样。” 美术，是以一定的物质材料，塑造可视的平面或立体形象，来反映客观世界和表达对客观世界的感受的一种艺术形式。而几何也是描述我们看到的、心里感受到的形象。而数学家也极为注重美的追求，也注意到美的表现。伟大的数学家、物理学家Herman Weyl就说过：假如我要在大自然的真和数学里面的美做一个选择的话，我宁愿选择美。很幸运的是：自然界的真往往是极为美妙的。真的要做点学问的话，就要懂得什么叫美，如何在各种现象中找到美的感觉。数学的定理有几千万，如何选择，完全凭个人的训练感受。
普林斯顿高等研究所的徽章就体现了真和美，左手面是裸体的女神，右手面是穿着衣服的女神。无论文学家、美术家、音乐家和数学家都在不断地发掘美，表达他们由大自然中感受到的美。一个画家要画山水画，到三峡到泰山到喜马拉雅山看到的风景是不同的，你没有去过，一切都是空谈。我们看某个风景的图片和亲自去感受是不同的，所以做学问也是同样的道理，只有身临其境才知道什么是真的好，是真的美。
现在来谈谈体育。无论希腊哲学也好，儒家哲学也好，都注重体魄的训练。亚里士多德认为希腊人有超卓的意志(High-mindedness)，意指希腊人昂昂然若千里之驹，自视甚尊，怜人而不为人怜，奴人而不为人奴。正如孟子所谓“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈”。做学问的人也要有这样的气概。纵观古今，大部分数学家主要贡献都在年轻时代，这点与青年人有良好的体魄有关。有了良好的体魄，在解决问题时，才能集中精神。重要的问题往往要经过多年持久地集中精力才能够解决。正如《荷马史诗》里面描述的英雄，不怕艰苦，勇往直前，又或如玄奘西行，有好的体魄才能成功。
4学习过程不见得都是渐进，也容许突进
现在有很多教育家反对学生记熟一些公式，凡事都需由基本原理来推导，我想这是一个很错误的想法。有些事情推导比结论更重要，但是有些时候是不可能这样做的。做学问往往在前人的基础上向前发展。我们不可能什么都懂，必须基于前人做过的学问来向前发展，通过反复思考前人的学问才能理解整个学问的宏观看法。
跳着向前发展，再反思前人的成果。当年我们都背乘数表，而事实上任何一个科学家都懂得如何去推导乘数表，物理学家或工程学家大量利用数学家推导的数学公式而不发生疑问，然而科学还是不停地进步。可见学习的过程不见得都是渐进，有时也容许突进。我讲这个例子不是让大家偷懒，不会就算了，而是希望大家不要因为有些不懂就放弃，就停滞不前。
举一个有名的例子，就是exp(iθ)=cosθ+isinθ，三角函数中比较重要的定理都可以由这个公式推导。我们不难推导它，但是有些学者坚持中学生要找到它的直观意义，但是可能你找不到直观意义，却可以一步一步推导，推导以后就可以向前研究了。
很多中学都不教微积分，其实中世纪科学革命的基础在于微积分的建立，而我们的孩子不懂得微积分，等于是回复到中世纪以前的黑暗时代，实在可惜。
我听说很多小学或是中学的老师希望学生用规定的方法学习，得到老师规定的答案才给满分，我觉得这是错误的。数学题的解法是有很多的，比如勾股定理的证明方法至少有几十种，不同的证明方法帮助我们理解定理的内容。19世纪的数学家高斯，用不同的方法构造正十七边形，不同的方法来自不同的想法，不同的想法导致不同方向的发展。所以数学题的每种解法有其深厚的意义，你会领会不同的思想，所以我们要允许学生用不同的方法来解决。
实际上，很多工程师甚至物理学家有时并不严格地理解他们用来解决问题的方法，但是他们知道如何去用这个方法。对于那些关心如何严格推导数学方法的数学家来说，很多时候也是知道结果然后去推导，所以我们要明白学习的方法有时候需要倒过来考虑问题，先知道做什么，再知道为什么这样做。要灵活处理这些关系。
5美国中学重视通识教育
物理学的基本定律说物体总是寻找最低能量的状态，在这种状态下才是最稳定的。你们的学习态度包括我自己基本也有同样的状况。人总是希望找到各种理由，使得有时间去做他喜欢的事。就如电子在一定轨道上运行，因为这是它的能量所容许的，但有其他能量激发这些电子后，它可以跳跃。对孩子的学习，我们也需要有新的能量激发使它跳跃。
这种激发除了考试的分数，也来自老师的课堂教学，例如一些有趣的问题，或者非常有名的数学家的故事，都会引起学生的兴趣，学生都喜欢听故事，历史上有趣的故事很多，值得学生们学习。
美国的中学注重通才教育，数学以外的学科，例如文学、物理学、哲学，都会刺激学生的思考能力，值得鼓励。
6中小学要特别重视独立人格培养
假如学生在学校里不能学习与人相处，并享受到它的好处，就不如在家里请一位家庭教师来教导。但现代社会乃是一个合群的社会，学生必须学习与同学相处，并尊重有能力有学问的老师和同学。学生必须懂得如何尊重同学的长处，帮助有需要的同学。学生要培养与他人沟通合作的能力、独立思考的能力、团队协作的精神，对周围人和对社会的责任感，等等，并在这种环境中去训练自己。
美国的教学体系，有很多地方值得我们学习，虽然这也不见得是一个理想的体系。比如美国的高中和大学对成绩就不给出分数，只给出A、B、C、D。这不是件坏事情，可以削弱学生之间不必要的竞争。为分数而斤斤计较以及争夺班里的第一名，会破坏学生之间的合作，集体的力量得不到尊重。中小学教育里要特别注重对学生独立人格和品性的培养，学生的个性和个人特点也受到充分的尊重和肯定。
不少学校把对个人品德的要求按头一个字母缩写成“PRIDE”(荣誉)，即Perseverance(坚持)，Respect(尊重)，Integrity(正直)，Diligence(勤奋)，Excellence(优秀)，作为学生自我要求的基本要点。这种美德的评价要尊重人的本性。对于学生本人，要形成自己独立的价值观。
对中学生来说，永保一颗纯真的童心，保持人与生俱来的求知欲和创造能力，展示自己的个性，这对今后的学习和工作是至关重要的。衷心地希望在座的各位可爱的孩子们快快乐乐、健康地成长。
资料来源：《人民教育》
第二篇：丘成桐：数学与生活
丘成桐：数学与生活
演讲时间：6月10日
地点：香港中文大学
今日很高兴和诸位谈谈我个人成长、处世和决策的经验。这些经验不一定局限在数学的研究，我希望它对年轻的学生会有帮助。
介 绍
我首先描述一下我的家庭背景，这对于我的成长影响很大。我出生在一个受过良好教育但贫寒的家庭。我的父亲曾担任几所大学的教授，包括香港中文大学崇基学院。我的父亲做了很多哲学和中国历史的研究。不过，他大学时的专业是经济学，并在崇基学院讲授经济学课程。他也曾经在朋友的赞助下尝试创办银行，但以失败告终。在我14岁时父亲英年早逝。我们全家顿时陷入极大的困境。这段经历使我认识到资源对于家庭、社会乃至国家的重要性。
我们家一共有8个兄弟姊妹。父亲去世后，照顾家庭的重担落在我的母亲和姊姊身上。父亲的去世和家庭遇到的困难对年幼的我是很大的震撼。这时候，母亲和姊姊作出了对我一生至关重要的决定--让家中年幼的孩子在学校继续读书和完成学业。
但是，这也意味着母亲和姊姊要付出巨大的代价。我的舅舅曾受过我的父母的抚养和帮助，他的家境还算小康。他提出要帮助我们家从事养鸭子谋生。但他的条件是：所有的孩子必须放弃学业。母亲对我们的未来有更高的要求，拒绝了她弟弟的建议。在这非常困难的环境下，她的信念和忍耐起了决定性的作用。虽然我得到政府奖学金的资助，我在闲暇时还须靠辅导学童挣钱。生活虽然很艰难，但我却学会如何去应付这些困境，并从中取乐。我知道我必须在学业上出人头地，但对我来说这是一条不归路。我必须有所作为：为我自己和我的家人走出一条康庄大路。不成功的话，就没有前途了。
严峻的现实促使我成熟和坚强。我认识到我需要依靠自己的力量。在父亲去世前，我从未有过这种经验。父亲是家庭的领导者，他健在时我们丝毫不担心自己的未来。但现实毕竟是残酷的，再不靠自己就没有希望了。
苦难与成熟
我之所以提到这些经验，是为了说明经历过不幸之后，人们往往会变得更加成熟。在人类历史上，有许多本该拥有辉煌前程的人却最终被困苦的生活压垮，但是也有很多著名的伟人在克服困难之后取得成功的故事。
让我举一个我熟悉的例子。就是伟大的中国数学名家周炜良（1911年-1995年）。周炜良20世纪30年代在德国学习。学成归来后，开始时在中央大学任教，继而管理他的家族企业。第二次世界大战摧毁了他的财富，他决定重新回来做数学研究。他搬到普林斯顿居住，并向一位著名数学家所罗门·莱夫谢茨学习。在这段时间里，他做出了开创性的工作，代数几何学中有许多成果以他的名字命名，他大部分著作将会永载史册。
历经苦难最终导致伟大发现的过程，非常类似于打磨钻石。苦难让人成熟和进步。它教会人们如何快速作出正确的决定。在很多情况下，人们没有时间改变自己的决定，甚至没有时间犹豫或者后悔，所以做决定时往往得依靠我们的经验。翻开史册，我们发现企业或者国家的领导人如果有过艰辛的磨砺，往往能够比一般在优厚环境中长大的领导者更胜一筹。
在教育方面，我觉得让学生学会独立思考以及应对艰难情况的能力是极为重要的事情。学生应该主动学习丰富的知识，而教师应该尽量为他们创造良好的学习和咨询的环境。因此我组织每周约9小时的学生讨论班。我要求我的学生阅读一些可能与他们的论文课题并不直接相关的文章，包括一些超过他们当前学识的高深课题。
报告各自领域之外的困难文章让学生们备受挑战。但读懂了这些文章之后，他们会有质的飞跃。对某些课题甚至会比我有更好的理解。有些学生则试图欺骗和隐藏他们的无知，这些学生通常无法真正掌握推动学科进步思想的精髓。我相信我们如果不理解前人如何开创学问的蓝图，我们将会难以提出自己的创见。我相信这种经验并不局限于做学问：在社会上做事或者经营企业，假如没有亲身经历过挑战，就会缺乏经验，而难以施展才华。
困难的环境可以令人变得更加成熟。但是反过来说，长久的为生计奔波，对学者的成功却可能是有害的。毕竟，学者需要在一个稳定的环境下成长和发展，才能完成有深度的成果。我观察到历史上的伟大数学家之中，顶多百分之五的人在其整个职业生涯中都身处穷困。在历史上，我们看到一个社会，一个国家，在百战之余，都需要休养生息，才能成长。
建立目标
要成为一个大学者，我们必须建立一个宏大而有意义的长远目标。这个目标的一个非常重要的特征是要确保在我们追求它的道路上，即使遇到挑战，我们也还会感到愉悦。我本人的目标就是在数学研究上有深入的贡献。我并不是一个天生的数学家，但是父亲的教导让我很敬佩那些对人类作出永恒贡献的学者。我一生都为对数学有贡献而有着无比的欢愉。
因为我来自一个贫困的家庭，我没有太多的出路。但是数学并不需要太多金钱的投入，所以是一个比较容易的选择。但更重要的是，我着迷于数学的优雅和魅力。况且伟大的数学理论可以持续数千年，至少它可以影响好几代人。
我也知道数学可以极为实用，可以解决人类社会中任何需要推理的问题，甚至华尔街的金融投资都可以利用数学的工具。我的许多朋友在各行各业都取得了巨大的成功，其中包括大名鼎鼎的吉姆·西蒙斯。
我第一次遇到吉姆·西蒙斯是在42年前纽约州立大学的石溪分校。我当时惊讶于他对数学研究的痴迷。他已经在几何学中做出了很重要的工作，但是对新的数学发展还是兴奋不已。不过他也说，他非常喜欢金钱。最后他辞去数学教授，到纽约华尔街去创建投资公司。他极为成功，现在已经从他的公司退休，并决定重新再从事数学研究。显然，他现在做研究并不是因为金钱。他的生活是由兴趣所主宰，他的研究依然充满力量。
在我读高中的时候，我也有过从事研究中国历史的想法，部分是由于父亲的教导，另外一方面也是因为历史是我钟爱的科目。直到现在它依然是我的一大爱好。不过，我决定研究数学，不仅是因为我对它感到兴趣，我的志向是在数学上创造历史，而不仅仅是记录或解释历史。况且由于教学的需要，以及工商业极为需要有分析思维能力的职员，数学家比历史学家更易谋生。另一方面，我毕生从未想过赚取很多金钱，但在从事数学研究时，却自得其乐。我读伟大数学家高斯或黎曼的文章时，往往兴奋莫名，而自道：大丈夫，当如是！在数学上，我能与古人神交。这应当是我选择数学为我一生专业的理由罢。
数学带给我的兴趣已经远远超出我的想象。历史和数学都教会我作理性的思考。我记得第一次感受到数学的美是在初中二年级学习习近平面几何的时候。从简单的公理出发，可以推导出复杂有趣的定理，着实令我着迷。我听说，在古希腊时期，市民喜欢在大街上辩论。严谨的逻辑推理思维得到了发展，并被有效地应用到辩论之中。
在推理的学问里，我们需要建立一个假设，它必须来自于我们对周围环境的观察和体验。从我们所作的假设，我们可以基于逻辑推导出许多结果。我们需要的逻辑推理其实很简单。如果A蕴含B并且B蕴含C，那么A蕴含C。虽然这看似简单，但是建立一个良好的假设是创建任何坚实理论的重要根基。如何寻找命题B和C更是对一个良好数学家的考验。
也许你听说过约翰·纳什关于经济学的均衡理论的著名工作。他建立了一些简单的假设并由此推导出重要的结论。由于这项工作，他获得1994年诺贝尔经济学奖。约翰·纳什将博弈论应用于经济学，并引入新的均衡概念，他改革了亚当·史密斯（1723年-1790年）的经典理论。他和其它经济学家将这些新兴的数学理论应用于经济学的研究，影响至今。
建立品味与文化
无论是从事科学研究或者经商，成功的研究所或企业应当体现出研究员或公司创始人的品味与个性。建立其内在的优雅文化是必要的。因为数学的工作都是基于严谨的逻辑推理，一台计算机就可以承担大部分推理的工作得到一些结果。然而，好的数学结果与不好的数学结果之间有着关键的区别。一台计算机可以生产出大量正确的命题，但如果没有人类思维的指引，绝大多数命题并无价值。在一般的情形下，它们无法构造可以加深我们对自然界了解的漂亮或有用的命题。计算机无法判断什么是重要或者是有趣的命题。
这带来了一个重要的问题：数学家如何发现重要而有深度的定理？
一个重要定理的证明通常由一系列复杂的推理所组成。如果我们看不清前进的方向，那么几乎不可能创造出这样的推理。
当数学家开始着手研究一个问题时，首先需要有一个好的规划。正如画家需要从画的类型来决定所采用的技术和媒介。另一方面，研究数学是一个动态的过程。很多时候，当新数据或新见解出现时，我们可能需要改变研究的规划。
众所周知，科学由许多科目组成。在探索自然的过程中，会诞生许多新的课题。有趣的是，许多新的研究课题往往来自于两个或多个古老科目的融合。非常类似于两家大公司的合并。如果我们了解这两家公司的文化，那么这很可能会是一个巨大的成功。反之，如果对两方的了解都不透彻，合并的结果，也可能是一个灾难。
爱因斯坦（1879年-1955年）曾经成功地将狭义相对论与牛顿引力理论相结合建立了广义相对论。这是物理学的巨大飞跃。爱因斯坦能够这样成功是因为他对这两个领域的精通超过任何同时代的物理学家。因此，我总是建议我的学生至少同时掌握两门不同领域的知识，并努力将不同的科目结合起来。这个建议可能对其他学科也适用。
无论是在科学，文学或社会学，我们都需要有广博的知识，这样才能开拓新的课题。在大学里，我们学习的知识可能取决于每所大学的要求。好的学校，比如哈佛，会要求学生学习许多不同领域的知识，打下良好的核心基础。哈佛大学的大部分学生不但学习刻苦，也经常互相交流，选修不同学科的课程。我有一位朋友的儿子，在哈佛大学读本科时主修埃及文学。我以为他会是一个学究。但他毕业一年后，开创了一间相当成功的高科技公司，由此可见通才教育成功的地方。
但是，当涉及到更具体的事情，大学教育还是不够的。我们需要进入研究生院深造，到公司实践学习，参加技能培训。无论身在何处，都有学习的机会。就我个人而言，我一生都在研究数学。但我也同时研究物理学，从我的博士后那里了解物理学前沿，并与他们一起工作。我的许多博士后拿的是物理学而非数学的博士学位。我选择物理学博士，是因为我需要向接受过物理学专业训练的年轻人学习。我觉得这一点很重要，我们不能仅仅学习了一门学科表面的东西，就以为自己掌握了这门学科。
如果没有足够的知识积累，很难找到合适的研究方向。
决 策
我们都知道，在我们的职业生涯中决策能力的重要性。这通常取决于许多因素，如个性、能力和外界的约束。为了选择我们的研究方向，我们需要权衡众多可能的影响因素：例如我们要考虑所需要的资源、可能产生的后果和团队的个性情感等等问题。
我们在做研究或创业的时候，往往需要当机立断，这需要一种直觉。这种直觉需要建立在知识的基础之上，与朋友讨论有助于拓宽这些知识和澄清疑点。经过足够的磋商，饱读相关的材料，权衡不同的利弊，都能帮助我们作出最终的决定。但是最重要的因子来自以下的直觉：如何更好地实现在研究或生活中早已设立的长远目标。
屈原说：“亦余心之所善兮，虽九死其犹未悔。”有时候人们会为了短期的目标，而迷失了人生的终极目标。在这方面，道德教育发挥了极为重要的作用。我非常感谢我的太太，她总是提醒我要坚持自己的理想。我们不能放任自己，为了短期的收益而忘记了初始的目标。即使我们生活的目标是为了赚钱，也需要考虑到社会结构已经发展到了一个非常复杂的状态，没有人可以不依赖别人的帮助或者不去帮助别人而获得成功。就如高科技的专利权--政府的法律保护和企业的互相尊重同等重要。
美国人擅于开发新技术的原因有很多，但保护知识产权也许是最重要的一条。知识产权不受到保护，就意味着工程师的成果很容易被人窃取。没有奖励，科学家和工程师很少愿意花费多年的努力去开拓新的研究！一般来说，中国企业家不太信任家庭成员以外的人，大多数私人公司由家人接班。遗憾的是，许多企业经过两三代的传接后就失败了。原因当然有很多，其中一个是因为他们的后人有着巨大的财富，流于安逸而丧失了动力或者对经商的兴趣。但是更重要的是对家族以外的人不信任，家族企业找不到最有能力的人来管理，这点也与法律不健全有关。在硏究的领域里，也会出现类似的问题。一般中国学者只相信自己的学生或系里的老朋友。造成这个现象的原因除了中国人的传统学派观念外，主要还是由于中国学术界存在剽窃的风气。在我接触到的学者和编辑的杂志中，我发觉中国数学界剽窃的问题比国外严重。至于其它学科也常听闻同样的问题。有些学者，甚至有的院士，他们在修饰文字后，将别人的想法放进自己的文章里头，由于不是搬字过纸，一般学者并不认为这是抄袭。一些机构却往往重用这些学者，这些山寨学者己经严重地影响到千人计划、重大项目的评选和院士选举等等，甚至起了控制作用。有人缺乏认识，有人不敢抗拒他们的欺诈，被迫跟他们合作，这是很不幸的事情。机构领导对此尚无认知，常年用少数的这种学者管事，确是中国数学未达世界一流的原因之一！
一般来说，美国高校和研究所富有浓郁深厚的学术气氛。但学者最终能否取得成功，仍然取决于研究人员是否能作出正确的选择和决定。
让我举一些亲自经历的例子。我在加州大学圣地亚哥分校工作了三年。从1980年开始，我带了不少研究生。1985年那一年，有15名研究生在我指导下学习。他们中有些成为了非常出色的数学家。许多中国大学的学生想到加州大学圣地亚哥分校来学习，我都尽力帮助他们，无论他们最后是否成为我的学生。
其中有一位来自北京大学的申请的学生希望学习数论。我安排他师从一位杰出的数论学家哈罗德·斯塔克，他是加州大学圣地亚哥分校和麻省理工学院的双聘教授。但当时的北京大学校长也许出于个人原因，没有同意他来加州大学。那个学生被派往普渡大学，学习并非他最感兴趣的代数几何。尽管他在博士论文中取得了进展，他仍然无法在毕业时找到合适的工作。
经过很多年艰苦的生活，他在一个朋友的帮助下，成为新罕布什尔大学的一个暂聘讲师。虽然环境并不尽如人意，他还是坚持做他心爱的数论研究。大约在两个月前，他解决了数论中最困难的问题之一。20多年的努力终于有了回报。虽然他的薪水不高，他却很享受研究的乐趣和所取得的成果。这位学生就是现在极负盛名的张益唐教授。
另一方面，我有一位在圣地亚哥任教时带的学生，他跟随我来到哈佛大学继续做研究。在我的指导下，他完成了几何学中几项重要的工作，但是他对事物有自己的看法，他在选择工作方面不接受我的建议。他毕业时，很多名校邀请他为助理教授。我的朋友汉米尔顿是大名鼎鼎的几何学家，也可以说是这个学生的偶像，他在圣地亚哥分校为这个学生安排了一个预备终身制助理教授的职位。这是一个极好的职位，因为这个位置很快就可以变成终身职，但这位学生拒绝了。他选择了普渡大学，因为他觉得普渡可以为他解决签证问题。他没有和我商量他的决定，事实证明这是一个严重的错误。三年后他被迫离开普渡大学，其实那些年中，他的工作还是做得很出色，但他不懂得系里的人事关系，被系中的教授排挤而离去。他因此觉得累了，不想再继续从事科研。他虽然曾经做出杰出的工作，但因为疲惫和失望，他选择放弃数学，为此我深感遗憾。
这两个例子表明，每个人在生活中都会遇到困难。但个人的能力和性格会造成截然不同的结果。我们如何克服困难是一个很重要的挑战。坚持不懈对于研究来说是非常重要的，但最重要的还是能从所做的事情中获得欢愉和成就感。我在上面提到的那个学生在他研究生涯的最后阶段时告诉我：他对研究已经逐渐失去了兴趣。我想这就是这两位数学家之间最主要的区别，遗憾的是，他们的人生也是截然不同的。不过，我还是希望我那位学生振作起来，前途还是光明的。
另一方面，我也见到很多早熟的年轻人，一早成名，却往往一念之差而开始沉沦。
在我的指导下，有另外一位学生在毕业时，读书读得不错，解决了我提出的一个有名问题的第一步。由于我的提拔，他受到数学界同仁的重视。但是几年后，他开始发表充满漏洞的数学文章，又依靠剽窃来获取本不属于他的荣誉，很快他就沉溺在虚伪的生活中，兴趣也从学术研究转到追逐名利，甚至联群结党，不择手段地去欺负年轻学者。这种现象已经严重地影响到中国数学的前途。看了他和政府官员的谈话和向媒体的宣传，我才对孔子说的“巧言令色，鲜矣仁”有比较深入的了解。屈原说：“何昔日之芳草兮，今直为此萧艾也。”至于何时他才能迷途知返，从既得权利的巅峰返回，做一些踏实的学术硏究，是一个有趣而又可悲的问题。在这个浮华和追逐名利的社会，这需要无比的勇气，我希望我的学生都能向张益唐学习。所以我们必须牢记正途并坚定不移地去追寻真理。
从这个故事来看，过早成名往往需要更严格的自律。来自同行的竞争压力，无知家长和有野心学长的期望，可以毁掉一个年轻人的光明前途。
中国家长都望子成龙，却常常没有顾及孩子成长时，除了学业和道德的教诲外，还需要有良好的伴侣，并得到年轻人应有的乐趣。从前有一个才20岁的年轻人跟我做博士后。刚开始时，我没有注意到他的年龄，他的工作也算出色，和我及其他博士后一同发表了一篇还算不错的文章。但是有一天，我在中国访问时，突然接到一个电话，说他在家里不停地尖叫，被警察捉到精神病院去了。我才了解到他的情形：他在马来西亚长大时，极负盛名。他12岁中学毕业，就到加州理工大学读书，三年后完成学业，到康奈尔大学完成博士学位。这是中国家长都羡慕的年轻人。但是他进医院后，只有他的妹妹来看望他。据他妹妹说，他学业进步太快，没有任何朋友，连父母都没有办法跟他交流。过了大半年，我第一次见到他的父亲，我感到失望，他的父亲还继续对他施加学业上的压力。他回到新加坡后，过了两年，竟然自杀了。我为这件事感到惋惜。所以我总想奉劝家长们，在教导小孩时，不宜操之过急。让孩子们多交一些益友，让他们知道生命的乐趣。
我的学生中，有成为一代大师的，例如在斯坦福任教的理察·孙就是，我和他一同成长，互相勉励，因此他在学问深受我在影响，但我也从他那里学习了使我一生受用不尽的学识。华裔学生还没有他这个水平。但是，李骏和刘克峰都在数学上有极重要的贡献，比我上述的在玩政治时呼风唤雨的学生贡献大得多。当时李骏在上海参加改革开放后第一次数学比赛，得到第一。我孤陋寡闻，当李骏来美国做我的研究生时，我没有特别注意到他的辉煌历史。直到一个我从上海来的外甥指出有这么一号的天才时，我才知道这个事情。我想这是一件好事。他循规蹈矩、严谨治学，我送他到加州大学洛杉矶分校跟我一个老朋友学习代数几何，脚踏实地地学习两年后，他现在己经是这个学科的带领人，比我那位出名的学生做的工作重要得多。刘克峰也是在哈佛大学读书时博览群书，不单在几何上取得杰出的成就，对弦理论上也有深入的贡献。
除了我自己的学生外，我也看着一些用功的年轻人成长。其中有复旦大学的傅吉祥，在晨兴数学所的几个年轻数论学者和最近在清华大学的李海中，他们虽然受到某些有权势的院士排挤，仍然做出国际一流的工作，使我觉得兴奋。尤其是田野在数论上的工作，在国际上得到认同，得到三年一次的晨兴数学金奖，在众多高手竞争中，脱颖而出，成为中国大陆第一次得到金奖的得主。数论在他从前读书的大学已渐衰微，但出于兴趣，他坚持了下来，完成了大陆学者这三十年来最重要的工作，真是值得庆贺的事情。比田野年轻的有徐浩，他刚毕业时，我担任哈佛大学数学系的系主任，哈佛大学数学系以等同助理教授的职位聘请他四年，中国某些对他的工作亳无认识的院士却欺负他，连最基本的奖励都不愿意给他。由于哈佛数学系多年来不设助理教授这个职位，网上竟然有人质疑他在哈佛的职位。他还是很努力，解决了弦论数学上的重要问题，今年得到晨兴数学银奖。晨兴奖由十个国际知名的数学大师评审，其中三个大师是菲尔兹奖的得主，其他都是美国、德国、俄罗斯或英国的院士。这两位得奖的年轻人的成绩都值得我们庆贺。
所以急于求成，往往失败。而坚定不移的学习始终是做研究的不二法门！
结 论
艾萨克•牛顿（1642年-1727年）曾说过一句名言：如果我比别人看得更远，那是因为我站在巨人的肩上。或许我们还应该注意到这些巨人们是站在他们之前的那些巨人的肩上！任何想要获得成功的人，都必须学会向前辈伟人学习。很难相信如果不是站在这些巨人的肩上，我们能够取得超越他们的成就。要知道，在他们的年代，这些巨人也曾经被认为是天才，摆在我们面前的是，几代天才刻苦钻研所积累起来的成果。
我相信这个道理同样适用于商人，他们应该在建立企业之前学习了解他们所经营行业的基本概况。决策的制定要快而果断，当然前提是事先做过充分彻底的调研并集思广益。所以美国人说：世上没有免费的午餐！每个人都应该不断探索新的思路和新的方向，只有如此才能胜人一筹。我们应该知道，创新基于广泛的知识，开阔的思维和辛勤的工作。我们应该学会从不同的来源汲取知识，包括那些我们一直没有涉猎的科目，并且以无比的毅力和耐心向伟大的目标进发。
（丘成桐 1949年出生于广东汕头。1983年获得素有数学诺贝尔奖之称的菲尔兹奖，迄今仍是华人数学家中唯一的获奖者。1979年后，丘成桐把主要精力转向振兴祖国数学事业上，先后创建了香港中文大学数学所、中科院晨兴数学中心、浙江大学数学中心和清华大学数学中心，并亲自担任这些研究机构的负责人。现任美国哈佛大学讲座教授、国际顶尖数学杂志《微分几何杂志》主编。）
第三篇：丘成桐：应大力培养国内年轻人才
丘成桐：应大力培养国内年轻人才
中国要在2020年成为人才大国，必须要走两条路：一是培养人才，二是引进人才。目前许多高校、院所对不惜重金引进海外人才不遗余力，有意无意忽视了国内年轻人才的培养。
培养人才和引进人才息息相关，不可分开而论。“得天下之英才而教育之，不亦乐乎？”即使一流的教授，如果没有一流的学生，一般来说其研究成果亦会逐渐落伍。这就是世界上的名校都积极争取一流好学生的重要原因。
这里谈谈我个人的一个经验。我从前在普林斯顿的高等研究所做教授，那是公认的一流科研中心，也是爱因斯坦晚年长住的地方。但是我始终觉得没有办法跟大量出色的年轻人一起工作，所以最后还是选择了离开。
现在我在哈佛大学数学系做系主任，不断有其他大学的数学系想聘请我们的教授，但这些教授都选择留在系里。其原因不在于我们能够提供更丰厚的薪酬，而在于我们有最好的学生和年轻的学者一起工作。教授们留在本系教书，一方面他们的研究做得更为起劲，因为年轻有为的学生往往比教授们更有想法，更有冲劲；另一方面他们可以影响下一代的杰出学者，使他们的学问得以继承、精神得以流传。
中国应在引进人才的同时，加大国内优秀年轻人才的培养力度。
10年前，我希望能够把大量地训练本科生作为培养人才梯队的基础，因此在浙江大学成立了数学中心，我将我的一位杰出的学生刘克峰引荐到浙江大学数学系来帮忙。8年来我们辛苦经营，不但举办了一连串的重要学术活动，最重要的是培养了一大批年轻学者，博士毕业生中也有被哈佛大学聘为助理教授的。在我们培养的本科生里，杰出的也实在不少，到世界各地名校深造的有数十位之多，包括哈佛、普林斯顿、斯坦福、耶鲁、牛津等。
当今有些高校，以非常手段聘请学者。这些学者,早年或许稍有名气，但往往学业每况愈下，而又处处兼职、求田问舍，无论对研究对教育都是一个负累。反过来，年轻有为、尚未成名的学者往往不受重视，与这些引进的学者薪酬相差10倍以上，使人灰心。
其实不少学校很了解某些兼职的院士和引进的海外学者在学校只参加极为短暂的研究，但由于学校聘请这些学者后，往往可以一起申请国家大的研究项目，所以很难知过改过。至于这些人对培养学生和科学研究的实际贡献，则不当回事。
假使国内名校和科研机构把用于兼职院士和海外学者的薪酬用在年轻有为的中国学者身上，并鼓励国内年轻学者和学生成长，在2020年前成为科技人才强国是大有希望的。
（作者为国际著名数学家）
第四篇：丘成桐中学数学奖参赛论文选题之我见
丘成桐中学数学奖参赛论文选题之我见
华南师范大学数学科学学院吴康
一、从专业杂志上选题材
1.中等数学杂志
以《中学数学研究》（2005.8～2008.3）为例
2.学报
二、从学士学位论文和硕士学位论文找题材
1.学士学位论文
2.硕士学位论文
三．从中考、高考、全国初、高中数学联赛试题中选题材
1.中考试题
2.高考试题
3.全国初中数学联赛
4.全国高中数学联赛
四．从数学建模、数学应用中寻找课题
1.数学建模
2.数学应用
第五篇：我研究数学的经验—丘成桐在台湾交通大学演讲
我研究数学的经验—丘成桐在台湾交通大学演讲
主持人林松山致辞：
今天我们非常高兴能够请到丘成桐院士来演讲，不是讲深奥的数学而是讲怎么去做深奥的数学，好的数学。这讲题是“我研究数学的经验”，是丘院士研究数学的经验，我们欢迎丘院士。今天林松山叫我讲关于应用数学的问题，我想一想，讲做学问的经验也好。因为我来台湾也差不多五年了，我想很多研究人员做研究的方法并不见得是最好，尤其是我觉得很多年轻人员为什么在国外能够念的好？这是很值得思考的。所以，我想讲讲我自己的经验，或是我对数学的看法，让大家参考一下。我想第一讲是最重要的当然是要有热忱，最主要的就是求真的精神，是始终要培养的。我们做学问是为了求真，无论是对自然界的了解或是从数学方面来讲，我们有不同的观念，可是真跟美就数学来讲是最重要的。追求真跟美的热忱很重要，因为我们整个做学问的路上要碰到很多不同的困难，假如我们没有热忱的话，就没有办法继续下去。所以追求学问的最崇高目标，无过于真跟美，追求的目标无误，热情才不会熄减。我们非想办法培养自己对追求学问的热忱不可。几天我在去看我父亲的遗作，其中有屈原：路漫漫其修远兮，余将上下而求索 做学问的路很长很远，我们一定要看得很远，因此我们要上下去求索，要想尽办法真。怎么去找真跟美，能够始终不断的坚持下去，这是成功的一个很重要因素，如果没有热忱的话，就永远达不到做大学问的地步。我们再举一个国外的例子，在一个有组织的系统里，我们的竞争很厉害，尤其在物理方面或其它实验科学方面的研究，真是分秒必争；有一个题目刚好出来的时候，大家晓得其他人也会做这个问题，很多post doctor 或者是faculty 聚在一起往往工作到深夜，甚至整个晚上不睡觉。这上面当然有一个竞争性在里面，就是希望达到一个目标，比人家快了一点；可是另一方面也是因为求真的热忱很大，刺激着我们使我们不肯放松。否则的话，很多有tenure 的faculty，没有必要这样拼命，可是很多faculty 还是愿意这样子作，我想热忱很重要。我们要晓得，作研究的路是很远的，我们要在中间低潮的时候还能够坚持做下去。很多作研究的人，他往往觉得若不在中心的地方，他不敢去做。有些人去到过最好的地方，他也不敢去碰难的题目。这有很多不同的原因，等一下我们再慢慢谈，可是一个最要紧的我想是基本的功夫要做好。基本功夫没做好往往会出现上述问题。中学的时候，大学的时候或者在研究院作研究生的时候，很多基本功夫都要培养，很多学生在年轻的时候不将基本功夫做好，以后做研究就很吃力。交通大学着重应用数学，可是我们晓得应用数学主要的工具是从纯数学来的；很多的学生人认为既然是应用数学就不用学纯数学或者是应用物理就不必学基本的物理，这是很大的错误。很多基本的功夫非在作学生的时候学不可，为什么呢？我们要做习题，并且要大量的去做，这是学习基本功夫的必要过程。我想很多现在毕了业拿了博士学位的人看一本书的时候不再去做习题。遇到一些比较复杂计算的时候往往不愿意去，可是很多基本的想法就是要从计算里面领会得来的。我们所做的命题，最后的时候可能留下很简单很漂亮的结果，可是中间往往要花大量的计算我们才晓得这结果是怎么得到的。做好的研究不是一朝一夕得来的，往往做了一百次，九十九次是错的，最后一次是成功的。但成功的时候，我只跟你讲成功的结果，不会跟你讲九十九次失败的经验。错误的经验往往是很好笑的，因为经常犯很明显的错误，要在做完的时候才知道。可是当讲给人家听的时候很少会跟人家讲错误的那部分，其实做错误的结果让你眼睛明亮，它帮你忙，让你向前走。其实你能做错的结果，已经是很不错的了，因为很多初学的人连怎么进去做这个题目都不能够做到。譬如来讲，你给我一个化学上的问题，我从什么地方开始做我都不晓得，因为我没有这基本的功夫，我根本不晓得要从什么地方开始。一个好的数学家至少要能够掌握两门以上很基本的功夫。基本功夫不是一朝一夕学来的。譬如讲，有代数的方法、有分析的方法、有几何的方法等种种不同的方法，我们在中学的时候就开始学。有些人喜欢几，觉得代数没有什么意思不想学，或者是学
代数的人不想学几何，各种想法都有，可是最后我们发现真的做研究的时候全部都要用到。有人说我只做一个特殊的题目就永远只去做这方面的题目，结果连这方面的问题也不见得做得好。因为数学的发展是不停地在改变，不断地在改变。自然界能够提供给我们的问题，不会因为你是几何学家就继续不断的提供几何方面的问题，而往往是与几何结合在一起的问题。到了题目来的时候，要用到其它工具，我没办法去了解，我就比其他人吃亏了。例如，很重要的一门“群表示理论”，一般来讲很多地方不教这门课，可是在应用科学或者理论科学要用到，“群表示理论”在物理也要用到。有些好的数学家可以很技巧地运用“群表示理论”分析很多问题。我们可能没有这些办法，这就是因为我们基本功夫没有做好的缘故。我想“群表示理论”大概是进了研究院或者大学后半期的时候学的。中国数学家在这方面的训练不够，因此不如国外学者，可见有些基本学科一定要学好，同时要很早就学。我们学数学的不单是要学数学上的基本功夫，在物理上的基本功夫也要学，这是在大学时就要学的。力学、电磁学我们都要有一定的了解，因为物理跟数学这几十年来的发展越来越接近，很多问题是从物理上提供的。我们假如对这些基本的观念完全不认得的话，我们看到题目就比不上其他懂得这方面的数学家，能够很快的融会贯通。到了这个年代，很多的数学的问题往往是从其他的学问如理论物理、应用数学或其它的科学里来的，他们甚至提供intuition和方法。我们想了很久的一些问题，往往因此得到了解决，假使我们从来都不接触其他科学的话，就完全落伍了。举个例子来讲，代数几何学家这二十年来已有长远的发展。可是到了这几年来用古典的方法或者纤维丛的方法，都没有办法解决的问题，结果从理论物理帮助我们看到以前看不到的可能。由于本身知识的局限，很多代数几何学家遇到这个困难的时候没有办法接受这些专家的看法，遇到理论物理就不敢去碰它。可是物理提供了，解决了我们基本问题的方向，代数几何学又觉得很难为情，因为他们没有办法去了解，所以这是一个很困扰的问题.假使你不肯学物理学上的基本功夫，你就很难接受这个新的挑战。记得我看过一本书, 序言里讲作者很感谢代数学家Albert，他为什么感激他呢？他说Albert教我代数，使得我坐下来的时候，看代数问题不会恐慌，使我能够坐下来好好地对待代数上的问题。就是讲我们基本功夫能不能做到如此，我坐下来，看到几何问题或应用数学的问题，可不可以坐下来就想个办法来对付他，我想这是很重要。我们往往看到问题，坐下来的时候，恐慌的不晓得怎么办，因此就算了，我想大家都有这个经验。你做基本功夫一定要做到你看一个题目，明明是unknown、unsolved的问题，你还是可以坐下来，然后花工夫去解决它。即使你不能够解决它，可是你至少晓得怎样去想办法，同时不会恐慌、放弃，我想这是最重要的。往往我们因为基本功夫没做好，当一个深的题目或看法出现的时候，我们就拒绝去接受，认为这些题目不重要，这是去解释自己为什么不能够去做某一个问题的时候最自然的方法。训练基本功夫要在研究生、大学生或中学生的时。基本功夫怎样学好呢？有时看一本书完了就放在一边，看了两、三本书后就以为懂了，其实单看书是不够，最重要的是做习题，因为只有在做习题的工夫里面你才能晓得什么命题你不懂，也理解到古人遇到的困难在那里。习题不单在课本里找，在上课和听seminar时也可以找。我们很多学生上课的时候不愿意去写笔记，不作笔记的话根本不可能去念任何学科。尤其是有时候演讲的人讲的题目是根本不在书本里的，或者是还没有发表的。我常觉得很奇怪,为什么学生不去作笔记，他认为他懂了，其实明明不懂。因为可能连讲课的人自己都还没搞懂，可是听讲的人不愿意去作笔记，也不会去跟演讲的人谈，也不会去跟其他老师讨论。往往你花了一个钟头在那边听，听完了以后就全部忘掉了。因为你没有一个写下的笔记可以温习，怎么可能不忘掉？另一个训练基本功夫就是要找出自己最不行的地方在哪里。我们来看“群表示理论”的时候，我们有一大套理论。单看理论是不够的，在应用时往往要知道群表示怎么分解的，你不能够将它写下来则理论对你一点好处都没有。又例如一个方程式的估计问题，你有没有办法了解其中的方法，就全靠你实际计算经验，不光念一两本书就足够的。举例来说，我的儿子最近刚学因式分解这个问
题，老师教他一大堆怎么分解整数方程的问题。他学了。也学得很好，也学了怎么找根的方法。可是有一次考试是他不知道怎么因式分解？我跟他说，你明明晓得怎么找根，为什么不能够因式分解？主要是他学的时候没想到找根跟因式分解是同一件事情。问题就在于训练基本功夫的时候，要去想清楚数学命题间的关系，了解清楚为什么要解这些命题。我们去看很多人写以前人的事，写了很多很漂亮的介绍和批评。可是你自己没有经历过这一条路的话，你事实上很难了解困难在什么地方，为什么人家会这样子想。要得到这个经验，不单要做习题，还要做比较困难的习题。做困难的习题有什么好处呢？困难的习题往往是几个比较基本的问题的组合。我自己看书的时候，常常会一本书一下子就看完了，觉得很高兴，因为看完了；可是重新再看，反而什么都不懂。我想大家都有这个经验，主要的原因是什么呢？我们没有学好这学科，做比较困难的题目的时候，你就会发觉会遇到困难。尤其是我们做一些题目的时候，往往就觉得似是而非，在脑子里面想，以为已经懂了、可以解决了、就一厢情愿的很快的解决它，很快的看完那一本书，事实上这是欺骗自己，也不是训练基本功夫的方。一个好的题目，你应当坐下来用笔写下来一步一步地想，结果你会发现很多基本的步骤你根本没有弄清楚。当你弄清楚的时候，你去看你以前需要的定理在那里、怎么证的、我想你会慢慢了解整个学问的精义在哪里。所以说，动笔去做题目是很重要的，我们做大学生的时候还愿意做这个事，往往做研究生的时候，就以为了不起，毕业以后更不用讲，不会动手去写。一个题目在那里，我们很了不起地以为自己懂了，有些是很明显，但有些是似是而非，好像差不多了，事实上不是，里面有很多巧妙在里面。我们一定要动手去做，当你在一门课里面，基本功夫搞得很清楚以后，你就发现书里面很多是错的。在发现书本里的错误时，你的基本功夫也不错了。我们这个时代的学生不看课外书，连本身的教科书也不看，很使人失望。做研究大家晓，自己要去找自己的思。单单上课听听，听完以后不看书，做几个习题就算了，怎么用都做不好。因为你没有想自己的思路要怎样子走。我做大学生刚开始第一年半的时候，因为刚开始将数学严格化，我觉得很高兴。因为从整个logic看去，可以一点一点地推导，从前有些几何或分析上的问题，我觉得可以慢慢将它连起来，我觉得很高兴。我讲这个事情是什么原因呢？我觉得现在很多大学生或研究生对于宏观的数学看法并不热情。就想课本上有题目拿来，能够做完它，你就觉得很高兴。你没有整体地去想整个数学、或者整个几何、或者整个代数，我们须要研究的是什么事情？我们须要追求的是什么对象？我想去考虑这些事情其实并不会花你太多时间，可是你要有一个整体性的想法。整体性的想法是非要有基本功夫不可，就算很琐碎的事情你都要晓得以后，才能对整个科学有一个基本的看法、一个大范围的看法。现在谈谈我个人的经验，我记得我念中学的时候我学了平面几何。大家都晓得平面几何很漂亮，我觉得很有意思。书本上的平面几何的问题大概我都懂得怎么做。可是我觉得还是不太够，所以我将很多基本的问题连在一起，之后开始慢慢想。去发现一些书本没有的问题，去想书本的方法能够有什么用处，是不是大部分平面几何上的问题都可以解决？我想找一些命题是这些方法没有办法解决的。我记得我初中的时候想过一个问题，我发觉没有办法去解决。花了很多工夫去想，看了很多课外的书来帮忙，最后很高兴地找到一个本书讲那个问题不可能用圆规和直尺来解决，可以用代数的方法来证明。因为经过很多不同的想法，有半年的工夫，完全不晓得圆规和直尺解决不了这个问题，因此看到人家将这个问题解释清楚，就觉得很高兴；那时候是中学生，没有了解Galois理，所以还是不太搞清楚是怎么证明的。可是我至少晓得有问题是不能用圆规和直尺解决的。也因为经过很长的思考，所以我开始对这类问题的了解清楚得多。也开始欣赏到做数学的精义。我想我们做一个习题或研究，我们最好花些工夫去想想着整个问题的来龙去脉，也多看一些参考书，这对你的帮助很大。因为数学无非是很多方法放在一起解决很多不同的问题。这是一个工具，我们了解一下这整个方法的局限，对基本功夫有很大的帮忙。基本功夫是一个工具，不是一个终点，是一个基本功夫没搞清楚的话，没有办法去讲某个学问好，某个学问不好。记得
从前在香港念大学的时候，当时的环境比现在差得很多，图书馆根本没有什么书，也没有什么很好的导师，但是还是看了很多课外书，也看了很多文章。但现在看来浪费了很多精力，这是眼界太浅，坐井观天，不知数学的发展与方向的缘故。以后我到berkeley，也看了很多文章，得益良多。一方面当地图书馆收藏丰富，一方面良师益友的交往，心中开始建立对数学的看法。我中学的时候，老师跟我们讲：好的书要看，不好的书也要看。数学里面不好的书我也看，你可能奇怪为什么不好的书我也看；我是觉得这样子，你一定要晓得什么是好的书，什么是不好的书，所以你看文章的时候，一定要搞清楚这个作者写文章并不见得是了不起。有些作者，你晓得他的著作是了不起的可以多看，可是从不好的文章里面，你也可以看到许多现代的发展。因为有时候，从简单的写法里面，你反而看得比较容易一点，可是你一定要晓得他里面所讲的命题并不见得是有意思的，你一定要经过你自己大脑去搞清楚。可是他里面的组织往往是有的，普通水平的文章里面往往会引出有名的文章，也会介绍出有名的文章里面讲些什么事情，同时往往会写的比较容易看一点。因为它的水平比较低，它可以学一些大数学家的文章，你看了以后，很快就晓得怎么进出不同的地方，可以和好的文章比较。这是我自己的经验，你不一定要这样子做。我的建议是大部份的时间看大数学家的作品，小部份时间浏览一般作品，并做比较。我当研究生的时候，有时候从早到晚都在图书馆里面看期刊、看书。当时因为在Berkeley没有研究室，研究生没有研究室很好，整天在图书馆里面坐。几乎主要期刊的文章我都看过，看过并不表示仔细的看，但至少有些主要的定理都看过。当时大部分都看不。看不懂没有什么关系。往往你要花很多工夫才能够在细节的部份搞清楚一篇好的文章。因为你第一眼看得懂的文章并不见得太好。并不是讲一定不好，简单的文章有时也有创见，多看文章让你晓得当时的人对于哪一个方向的问题有兴趣，对你有很大的帮助。有很多学生跑来问我问题，我跟他讲某某年有谁做过、做到什么阶段，他们听了很惊讶，为什么我晓得？没有谁讲给我听，是我自己在文章上看到。这很重要，因为你做研究的时候，你要晓得什么人做、解过哪些问题，对你的帮助很大。因为往往做研究的时候，你须要晓得得只是谁做过、在什么地方可以找到这个方面的文献，你以为有了这个帮助以后，你可以跑回去找这个文件。甚至你只要晓得那一年代谁碰过这个问题，对你也有很大的好处。有很多名家的文章往往比人家做快一步，就是因为他晓得谁做过这件事情，他可以去找这方面的文章，或者去找某个数学家帮忙，否则的话，做数学的有十几万人，你根本不晓得谁做过这个方面的问题，谁没有做过。所以在这方面多学一些人家做过的问题，无论出名的文章也好，差的文章也好，都看一看。我当然是建议你多看一些出名的文章，因为差的文章等于是消遣性，看武侠小说一样，看完就放在一边。你有追求的热情以后，慢慢地在将不同的看法放在一起。到了这个第一步以后，我觉得你可以开始找自己的题目。因为你开始晓得整个数学界主要在看什么问题。一个好的数学家怎么找自己的问题是很重要的。当然有不同的找法，有些人要发展一套理论，有些人要解决难题，理论的目标最后还是要解决问题的，所以解决重要问题是发展一般理论中一个很重要的一环。举例来说，像Poincare Conjecture，它是三维拓扑中最主要的猜想，我们晓得前人花了很多心血去解决它，到了现在有很多不同的尝试方法，各自成一个气候。这个命题已经变成一门学科而不再是一个独立的问题。这是三维空间的结构问题，需要彻底解决此猜想才算圆满。另一方面有些人为什么对Poincare Conjecture 有兴趣，对其他问题兴趣不大，那是因为它是公认的难题。我想选题方面每个人有不同的看法。我有很多朋友是很出名的数学家，他们只想解决出名的问题，我认为这是错误的选题方法。在数学上，我们应该有整个的有系统的想法，想整个数学目的在那里，应当解决什么样的问题。你们可能都念过王国维讲的做大学问的三个阶段，第一阶段是晏殊说的 “昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路。” 这是王国维讲做大学问的第一个阶段，要解释这一段话，我要再说明基本功夫的重要性。如果基本功夫没有做好，你根本望不远。你叫中学生去望尽天涯路，根本是不可能的事，最后讲一些空谈的。对数学或者科学上的历
史不了解的话，你根本没有资格去谈以后的事。不是叫你去全部了解，至少有一定的了解。现在很多学生，尤其是研究生，我觉得比较头痛，教他做一个小题目，做了以后，一辈子不愿意放。不停的写小文章，写了文章当然可以发表，对某些年轻人来说讲，他认为这样子很好，不想重要的问题，今天能够写一篇小文章，明天能够写一篇小文章，就可以升级，假如不写出来的话，生活上会受到困挠。这都是对的，可是你真的要做一个好的题目，其实也不见得那么难。一些研究生的论文是历史上有名的著作。为什么他们能够花三、四年的工夫，做出这么出色的工作？他们是从不懂到懂，然后还要再向前进。表示真的要做好的题目，并不是像你想象要花很多很多的时间才能够做到，问题是你的决心是怎么样。昨夜西风凋碧树，就是说你要望很远的话，要将前面小的树去掉，才能看的远。假如我们眼界里面看的都是小题目，永远都看不远。我们要懂得怎么放弃些渣滓，才能够做一些好的题目，我想这是一个很重要的事请。你不愿意放弃你明明晓得不会有前途的问题，就永远做不到好的问题。这是一个困难的选择，因为你觉得毕业、升级的问题，而不愿放弃你明明晓得不会有前途的问题，那你永远不会成就一个大学问的。我记得我刚学几何学的时候，当时流行的度量几何，所有工具都是三角比较定理来的，我始终觉得对几何的刻画不够深刻，后来我和我的朋友和学生开始一系列用到微分方程做工具的几何研究，我也很庆幸当时愿意放弃一些小的成果，走一条自己的路。我们选题的时候，可以跟出名的数学家、跟导师或者是从书上去看，可是最后的思考一定要有自己的想法才能做成大学问。因为你自己没有你自己的想法，你始终跟着人家走，是没有办法做好学问。可是你可能没有资格做这一件事情，因为你对于这一门学问还不懂。我一开始讲了一大堆，就是因为我希望你们去想一想基本功夫要做好，要你对这一门学问里的不同命题要得。就像你去买货，你要晓得百货公司里面有可能出现什么东西，你才去挑。王国维谈学问的第二阶段是柳永的诗：“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。”寻找真理的热情就如年轻的恋人对自己的对象的追慕，那是很重要的事。在追求一个好的命题的时，中间要花很多工夫，有时候甚至是很痛苦的。可是我们只要晓得，最后的成果是值得的，我们就会花很多工夫去做，就像爱情一样。很多年轻人找对象时，朝思暮想，当做学问却没有这种态度。假如你对做学问没有热情没有持久力的话，你就不可能做成大学问。其实屈原说“亦余心之所善兮，虽九死其尤未悔。”比柳永更来得彻底。接着下来大家都晓得王国维的第三阶段是： “梦里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。”当然这是辛弃疾的诗，不是我讲的，可是基本上我们都有这种感觉。你真的做过一个好的文章的时候，就有这种感觉。我们花很多工夫做一个好的命题，有想法的时候，你考虑这个想法对不对有时候晚上睡不，想得很辛苦。有时候想的辛苦了，就一睡睡很久，假如你做学问做到这个地步，你会解决很多意想不到的问题。我想没有人是特别聪明，可是你花了很多工夫，能够进入交通或清华大学，应当资质都不会太。我想你花了那么多工夫进研究院，一定希望有一些成果。我们做学问跟爱情不太同，有时候不一定看到一个目标，而是看到其它。就像我刚才讲的，我们要解决Poincare conjecture，最后还没解决它，可是解决了其它的命题，这是数学历史上常常有的。每一个人都有这个经验，你明明要解决这个问题，结果发现解决了其它的问题。这是因为我们做这个题目的时候，不晓得走法对不对，可是你将这个工具全部搞好以后，基本的想法、有意思的想法你自己晓得以后，就可以解决很多问题了。在这个路上走的时候，思想不要太顽固。你要知道还有其他有意思的问题。就是你发展了一套想法以后，往往有其它的问题你刚好可以解决。可是也因此你要晓得，你在整个做研究的过程里面，你眼睛要睁开，眼睛怎么睁开呢？很多学生不愿意去听colloquium，也不愿意去听其他人的seminar。不听seminar就不晓得人家在做什么东西。明明你的方法可以解决他们在做的问题，但你睛闭起来、看不到，这是一个很大的困难。很多学生尤其是中国学生，讲我的论文是做这个，这个seminar与我的论文无关，我不愿意去听、不愿意去看、不愿意去跟人家来往、不愿意去跟人家谈。结果你做的论文可能不是你能解决的问题，可能你的方法刚好可以解决人家的
问题。因为你不愿意去听、去看，你就解决不了问题。一个人的思维有限、能力有限，你不可能不靠人家的帮忙。什么是人家的帮忙呢？一方面是看文章，听seminar，一方面就是请教名家。你自己去请教别人的时候，百分之九十五人家不晓得你在做什么，也不可能提供你直接的意见。假如能够直接提供你意见，帮你直接地解决问题的话，你这个问题不见得是很重要的问题。可见你刚开始没有搞清楚这个问题有多重要。但不要紧。多请教别人总是有好处，至少晓得这个问题有多好，还是不好。假如你怕发问，就在seminar或colloquium的时候要多听，多听对你的好处多得不得了。你在seminar里面就算听不懂的话，至少你在看他写的头两个字，你就晓得最近人家在做什么事情。你可能觉得莫名其妙，可是事实上你可以得到好处，这是很要紧的。所以能够有机会尽量去听不同的，对你是有很大的好处；念纯数学的也应当去听应用数学或物理方面的课。听seminar时，即使relax一天，也没有什么关系，反正总比在家里面无聊或看电么在一孤立的地方，也能够做一个好的学问。我举个例子来讲，十四年前，复旦大学有一位学生，他要来跟我，我答应了收他。结果因为当时复旦大学的校长怕留学生全部走掉了，所以不准他出国，因此他没有办法来跟我。但是他将我80年写的问题集，大概有一百题的样子，选了其中的一个题目去做，拼命的在做。我不晓得他拼命的在做这一个题目，虽然他在一个比较孤立的地方，可是十多年来只做这一个题目，最后去年做出很重要的结果。我觉得很高兴，因为这一个题目是一个很不简单的问题。可见你只要找对了题目，同时你拼命的花工夫去做，就算你不跟人家来往的话，也不见得做不出来。当然我不知道他是不是完全不跟人家来往，因为复旦大学里面也有一些很不错的数学家。我想不可能全部都不跟人家来往。可是在交大、清华这些地方是不能讲是全部孤立的地方。在这个条件之，我觉得绝对是可以做好的学问，只要我们将整个问题搞清楚。今天讲的主要是我觉得来了五年，我想讲一讲我念书的经验，希望你能够参考，我是这样子的做法。可是不见得每一个人都要有这样子的做法，因为每一个数学家都有对学问不同的看法。你可以追随不同的路，可是我想最开始所讲的基本工夫要做好，是永远少不掉的。然后要尽量去开发自己的领域，题目一定要做重要的。后来真的做得到的可能是比较小的结果。可是总比一开始只想做不重要的题目来得好。到了解决整个主要的问题以后，你的看法或对于整个学问的看法又不同，你会有不同的想法。今天就讲到这里，谢谢大家
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