高中数学教案~第七章《直线和圆的方程》(11教时)

第一篇：高中数学教案~第七章《直线和圆的方程》(11教时)

直线的倾斜角和斜率

一、教学目标(一)知识教学点

知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．

(二)能力训练点

通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力．

(三)学科渗透点

分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想．

二、教材分析

1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．

2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了．

3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？

三、活动设计

启发、思考、问答、讨论、练习．

四、教学过程

(一)复习一次函数及其图象

已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式，∴点A在函数图象上．

∵B(2，1)的坐标不满足函数式，∴点B不在函数图象上．

现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．)讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．

(二)直线的方程

引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？

一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是． 一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应．

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．

上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．

显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念．(三)进一步研究直线方程的必要性

通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究．

(四)直线的倾斜角

一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．

直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．

按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系．(五)直线的斜率

倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即

直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率．(六)过两点的直线的斜率公式

在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？

P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那么：

α=∠QP1P2(图1-22甲)或α=π-∠P2P1Q(图1-22乙)

综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．

(七)例题

例1 如图1-23，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率．

∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板．

例2 求经过A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角．

∴tgα=-1． ∵0°≤α＜180°，∴α=135°．

因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°．

讲此例题时，要进一步强调k与P1P2的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得．

(八)课后小结

(1)直线的方程的倾斜角的概念．(2)直线的倾斜角和斜率的概念．

(3)直线的斜率公式．

五、布置作业

1．(1.3练习

六、板书设计

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

一、教学目标(一)知识教学点

在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．

(二)能力训练点

通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．

(三)学科渗透点

通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．

二、教材分析

1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．

2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上． 的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．

三、活动设计

分析、启发、诱导、讲练结合．

四、教学过程(一)点斜式

已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？

设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得

注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．

重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．

这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．

当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．

(二)斜截式

已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．

这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：

y-b=k(x-0)也就是

上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．

当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．

(三)两点式

已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．

当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成

请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式． 对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．

(四)截距式

例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．

此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．

解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得

就是

学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．

引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．

对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．

(五)例题

例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．

本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫． 解：直线AB的方程可由两点式得：

即 3x+8y+15=0 这就是直线AB的方程．

BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：

由斜截式得：

即 5x+3y-6=0． 这就是直线BC的方程． 由截距式方程得AC的方程是

即 2x+5y+10=0．

这就是直线AC的方程．(六)课后小结

(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．

(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．

五、布置作业

1．(1.5练习解：

(1)(1，2)，k=1，α=45°；

(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；

3．(1.5练习

六、板书设计

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

一、教学目标(一)知识教学点

在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．

(二)能力训练点

通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．

(三)学科渗透点

通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．

二、教材分析

1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．

2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．

的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．

三、活动设计

分析、启发、诱导、讲练结合．

四、教学过程(一)点斜式

已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？

设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得

注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．

重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．

这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．

当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．

(二)斜截式

已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．

这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：

y-b=k(x-0)也就是

上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．

当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．

(三)两点式

已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．

当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成

请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式． 对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．

(四)截距式

例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．

此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．

解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得

就是

学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．

引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．

对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．

(五)例题

例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．

本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫． 解：直线AB的方程可由两点式得：

即 3x+8y+15=0 这就是直线AB的方程．

BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：

由斜截式得：

即 5x+3y-6=0． 这就是直线BC的方程． 由截距式方程得AC的方程是

即 2x+5y+10=0． 这就是直线AC的方程．(六)课后小结

(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．

(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．

五、布置作业

1．(1.5练习

2．(1.5练习(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)． 解：

(图略)

六、板书设计

直线方程的一般形式

一、教学目标

(一)知识教学点

掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比．(二)能力训练点

通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力．

(三)学科渗透点

通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点．

二、教材分析

1．重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系．

2．难点：与重点相同．

3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．

三、活动设计

分析、启发、讲练结合．

四、教学过程

(一)引入新课

点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。它们都是二元一次方程．

我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？

(二)直线方程的一般形式

我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：

y=kx+b

当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式．

由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．

反过来，对于x、y的一次方程的一般形式

Ax+By+C=0．

(1)其中A、B不同时为零．(1)当B≠0时，方程(1)可化为

这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．

(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为

它表示一条与y轴平行的直线．

这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为

Ax+By+C=0

这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．

引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？

直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．(三)例题

解：直线的点斜式是

化成一般式得

4x+3y-12=0．

把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式

讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．

例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．

解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：

x=-6

根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)．

本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．

例3 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上． 证法一

直线AB的方程是：

化简得 y=x+2．

将点C的坐标代入上面的方程，等式成立． ∴A、B、C三点共线．

∴A、B、C三点共线．

∵|AB|+|BC|=|AC|，∴A、C、C三点共线．

讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力． 例4 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、B(5，2)的直线相交于C，此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．

代入x+2y-10=0有：

解之得

λ=-3．

(四)课后小结

(1)归纳直线方程的五种形式及其特点．

(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得．

五、布置作业

1．(1．6练习(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；

(5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45°．

解：(1)x+2y-4=0；(2)y-2=0；(3)2x+1=0；(4)2x-y-3=0；(5)x+y-1=0；(6)x-y+7=0．

3．(习题二

5．(习题二

(一)知识教学点

掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．

(二)能力训练点

通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．

(三)学科渗透点

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．

二、教材分析

1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．

2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．

3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．

三、活动设计

提问、讨论、解答．

四、教学过程

(一)特殊情况下的两直线平行与垂直

这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

(二)斜率存在时两直线的平行与垂直

设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是 l1： y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．

我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．

∴tgα1=tgα2． 即 k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2． 由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2． ∵两直线不重合，∴l1∥l2．

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即

eq x()要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．

现在研究两条直线垂直的情形．

如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2．

因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

可以推出

α1=90°+α2．

l1⊥l2．

两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即

eq x()

(三)例题

例1 已知两条直线

l1： 2x-4y+7=0，L2： x-2y+5=0． 求证：l1∥l2．

证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合． 证明：把l1、l2的方程写成斜截式：

∴两直线不相交．

∵两直线不重合，∴l1∥l2．

例2求过点 A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．

即 2x+3y+10= 0．

解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A(1，-4)代入有m=10，故所求直线方程为

2x+3y+10=0．

例3 已知两条直线

l1： 2x-4y+7=0，l2： 2x+y-5=0． 求证：l1⊥l2．

∴l1⊥l2．

例4 求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程． 解法1 已知直线的斜率k1=-2． ∵所求直线与已知直线垂直，根据点斜式得所求直线的方程是

就是 x-2y=0．

解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是

x-2y=0．

(四)课后小结

(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件；(3)与已知直线平行的直线的设法；(4)与已知直线垂直的直线的设法．

五、布置作业

1．(1．7练习

也就是 2x+7y-21=0．

同理可得BC边上的高所在直线方程为

3x+2y-12=0．

AC边上的高所在的直线方程为

4x-3y-3=0．

六、板书设计

两条直线所成的角

一、教学目标(一)知识教学点

一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题．

(二)能力训练点

通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．

(三)学科渗透点

训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．

二、教材分析

1．重点：前面研究了两条直线平行与垂直，本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请l1、l2的公式的推导方法及这一公式的应用．

2，难点：公式的记忆与应用．

3．疑点：推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．

三、活动设计

分析、启发、讲练结合．

四、教学过程(一)引入新课

我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况，对于两条相交直线，怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．

(二)l1到l2的角正切

两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角．图1-27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．

l1到l2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．

现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是

l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2 如果1+k1k2=0，那么θ=90°，下面研究1+k1k2≠0的情形．

由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．

设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32)，甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角．

tgα1=k1，tgα2=k2． ∵θ=α2-α1(图1-32)，或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，∴tgθ=tg(α2-α1)．

或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)． 可得

即

eq x()

上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．(三)夹角公式

从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角，简称夹角)就可以了，这时可以用下面的公式

(四)例题

解：k1=-2，k2=1．

∴θ=arctg3≈71°34′． 本例题用来熟悉夹角公式．

例2 已知直线l1： A1x+B1y+C1=0和l2： A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0)，l1到l2的角是θ，求证：

证明：设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则

这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．

例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．

解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰的顺序无关．

设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则

．

因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以 θ1=θ2． tgθ2=tgθ1=-3．

解得 k3=2．

因为l3经过点(-2，0)，斜率为2，写出点斜式为

y=2[x-(-2)]，即 2x-y+4=0． 这就是直线l3的方程．

讲此例题时，一定要说明：无须作图，任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角．

(五)课后小结

(1)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；(2)l1到l2的角的正切公式；(3)l1与l2的夹角的正切公式；

(4)等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．

五、布置作业

1．(教材

∵k1·k2=-1，∴l1与l2的夹角是90°．(2)k1=1，k2=0． 两直线的夹角为45°．

∴l1与l2的夹角是90°．

3．(习题三

即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0．

4．等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是2x-y+4=0，底面所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在的直线l3的方程．

解：这是本课例3将l1与l3互换的变形题，解法与例3相同，所求方程为： x-2y-2=0．

六、板书设计

两条直线的交点

一、教学目标(一)知识教学点

知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件．

(二)能力训练点

通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力．

(三)学科渗透点

通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．

二、教材分析

1．重点：两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．

2．难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论． 3．疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明．

三、活动设计

分析、启发、诱导、讲练结合．

四、教学过程

(一)两直线交点与方程组解的关系 设两直线的方程是

l1： A1x+B1y+c1=0，l2： A2x+B2y+C2=0．

如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组

是否有唯一解．

(二)对方程组的解的讨论

若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系．

下面设A1、A2、B1、B2全不为零． 解这个方程组：

(1)×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0，(3)

(2)×B1得

A2B1x+B1B2y+B1C2=0．

(4)(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0． 下面分两种情况讨论：

将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得

上面得到y可把方程组写成

即将x用y换，A1、A2分别与B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组． 综上所述，方程组有唯一解：

这时l1与l2相交，上面x和y的值就是交点的坐标．(2)当A1B2-A2B1=0时：

①当B1C2-B2C1≠0时，这时C1、C2不能全为零(为什么？)．设C2

②如果B1C2-B2C1=0，这时C1、C2或全为零或全不为零(当C1、(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论

说明：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．

(四)例题

例1 求下列两条直线的交点： l1：3x+4y-2=0，l2： 2x+y+2=0． 解：解方程组

∴l1与l2的交点是M(-2，2)． 例2 已知两条直线： l1： x+my+6=0，l2：(m-2)x+3y+2m=0．

当m为何值时，l1与l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合． 解：将两直线的方程组成方程组

解得m=-1或m=3．

(2)当m=-1时，方程组为

∴方程无解，l1与l2平行．(3)当m=3时，方程组为

两方程为同一个方程，l1与l2重合．

(五)课后小结

(1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系．(2)直线的三种位置关系所对应的方程特征．

(3)对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法．

五、布置作业

1．(教材 m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合． 解：(1)m≠1且m≠-7；(2)m=-7；(3)m=-1．

六、板书设计

点到直线的距离公式

一、教学目标(一)知识教学点

点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用．(二)能力训练点

培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法．

(三)知识渗透点

由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律．

二、教材分析

1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程．

2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题．

3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的．

三、活动设计

启发、思考，逐步推进，讲练结合．

四、教学过程(一)提出问题

已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？

(二)构造特殊的点到直线的距离学生解决

思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)． 学生可能寻求到下面三种解法：

方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则

当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP|

第二篇：高二数学教案：直线的方程

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直线的方程（1）

【教学目标】1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；

2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标(x1,y1)及斜率k，或者直线的斜率k及在y轴上的截距b）求直线方程； 3.掌握斜率不存在时的直线方程，即xx1．

【教学重点】直线的点斜式、斜截式方程的推导及运用.【教学难点】直线的点斜式的推导。【教学过程】

（一）复习：（1）直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）直线上两个不同点(x1,y1),(x2,y2)，x1x2，求此直线的斜率k．

（二）新课讲解： 1．点斜式

问题引入：已知直线l经过点P1(x1,y1)，且斜率为k，求直线l的方程.设点P(x,y)是直线l不同于点P1(x1,y1)的任意一点，根据直线的斜率公式，得：kyy1xx1，可化为yy1k(xx1)．

可以验证：直线l上每一个点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在直线l上.这个方程就是过点P1，斜率为k的直线l的方程，叫做直线方程的点斜式．

2．两种特殊的直线方程

（1）直线l经过点P1(x1,y1)的倾斜角为0，则ktan00，直线l的方程是yy1；（2）直线l经过点P1(x1,y1)的倾斜角为90，则斜率不存在，因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，直线l的方程是xx1．

此时不能使用直线方程的点斜式求它的方程，这时直线l的方程是xx1。3．问：kyy1xx1与yy1k(xx1)表示同一直线吗？．

（三）例题分析：

例1．一条直线经过点P1(2,3)，倾斜角为45，求这条直线方程，并画出图形。

解：∵直线经过点P1(2,3)，且斜率ktan451，代入点斜式，得：y3x2，即xy50．

xy50

y

5 O x

例2．直线l斜率为k，与y轴的交点是P(0,b)，求直线l的方程。

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解：代入直线的点斜式，得：ybk(x0)，即ykxb．

说明：（1）直线l与x轴交点(a,0)，与y轴交点(0,b)，称a为直线l在x轴上的截距，称b为直线l在y轴上的截距；

（2）这个方程由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定，叫做直线方程的斜截式；

（3）初中学习的一次函数ykxb中，常数k是直线的斜率，常数b为直线在y轴上的截距（b可以大于0，也可以等于或小于0）．

例3．已知直线l经过点P(2,1)，且倾斜角等于直线y2x1的倾斜角的2倍，求直线l的方程．

解：设已知直线的倾斜角为，则直线l的倾斜角为2，2tan4 ∵tan2，∴ktan2，21tan3又∵直线l经过点P(2,1)，∴直线l的方程为y1(x2)，3即所求的直线方程为4x3y110． 4例4．求直线y3(x2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程。

解：设直线y3(x2)的倾斜角为，则tan3，又∵[0,180)，∴120，∴所求的直线的倾斜角为1203090，所以，所求的直线方程为x2．

例5：已知直线过点P（-2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程。

分析：关键是求斜率k.解：因为直线与x轴不垂直，所以可设直线的方程为y-3=k(x+2)令x=0得y=2k+3;令y=0得x=12（|2k3）(3k3k3k2 由题意得：

2)|4，2)8,无解；若（2k3）(3k2)8,解得：k12,k92若（2k3）(

所求直线的方程为y312(x2)和y392(x2)

即x2y40和9x2y120规律：已知直线过一个点常选用直线方程的点斜式。

（四）．课堂练习：1．课本第39页练习1，2，3；

 2．求直线yxcot1,(,)的倾斜角； 3．求过点(2,1)且倾斜角满足sin

45的直线方程.3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网

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（五）．小结：要求直线方程，通过待定系数：直线上的一个点的坐标(x1,y1)及斜率k，或者直线的斜

率k及在y轴上的截距b，代入点斜式或斜截式求出直线方程.（六）．作业：课本第44页第1题（1）（3）（5）

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第三篇：高三数学教案：直线方程(5课时)

第一课时

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

教学要求：会根据直线上的两点坐标求直线的倾斜角与斜率,给出一直线上的一点与它的斜率,能够画出它的图象.教学重点：理解倾斜角, 斜率.教学难点：倾斜角, 斜率的理解及计算.教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 2.在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?

二、讲授新课：

1.教学平面倾斜角与斜率的概念：

① 直线倾斜角的概念： x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角

注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。

讨论:倾斜角的取值范围是什么呢?

② 直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值叫直线的斜率.常用k表示,ktan

讨论:当直线倾斜角为90度时它的斜率不存在吗?.倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?斜率为正或负时,直线过哪些象限呢? 取值范围是0,.y2y1x2x1③ 直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点p1(x1,y1)与p2(x2,y2),则过这两点的直线的斜率k

思考 :(1)直线的倾斜角确定后, 斜率k的值与点p1,p2的顺序是否有关?

(2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时,上述公式ky2y1x2x1还适用吗? 2.教学例题: 例1,求经过两点A(2,3),B(4,7)的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.例2:在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为 1,2,3的直线l1,l2,l3.三.巩固与提高练习: 1.已知下列直线的直线倾斜角,求直线的斜率k.⑴ a300 ⑵ a450

⑶ a1200

⑷

1350 2:已知直线l过点A(1,2)、B(m,3),求直线l的斜率和倾斜角 3,已知a,b,c是现两两不等的实数,求经过下列两点直线的倾斜角.(1)A(a,b),B(b,c)

(2)P(b,bc),Q(a,ca)4.画出经过点(0,3)且斜率分别为3和-2的直线.四.小结:

倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式.五:作业,P9

52题.第二课时

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

教学要求：明白两直线平行与垂直时倾斜角之间的关系,能够 通过代数的方法,运用斜率来判定两直线平行与垂直关系.教学重点：用斜率来判定两直线平行与垂直.教学难点：用斜率来判定两直线平行与垂直.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：直线的倾斜角的取值范围是什么?如果计算直线的斜率? 2.在同一直角坐标系中画出过原点斜率分别是-3,3,1的直线的图象.3.探究：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?

二、讲授新课：

1.两条直线平行的判定：

① 由上述探究 →两条直线平行：两直线倾斜角都相等.即: 12 ，提问: 两直线平行,它们的斜率相等吗? l1l2k1k2 ② 两条直线平行的判定: 两条不重合的直线,斜率都存在.它们的斜率相等.即: 12 , l1l2k1k2

注意: 上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在.2.两条直线垂直的判定：

探究两直线l1,l2垂直时,它们的斜率k1,k2的关系.① l1,l2的倾斜角1900,200时, 斜率k1,k2不存在;

② 当斜率k1,k2都存在时.设l1,l2的倾斜角分别为1,2, 其中01>2，则有1902

k1tan1tan(902)01tan21k2，即：k1k21

两条直线垂直的判定：两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1,k2的乘积k1k21。即：l1l2k1k21

3.教学例题：

例1：已知四边形的四个顶点分别为A(0,1),B(2,0),C(4,3),D(2,4)，试证明四边形ABCD为平行四形。

例2：已知A(5,1),B(4,5),P(1,2),Q(7,5)，试判断直线AB与PQ位置的关系。4． 练习与提高：

1，试判断分别经过下列两点的各对直线是平行还是垂直？ ⑴(3,4),(2,1)与(3,1),(2,2)

⑵

(m,4)m,(求m的值。

四.小结:

倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式.五:作业, P9

46.7题.1与,3(2,1)(3,0)

2, l1经过点A(m,1),B(3,4)，l2经过点C(1,m),D(1,m1)，当直线l1与l2平行或垂直时，第三课时3.2.1

直线的点斜式方程

教学要求：明白直线可以由直线线上的一点坐标与斜率确定，会由直线的一点坐标与斜率求直线的方程，会根据直线的点斜式方程求直线的截距。

教学重点：直线点斜式方程的理解与求解，由点斜式方程求直线的截距。教学难点：直线点斜式方程的理解与求解。教学过程：

一、复习准备：

1.直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率? 2.提问：两条不重合的直线,斜率都存在.它们的斜率有何关系.如何用直线的斜率判定两直线垂直?

二、讲授新课：

直线点斜式方程的教学:

① 已知直线l上一点p0(x0,y0)与这条直线的斜率k，设p(x,y)为直线上的任意一点，则有：

kyy0xx0yy0k(xx0)

⑴

探究: 两点可以确定一直线,那么知道直线上一点的坐标与直线的斜率能不能确定一直线呢?

满足方程⑴的所有点是否都在直线 l上? 点斜式方程 ：方程 ⑴:yy0k(xx0)称为直线的点斜式方程.简称点斜式.② 讨论:直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?(引导学生从斜率的角度去考虑)结论:不能表示垂直于x轴的直线.③ 斜截式方程: 由点斜式方程可知,若直线过点B(0,b)且斜率为k,则直线的方程为: ykxb

方程ykxb称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中b为直线在y轴上的截距.④ 能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.(截距b就是函数图象与y轴交点的纵坐标)⑤ 教学例题:

0⒈直线l经过点p0(2,5),且倾斜角为60,求直线l的点斜式方程并画出直线图象.⒉求下列直线的斜截式方程:⑴斜率为3,在y轴上的截距为1:⑵斜率为2,在y轴上的截距为5;⒊把直线l的方程x2y60化成，求出直线l的斜率和在y轴上的截距，并画图．

三.:练习与提高: 1.已知直线经过点(6,4),斜率为43,求直线的点斜式和斜截式.2.方程y13x3表示过点______、斜率是______、倾斜角是______、在y轴上的截距是______的直线。3.已知直线l的方程为y12x1,求过点(2,3)且垂直于l的直线方程.四小结: 点斜式.斜截式.截距 五:作业, P110 3.5题.第四课时3.2.2

直线的两点式方程

教学要求：会由两点求直线的方程,明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，清楚直线与二元一次方程的对应关系．能由直线的一般式转化为所需要的其他直线形式.教学重点：直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互化.教学难点：直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互化.教学过程：

一、复习准备：

1． 写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在y轴上的截距.①经过点A(-2,3),斜率是-1；②经过点B(-3,0),斜率是0；③经过点C2,2,倾斜角是60；

二、讲授新课：

1.直线两点式方程的教学:

① 探讨:已知直线l经过p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)两点,如何求直线的点斜式方程?

yy1y2y1x2x1xx1x2x1(xx1)

两点式方程:由上述知, 经过p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)两点的直线方程为yy1y2y1

⑴，我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式.例1:求过A(2,1),B(3,3)两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.② 当直线l不经过原点时,其方程可以化为

1 ⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程,其中 b直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b.axyx2x1x2④ 中点:线段AB的两端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(x,y),其中

yy1y22例2:已知直线经过A(2,0),B(0,3)两点,则AB中点坐标为______,此直线截距式方程为______、与x轴y轴的截距分别为多少？

2.巩固与提高:

① 已知ABC的三个顶点是A(0,7)B(5,3)C(5,-3)，求（1）三边所在直线的方程；

（2）中线AD所在直线的方程。

② 一直线经过点（-3，4）且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程 ③ 经过点（１，２），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有（）

A 1条

B 2条

C 3条

D 4条 ④ 上题若把点坐标改为(1,0)(2,2)呢? 3.小结:两点式.截距式.中点坐标.4.:作业P1104.题.第五课时3.2.3

直线的一般式方程

教学要求：引导学生体会直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，清楚直线与二元一次方程的对应关系．能由直线的一般式转化为所需要的其他直线形式.教学重点：直线一般式理解与求解.及一般式与点斜式、斜截式、两点式和截距式互化.教学难点：直线一般式理解与求解.及其它形式互化.教学过程：

一、复习准备：

1.写出下列直线的两点式方程.① 经过点A(-2,3)与 B(-3,0)；②经过点B(-3,0)与 C2,2；

2.探讨:点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?(我们需要直线的一般表示法)

二、讲授新课：

1问：直线的方程都可以写成关于x,y的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线 关于x,y的二元一次方程:AxByC0(1),(叫直线的一般方程,简称一般式.① 当B0,(1)式可化为yABxCB,这是直线的斜截式.C② 当B0,A0时,(1)式可化为xA定义一般式: 关于x,y的二元一次方程:AxByC0(A,B不全为0)叫直线的一般式方程,.这也是直线方程.简称一般式.2.引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应?(直线与二元一次方程是一对多的对应,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程.)出示例题:已知直线经过点(6,4),斜率为43,求直线的点斜式和一般式方程.3.探讨直线AxByC0,当A,B,C为何值时,直线①平行于x轴;②平行于y轴③与x轴重合④与y轴重合.4.出示例题:把直线l的一般方程3y2x50化成斜截式方程,并求出直线l与x轴、y轴的截距,画出图形.三.练习与提高: 1.设直线l的方程为(m2)x3ym,根据下列条件分别求的值.①l在x轴上的截距为2.② 斜率为1

2．若直线AxByC0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C满足条件（）(A)A、B、C

(B)AC<0,BC>0

(C)C=0,AB<0

(D)A=0,BC<0

3.已知直线l经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程． 四.小结:一般式..五.:作业P11010.题.

第四篇：2013白蒲中学高一数学教案：直线和圆的方程：09(苏教版)

圆的标准方程

一、教学目标(一)知识教学点

使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．

(二)能力训练点

通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．

(三)学科渗透点

圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

二、教材分析

1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．

(解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．)2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．

(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)

三、活动设计

问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．

四、教学过程(一)复习提问

前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)． 问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．

(二)建立圆的标准方程 1．建系设点

由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程

由两点间的距离公式得：

4．化简方程 将上式两边平方得：

(x-a)2+(y-b)2=r2．

(1)

方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．

这时，请大家思考下面一个问题．

问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．

教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

(三)圆的标准方程的应用

例

1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)

(1)圆心在原点，半径是3；

(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；

(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．

教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；

指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程． 例

2说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4 教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．

例3(1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

解(1)： 分析一：

从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决． 解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：

又由两点间的距离公式得：

∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10 分析二：

从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决． 解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．

化简得：

x2+y2-10x-12y+51=0．

即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程． 解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：

因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 这时，教师小结本题： 1．求圆的方程的方法

(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．

2．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上(2)点在圆外(3)点在圆内 d=r； d＞r； d＜r．

3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)例

4图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)．

此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：

(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；(2)用待定系数法求圆的标准方程；

(3)要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．(四)本课小结

1．圆的方程的推导步骤；

2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径； 3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．

五、布置作业

1．求下列条件所决定的圆的方程：

(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；

(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切． 2．已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)． 证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．

3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．

4．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程． 作业答案：

1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 32

2．因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为

所以圆的方程为

化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0 即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

4．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程： x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0)

六、板书设计

第五篇：直线方程教案

Ⅰ.课题导入

［师］同学们，我们前面几节课，我们学习了直线方程的各种形式，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这是这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。现在大家回忆一下，我们都学习了直线方程的哪些特殊的形式。我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程的表示形式有了一定的认识.现在，我们来回顾一下它们的基本形式.点斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）适用于斜率存在的直线.斜截式的基本形式：y＝kx＋b适用于斜率存在的直线；

两点式的基本形式：直线；

截距式的基本形式：

yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2）适用于斜率存在且不为0的y2y1x2x1xy＝1（a，b≠0）适用于横纵截距都存在且不为0的直线.ab在使用这些方程时要注意它们时要注意它们的限制条件。

那么大家观察一下这些方程，都是x,y的几次方程啊？［生］都是关于x，y的二元一次方程.那么我们原来在代数中学过二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板书）Ax＋By＋C＝0 我们现在来看一次这几种学过的特殊形式，它们经过一些变形，比如说去分母、移项、合并，这样一些变形步骤。能不能最后都化成这个统一的形式呢？比如说y＝kx＋b，xayb＝1，这些我们最终都可以吧它们变成这种形式。剩下的两种形式的变形留给同学们课下自己去完成。那么在学习这些直线的特殊形式的时候，应该说各有其特点，但是也有些不足。在使用的过程中有些局限性。比如说点斜式和斜截式它们的斜率都必须存在，两点式适用于适用于斜率存在且不为0的直线，截距式适用于横纵截距都存在且不为0的直线.那么我们现在想一想有没有另外一种形式，可以综合他们各自的一些特点，也就是这些方程最后化成一个统一的形式。能不能代表平面直角坐标系中的直线。要解决这些问题呢，要分两个方面进行讨论。

1.直线和二元一次方程的关系

（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.一个方面：是不是平面上的任意直线，表示它的方程都可以写成Ax＋By＋C＝0的形式，刚才大家做了一些练习，当然这只是特殊形式，是不是所有的直线都可以写成这种形式呢？直线按斜率来分类可以分几类？斜率存在和斜率不存在。这两类是不是都可以转化成一元二次方程的形式。当倾斜角不等于90°是斜率存在，直线方程可以写成y＝kx＋b的形式。可以转化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=k B=-1 C=b。当倾斜角等于90°斜率不存在，直线方程可以写成x=x0的形式。可以转化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我们就把它分为这两种情况，当斜率存在的时候我们一般把它设成一个简单的斜截式，斜截式经过变形就可以化成一般的形式。而对于斜率不存在的时候，它的方程形式就是x=x0直线方程也可以转化成这样的一个形式。那么由此可以下这样一个结论：平面上的任意的一条直线，表示它的方程最后都可以转化成二元一次方程的形式。刚才我们从这个角度考虑，就是直线都可以转化成二元一次方程，现在我们反过来看，是不是任意的一个二元一次方程最终在直角坐标系下都能够表示直线。

（2）在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.因为x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同时为0，在B≠0和B＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y＝－示与y轴平行或重合的直线方程x＝－

ACx和表BBC.A也就是说Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为零）大家想想如果AB都等于零这个直线方程就没了。现在我们考虑一下，这个方程能不能经过一些适当的变形，变成我们熟悉的形式，而确定它就是一个在平面直角坐标系中就是一条直线呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y轴上的截距。二元一次方程通过变形在直角坐标系下都表示一条直线。那么我们从两个方面在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.在平面直角坐标系中，二元一次方程都表示一条直线.根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式.我们就把代数中的二元一次方程定义为直线的一般式方程。

定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程。我们在学习前面直线的几种特殊形式的方程，一眼就可以看出这条直线的某些特点，比如说点斜式就可以看出它的斜率还有过一个定点，还有两点式可以看出它过两个定点。那么我们怎么通过直线的一般式方程观察直线的一些特点呢？比如说A=0表示什么样一条直线？y=-平行于x轴的直线，也有可能与x轴重合。如果要平行于y轴这个系数要满足什么样的条件？如果旦旦是c等于零，通过原点的直线。假如AB都不等于零它的斜率我们怎么看出来？这些直线的特点我们要能掌握住。我们对直线的一般式方程有了一定的了解。直线的一般式方程和和那几种特殊的形式之间有一个互相的转化，那么我们来看一个例子，通过一些转化来解决实际问题。

［例1］已知直线经过点A(6，－４），斜率为－

4，求直线的点斜式和一般式方程.3分析：本题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到，主要让学生体会由点斜式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点.解：经过点A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直线方程的点斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同学们在以后解题时，可能求直线方程的时候，求出不一定是一般式，可能是点斜式、两点式等等，如题目没有特殊要求我们都要把各种形式化成一般式。对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.