概率论数理统计(经管类)重点及性质总结

第一篇：概率论数理统计(经管类)重点及性质总结

第一章 随机事件与概率

（1）事件的包含和相等

包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作相等：若且，或

性质：，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。

（2）和事件

概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作

或A＋B。

解释：

包括三种情况①A发生，但B不发生，②A不发生，但B发生，③A与B都发生。

性质：①，；②若

；则

（3）积事件

概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作A∩B或AB。

解释：A∩B只表示一种情况，即A与B同时发生。

性质：①，；② 若，则AB＝A。

（4）差事件

概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A－B.性质：① A－（5）互不相容事件

概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝，则称事件A与事件B互不相容。；② 若，则A－B＝

推广：n个事件A1，A2，„，An两两互不相容，即AiAj＝，i≠j，i，j＝1，2，„n。

（6）对立事件：

概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做

.解释：事件A与B互为对立事件，满足：①AB＝ф；②A∪B＝Ω 性质：①；

②，；

③A－B＝

＝A－AB ④A与B相互对立A与B互不相容.小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；

运算：和，积，差，对立.（7）事件的运算性质

①（和、积）交换律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；

②（和、积）结合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；

③（和、积）分配律 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）

④对偶律 ；

.由频率的性质推出概率的性质

①推出①

②，推出②P（ф）＝0，P（Ω）＝1

推出③P（A∪B）=P（A）＝P（B），可推

③A，B互不相容，广到有限多个和无限可列多个.2.古典概型

概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：

①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；

②每个基本事件发生的可能性相同。

计算公式：

概率的定义与性质

（1）定义：设Ω是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为

P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件：

①P（A）≥0；

②P（Ω）＝1；

③设，„，„是一列互不相容的事件，则有，；

； ；

④

..（2）性质 ①

②对于任意事件A，B有

③条件概率与乘法公式

定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）

计算公式：设AB为两个事件，且P（B）>0，则。

乘法公式：当P（A）>0时，有P（AB）＝P（A）P（B|A）；

当P（B）>0时，有P（AB）＝P（B）P（A|B）推广：

①设P（AB）>0，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）

②设，则

2.全概率公式与贝叶斯公式

（1）划分：设事件

①

②，„，，„，满足如下两个条件：，i＝1，2，„，n；，„，至少有一个发生，则称，„，互不相容，且，即，为样本空间Ω的一个划分。

当，„，为样本空间Ω的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。

（2）全概公式：设随机试验的样本空间为Ω，，„，为样本空间Ω的一个划分，B为任意一个事件，则注意：当0

.就是Ω的一个划分，对任意事件B则有全概公式的最，„，为样本空间Ω的（3）贝叶斯公式：设随机试验的样本空间为Ω，一个划分，B为任意一个事件，且P（B）>0，则

，i＝1，2，„，n.注意：①在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算P（B）；

②理解贝叶斯公式“后验概率”的意义.事件的独立性

（1）概念：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立。

（2）性质：① 设P（A）>0，则A与B相互独立的充分必要条件是。

② 若A与B相互独立，则A与，与B，与都相互独立。（3）推广：① 3个事件相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足

P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）则称A，B，C相互独立，简称A，B，C独立。

② 3个事件两两相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足

P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），则称A，B，C两两相互独立。

显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未必。

③ n个事件相互独立：设A1，A2，„，An为n个事件，若对于任意整数k

（1≤k≤n）和任意k个整数1≤i1< i2<„ik≤n满足

则称A1，A2，„，An相互独立，简称A1，A2，„，An独立 n重贝努利试验

概念：如果一次试验只有两个结果：事件A发生或不发生，且P（A）＝p（0

计算：在n重贝努利试验中，设每次试验事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率Ｐn（k）为，k＝0，1，2，„，n。

第二章 随机变量及其概率分布

随机变量的概念 定义：设E是随机试验，样本空间为Ω，如果对于每一个样本点ω∈Ω，有一个实数X（ω）与之对应，则称X＝X（ω）为随机变量，记做X, Y, Z,„。

（4）解释：① 随机变量不是普通变量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一个值的，即具有随机性，因此称为“随机变量”；

② 在一次随机试验中，可以根据不同的需要来定义不同的随机变量。

③ 引入随机变量后，可用随机变量来描述事件，如掷骰子，设出现的点数为随机变量X，则“出现4点”可表示为{X＝4}，“不少于4点”可表示为{X≥4},等等 离散型随机变量定义：若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。

离散型随机变量的分布律：设X为离散型随机变量，可能取值为x1，x2，„，xk，„，且P{X＝xk }＝pk，k＝1，2，„，则称{ pk }为X的分布律（或分布列，概率分布）。

分布律也可以用表格形式表示：

（3）分布律{pk}的性质：① pk≥0，k＝1，2，„；②.反之，若一个数列{pk}具有以上两条性质，则它可以作为某随机变量的分布律。

（4）用途：可用分布律求任意事件的概率

三种常用的离散型随机变量的分布

（1）0－1分布（两点分布）

定义：若随机变量X只取两个可能值0，1，且P{X＝1}＝p，P{X＝0}＝q, 其中0

（2）二项分布

定义：若随机变量X的可能取值为0，1，2，„，n，而X的分布律为，k＝0，1，2，„，n其中0

解释：n＝1时，二项分布即为0－1分布，所以，二项分布是服从0－1分布的随机试验进行n次的情况。

泊松定理：设λ>0是常数，n是任意正整数，且，则对于任意取定的非负整数k，有。

泊松定理的应用：当n很大，p很小时，二项分布可以用泊松逼近来近似计算。

在实际计算中，当n≥20，p≤0.05时计算效果颇佳（3）泊松分布

定义：设随机变量X的可能取值为0，1，2，„，n，„，而X的分布律为，k＝0，1，2，„，其中λ>0，则称X服从参数为λ的泊松分布，记做X ～ P（λ）分布函数的概念

定义：设X为随机变量，称函数F（x）=P（X≤x），x∈（-∞,+∞）为X的分布函数。

离散型随机变量X的分布函数为

分布函数的性质

（1）0≤F（x）≤1。

（2）F（x）是不减函数，即对于任意的x1

（3）F（-∞）=0，F（+∞）=1，即

（4）F（x）右连续，即。

用分布函数表示事件的概率：设随机变量X的分布函数为F（x）, 则

（1）P{X≤b}=F（b）；

（2）P{a

（3）P{X>b}=1-F（b）连续型随机变量及其概率密度

（1）定义：设随机变量X的分布函数为F（x），若存在非负函数f（x），使得对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，并称f（x）为X的概率密度函数，简称概率密度（或密度函数）。

解释：连续型随机变量的“连续”指的是其密度函数在某区间或整个实轴上是连续函数。

（2）概率密度的性质：① f（x）≥0；

②

③④ 设x为f（x）的连续点，则存在三种常用连续型随机变量的分布

Ⅰ.均匀分布

，且

；

（1）定义：若随机变量X的概率密度为上的均匀分布，记做X～U（a,b），则称X服从区间[a,b]（2）分布函数为 Ⅱ.指数分布

（1）定义：若随机变量X的概率密度为称X服从参数为λ的指数分布，记做X～E（λ）.，其中λ>0为常数，则

（2）指数分布的分布函数为Ⅲ.正态分布

，（1）定义：若随机变量X的概率密度为

22，－∞

2μ,σ为常数，－∞<μ<+∞，σ>0，则称X服从参数为μ,σ的正态分布，记做X～N（μ,σ）

（2）概率密度函数的性质：

①曲线关于直线x=μ对称，则对于任意h>0，有P（μ-h

②当x=μ时取得最大值.在x=μ±σ处曲线有拐点，曲线以x轴为渐近线.③当σ给定，μ1<μ2时，对应的密度函数的图象可沿x轴互相平移得到.④当μ给定，σ1<σ2时，对应的密度函数的图象如图下图所示，σ越小，图象越尖锐，σ越大，图象越平缓.（3）分布函数为.（4）标准正态分布：当μ=0，σ=1时的正态分布N（0,1），称为标准正态分布，其概率密度和分布函数分别记做和Φ（x），即，，（5）标准正态分布的分布函数的性质

①Φ（-x）=1-Φ（x）；

②.（6）正态分布与标准正态分布的关系

设X～N（μ,σ），分布函数为F（x），标准正态分布的分布函数为Φ（x），则

①

②

③.Ⅳ.上侧α分位数

（1）定义：设X～N（0,1），若uα满足条件P{X>uα}=α，0<α<1，则称点uα为标准正态分布的上侧α分位数。（2）求法：反查标准正态分布表

随机变量函数的概念：设

是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.设离散型随机变量的分布律为

则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为

但是，若

有相同的情况，则需要合并为一项.连续型随机变量函数的概率密度

定理：设为连续型随机变量，其密度函数为其值域为，且

.记

.设的反函数，则

是严格单调的可导函数，的概率密度为

.两个重要结论：当 时，,且随机变量称为X的标准化。另外，正态随机变量的线性变换，这两个结论十分有用，必须记住

仍是正态随机变量，即aX+b～第三章 多维随机变量及概率分布

设（，）为一个二维随机变量，记为二维随机变量（，）的联合分布函数，或称为（＝

＝

，则称函数

和，称二元函数函数.记函数，）的分布为二维随机变量（，）的两个分量 和 的边缘分布函数.二维随机变量分布函数的性质：

（1）

（2）0，（3）是变量（或）的不减函数；

1，对任意给定的，；

.；对任意给定的，；关于和关于均右连续，即，有（4）对任意给定的二维离散型随机变量

设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（各个可能取值的概率为（＝1，2，„）为（X，Y）的分布律，（），（＝1，2，„），（X，Y）的，＝1，2，„），称（X，Y）分布律的性质

[1]，（＝1，2，„）；

[2]

二维连续型随机变量的概率密度

（1）设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y），若存在非负可积函数使得对任意实数x，y，有量；并称，则称（X，Y）为二维连续型随机变为（X，Y）的概率密度或X与Y的联合密度函数.的性质：

；

（2）概率密度

① 非负；

②

③ 若在 处连续，则有

； ④ 两种二维连续型随机变量分布

（1）均匀分布

①定义：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S＞0，如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为

则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布（或称（X,Y）在D上服从均匀分布），记作（X,Y）～UD。

②两种特殊区域的情况：

ⅰ.D为矩形区域a≤x≤b，c≤y≤d，此时

ⅱ.D为圆形区域，如（X,Y）在以原点为中心，R为半径的圆形区域上服从均匀分布，则（X,Y）概率密度为

二维随机变量的边缘分布

（1）定义：对于连续型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为

（2）求法：它们可由（X,Y）的概率密度f（x，y）求出，P71

定义：设F（x,y），FX（x）和FY（y）分别是二维随机变量（x,y）的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数x，y，有F（x,y）= FX（x）FY（y），则称X与Y相互独立.（2）等价关系：P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}

设（X,Y）为二维连续型随机变量，其概率密度为f（x,y）及关于X和Y的边缘概率密度为和 则X与Y相互独立的充分必要条件是等式

几乎处处成立

P81 两个相互独立且都服从泊松分布（参数分别为 和）的随机变量之和仍服从泊松分布，且具有参数（泊松分布可加性）

求Z=X+Y的概率密度

设（X，Y）为二维连续型随机变量，其密度函数为f（x，y），关于X，Y的边缘概率

分别为fx（x），fY（y），又设X与Y相互独立，求Z=X+Y的概率密度：

这就是二维连续型独立随机变量和的卷积公式

第四章 随机变量的数字特征

离散型随机变量的期望

定义：设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk，k＝1，2，„.若级数（即级数收敛），则定义X的数学期望（简称均值或期望）为三种离散型随机变量的数学期望

① 两点分布

设离散型随机变量X的分布律为

② 二项分布 设X～B（n,p），即③ 泊松分布

（i＝0,1，2，„，n），q=1-p，则E（X）=np.绝对收敛

其中0

设X～P（λ）其分布律为，i＝0，1，2，„，则E（X）= λ.定理4－1 设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk，k＝1，2，„ 令Y=g（X），若级数绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为

连续型随机变量的期望

（1）定义：设连续型随机变量X的概率密度f（x），若广义积分称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为E（X），即（2）三种连续型随机变量的期望

① 均匀分布

绝对收敛，则

.设X～U（a,b），其概率密度为

② 指数分布

，则.设X～E（λ），其概率密度为③ 正态分布

，则.设X～N（μ,σ），其概率密度为 2，-∞

二维随机变量分量的期望

定理4－3：（1）若（X,Y）为离散型随机变量，其分布律为分布律为，则，边缘

说明：也可以先求Y的概率，.（2）若（X,Y）为连续型随机变量，其概率密度与边缘概率密度分别为f（x,y），fX（x），fY（y），则

二维随机变量函数的期望，.定理4－4： 设g（x,y）为二元连续函数，对于二维随机变量（X,Y）的函数Z=g（X,Y），（1）若（X,Y）为离散型随机变量，级数则

；

绝对收敛，则

.绝对收敛，（2）若（X，Y）为连续型随机变量，且积分

期望的性质

（1）常数的期望等于该常数，即E（C）=C，C为常数；

（2）常数与随机变量X乘积的期望等于该常数与随机变量期望的乘积，即E（CX）=CE（X）；

（3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）；

综合性质（2）和（3），则有E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1,C2为常数.一般地，其中Ci为常数.（4）两个相互独立的随机变量的乘积的期望等于随机变量期望的乘积，即若X,Y为相互独立的随机变量，则E（XY）=E（X）E（Y）

4.2节 方差

定义：设随机变量X，且（X-E（X））的期望存在，则称E（X-E（X））为随机变量X 的方差，记为D（X），即D（X）=E（X-E（X））；又称 若离散型随机变量X的分布律为P（X=xk）=pk，k＝1，2，„，则

若连续型随机变量X的概率密度为f（x），则

为随机变量X的标准差...方差计算公式：①D（X）=E（X）-（E（X））即X的方差等于X的期望—X的期望的平方 ② 若离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk，k＝1，2，„，则③若连续型随机变量X的概率密度为f（x），则 常用随机变量的方差

（1）0－1分布

设离散型随机变量X的分布律为

（2）二项分布 设X～B（n,p），即（3）泊松分布

（i＝1，2，„，n），q=1-p，则 D（X）=npq.其中0

..设X～P（λ），其分布律为（4）均匀分布，i＝0，1，2，„，则 D（X）=λ.设X～U（a,b），即概率密度为

（5）指数分布

，则.设X～E（λ），即概率密度为（6）正态分布

，则.设X～N（μ，σ），即概率密度为2，-∞

（1）常数的方差等于零，随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，即

D（C）=0，D（X+C）=D（X）

2.常数与随机变量乘积的方差等于该常数的平方与随机变量方差的乘积，即D（CX）=CD（X）.（3）两个相互独立随机变量之和的方差等于它们方差之和，即若X，Y相互独立，则

D（X+Y）=D（X）+D（Y）

下表是六种常见分布的期望和方差的结果。

4.3 协方差与相关系数

定义：设二维随机变量（X,Y），且E（X），E（Y）存在，如果E[（X-E（X））（Y-E（Y））]存在，则称之为X与Y的协方差，记为cov（X,Y），即cov（X,Y）=E[（X-E（X））（Y-E（Y））].（2）若离散型二维随机变量（X,Y）的分布律为

则.（3）若连续型二维随机变量（X,Y）的概率密度为f（x,y），则

.，（i,j＝1，2，„），（4）计算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）特例：当X=Y时，cov（X,X）=D（X）（5）协方差的性质

① cov（X,Y）=cov（Y,X）； ② cov（aX,bY）=abcov（X,Y），其中a,b为任意常数；

③

④ 若X与Y相互独立，则cov（X,Y）=0.f（x,y）≠fX（x）·fY（y）,知X，Y一定不相互独立。可见Cov（X,Y）=0是X与Y相互独立的必要非充分条件。2.相关系数

（1）定义：若D（X）>0，D（Y）>0，称为X与Y的相关系数，记为，即（2）性质

①

.② 相关系数的绝对值=1的充分必要条件是存在常数a，b，使 P{Y=aX+b}=1且a≠0.（3）不相关定义：若相关系数ρXY=0，则称X与Y不相关.（4）相关系数的意义：两个随机变量的相关系数是它们之间线性关系程度的度量：，表示它们之间存在完全线性关系，即一次函数关系；

ρXY=0，表示它们之间无线性相关关系，但是，不表示它们之间不存在其他相关关系；，表示它们之间存在一定的线性相关关系.若ρXY>0，表示它们之间存在正线性相关关系，即上式中a>0； 若ρXY<0，表示它们之间存在负线性相关关系，即上式中a<0.（5）两个重要结论

① 随机变量X与Y相互独立

X与Y不相关；反之未必.② 若二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，则ρXY=ρ，且二维随机变量（X,Y）的两个分量不相关两个分量相互独立.ρ=0.3.矩、协方差矩阵

kk

（1）矩的定义：设X为随机变量，k为正整数，① 如果E（X）存在，则称E（X）为X的k阶原点矩，记为vk=E（X）；② 如果X的k阶中心矩，记为

＝

.k

存在，则称 为（2）两种随机变量的矩

① 离散型随机变量的矩：若离散型随机变量X的分布律为P{X=xi}=pi，i＝1，2，„，则，②连续型随机变量的矩：若连续型随机变量的概率密度为，则，.显然，一阶原点矩是期望，二阶中心矩是方差.（3）混合矩定义：设X，Y为随机变量，① 若为X和Y的阶混合原点矩；②若

（k,l＝1，2，„）存在，则称其

存在，则称其为X和Y的阶混合中心矩.显然，协方差是二阶混合中心矩.（4）协方差矩阵

① 二维随机变量的协方差矩阵定义：设二维随机变量（X1,X2）的4个二阶中心矩为

C11=E[X1-E（X1）]=cov（X1 ,X1）=D（X1），C12=E[（X1-E（X1））（X2-E（X2））] =cov（X1 ,X2），C21=E[（X2-E（X2））（X1-E（X1））] =cov（X2 ,X1），

2C22=E[（X2-E（X2））] =cov（X2 ,X2）= D（X2），则称矩阵

为二维随机变量（X1,X2）的协方差矩阵.② n维随机变量（X1,X2,„,Xn）的协方差矩阵定义：设n维随机变量（X1,X2,„,Xn）的二阶中心矩为矩阵

（i,j＝1，2，„，n），则称为维随机变量（X1,X2,„,Xn）的协方差矩阵.第五章 大数定律及中心极限定理

切比雪夫不等式定理：设随机变量X的期望E（X）及方差D（X）存在，则对任意小正数

ε＞0，有 因为事件

与事件

是对立事件，所以 贝努利大数定律

定理：设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A的概率，则对于任意正数ε，有

独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律

定理：设X1, X2，„，Xn，„是独立同分布随机变量序列，E（Xi）=μ，D（Xi）=σ，（i

2＝1，2，„）均存在，则对于任意ε＞0有

独立同分布随机变量序列的中心极限定理

定理：设X1, X2，„，Xn，„是独立同分布随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ，（i＝1，2，„）均存在；再设随机变量 2的分布函数为F（，则对任意实数x有nx）其中Φ（x）为标准正态分布函数 两个结论

① 定理说明，当n充分大时，不论独立同分布随机变量服从什么分布，其和近似服从正态分布；

② 定理说明：当n充分大时，不论独立同分布随机变量服从什么分布，其平均值

棣莫弗-拉普拉斯D－L中心极限定理

定理：设随机变量Zn是独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任意实数x有，其中q=1-p，Φ（x）为标准正态分布函数.由D-L定理得到 计算公式

两个结论：

①当n充分大时，②当n充分大时，；

第六章 统计量及其抽样分布

统计量与抽样分布

定义：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，若样本函数T=T（x1, x2，„，xn）中不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布.2.经验分布函数 定义：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，总体X的分布函数为F（x），若将样本观察值x1, x2，„，xn按由小到大排列为x（1），x（2），„，x（n），则称之为有序样本；用有序样本定义函数，k＝1，2，„，n-1，则称Fn（x）为经验分布函数.显然，Fn（x）是一个非减右连续函数，且满足Fn（-∞）=0，Fn（+∞）=1 样本均值及其抽样分布

（1）样本均值的定义：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，其算术平均值称为样本均值，一般记为，即.在将样本分为k组的情况下，样本均值的计算公式为

fi为第i组的频数.样本均值的性质，其中，k为组数，xi为第i组的组中值，① 若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即

② 偏差平方和最小，即对任意常数c，函数样本均值的抽样分布，当时取得最小值.定理：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，为样本均值，（1）若X～N（μ，σ），则的精确分布为

22（2）若总体X的分布未知或不是正态分布，且E（X）= μ，D（X）= σ，则当样本容量n较大时，的渐近分布为样本方差与样本标准差

.这里的渐近分布是指n较大时的近似分布。

（1）定义：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，则它关于的平均偏差平方和

称为样本方差；其算术根称为样本标准差.在上面的定义中，称为样本偏差平方和，它有3个不同的表达式：

＝

样本均值的数学期望和方差, 以及样本方差的期望

定理：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，具有二阶矩，即E（X）= μ，D（X）= σ，和

2s分别为样本的均值和方差，则2，E（s）=σ此定理表明，样本均值

22的均值与总体均值相同，而样本均值的方差是总体方差的1/n.样本矩及其函数

定义：设x1, x2，„，xn为总体X的样本，则称统计量为样本k阶原点矩；

称统计量2

为样本k阶中心矩.样本均值是样本一阶原点矩，但本书中样本

表示，以示区别 方差s不是样本k阶中心矩，而用顺序统计量

定义：设总体X的分布函数为F（x），分布密度为f（x），样本为x1, x2，„，xn，则称 x（1）=min{x1, x2，„，xn}和x（n）=max{x1, x2，„，xn}为此样本的极小顺序统计量和极大顺序统计量

定理：设总体X的分布函数为F（x），分布密度为f（x），样本为x1, x2，„，xn，x（1），x（n）为样本的极小、极大顺序统计量，则x

（1）的分布密度为f1（x）=n（1-F（x））

n-1f（x），x（n）的分布密度为fn（x）=nFn-1（x）f（x）

正态总体的抽样分布（1）分布

① 定义：设X1, X2，„，Xn为相互独立且服从同分布N（0,1）的随机变量，则统计量的分布称为自由度为n的分布，记为

.②

求法：反查（2）F分布 分布的α分位点：当随机变量的分布表

时，对给定的α∈（0，1），称满足

分布的α分位点.为自由度为n的① 定义：设X1，X2相互独立，且，则称的分布为自由度为m与n的F分布，记为F～F（m,n）, 其中m称为分子自由度，n称为分母自由度.② F分布的α分位点：当随机变量F～F（m,n）时，对给定的α∈（0，1），称满足

P{F>Fα（m,n）}= α 的Fα（m,n）为自由度为m与n的F分布的α分位点.③ F分布的α分位点的性质：若F～F（m,n），则1/F～F（n,m）.从这个性质可以推出

④ 求法：当α较小时，分位点Fα（m,n）可直接从附表5中查得，而分位点F1-α（m,n）可通过上式查得（3）t分布

① 定义：设X1，X2相互独立，且X1～N（0,1），为自由度为n的t分布，记为t～t（n），则称的分布

② t分布的α分位点：当随机变量t～t（n）时，对给定的α∈（0，1），称满足 P{t>tα（n）}= α的tα（n）为自由度为n的t分布的α分位点.③ t分布α分位点的性质：由于t分布的密度函数关于0对称，则有t1-α（n）=-t α（n）.④ 求法：同上

（4）一些重要结论

定理：设x1, x2，„，xn是来自正态总体N（μ，σ）样本，其样本均值与方差分别为

和，则有 ①与s相互独立；

②；

③.（推论6－1）

推理6－2 设x1, x2，„，xm是来自的样本，y1, y2，„，yn是来自的样本，记，其中，则有；特别的，若，则 推理6－3 在推理6－2的条件下，设，并记

则

第七章 参数估计

点估计的两种常用方法

（1）替换原理和矩法估计

① 替换原理：替换原理常指如下两句话：一是：用样本矩替换总体矩；二是：用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数.② 矩估计的方法：根据替换原理，用样本矩或样本矩的函数对总体的矩或矩的函数进行估计。例如： 用样本均值估计总体均值E（X），即用样本二阶中心矩估计总体方差，即；

；

用事件A的频率估计事件A的概率等 极大似然估计

设总体的概率函数为p（x,θ），是参数θ，其中θ是一个未知参数或未知参数向量，的取值范围，x1,x2,„xn是该总体的样本，将样本联合概率函数记为，简记为存在统计量，使得

则称为样本的似然函数.如果，则称为θ的极大似然估计 计算方法：

① 构造似然函数；② 求似然函数的对数.由于似然函数是以乘积形式构成，对数函数是的单调增加函数，则似然函数的对数与其有相同的极值点，所以在求导数之前先求似然函数的对数；③ 用导数求似然函数对数的极值，得极大似然估计值

分别给出离散型随机变量和连续型随机变量的极大似然估计求未知参数 的估计 的步骤

（一）离散型随机变量

第一步，从总体X取出样本x1,x2,„,xn 第二步，构造似然函数

L（x1,x2,„,xn，）＝P（X＝x1）P（X＝x2）„P（X＝xn）第三步，计算ln L（x1,x2,„,xn，）并化简 第四步，当＝时ln L（x1,x2,„,xn，）取最大值则取＝ 常用方法是微积分求最值的方法。

（二）连续型随机变量

若X～f（x,）

第一步 从总体X取出样本x1,x2,„,xn 第二步 构造似然函数

L（x1,x2,„,xn，）＝f（x1，）f（x2，）„f（xn，）第三步 计算ln L（x1,x2,„,xn，）并化简

第四步 当＝时ln L（x1,x2,„,xn，）取最大值则取＝ 常用方法是微积分求最值的方法

二项分布：设总体X～B（1，P）即

抽样x1,x2,„,xn，问最大似然法求

设P（A）＝，从总体X中

是最大点 ∴取

例抽样n次A发生m次，则在x1，x2„xn中有m个1，其余为0，∴设总体X服从泊松分布p（），求的极大似然估计；

p（X=k）=解得的极大似然估计易知的矩估计亦为

设总体X服从指数分布E（），求的极大似然估计

X～E（）∴

设，即从中取样x1，x2„xn，试用最大似然法求

若,从中抽样x1，x2„xn，试用最大似然估计法求：，驻点，的极大似然估计为，给出的极大似然估计

极大似然估计的一个简单而有用的性质：若是θ的极大似然估计，则对任一θ的函数

g（θ）, 它的极大似然估计为相合性 定义：设为未知参数，这就是极大似然估计的不变性。

是θ的一个估计量，n是样本容量，若对

，则称

为参数θ的相合估计 任何ε>0，有

是μ的相合估计； 是σ的相合估计；

也是σ的相合估计。

2相合性判定定理：设，则称无偏性 定义：设

是θ

为参数θ的相合估计.的一个估计量，若，是θ的一个估计，θ的参数空间为，若对任意，有，则称为θ的无偏估计；否则称为有偏估计.解释：无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差.几个有用的结论 ①是的无偏估计 ②

即

是σ的渐进无偏估计；③s是σ的无偏估计；

不是gθ的无偏估计.2

2④ 若为θ的无偏估计，一般地，除gθ是θ的线性函数外，所以，无偏性没有不变性。

有效性 定义：设一个，是θ的两个无偏估计，如果对任意的比

有效.有，且至少有使上式的不等号严格成立，则称解释：这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。7.3 参数的区间估计

点估价的两点不足：① 很难准确；② 没有用数量表示的可信度。为此，引入区间估计 置信区间的定义：设θ为总体的未知参数，是由样本x1，x2，„，xn给出的两个统计量，若对于给定的概率1－α（0<α<1），有，则随机区间[称为置信下限，称为置信上限.]称为参数θ的置信度为1－α的置信区间，（3）解释：参数θ落入区间[]的概率为1－α

（4）置信度与精度的关系

① 在样本容量固定的条件下，置信度增大，将引起置信区间长度增大，使区间估计的精度降低；置信度减小，将引起置信区间长度减小，使区间估计的精度提高；

② 在置信度固定不变的条件下，样本容量增大，将引起置信区间长度减小，区间估计的精度提高；反之，精度降低.步骤：① 选取合适的估计函数；② 根据置信度查表求上置信区间公式，求出置信区间.分位点；③ 根据样本及相应的单正态总体参数的置信区间： 设总体X～N（μ，σ），x1，x2，„，xn为其样本.2（1）σ已知时，μ的置信度为1－α的区间估计（2）σ未知时，μ的置信度为1－α的区间估计

.选择统计量～，得到μ的置信度为1－α的置信区间为，其中，是σ的无偏估计

23.μ未知，σ的置信区间 2

.第八章 假设检验

统计假设检验中的一些基本概念

（1）参数检验与非参数检验

如果需要检验的量仅仅涉及总体分布的未知参数，则称之为参数检验.这是本章讲解的主要内容；如果涉及分布函数形式等时，则称之为非参数检验.（2）原假设与备择假设

引例中的假设H0，即正常情况下放弃H0是小概率事件，则称H0为原假设或零假设；

与之相对立的是假设H1，称之为备择假设.两个假设有且仅有一个为真.（3）检验统计量

引例中的，称为检验统计量.对样本数据进行加工并用来判断是否接受原假设的统计量称为检验统计量.检验统计量应满足：①必须与统计假设有关；②当H0为真时，检验统计量的分布是已知的.（4）显著水平

假设检验的基本理论根据是小概率原理，即小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，根据这一原理，如果小概率事件不发生，则接受原假设，否则拒绝原假设。那么，确定多大范围算作小概率呢？选择一个小数α（0<α<1）作为标准，通常取0.05,0.01等，称之为显著水平，所以，假设检验问题要规定一个显著水平α.（5）接受域与拒绝域

应用检验统计量及其分布和显著水平，可以求出小概率事件发生和不发生的临界值，即引例中的.此数值将统计量可能取值划分为两部分，一部分是原假设成立的取值范围，称为接受域；另一部分是使小概率事件发生的统计量取值范围，即拒绝原假设的范围，称为拒绝域，本书用W表示.3.假设检验中的两类错误

第一类错误是：在H0为真的情况下，样本值落入拒绝域W，因而拒绝H0.这种错误也称为“拒真”错误，犯这类错误的概率是α.第二类错误是：在H0为不真的情况下，样本值落入接受域，因而接受H0.这种错误也称为“取伪”错误，犯这类错误的概率是β.（2）如何减小犯错误的可能？

①犯两类错误的概率是相互关联的.当样本容量n固定时，犯一类错误的概率的减小将导致犯另一类错误的概率增加.②要同时降低犯两类错误的概率，只有增大样本容量n.在实际使用中，只能采取折中方案.一般地，先控制α值，再尽可能减少β值，并把这一检验方法称为显著性水平为α的显著性检验，简称水平为α的检验.4.假设检验的基本步骤（1）提出假设：根据实际问题提出原假设H0和备择假设H1，要求H0与H1有且仅有一个为真.（2）选统计量：选择适当的检验统计量，并在原假设H0成立的条件下确定该检验统计量的分布.（3）求拒绝域：根据给定的显著水平α，查检验统计量的分布表，求出对应于α的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W.（4）作出决策：计算样本的统计量的值，若落入拒绝域W，则认为H0不真，拒绝H0，接受备择假设H1；否则，接受H0.1.u检验（在其他书上也称Z检验）

（1）单正态总体，方差已知，均值的检验(小样本情况下)

22设x1，x2，„，xn为正态总体N（μ，σ）的一个样本，σ已知，欲检验假设H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，其中，μ0为已知数.可选择统计量，并且，在H0成立的条件下，u～N（0，1）.当给定的显著水平为α时，查标准正态分布表求得临界值绝域

.，从而得到拒（2）双正态总体，方差已知，均值差的检验(小样本情况下)

设总体X～，Y～，其中，已知，又x1，x2，„，xm和y1，y2，„，yn分别为X和Y的样本，且相互独立.欲检验 H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.～.当给定的显著水平为α时，查标准正态分布表求得临界值

.，从而得到拒绝域

（1）（2）由样本观察值计算统计量u的观察值，若此数值落入拒绝域W内，则作出拒绝H0的决策，否则，接受H0.2.t检验

（1）单正态总体，方差未知，均值的检验

22设x1，x2，„，xn为正态总体N（μ，σ）的一个样本，σ未知，欲检验假设 H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0.其中，μ0为已知数.2222由于σ未知，不能应用u检验.但是，由点估计知，s是σ的无偏估计，考虑用s代替σ，构造新的检验统计量 2

.当给定的显著水平为α时，查t分布表求得临界值

.，从而得到拒绝域

由样本观察值计算统计量t的观察值，若此数值落入拒绝域W内，则作出拒绝H0的决策，否则，接受H0.（2）双正态总体，方差未知，均值差的检验

设总体X～Y的样本，且相互独立.① 方差未知，但

.欲检验H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.构造如下检验统，Y～，x1，x2，„，xm和y1，y1，„，yn分别为X和计量

著水平为α时，查t分布表求得临界值

～，从而得到拒绝域..当给定的显

由样本观察值计算统计量t的观察值，若此数值落入拒绝域W内，则作出拒绝H0的决策，否则，接受H0.（2）方差未知，但m=n（配对问题）.欲检验

H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.令 Zi=Xi-Yi，i＝1，2，„，n，由正态分布的可加性，Zi也服从正态分布总体的样本，则有

E（Zi）=E（Xi-Yi）=μ1-μ2=d，2，上式中所设的d，σ均未知，但所设的假设等价于下述假设：H0：d=0，H1：d≠0.可构造检验统计量，其中，.在H0为真，从而得到时，t～t（n-1）.当给定的显著水平为α时，查t分布表求得临界值拒绝域

.由样本观察值计算统计量t的观察值，若此数值落入拒绝域W内，则作出拒绝H0的决策，否则，接受H0.1.检验

单正态总体，均值未知，方差的检验

设x1，x2，„，xn为正态总体N（μ，σ）的一个样本，μ未知，欲检验假设

HO：，H1：，其中，为已知数.由点估计知，s是σ的无偏估计，2

2即当HO为真时，s应该在σ附近波动，则22

应该在1附近波动；如果的值与1相比过大或过小，都应否定HO，因此构造检验统计量.由§6.3定理可知，当HO为真时，～.当给定的显著水平为α时，查 分布表求得临界值

.与，从而得拒绝域

由样本观察值计算统计量策，否则，接受HO.2.F检验

双正态总体，均值未知，方差是否相等的检验

设总体X～，Y～

：的观察值，若此数值落入拒绝域W内，则作出拒绝HO的决，x1，x2，„，xm和y，y2，„，yn分别为X和Y，：

.由于

和

分别为

和的样本，且相互独立.欲检验假设的无偏估计，当HO为真时，由§6.3定理的推论6－4可得到检验统计量，当HO为真时

.当给定的显著水平为α时，查F分布表求得临界值与，从而得拒绝域.由样本观察值计算统计量F的观察值，若此数值落入拒绝域W内，则作出拒绝HO的决策，否则，接受HO.下面，讨论单边检验问题.（1）单正态总体，方差已知，均值μ的单边检验

设x1，x2，„，xn为正态总体X～N（μ，σ）的一个样本，σ已知，欲检验假设

HO：μ≤μO，H1：μ>μO，其中，μO为已知数.由于是μ的无偏估计，故当HO为真时，不应过大，若u过大，应拒绝HO，即，uα待定.根据前面讲过的内容知，～，故待定数值，即临界值uα应满足

，其中，α为显著水平，O<α<1.显然，uα是标准正态分布的上，+∞）.α分位点，通过查标准正态分布表求得，从而得到拒绝域 W=（类似地，对于单边假设检验问题： H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0，仍取计量，得到拒绝域为 W=（-∞，）.为检验统（2）对于单正态总体，方差未知的情况。

设x1，x2，„，xn为正态总体X～N（μ，σ）的一个样本，σ未知，欲检验假设

H0：，H1：

及 H0：，H1：，其中，为已知数.仍选择检验统计量～，分别得到拒绝域 及.（3）两个正态总体方差未知的情况。假设检验见表8－4.第九章 回归分析，这就是Y与x之间的线性关系经验公式.我们称此式为Y关于x的一元线性回归方程，称此方程的直线为回归直线，称线的截距

为回归系数，称

为回归常数，它是回归直

则有

其中，.若引进记号，容易验证，β0，β1的最小二乘估计

（i），；，有如下性质：

（ii），.由此结果知

，.

第二篇：概率论与数理统计复习重点

概率论与数理统计复习重点

第一章：概率的性质（尤其两个事件的和，差公式和对立事件公式，独立和互不相容的关系），全概率公式和贝叶斯公式（大题），独立性。

第二章：离散型随机变量的分布律的性质，；连续性随机变量的概率密度的性质，分布函数的性质，随机变量的函数的分布（大题）。

第三章：给定联合概率密度求未知参数，求边缘概率密度，判断独立性，求落在某区域内的概率（大题）。独立的正态分布的线性组合仍然服从正态分布。

第四章：期望的性质，方差的性质，协方差和相关系数的性质，独立不相关的关系，六个基本分布的期望方差，切比雪夫不等式做估计，离散型二维分布求相关系数（大题）。

第五章：中心极限定理近似计算（Laplace中心极限定理）（大题）

第六章：三个抽样分布的构造，正态总体均值和方差的分布

第七章：点估计（尤其矩估计）（大题），单个正态总体均值的区间估计（大题），估计量的评选标准（无偏性，有效性）

第八章：区分第一类、第二类错误，单个正态总体均值的假设检验（大题）。

第三篇：概率论与数理统计

概率论与数理统计，运筹学，计算数学，统计学，还有新增的应用数学，每个学校情况不太一样，每个导师研究的方向也不太一样。看你报的哪个学校了~~ 赞同

数学的方向还是比较多的，比如金融，计算机，理科的方向 赞同

参看08年该校硕士招生简章中的专业目录及参考书目，先做到心里有数 09年的在08年7、8月份才能出 每年新的招生简章都是在上一年的研究生招生录取工作结束之后才能公布的 所以不要急 最早也要等到7月份 现在不要急 先按照08的看 一般两三年之内不会有什么变化 即使有 也是在原有基础上 增加或改动一两本参考书的版本 不会有实质性的变动 而且 你如果现在就开始准备考研复习那就算比较早的了 一般从暑假开始复习就可以的 所以这个时期是基础段复习可把精力主要放在英语上 强化英语考研词汇是非常必要的 至于专业课 可以先按08的指定参考书初步复习等新的招生简章出来 再进行有针对性地复习不用担心万一改动了我会不会白白看了 以一个过来人的经验 知识储备的越多越好 名校的试题往往不局限于指定参考书的范围（楼主既然这么问了，这要好好慢慢的回答）

建议楼主考清华的经济学研究生，清华的工科类要强于北大（个人意见）；2，清华现在要考考A版的数学对你的有点好处，但影响不大，复试对你有利。3，清华的专业课考的难都因人而异，初试复试考一样的专业课,包括金融学（含国际金融、证券投资、投资市场、保险精算等，本专业所招人数最多）、国际经贸（研究生阶段叫做世界经济）、西方经济学、财政学、政治经济学专业;报考时可以随意报考自己喜欢的专业，录取时先全院统一录取（按分数高低），再按分数与志愿选择；专业课考的不是很难；（建议楼主去看下金融学基础，复旦大学出版社简称白皮书，或许对你有帮助）4，清华经济就业形势就目前环境下就业非常棒，中国才处于开始阶段，每年毕业生到各大银行、金融机构、保险机构、证券公司、财政货币机关、国家机关及高校任职，待遇非常之高！

网站，你可以试试去这里看看。在页面中部的对话框输入学校或专业就可以任意查。在这里，你还可以查到任意学校的招生简章，复习指导，网上报名及其它重要信息。全国各校公布分数线的时间也在这里最早发布。你可以试试，相信不会让你失望。。

因你是转专业，再给你一点个人建议吧

一、慎重选择：不要轻易下决定

不断地学习不同领域的知识，是所有有求知欲的人们的美好愿望，然而，这同样会成为朝三暮四的借口。

其实，很多考研人本来就存有逃避现实社会的压力，而选择继续呆在学校的心理;而在跨专业考研的人中，更有许多人根本就没有好好学过原来的专业，甚至从没认真考虑过是否自己适合它，只为了逃避，才选个看起来容易的专业去考。

如果是这样，请先停下来想想自己到底想要什么再说。因为一颗对待生活从不认真的心，是不会因为换了个专业就能有起色的。

如果不是这样，那么，也请三思。就因为一直认真，这次更要谨慎。

首先，考研复习将是艰巨的历程。隔行如隔山——这句古谚将贯穿之后的整个求学过程。自己原来的专业，再不济也学了三四年，耳濡目染，基础知识一定比没学过的扎实，细节也许没钻研，但大的格局和概念、思维方式是存在于脑海中的，即使是每次考前一个月的突击，突击了四年，也不是没有用的。这就是本专业对于外专业的一大优势。反过来，即是跨专业者相对于本专业者的劣势。

复习的时候，要花更多的时间在专业课上，使得基础课很容易就被搁置了，而任何一科的掉队，都会影响整个复习过程的心态和考试结果。

其次，备考中可能出现意想不到的困难。

不熟悉专业试题的答题惯例，会莫名其妙丢掉不该丢的分。而且，笔试通过了，复试中存在的不确定性因素，使跨专业者总是难以拥有“尽在掌握”的自信，而它确实也是难以“尽在掌握”的。

最后，也是最重要的，考上之后三年的研究生生活。

不管是面对基本功扎实的同学们，还是面对有一定要求和标准的导师，还是面对也许让自己一时找不到坐标点的新求学生涯——如何给自己定位，如何重拾自信，如何建立对新专业的“新感情”，如何规划以后的职业和人生，这都是需要付出比别人更多心力去克服的问题。所以，是否要转变方向，换一个专业，需要尖锐严格地审视自身，而不是盲目跟风，可以考虑以下几点：

是否真正热爱将要为之付出心血的新专业?

长远来看，这个新领域是否有自己的天赋和性格发挥的空间?

是否可以肯定学习三年之后真能丰富完善自己的知识结构，而不是剃头担子两头塌?最后也是最基本最当前的问题：基础课是否有自身优势?没有优势怎么拨得出更多的时间给专业课的复习?

二、审时度势：了解自己，踏实去做

经过了自我的拷问，还坚定地要跨专业考研的朋友——相信你一定是个头脑清醒、梦想坚定的人。

在此，我们不得不再次强调跨专业考研的理由和标准：第一，热爱;第二，基于对自身才智和优势短处进行全面评估而做出的决定;第三，要自信，更要不怕苦不怕累。

可以举个例子。一个在学校并非不认真对待自己学业的考研人，在经过四年的学习之后，发现仍然不喜欢自己所学的数学专业，而爱好文史哲。如果基础课英语政治还不错，那么他就具备了考虑跨专业考研的最低要求。那么，接下来怎么确定专业呢?首先，看爱好。对新闻传播、考古、文学皆有兴趣，怎么办?一个一个排除。对于新闻，多搜集资料，看作为一个新闻工作者需要什么样的素质，比如，敏锐的新闻感、强烈的争取和参与意识、健康的身体。直面自己的优缺点，如果有敏锐的新闻感，却没有强烈的争取和参与意识，甚至都无法面对需要长时间的工作强度，那么放弃。对于考古，作同样评估;另外，如果这时你的父母亲反对你的考古梦想，请把他们的忧虑考虑进去，一意孤行并不可取，要考虑到家庭的实际情况;并且，父母也是了解你的人，他们对你的性格、天分其实很了解。那么如果你认为父母意见的可接受性大过你对于考古的热忱，考古这一项，也被划去。最后剩下文学，如果经过一系列评估，觉得可行，那么它之下还有很多专业细分，是中国文学还是世界、比较文学，是古代文学还是现当代文学?要根据自己平时看书的偏好、积累的多少、考试试题能否应付等等内在和外在的因素来决定。这些将和下一部分联系起来谈。

这只是一个例子，跨专业的方向转变五花八门，几页纸不可能描述详尽，我们只能通过这个例子，了解一下需要考虑和平衡的各方面因素。

当然，请牢记，内心的热爱和对自己学习能力的自信在选择中最为重要。有了这两点，相

信你的选择会是对你而言最好的选择。这将是一个美丽的决定，决定之后，一定有云开见日的感觉。方向确定了，就朝着那儿毫不回头地走吧。

三、报考准备：眼观六路，耳听八方

让我们直接进入主题。

第一，细分专业和学校，确定报考目标。一定要看自己喜欢哪个城市，既然想借助这次的考研改变现状开始一段新的求学历程，一直想去哪个(或哪些)城市念书就不要将就。圈出大致范围，再找到那里学校的招生简章、专业招生表——网上查找或动用一切关系。特别要注意的是，你有意向的专业是否拒绝跨专业考生。在进行认真细致的对比之下确定两到三个你想去的名校和你喜欢的专业。这一步可以和前面确定城市同时进行，每个人情况不同，自行制定每一步适合自己的计划是必要的，而且能从中得到极大的充实感，总之，它让我们感到：一切都在自己的控制之下。

然后，尽可能地多找一些这几个可选学校可选专业的历年试题，仔细研究，看看哪一类的试题自己更有把握。这一步至关重要，这一步不可省略也不可推后，它将直接影响到以后的考试发挥。经过这一步，学校和细分专业几乎都能定下来了。

这一阶段什么时候进行呢?越早越好。我们不提倡把战线拉得太长，真正有效的复习从4月到次年1月足矣;然而跨专业不同，需要“酝酿”。可以不用过早开始真正的复习，但至少要比别人早两个月到半年开始寻找学校、涉猎与新专业相关的期刊、书籍、寻找对于新专业的亲近感和对于新学校新未来的向往感——这是真正复习开始的前站，用这段时间弥补跨专业的不足，在真正的战役打响时，我们将更加坚定更有信心。

第二，专业课教材到位。前面把工作真正做到细致，4月份到5月份一定要定下最终要考的学校和专业。定下之后，就要相信自己的判断，不要犹疑，快去买专业课教材!按照学校列出的书目买全专业课教材，还要找出一两个能帮上忙师兄师姐、找同学、找亲戚，甚至找网友去打听没有列出的那些。

这里有两个问题：买书和找师兄师姐——自己能买到的书，尽量自己去买，有学校可以邮购，有书店可以搜寻，再不行，去图书馆系统或网上找出这本书的出版社，找到出版社电话，打电话、汇款去邮购。不要一开始就事事麻烦别人，自己能解决的自己找渠道解决。后面有更重要的事去麻烦他们。实在不行了，去找师兄师姐，最重要的是问题要明确。随便说：“我要考你们学校某专业，请帮助我”是没用的。要明确说出你的具体问题，要考哪些书，重点看哪些泛读看哪些，打听到哪里能买到自己却没办法，请他们帮忙——听到这么明确的问题，人人都会乐意帮忙。6月底之前，主要的专业课教材一定要到位。

第三，复习时要注意的问题。

首先，基础课不能偏废。前面说了，基础课要有一定把握，才可能跨专业考研，否则到关键时刻就会感到分身乏术。在主攻专业课时，基础课一天都不能停。可以用早晨、吃午饭前、吃晚饭前以及睡觉前的时间去复习英语：阅读、单词、听力，一个都不能少。如果每天坚持，就是这些边边角角的时间都足够英语的复习准备。政治也一样，最好报一个秋季班，几个月上下来，有老师领着复习，比自己摸索更有效率，大致的知识脉络也会清晰起来了。请相信自己，从初中就开始学的这门课，不会差到哪里去，但也要在心里培养对它的兴趣，一讨厌它、搁置一段日子，一切都晚了;反过来，每天花两个小时，只要坚持，就会既轻松又有成就感。

跨专业考生往往把一腔热情放在专业课上，有意无意地就偏废了基础课，等发觉时间紧迫的时候，回头一看基础课落下一大截，这会大大影响后面冲刺和考试的信心。

其次，专业课复习。11月份报名之前一定要把专业书踏踏实实至少细读一遍。这一遍不要欺骗自己，质量至上，一定要全部弄通弄懂。这样在后面的两个月才会更有底。

笔记一定要做。当11月报名时间来临时，你会发现越来越多的人们讨论起复习进度。那时候本专业考生和别的跨专业考生所做的准备和进度会让你大惊失色——有那么多人准备得那么好!本来就对不熟悉的专业容易产生的“心虚”这个时候会更加强烈，那么回过头总结一下自己的成果，只有实实在在密密麻麻的几本笔记会成为自己的强心剂，数数看，几本笔记，七八万字是少不了的。加上政治英语，你会为自己所做的上10万字的笔记而惊讶的。这是积聚信心、抬头挺胸的重要来源。

四、全力复习：坚持到底，毫不畏惧

首先，研究历年试题，自己划重点。历年试题非常非常重要，报名之前即11月初，一定要把学校相关专业的历年试题弄到手。这需要积极调动网络资源，自己能下载的下载，能买到的去买，最后一招：求助师兄师姐。这时提出的请求也一样要尽可能明确。有一个女生，考某大学某专业，通过同学的同学的姐姐，找到一位师姐，打电话给她：“我知道你们学校图书馆五楼的阅览室有历年试题的专柜，可以借出来复印。请帮忙复印某年到某年某专业的„„”该师姐大惊：“我都不知道有这样一个地方，你怎么知道的?”这个女生慢慢说来，怎么从网上找到该学校专栏讨论、怎么了解到的，师姐大开眼界，兴趣高涨，帮她把相关专业能找到的试题全都复印一通寄去。

接下来就是更仔细地研究试题。只需要一个晚上时间，把历年试题全都摆在桌面，总结规律和重点难点，老师出题的习惯等等。借此可以划出下一步复习的重点(甚至是考试的重点)，不再一律通读，而是有头脑的、有目标的复习。不要怕系内老师改朝换代，再改也有一脉相承的科研风格，掌握了大体，以不变应万变。

划完重点，一股“运筹帷幄”的气势油然而生，趁着这股气势，投入到更深入的复习中去，一定事半功倍。

其次，为考试做准备，掌握专业答题习惯。在剩下的两个月当中，一定要找点时间去学校的自己要考的专业宿舍混混，目的是了解专业答题有什么惯例、有什么特殊要求和需要注意的地方。随便哪个学校都行，自己方便找的、正规的大学就可以;当然，方便的话，最佳选择就是所考学校研一同专业学生宿舍，这样就不仅了解试题情况，还可以挖掘更多这两个月应该注意的问题。

考试的时候，和复习中所强调的一样——一定要自信。要相信自己经过了周密的计划、万全的准备。拿到试卷的时候，要像热爱专业书籍一样热爱它们，冷静的头脑，热情的心灵，一定战无不胜。

最后，就是复试了。关于导师是否要找，各有各的说法，能找到最好，没找过的也不用惴惴不安。相信自己最重要。

其实接到复试通知书的时候，一般都没有更多时间去扩展知识面了，这些是最初就应该做的。这时候跨专业考生常常担心自己的基础不够，再次心虚。那么与其瞎抓一把，不如把以前看过的书拿出来再翻一遍，总有用得上的，做生不如做熟。对于某些领域的熟悉或精通，比泛泛而谈更能显出自己的特色。用真诚的微笑和哪怕是使劲鼓才能鼓起的信心和勇气，去直面导师。好歹经过这一年的学习，我们也算复合型人才了，怕什么!

说到这里，整个过程看起来完了——其实没有!拿到录取通知书的时候，是一个开始。

进入研究生阶段的学习，是一个更自主、更专业的学习过程，跨专业学生一踏入这片天地，肯定会受到冲击。不熟悉的领域，老师觉得应该是常识自己却闻所未闻的知识，难以找到的新生活定位„„这些都要有心理准备。建议在5月到8月这段天堂般的生活中也不要忘记看看与专业相关的书籍(并非专业课本)，继续打基础，进入研究生生活根本没有时间给你去打基础。

总之，对于勇敢的考研人，继续用韧性和信心，在开学前调养好身心，并不放弃不断学习的好习惯，为进入一个新的求学生涯做好准备，都是必要的。相信这样贯穿始终的准备，一定会迎来新的局面，实现挑战人生充实自己的梦想。对生活认真，生活也会认真地回报你。要相信，要坚持。

第四篇：概率论与数理统计

《概率论与数理统计》公共基础课教学实践

1012502-31 汤建波

概率与数理统计在现实的牛产和生活中有着广泛的应用，因此，《概率论与数理统计》作为公共课是很多专业所必修的。但是，由于这门课的学习方法与《微积分》《线性代数》等其他课程有着极大的差异，很多学生在学习过程中感到难以把握概念与理论，在遇到问题时不知如何人手。因此，笔者在总结这几年教学实践的基础上，提出以下思考。

一、适度引入案例。形成生动教学及启发性教学

概率论源于博弈，是赌博中的很多问题催生了概率论这门数学学科。在开课伊始，教师就适度引入触发概率论的一些问题，如“De．mere”问题，“分赌金问题”等等，使学生在故事中不仅得到r课本里所没有的历史知识，而且无形中可以提高学习兴趣，消弭一部分同学的畏难情绪。另外，再在随后的教学过程中引入“彩票中奖问题”“蒙特卡罗法求订法”“保险付赔问题”等等，引导学生了解、探索这门学科在现实中的应用，使学乍实现由知识向能力的转化，从而增强学，F利用概率统计解决实际问题的“欲望”，促使他们更好地认识现实世界。

概念是概率课程中最基本的内容，对概念的理解程度直接影响学生对这门课程的学习与掌握程度。在教学中，应尽量从实际问题入手，先提出问题，接着在问题的分析和解决中抽象出概念，让学生清楚概念的来龙去脉，而不是硬性给出定义，让学生死记硬背。例如，在讲述“事件”这个定义时，引入“卫瞿嫦娥二号将于2010年10月1日发射”这一现实中的“事件”在概率论中应该是“实验”，而其结果“发射成功”才能算是概率论所定义的“事件”，这样，在区别现实的“事件”与概率论所研究的“事件”基础上，学生加深了对“事件”这一定义的理解。在阐明相互独立和互不相容之间的区别有P(A)>0，P(B)>0时，A、B相瓦独屯与互不相容是不能同时成立的，直观上可以这样解释：相互独立意味这

4、B其中一方发生与否并不影响另一方的发生，而互不相容意味着A、B只要其中一方发生了，另一方就一定不发生，所以这两个关系不能同时存在。从公式上解释是：P(A)>0，P(B)>0且A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，而如果A、B互不相容，则P(AB)=P(西)=0。但是只要有一方的概率为0，如，如果A=西，则A与B既相互独立又互不相容，因为此时P(AB)=P(A)P(B)=0。综上所述，相互独立与互不相容并没有必然的联系。

而在区别“不相关”与“相互独立”的区别时，可以通过举例得知J]|f、y不相关不一定就独立，因为X、l，之间有可能存在其他的函数关系，但是存在函数关系的随机变量是否就不独立了呢？答案是未必，例子如下：

考察随机变量X、l，和Z：假定x与l，独立月．都服从参数为P的(0—1)分布，令z为x与y的函数：

可以得到当P=1／2时，Z与X相互独立。转载于 无忧论文网 http://www.xiexiebang.com

通过这些举例，避免了学生将“独立”和“互不相容”等同起来，又说明了“独立”与“函数关系”之间的联系。

二、课堂教学中注重数学思想的教育。培养学生建模能力

概率统计中的很多问题都可以归结为同一类问题，数学模型就是这类事物共同本质的抽象。“数学建模”是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。数学模型在概率统计中的应用随处可见，模型化方法贯穿本课程全过程，因此，在教学过程中应该注意培养学生抽象出问题的本质以建立起一般的数学模型的能力。

如“将n只球随机地放入Ⅳ(N大于等于n)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率”与“班级同学生日各不相同”具有相同的数学模型。另外，还有古典概型、贝努利概型、正态分布等等这些都是生产生活中抽象出来的，在很多问题中都可以归结为以上的模型。如以下两个

：

例1，设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0．01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。

例2，保险公司在一天内承保了5000张相同年龄、为期1年的寿险保单，每人一份。在合同有效期内若投保人死亡，则公司赔付3万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0．0015，且各个投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率。

以上两个例子虽然不同，但都可以归结为伯努利概型，利用二项分布解决。对这类模型，不应简单地给出它的结果，而应注秀模型的建立、模型的应用范围以及如何把实际问题转化为有关的数学模型去解决。

三、适度引入多媒体教学及数据处理软件。促进课堂教学手段多样化

在概率统计教学中，实际题目信息及文字很多，“一支粉笔、一块黑板，以讲授为主”的传统教学方法显然已经跟不上现代化的教学要求，不利于培养学生的综合素质和创新能力。因此，有必要借助于现代化媒体技术和统计软件，制作内容、图形、声音、图像等结合起来的多媒体课件。～方面，采用多媒体教学手段进行辅助教学，能够将教师从很多重复性的劳动中解脱出来，教师可以将更多的精力和时间投入到如何分析和解释问题，以提高课堂效率，与学生有效地进行课堂交流。另一方面，用图形动画和模拟实验等多媒体作为辅助教学手段，便于学生对概念、图形等的理解。如投币试验、高尔顿板钉实验等小动画在不占用太多课堂时间的同时，又增添了课堂的趣味性。又如在利用Mathematica软件演示大数定律和中心极限定理时，就能将抽象的定理化为形象的直观认识，达到一定的教学效果。在处理概率统计问题中，教师也会面对大量的数据，另外，集数学计算、处理与分析为一身的数据处理软件如：Excel，Matlab，Mathematic，SAS，SPSS等，在计算一些冗长数据时可以简化计算，降低理论难度。而且，在教师的演示过程中，能让学生初步了解如何应用计算机及软件，将所学的知识用于解决生产生活中的实际问题，从而激发他们学习概率知识的热情，提高他们利用计算机解决问题的能力。

最后，在教学过程中，教师应该考虑到各个专业的学生今后学习与发展的需要，在满足教学大纲的要求下，选择与其专业关系紧密的知识点进行重点讲授。同时，在讲授过程中，本着以人为本的教学理念，注意多种方法灵活应用，建立积极的互动教学模式，尽量避免教师在课堂上满堂灌、填鸭式地教学，充分调动学生学习的主动性，挖掘学生的学习潜能，最大限度地发挥和发展学生的聪明才智，使学生能理解概率统计这一学科领域思想方法的精髓。

论文参考文献：

[1]盛骤，谢式千。潘承毅．概率论与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[2] 姜启源．数学模型[M]．北京：高等教育出版社。2003：4—7．

[3] 徐钟济．蒙特卡罗方法[M]．上海：上海科学技术出版社，1985：171—188．

[4] 郝晓斌，董西广．数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用[J]．经济研究导刊，2010，90(16)：244—245．

[5]徐荣聪，游华．(概率论与数理统计)课程案例教学法[J]．宁德师专学报(自然科学版)，2008(2)：145—147．

第五篇：概率论与数理统计

概率论与数理统计

一、随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验

考试要求

1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．

2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．

3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.二、随机变量及其分布

考试内容

随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布

考试要求

1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．

2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布 及其应用．

3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为 的指数分布 的概率密度为

5．会求随机变量函数的分布．

三、多维随机变量及其分布

考试内容

多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布

考试要求

1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质.理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率．

2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义．

4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.四、随机变量的数字特征

考试内容

随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质

考试要求

1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会

运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．

2.会求随机变量函数的数学期望.五、大数定律和中心极限定理

考试内容

切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli)大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列维－林德伯格（Levy-Lindberg）定理

考试要求

1．了解切比雪夫不等式．

2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)．

3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)．

六、数理统计的基本概念

考试内容

总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩分布分布分布 分位数 正态总体的常用抽样分布

考试要求

1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为：

2．了解 分布、分布和 分布的概念及性质，了解上侧 分位数的概念并会查表计算．

3．了解正态总体的常用抽样分布．

七、参数估计

考试内容

点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

考试要求

1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．

2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．

3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性．

4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.八、假设检验

考试内容

显著性检验 假设检验的两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

考试要求

1．理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．

2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验．

数学大纲和去年相比变化之处

从拿到大纲的情况来说，今年的大纲和往年是没有什么变化，这一点和我前面所预测的是基本上一致的。当然大纲没有变化，对大家也有一个好处，也就是大家可以按照原先的计划，按步就班的走，不用考虑有一些计划

调整等等这样一类的东西。

2011年考试的难度是有一个怎样的趋势

至于难度，咱们要说2011年的难度，可以看一下这几年的难度水平。数一2008，2009年的难度水平基本上是一致的，2010年的考试难度有一定的上升，我认为2011年难度水平应该有所下降。大纲没有变，而考研是一个选拔性的考试，要求有一定的稳定性。所以，数一的同学，2011年的考试试题难度可能有所下降，水平和2008，2009是一致的。对数二和数三来说，水平应该和往年基本上是一致的。

2011年的考察重点会在哪个方面

由于今年考研大纲没有变化，我们可以根据考试的一些要求，还有历年考试真题的情况，咱们可以看一下历

年考试的重难点。

咱们看高等数学部分，高等数学部分第一部分函数、极限连续这一块，重点要求掌握两个重要极限，未定式的极限、等价无穷小代换，这样一些东西，还有一些极限存在性问题，间断点的类型，这些东西在历年的考察中都比较高，而我上课的时候一直给大家强调，考极限的话，主要考的是洛必达法则加等价无穷小代换，特别针对

数三的同学，这儿可能出大题。

第二部分是一元函数微分学，这块大家主要处理这几个关系，连续性，可导性和可微性的关系，掌握各种函数的求导方法。比如隐函数求导，参数方程求导等等这一类的，还有注意一元函数的应用问题，这也是历年考试的一个重点。数三的同学这儿结合经济类的一些试题进行考察。

一元函数微分学涉及面非常广，题型比较多，而且这一部分还有一个比较重点的内容，就是出证明题。咱们知道中值定理是历年经常考的一个考点，所用的主要方式就是构造辅助函数的方法进行证明。当然，这里还包含

一部分等式和不等式的证明，零点问题，以及极值和凹凸性。

多元函数微分学，这一块内容实际上也是按照一元函数微分学的形式进行考察的，比如咱们求偏导数，先固定一个变量，给另一个变量求导数，归根到底还是考察一元函数微分学。对多元函数微分学，大家还有一个内容

要掌握，连续性、偏导性和可微性，特别是抽象函数求二阶导数和二阶混合偏导这一类的题。

当然，还有一个问题，多元函数微分学的应用，主要牵扯两方面，一个是条件极值，一个是最值问题。这两

块。

积分学包含两块，也就是一元函数积分学和多元函数积分学，对于一元函数积分学一个是不定积分和定积分的计算，对不定积分一定要非常熟练掌握基本运算，对于定积分除了掌握用不定积分计算的方式，还要注意用定

积分的性质，比如定积分的奇偶性，周期性，单调性等等。

还有一块，定积分应用，主要考察面积问题，体积问题，或者说这块和微积分的结合等等。对于数一的同学来说，咱们还牵扯到一块，三重积分，曲线和曲面积分这两块，对于三重积分来说，大家主要掌握一些基本的，比如对球体、锥体、圆柱的积分，对于曲线和曲面积分主要掌握格林公式和高斯公式，利用格林公式把第二类曲线积分转化成二重积分，利用高斯公式把曲面积分转化成三重积分进行运算，这里有一个比较常考的知识点，曲

线积分与路径无关，这个要作为一个主要的知识点进行掌握。

第四部分，就是微分方程，微分方程有两个重点，一个是一元线性微分方程，第二个是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程，对第一部分，大家掌握九种小类型，针对每一种小类型有不同的解题方式，针对每个不同的方程，套用不同的公式就行了。对于二阶常系数线性微分方程大家一定要理解解的结构。另一块对于非齐次的方程来说，大家要注意它和特征方程的联系，有齐次为方程可以求它的通解，当然给出的通解大家也要写出它的特征

方程，这个变化是咱们这几年的一个趋势。这一类问题就是逆问题。

对于二阶常系数非齐次的线性方程大家要分类掌握。当然，这一块对于数三的同学来说，还有一个差分方程的问题，差分方程不作为咱们的一个重点，而且提醒大家一下，学习的时候要注意，差分方程的解题方式和微方

程是相似的，学习的时候要注意这一点。

第五个，级数问题，主要针对数一和数三，有两个重点，一个是常数项级数的性质，包括敛散性。

第二块，牵扯到幂级数，大家要熟练掌握幂级数的收敛区间的计算，收敛半径与和函数，幂级数展开的问题，要掌握一个熟练的方法来进行计算。对于幂级数求和函数它可能直接给咱们一个幂级数求它的和函数或者给出一

个常数项级数让咱们求它的和，要转化成适当的幂级数来进行求和。

关于线性代数这一块，有这样几个重点的内容，一个是逆矩阵和矩阵的秩。第二个，向量的线性相关性和向量的线性表示。向量组合的相关性，这一块极有可能考的类似于计算的证明题。比如让咱们证明几个向量线性无关。第三块是方程组的解的讨论，其中还包括有待定参数的解的讨论，这块的问题，往年也考得比较多。

第四块特征值和特征向量的性质，以及矩阵的对角化。

第五块，正定二次型的判断。大家在学线代的时候，还要注意一个方向，就是线性代数各个章节的连贯性是比较强的，我们在复习总结的时候，特别是后期，对于这一块内容要自己有一个总结，然后还可以看一看比如咱

们的复习全书或者复习指南这之类的书，在脑海中对线性参数的知识点要形成一个知识性框架。

概率统计这块（数二不考），概率统计要注重这几块内容，一个是概率的性质与概率的公式，这一块要求咱们非常熟练的掌握，比方说加法公式，减法公式，乘法公式，全概率公式和Bayes公式，这块要非常熟悉的掌握。

还有一部分，古典概率和几何概率，这块大家掌握中等难度的题就可以了。

第二块，一维随机变量函数的分布，这个要重点掌握连续性变量的这一块。这里面有个难点，一维随机变量函数这是一个难点，求一元随机变量函数的分布有两种方式，一个是分布函数法，这是最基本要掌握的。另外是

公式法，公式法相对比较便捷，但是应用范围有一定的局限性。

第三块，多维随机变量的联合分布和边缘分布还有条件分布，多维随机变量的独立性，这块是考试的重点，当然也是一个难点。这块还有一个问题要求大家掌握的，随机变量的和函数和最值函数的分布。

第四块，随机变量的数字特征，这块很重要，要记住一维随机变量的数字特征都要记熟，数字特征很少单独性考察，往往和前面的一维随机变量函数和多维随机变量函数和第六章的数理统计结合进行考察。特别针对数一的同学来说，考察矩估计和最大似然估计的时候会考察无偏性。

第五块，参数估计这一点是咱们经常出大题的地方，这一块对咱们数一，数二，数三的同学，包含两块知识点，一个是矩估计，一个是最大似然估计，这两个集中出大题。数一的同学，咱们特别强调一点，考这个矩估计

或者最大似然估计，极有可能结合无偏性或者有效性进行考察。