北师大版高中数学选修2-2《1.3反证法》教学设计及反思

第一篇：北师大版高中数学选修2-2《1.3反证法》教学设计及反思

北师大版高中数学 选修2-2《1.3反证法》教学设计

三维目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 设计有代表性有梯度的例题，培养他们的辨析能力；逐步培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学重点：了解反证法的思考过程、特点 教学难点：反证法的思考过程、特点

教学准备：与教材内容相关的资料，多媒体教学（例题偏多，省去板演过程）教学设想：通过问题情境的合理设置，让学生跳跳就能够得着了，在课堂内经历知识的发生发展，将体会汇总成理论，应用于实践。

教学过程:

一、复习导入

直接证明方法：综合法与分析法 间接证明方法：反证法

二、新授

1、反证法相关概念形成

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

2、典例分析

引入：课本例题P13例题1

2已知a是整数，2能整除a，求证：2能整除a

问题的提出应用了学生比较熟悉又可列举的正整数环境，学生比较容易想到用验证的方法先进行结论的检验，并且在验证的过程中体会整数平方运算的规律，从而寻找一般的并且严谨的证明方式。易于学生思考，同时也很好的激发了学生学习的动机和兴趣.同时严谨的证明对反证法定义的形成提供了强有力的思想支持，学生对一般的证明模式自然易于接受。

数学建构：

一般地，由证明题矛盾.从而判断

转向证明，与假设矛盾，或者与某个真命为假，推出为真的方法，叫做反证法。

反证法的证题步骤：（1）做出否定结论的假设

（2）进行推理，导出矛盾------“矛盾”主要是指： A与假设矛盾；

B与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； C与公认的简单事实矛盾.（3）否定假设，肯定结论

例题2：求证是无理数

本题是借助有理数的分数表示来处理，有助于加深学生对有理数的认识，思维上也有较高的要求，有利于发散学生思维，同时也和初中数学知识建立了联系，有利于学生建立知识体系，完善思维.本例设计的非常合理.同时在课本P14练习1中设计了一题，P习题1-3中也设计了一题，起到前后呼应、巩固加强理解和应用反证法的效果，同时体现了反证法对“原始”数学概念、公式、定理证明的作用。

例题3：课本例题3 在同一平面内，两条直线a,b都和直线c垂直，求证a与b平行。

本题本以几何知识为背景设计，在回顾初中平面几何知识的同时，又在证明过程中融合数形结合、分类讨论思想于一体，对学生数学思维和分析问题、解决问题能力的培养都有很好的效果,例题大家也容易接受，充分展示反证法对我们一些无从下手，思维跳跃的题型另类解答，让学生进入到证明的另一领域，激起学生学习的兴趣。课本P15习题1-3中设计了两道类似的例题，不过要从平面几何拓展到立体几何加深了难度。

三、巩固练习：课本P14-15练习、习题，优化设计：P5

四、补充例题

例题4 求证三角形中三个内角至少有一个角大于或等于60°

正难则反是“至多”“至少”类命题证明思路，同样是常用反证法，这类命题的证明一定要注意反设要写正确，这也是反证法证题的关键，课本P14例题4，优化设计中也有四道类似题呼应巩固。

五、拓展练习、优化设计：P6

题型二，随堂练习2、3、5

六、课时小结：

1、反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

2、反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

3、归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件

矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

七、教学反思：学生只有亲身经历了知识的发生与发展才能很好的总结升华，才可以将体会汇总成理论，将理论应用于实践.将问题设计的有代表性了、有梯度了，学生能跳跳够得着了，自然有主动有积极，在课堂小结时才能真正有收获。

总结应用反证法证明数学命题的一般步骤： 1.分清命题的条件和结论； 2.做出与命题结论相矛盾的假设；

3.从假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；

4.断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真。

虽然使用了多媒体教学，不用板演，但学生预习没有到位，内容还是有点多，时间比较紧凑。

第二篇：反证法教学反思

“反证法”是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要，在反思本节内容的教学中得出以下几点体会：

1、分清所证命题的条件和结论

如证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”其中条件是“一个三角形”（）结论是“不能有两个角是直角”（）

2、熟记步骤

第一步：假设即假设命题的结论的反面为正确的。如引用上述命题即“假设能有两个叫是直角不妨设”

第二步：推理后发现矛盾。一般利用假设进行推理如继上可知发现这与三角形内角和定理相矛盾，所以假设不成立，故一个三角形中不能有两个角是直角，即为第三步：推翻假设，证明原命题成立。

3、抓住重点，突破难点

反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点。如“写出线段AB,CD互相平分的反面”，线段AB,CD互相平分具体指：“AB平分CD且CD平分AB”。他的反面应包括以下三种情况：

（1）AB平分CD但CD不平分AB；

（2）CD平分AB但AB不平分CD；

（3）AB不平分CD且CD不平分AB.统称为“AB，CD不互相平分”，而学生往往只考虑第（3）种情况，即AB，CD互相不平分。

4、注重规范

在用反证法证明的命题中经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求证”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是对角线；求证：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步骤证明。

反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后继的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理的去运用。

第三篇：北师大版高中数学必修选修目录

北师大版高中数学必修目录

《数学1(必修)》

第一章 集合

§1 集合的含义与表示

§2 集合的基本关系

§3 集合的基本运算

阅读材料 康托与集合论

第二章 函数

§1 生活中的变量关系

§2 对函数的进一步认识

§3 函数的单调性

§4 二次函数性质的再研究

§5 简单的幂函数

阅读材料 函数概念的发展

课题学习个人所得税的计算

第三章 指数函数和对数函数

§1 正整数指数函数

§2 指数概念的扩充

§3 指数函数

§4 对数

§5 对数函数

§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

阅读材料 历史上数学计算方面的三大发明

第四章 函数应用

§1 函数与方程

§2 实际问题的函数建模

阅读材料 函数与中学数学

探究活动 同种商品不同型号的价格问题

《数学2(必修)》

第一章 立体几何初步

§1 简单几何体

§2 三视图

§3 直观图

§4 空间图形的基本关系与公理

§5平行关系

§6 垂直关系

§7 简单几何体的面积和体积

§8 面积公式和体积公式的简单应用

阅读材料 蜜蜂是对的

课题学习正方体截面的形状

第二章 解析几何初步

§1 直线与直线的方程

§2 圆与圆的方程

§3 空间直角坐标系

阅读材料 笛卡儿与解析几何

探究活动1 打包问题

探究活动2 追及问题

《数学3(必修)》

第一章 统计

§1 统计活动：随机选取数字

§2 从普查到抽样

§3 抽样方法

§4 统计图表

§5 数据的数字特征

§6 用样本估计总体

§7 统计活动：结婚年龄的变化

§8 相关性

§9 最小二乘法

阅读材料 统计小史

课题学习调查通俗歌曲的流行趋势

第二章

算法初步

§1 算法的基本思想

§2 算法的基本结构及设计

§3 排序问题

§4 几种基本语句

课题学习确定线段n等分点的算法

第三章 概率

§1 随机事件的概率

§2 古典概型

§3模拟方法――概率的应用

探究活动 用模拟方法估计圆周率∏的值

《数学4(必修)》

第一章 三角函数

§1 周期现象与周期函数

§2 角的概念的推广

§3 弧度制

§4 正弦函数

§5 余弦函数

§6 正切函数

§7 函数的图像

§8 同角三角函数的基本关系

阅读材料 数学与音乐

课题学习利用现代信息技术探究的图像

第二章平面向量

§1 从位移、速度、力到向量

§2 从位移的合成到向量的加法

§3 从速度的倍数到数乘向量

§4平面向量的坐标

§5 从力做的功到向量的数量积

§6平面向量数量积的坐标表示

§7 向量应用举例

阅读材料 向量与中学数学

第三章 三角恒等变形

§1 两角和与差的三角函数

§2 二倍角的正弦、余弦和正切

§3 半角的三角函数

§4 三角函数的和差化积与积化和差

§5 三角函数的简单应用

课题学习摩天轮中的数学问题

探究活动 升旗中的数学问题

《数学5(必修)》

第一章 数列 §1 数列

1.1 数列的概念

1.2 数列的函数特性 §2 等差数列

2.1 等差数列

2.2 等差数列的前ｎ项和 §3 等比数列

3.1 等比数列

3.2 等比数列的前ｎ项和 §4 数列在日常经济生活中的应用

本章小节建议

复习题一

课题学习教育储蓄 第二章 解三角形

§1 正弦定理与余弦定理

1.1 正弦定理

1.2 余弦定理

§2 三角形中的几何计算 §3 解三角形的实际应用举例

本章小结建议

复习题二 第三章 不等式 §1 不等关系

1.1 不等关系

1.2 比较大小 §2 一元二次不等式

2.1 一元二次不等式的解法

2.2 一元二次不等式的应用 §3 基本不等式

3.1 基本不等式

3.2 基本不等式与最大（小）值 §4 简单线性规划

4.1 二元一次不等式（组）与平面区域

4.2 简单线性规划

4.3 简单线性规划的应用

阅读材料 人的潜能

本章小结建议

复习题三

探究活动 三角测量 北师大版高中数学选修目录

《数学选修1-1》

第一章 常用逻辑用语 §1 命题

§2 充分条件与必要条件

2.1充分条件 2.2必要条件 2.3充要条件

§3 全称量词与存在量词

3.1全称量词与全称命题 3.2存在量词与特称命题.3.3全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非”

4.1逻辑联结词“且”

4.2逻辑联结词“或”

4.3逻辑联结词“非”习题1—4

本章小结建议

复习题一

第二章 圆锥曲线与方程

§1椭圆

1.1椭圆及其标准方程 1.2椭圆的简单性质 §2抛物线

2.1抛物线及其标准方程 2.2抛物线的简单性质 §3双曲线

3.1双曲线及其标准方程 3.2双曲线的简单性质

阅读材料1 圆锥曲线的光学性质

阅读材料2 曲线与方程

本章小结建议

复习题二

第三章 变化率与导数

§1 变化的快慢与变化率

§2 导数的概念及其几何意义

2.1导数的概念 2.2导数的几何意义 §3 计算导数

§4 导数的四则运算法则

4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则 本章小结建议

复习题三 第四章 导数应用

§1 函数的单调性与极值

1.1导数与函数的单调性 1.2函数的极值

§2 导数在实际问题中的应用

2.1实际问题中导数的意义 2.2最大、最小值问题

阅读材料 数学史上丰碑——微积分

本章小结建议 复习题四

附录1 部分数学专业词汇中英文对照表

附录2 信息检索网址导引

《数学选修1-2》

第一章 统计案例 §1 回归分析 1.1回归分析 1.2相关系数

1.3可线性化的回归分析 阅读材料 高尔顿与回归 §2 独立性检验

2.1条件概率与独立事件 阅读材料 概率与法庭 2.2独立性检验

2.3独立性检验的基本思想 2.4独立性检验的应用

统计活动 学习成绩与视力之间的关系

本章小结建议 复习题一 第二章 框图 §1 流程图 §2 结构图 本章小结建议 复习题二

第三章 推理与证明 §1 归纳与类比 1.1归纳推理 2.2类比推理 §2 数学证明

§3 综合法与分析法 3.1综合法 3.2分析法 §4 反证法 本章小结建议 复习题三

第四章 数系的扩充与复数的引入

§1 数系的扩充与复数的引入 1.1数系概念的扩展

1.2复数的有关概念 §2 复数的四则运算 2.1复数的加法与减法 2.2复数的乘法与除法 阅读材料 数的扩充 本章小结建议 复习题四

附录1 部分数学专业词汇中英文对照表

附录2 信息检索网址导引

《数学选修2-1》

第一章 常用逻辑用语 §1 命题

§2 充分条件与必要条件 2．1充分条件 2．2必要条件 2．3充要条件

§3 全称量词与存在量词 3．1全称量词与全称命题 3．2存在量词与特称命题

3．3全称命题与特称命题的否定 §4逻辑联结词且”“或”“非” 4．1逻辑联结词“且” 4．2逻辑联结词“或” 4．3逻辑联结词“非” 本章小结建议 复习题一

第二章 空间向量与立体几何 §1 从平面向量到空间向量 §2 空间向量的运算

§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理

3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示

3．2 空间向量基本定理

3．3 空间向量运算的坐标表示 §4 用向量讨论垂直与平行 §5 夹角的计算

5．1 直线间的夹角 5．2平面间的夹角 5．3 直线与平面的夹角 §6 距离的计算

课题学习空间向量在力学中的应用

本章小结建议 复习题二

第三章 圆锥曲线与方程

§1 椭圆

1．1 椭圆及其标准方程 1．2 椭圆的简单性质 §2 抛物线

2．1 抛物线及其标准方程 2．2 抛物线的简单性质 §3 双曲线

3．1 双曲线及其标准方程 3．2 双曲线的简单性质 §4 曲线与方程 4．1 曲线与方程

4．2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲线的交点 阅读材料1 圆锥曲线的光学性质 阅读材料2 圆与椭圆 本章小结建议 复习题三

附录1 部分数学专业词汇中英文对照表

附录2 信息检索网址导引

《数学选修2-2》

第一章 推理与证明 §1 归纳与类比 1.1归纳推理 2.2类比推理

§2 综合法与分析法 2.1综合法 2.2分析法 §3 反证法

§4 数学归纳法 本章小结建议 复习题一

第二章 变化率与导数

§1 变化率的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念 2.2导数的几何意义 §3 计算导数

§4 导数的四则运算法则 4.1导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则 §5 复合函数的求导法则 本章小结建议 复习题二

第三章 导数的应用

§1 函数的单调性与极值 1.1导数与函数的单调性 1.2函数的极值

§2 导数在实际问题中的应用 2.1实际问题中导数的意义 2.2最大值、最小值问题 本章小结建议 复习题三

第四章 定积分

§1 定积分的概念

1.1定积分的背景——面积和路程问题

1.2定积分

§2 微积分基本定理 §3 定积分的简单应用 3.1平面图形的面积 3.2简单几何体的体积

阅读材料 数学史上的丰碑——微积分

本章小结建议 复习题四

第五章 数系的扩充与复数的引入

§1 数系的扩充与复数的引入 1.1数系概念的扩展 1.2复数的有关概念 §2 复数的四则运算 2.1复数的加法与减法 2.2复数的乘法与除法 阅读材料 数的扩充 本章小结建议 复习题五

《数学选修2-3》

第一章 计数原理

§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.1分类加法计数原理 2.2分步乘法计数原理 §2 排列 §3 组合

§4 简单计数问题 §5 二项式定理 5.1二项式定理

5.2二项式系数的性质 本章小结建议 复习题一 第二章 概率

§1 离散型随机变量及其分布列

§2 超几何分布

阅读材料 彩票中的概率 §3 条件概率与独立事件 阅读材料 概率与法庭 §4 二项分布

阅读材料 需要多少条外线 §5 离散型随机变量的均值与方差

§6 正态分布

6.1连续型随机变量 6.2正态分布

阅读材料 正态分布小史及其他

本章小结建议 复习题二

第三章 统计案例 §1 回归分析 1.1回归分析 1.2相关系数

1.3可线性化的回归分析

阅读材料 高尔顿与回归 §2 独立性检验

2.1条件概率与独立事件 阅读材料 概率与法庭 2.2独立性检验

2.3独立性检验的基本思想 2.4独立性检验的应用

统计活动 学习成绩与视力之

本章小结建议 复习题三

间的关系

《数学选修4-1 几何证明选讲》 第一章 直线、多边形、圆 §1 全等与相似 §2 圆与直线 §3 圆与四边形

阅读材料 定长闭曲线最大面积问题 本章小结建议 复习题一

第二章 圆锥曲线 §1 截面欣赏 §2 直线与球、平面与球的位置关系 §3 柱面与平面的截面 §4平面截圆锥面

§5 圆锥曲线的几何性质 研究性学习本章小结建议 复习题二

《数学选修4-2 矩阵与变换》

引 言

第一章平面向量与二阶方阵

§1平面向量及向量的运算

§2向量的坐标表示及直线的向量方程

§3二阶方阵与平面向量的乘法 第二章 几何变换与矩阵

§1 几种特殊的矩阵变换

§2 矩阵变换的性质

第三章 变换的合成与矩阵乘法

§1 变换的合成与矩阵乘法

§2 矩阵乘法的性质 第四章 逆变换与逆矩阵

§1 逆变换与逆矩阵

§2 初等变换与逆矩阵

§3 二阶行列式与逆矩阵

§4 可逆矩阵与线性方程组 第五章 矩阵的特征值与特征向量

§1 矩阵变换的特征值与特征向量

§2 特征向量在生态模型中的简单应用

阅读材料

复习小结建议

《数学选修4-4坐标系与参数方程 》 第一章 坐标系

§1平面直角坐标系 §2 极坐标系

§3 柱坐标系和球坐标系 阅读材料 笛卡尔与坐标系 本章小结建议 复习题一

第二章 参数方程

§1 参数方程的概念

§2 直线和圆锥曲线的参数方程 §3 参数方程化成普通方程 §4平摆线和渐开线 §5 圆锥曲线的几何性质 阅读材料1 其他摆线

阅读材料2 摆线的应用研究 本章小结建议 复习题二

《数学选修4-5不等式选讲》 第一章 不等关系与基本不等式 §1 不等式的性质

§2 含有绝对值的不等式 §3平均值不等式 §4 不等式的证明 §5 不等式的应用 本章小结建议 复习题一

第二章 几个重要不等式 §1 柯西不等式 §2 排序不等式

§3 数学归纳法与贝努利不等式 本章小结建议 复习题二

文科学1-1,1-2,4-1,4-4 理科学

2-1,2-2

2-3，4-1，4-4，4-5。

第四篇：高中数学教学设计反思

通过参加高中数学新课程的研修，您个人在教学研究上有什么考虑，打算做哪些方面的研究，从何处入手，预期的成果是什么？

新侨中学张家裕

通过参加这次高中数学新课程的研修，我深有感触，这促使我在今后的教学研究上有了更多的想法。

首先，授知方式要转化

新课标强调：“要让学生在现实的情景中和已有知识的基础上体验和理解数学知识”。因此在教学上应该更加地重视“情景的创设”，一个好的“情景”，有利于激发学生的学习愿望和参与动机，能使学生主动地融入问题中，积极主动地投入到自主探索、合作交流的氛围中，也能够化解教学中的一些重难点。

其次，教师的角色要转化

新课程强调转变教师的角色，突出学生的这一主体，这是绝对正确的。教师不仅是知识的呈现者，而且是信息的重组者；不仅是对话的提问者，而且是疑问的激发者；不仅是学习的辅导者，而且是学习的促进者；不仅是课堂的管理者，而且是课堂的合作者；不仅是学业的评价者，而且是成长的记录者。教师应成为课堂的导演，而学生理应成为课堂的演员。教学作为一个过程，是教师和学生主体交互作用的过程，是教师与学生合作的过程，任何一个教学目标的实现，既离不开学生，也离不开教师，学生力所能及的教师要避之，学生力所难及的教师助之，学生力所不及的教师为之。

第三，教学中切实做到让学生学习方式有所转化

新课标大力地提倡学生的合作学习，因为合作学习方式是在当学生个人遇到难以独立解决的学习任务时应用，通过合作学习达到解决问题、提高能力的目的。而在大多数的教师观念中，合作学习主要适宜教材中比较简单的学习任务，所以课堂中呈现出来的所谓的合作学习往往只是同学们“合作”找出老师布置的问题的答案，然后派一个代表进行回答。这显然是一种错误。因此教师在小组合作时，一要把握好时机；二要精心设计合作学习的内容；三要进行合理地分组；四要明确小组合作的目标。真正让小组合作在新课程的课堂上发挥作用，而不是热热闹闹走过场。

第四、课堂评价方式要转化

标准认为，对学生数学学习的评价，“既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成和发展，要多用激励性评价，发挥评价的激励作用。”因此，在今后的课堂教学中，我们一定要做到不吝啬自己的表扬和鼓励，但也要把握好评价的尺度，不要过多过滥，肯定好的，善待学生出现在错误，尽量让学生说出自己的思考过程，然后在作评价，要善于接纳学生，乐意听学生说，给学生提供一个安全和谐的心理环境。因为只有这样，学生的思维和情感才能得到发展。

有了以上的几点教学上的研究和入手点，我相信，经过一段时间的磨练，在教学的处理上一定会有很大的进步，而在学生方面，也一定会有预想不到的效果。

1、学生学习的主动性、积极性会被激发出来，而创新思维也会得到一定的培养。学生成为了课堂上的主体，更能积极主动参与知识的发现，全身心的投入到一节数学课的听课中，效率提高了，自然成绩也就有了保证，以前所缺乏的信心从此可以找回。

2、现在的很多学生有些很不好的学习习惯，比如“闭门造车”，自己学习自己思考，很少与周围的同学进行交流，或者，一遇到困难便不加思索，直接请教其他同学或者向老师提问。那么，鼓励学生通过自主探索与合作交流，做到将“游离”状态的数学知识点凝结成优化的数学知识结构，将模糊、杂乱的数学思想清晰和条理化，同时，相互学习，通过交流去学习数学而获得美好的情感体验。

3、每个班的学生智力发展水平及个性特征总是有差异的，同一事物理解的角度和深度必然存在明显差异，那么，当我们做到了尊重学生的个体差异，改变课堂的评价方式，我想，我们就能与学生建立起一种平等、信任、理解和相互尊重的和谐师生关系，营造出一种民主的课堂教学环境，学生才会在此环境中大胆发表自己的见解，展示自己的个性特征，从而增强学习数学的兴趣和信心。有了兴趣自信心，学生便能在数学的海洋里尽情的遨游，教学效果才能进一步的提高。

答:新课程推进以后，教师的问题成为了第一问题，怎么样能够使我们的教师更好地适应我们作为新课程来讲，它的课程结构发生了很大的变化，比如选修课这样一些新的内容，教师面临一种全新的感觉，跟以前的课程是不一样的，这种课程的学习也需要我们做校园教研，所以说，新课程对于我们教师来讲，它还是非常需要通过研究来了解，来落实的.第二个方面，就是作为国家课程，这样一种内容的学习，另外一个在教育上，作为教师他自身的一种理解，作为教师由一个一般的教师能够承担我们的课程，以及发展成为一个优秀教师，更好地落实这个课程，在这里教师有一个自身发展的需要,这种发展是需要通过

教学教研来实现的。

首先，利用工作之余研读一些教育理论书籍并做好读书笔记，为研究课题打好理论基础；其次，随着数学课教学的进行对学生进行实验基础知识和基本操作技能培训以及进行探究性实验的一般方法的培训；再次，完成现代信息技术数学教学案例，并且进行实验教学，记录教学的现象，检测教学效果，比较分析得出结论；最后，针对相关的实验课题让学生自己进行探究，考查评价学生进行数学探究性实验的能力是否有变化。从而达到增强了视觉冲击力，激发了学生的求知欲，减少了学生学习习近平面解析几何的困难，提高了学生的学习数学的兴趣，动手“做”几何使学生通过动手动脑正确理解几何概念的形成过程及原理，培养了认知发现、转换问题的能力，提高数学建模和解决实际问题的能力，整合提高了教与学的效率。

通过参加高中数学新课程的研修，收获很大，感触很深。教育观念的转变不是一朝一夕的事，教学模式在传统教育中根深蒂固，做起来是有难度的，但我相信会在较短的时间内得到转变，适应新课改的要求，探索出新课改教学的路子。

教学研究采取多种形式，一是自学，尽管网上集中学习将告一段落，但学习不能放松，继续学习通过网上平台和资源，理解专家讲座，梳理知识体系，探索教学模块的设计，领会新教材的知识发生发展的螺旋式上升的认知规律，学习先试行的省的教改经验，将学习进行到底，不半途而废；二是通过假期认真专研教材，通读一遍教本，领会教材意图，比较原有教材与新教材的异同，内容上的调整，难度上的把握，新增内容的学习，模块间的联系；教学理念上的转变，教学手段上的更新，教学方式上的探索。三是积极参加各种培训，学校的的教学研究是最直接，最有效的途径，备课组里研究不择时间地点和形式，统一教材，统一进度，通过定时间，定地点，定内容，定发言人，交流学习体会，讨论教学重点难点和教学方法，及时讨论研究发现问题，教学过程中有新的体会相互学习，发挥整体优势，新课改才会成功，整个年级学校的把握新教材的能力才会得到同步提高，达到课改的效果。关键是教学观念的转变，以学生为本，引导学生发现问题，探索问题，解决问题，自主学习，学会学习，学会获取知识的方法，学会创新的发现，学会在工作和生活有获取知识的的能力。

预期的成果是能够适应新课改的要求，最短时间转变新课改的教学方法上来。新的起点，新的课题，新的挑战，新的开始，从0开始，只要努力学习，我们会成为新课改教学的内行。

第五篇：高中数学教学论文 中学数学中的反证法

中学数学中的反证法

摘要：对于反证法，人们常常有一种对其功能认识不是的误解。为此本文对反证 法的基本概念、步骤、及其正确使用等方向进行了阐述。关键词：中学数学;反证法;间接证法

引言：

去掉大米中的砂粒，有两种方法。一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地捡出来；一种是用间接的方法——淘洗法，把砂粒残留下来。这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的。但直接方法困难得很，间接方法却容易的多。在数学解题中，也常用间接的方法（即有些命题不易用直接的方法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真的证明方法）来证题。下面我们就来谈谈数学证明的间接方法之一——反证法。

一、反证法的基本概念

反证法是指“证明某个命题时，现假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法，叫做反证法。

反证法的原理是：假设命题不真，也就是说，我们附加一个与要证明的结论完全相反的假设条件（反正假设）到已知条件中去，利用一系列的推理，得到矛盾的结论（与已知条件矛盾，与已证明过的数学命题矛盾，与刚提出的反证假设矛盾，或是导出两个自相矛盾的结论），依据排中律，附加的条件不真，从而，证得原命题成立。

反证法的基本思想是：将否定结论作为条件就会导致矛盾。这种基本思想可以用下面的公式来表示： “否定推理矛盾肯定”

“否定”——假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立。即首先否定结论。

“推论”——从原条件和新作的假设出发，引用一系列的论据进行推理。

“矛盾”——通过推理，导致矛盾，即得出与已知条件、定义、公理、定理或明显的事实相矛盾的结果。

“肯定”——由于推理过程正确，矛盾产生的原因是由假设所引起，因此假设是错的，从而肯定原结论的正确。

二、反证法的步骤：

用反证法证题一般分为三个步骤：

1.假设原命题的结论不成立；

2.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确。

即：提出假设例1：已知：求证：直线

推出矛盾

和是异面直线。

肯定结论

证明：【提出假设】假设直线内，那么这个平面一定经过点【推出矛盾】直线，经过点

内 矛盾。

和是异面直线。

和在同一平面 和直线。

和直线只能有一个平面

与应在平面,这与已知【肯定结论】直线在运用反证法证题时，必须认真考察原命题的结论，并找出结论反面的所有情况，因为结论的反面可能只有一种情况，也可能有多种情况。因此，反证法分为归谬法和穷举法两种。当结论的反面只有一种情况时，只要否定这一情况就能证明原命题结论的正确，这种反证法叫归谬法；当结论的反面有多种情况时，必须一一予以否定才能证明原命题的正确，这种反证法叫穷举法。例2：已知：，求证：。

>2，因此用反证法证明时，只要否定了这种情分析：此题的结论的否定只有一种情况况，就能肯定证明：假设>>的这种情况了。>2，则>

==

由此可知：

例3：已知：平面求证：与，这与已知矛盾。

∥平面，直线.也相交。

分析：此题结论的否定有两种情况： 1；2∥.用反证法证明时，只有把这两种情况都否定了，才肯定与相交。

能

证明省略。

三、反证法的正确使用

任何方法都有它成立的条件，都有它适用的范围。离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，也会影响解题的成功率。因此，我们应该学会正确使用反证法来解题。

1.注意其适用范围。虽然反证法是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如适用范围广、思想选择的余地大、推理方便等。但是并不是每一道题都能用反证法来解的。例4：如果对任何正数试证之。

证明：假设>0，则二次函数当增大时，抛物线就沿

轴向上平移，而当的图象是开口向上的抛物线，显然可见，值增大到相当大的正数时，抛物线就上开

>0，这，二次方程的两个根是正实数，则系数，到与轴没有交点，则对这样的一些一假设与已知矛盾。同理，<0，也不合题意。

值，二次方程的实数根就不存在。因此，综上所述，当>0和<0时均不合题意。因此，分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了。因为，本题的题设条件为对任意正数设条件与结论是矛盾的； 当何正数时，二次方程就变成了一次方程，它只有一个根；在时，仅当，此一次方程在时，对于任，有两个正实数根，结论是，但本题的题

>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根。题设条件和结论矛盾。因此，本题不能反证法来处理。若原题改为“如果对于任何正数，只存在正实根，则系数

”，就能用反证法证明了。

因此，对于下列命题，较适用反证法来解决。

1对于结论是否定形式的命题；

2对于结论是以“至多”，“至少”或“无限”的形式出现的命题； 3对于结论是以“唯一”或“必然”的形式出现的命题；

4对于可利用的公理定理较少或者较以与已知条件相沟通的命题。

例5：设、都是正数，求证：.证明：反设不成立，便有>，由对称性知：>

相加：>

即：>

这一矛盾说明正确

从而

即

交换、位置：

合并得：

2.提出假设时，要分清结论反面的全部情况，即不能多，也不能少。例6:求证：五个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数。证明：设五个连续自然数是，，则

是一个关于为一个完全平方数，即二次三项式

与

矛盾。的二次三项式，若其

有两个相等的实根，于是有即五个连续自然数的平方和不是一个完全平方数。

分析：本题的证明过程似乎也合理，但其实它的假设发生了错误。原结论是对于任何大于2的自然数，数使是不能推出例如：不是完全平方数，所以结论的反面应是至少存在一个大于2的自然是一个完全平方数，而不是对所有的。当

时是一个完全平方数，但是

是一个完全平方数，于3.推出矛盾时，一般说来，根据条件和假设，通过推理导出与下列矛盾之一即可： 1与题设矛盾； 2与定义相矛盾； 3与定理相矛盾； 4与公理相矛盾； 5与客观事实相矛盾； 6自相矛盾；

例7：设、、>0，求证：，三个数中至少有一个不大于.证明：假设三个数都大于，则

>【1】

另一方面，根据平均值不等式：

5，同理：，于是：【1】与【2】矛盾。所以原命题成立。小结：

【2】

反证法是数学证明中的一种重要方法。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。它是从否定命题的结论出发，通过正确的逻辑推理导出矛盾，从而证明了原命题的正确性的一种重要方法。反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的。对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一。参考文献：

反证法初探；数学通讯；2001年13期 浅议反证法；教育实践与研究；2002年02期 反证法；数学通讯；2000年24期 反证法的应用；中等数学；2005年03期