数学分析十讲习题册、课后习题答案

数学分析十讲习题册、课后习题答案

习

题

1-1

1．计算下列极限

（1）,解：原式=

==

（2）；

解：原式

（3）

解：原式

（4），解：原式

（5）

解：原式

=

（6），为正整数；

解：原式

2．设在处二阶可导，计算.解：原式

3．设，存在，计算.解：

习

题

1-2

1.求下列极限

（1）;

解：原式，其中在与之间

（2）;

解：原式===，其中在与之间

（3）

解：原式，其中在与之间

（4）

解：原式，其中其中在与之间

2．设在处可导，计算.解：原式

习

题

1-3

1．求下列极限

（1）,解：原式

（2）;

解：

（3）;

解：原式

（4）;

解：原式

2.求下列极限

（1）;

解：原式

（2）;

解：原式

习

题

1-4

1．求下列极限

（1）；

解：原式

（2）求；

解：原式

（3）；

解：原式

（4）；

解：原式

此题已换3．设在处可导，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值.解：因为，所以

从而

解得：

3．设在处二阶可导，用泰勒公式求

解：原式

4.设在处可导，且求和.解

因为

所以,即

所以

习

题

1-5

1.计算下列极限

(1)

;

;

解：原式

(2)

解：原式

2．设，求

(1)；

解：原式

(2)，解：由于，所以

3．设，求和.解：因为，所以

且

从而有stolz定理，且

所以，4．设，其中，并且，证明：.证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证。

又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记

在两边令，可得

所以

习

题

1-6

1.设在内可导，且

存在.证明:

证明：

2.设在上可微，和存在.证明:.证明：记（有限），（有限），则

从而

所以

3.设在上可导，对任意的,，证明:.证明：因为，所以，由广义罗必达法则得

4．设在上存在有界的导函数，证明:.证明：，有界，所以

习

题

2-1

（此题已换）

1.若自然数不是完全平方数，证明是无理数.1.证明是无理数

证明：反证法.假若且互质，于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾

2.求下列数集的上、下确界.（1）

解：

（2）

解：

（3）

解：

（4）.解：

3．设，验证.证明：由得是的一个下界.另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在区间中必有有理数，则且

不是的下界.按下确界定义，.4．用定义证明上（下）确界的唯一性.证明：设为数集的上确界，即.按定义，有.若也是的上确界且

.不妨设，则对

有即

矛盾.下确界的唯一性类似可证

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题

2-2

1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界.证明：设是的一个下界，不是的下界，则.令，若是的下界，则取；

若不是的下界，则取.令，若是的下界，则取；

若不是的下界，则取；……，按此方式继续作下去，得一区间套，且满足：

是的下界，不是的下界.由区间套定理，且.下证：

都有，而，即是的下界.由于，从而当充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界

2.设在上无界.证明：存在,使得在的任意邻域内无界.证明：由条件知，在上或上无界，记使在其上无界的区间为；再二等分，记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，得一区间套，满足在上无界.根据区间套定理，且.因为对任意的，存在，当时，有，从而可知

在上无界

3.设,在上满足，若

在上连续,在上单调递增.证明：存在,使.证明：记且二等分.若，则记若则记.类似地,对已取得的二等分,若，则记；若，则记按此方式继续下去，得一区间套，其中

根据区间套定理可知，且有

.因为在上连续，所以

注意到

可得，再由

可知，.习

题

2-3

1.证明下列数列发散.(1),证

因为，所以发散.(2),证明：因为

所以发散.2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列.证明：由收敛数列与子列的关系，结论显然

不妨假设数列单调递增，且存在收敛子列，由极限定义

对任意给定的，总存在正整数，当时，从而有；

由于，对任意，存在正整数，当时，取，则任意时，所以，即

3.设极限存在,证明：.证明：记由海茵定理，取，得

取，得

取，得，解得

（此题取消）4.数列收敛于的充要条件是：其偶数项子列和奇数项子列皆收敛于

（此题改为4）5.已知有界数列发散，证明:存在两个子列和收敛

于不同的极限.证明：因为有界，由致密性定理，必有收敛的子列，设.又因为不收敛，所以存在，在以外，有的无穷多项，记这无穷多项所成的子列为，显然有界.由致密性定理，必有收敛子列，设，显然

.习

题

2-5

1.用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性

(1)

解：

所以，对，即为柯西列

(2)

.解：

所以，对，即为柯西列

2.满足下列条件的数列是不是柯西列?

(1)

对任意自然数,都有

解：不是柯西列，如，对任意的自然数，但数列不收敛。

(2),解：

所以，对，即为柯西列

(3).证明：记，则单调递增有上界，从而必有极限，记

对

从而

故

是柯西列

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题

3-1

1.设定义在上的函数在内连续,且和存在(有限).问在上是否有界?

是否能取得最值?

解：在闭区间上构造辅助函数

则在上连续，从而在上有界.由于，故

在上也有界，即存在，使得

.令，则有

.条件同上，但在上却不一定能取得极值.例如：

2.设在内连续,且.证明在内可取得最小值.证明：因为，所以，当时，有

因为，所以，当时，有

从而当时，有

又在连续，从而一定可以取到最小值，即，使当时，且；

故时，有

所以在处取到最小值

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题

3-2

（此题已换）1.设，,.证明:方程在和内恰好各有一个实根.1.证明开普勒(Kepler)方程有唯一实根

证明：令，则在连续且，由零点原理，使，即方程至少有一实根

又，所以在单调递增，所以方程有唯一实根

（此题已换）2.设函数在（）内连续且有极值点.证明:

存在使得

2.设，讨论方程实根的个数

解：step1.令，则，由零点原理，在至少有一实根，又，所以在单调递增，从而方程在内有且仅有一实根。

step2.令，则，且，所以

当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数在点取得极小值。所以，当时，方程在无解；当时，在有一解；当时，在有两解

综上：当时，方程有一解；当时，有两解；当时，有三解

3.设在上连续，.证明存在使.证法1

因为在上连续，所以存在最大值和最小值，且使，从而有.由介值定理知，使.证法2

因为有界，所以存在收敛子列.而在上连续，故有

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题10-2

1.设在上连续，为自然数.证明：

（1）若，则存在使得

证明：令，则，且，从而

若，使，取即可

否则，使，由零点原理，或，使

综上，使，即

（2）若则存在使得

解：取，方法同上

2.设在上连续，且

证明：存在使

证：由已知经计算得

1）若或，由积分中值定理，使，从而

2）否则，a）若，同1），由积分中值定理，使

b）与异号，由中值定理，使，且

所以，有零点原理，使

3.设,求证

(1)

对任意自然数,方程在内有唯一实根;

证明：时，在上有唯一实根

时，有，且，由零点存在原理，使，即在上有一实根

又，故严格单调递减，所以方程在内有唯一实根

(2)

设是的根,则.证：对，从而，有因为严格单调递减，故，即严格单调递增。又有界，所以收敛。

设，由于，所以，在，令，有，所以，即

4.设在上连续，不恒为常数,且.证明存在，使

．

证：令，因为在上连续，不恒为常数,且，所以，使，于是，由零点原理：

证明存在，使，即．

习

题4-1

1．证明函数没有原函数.证：设存在原函数，即，则且，由于，由达布定理，使，矛盾，所以无原函数

2．设在上可导，证明：

（1）若

则存在使

证明：若，则取或均可；否则，又达布定理，存在介于与之间，使综上存在使

（2）若

则存在使

证明：若，则取或均可；否则，由达布定理，存在介于与之间，使；

综上存在使

习

题4-2

1．求下列函数的导函数，并讨论导函数的连续性.（1）；

解：，则在连续，且

时，，从而

时，，从而

所以

从而在连续。

所以在连续

（2）；

解：显然在连续，且

时，，从而；

时，，从而

所以

从而在连续。

所以在连续

2.设.当分别满足什么条件时，（1）在处连续；

解：，即，所以

（2）

在处可导；

解：存在，即存在，所以

（3）在处连续？

解：，由，即，所以

3．分别用两种方法证明符号函数不存在原函数.证明：法一

设存在原函数，即，则且，由于，由达布定理，使，矛盾，所以无原函数

法二

由单侧导数极限定理，导函数不存在第一类间断点，而有第一类间断点，从而

无原函数

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题5-1

.1.设函数在上可导.（1）若，.证明存在使；

证明：令，则，且，由广义洛尔定理，使，即，所以

(2)

若，证明存在使得；

证明：令，则，且，由广义洛尔定理，使，即，所以

习

题5-2

1．设在上可导，且，其中为常数.证明：存在，使.证明：由积分中值定理，使

令，则，且，由洛尔定理，使，即，从而

2．设在上可导，且证明：存在，使

证明：由积分中值定理，使

令，则，且，由洛尔定理，使，即，从而

3．设在上可导，且.证明：存在使

证明：由积分中值定理，使

令，则，且，由洛尔定理，使，即，从而

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题6-1

1.若在区间上是凸函数，证明对任意四点，有.其逆是否成立？

证明：因为在区间上是凸函数，由三弦不等式，且，所以成立。其逆成立

2.设均为区间上的凸函数，证明：也是上凸函数..证明：设，则对，有，且，从而，由凸函数的定义，也是上凸函数

习

题6-2

1.验证下列函数是（严格）凸函数.（1）

解：，（），所以是上的严格凸函数

（2）

解：，（），所以是上的严格凹函数

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题6-3

1．证明不等式

（1）

证：设，则（），所以是上的严格凸函数；从而，有，即

（2）

证：设，则（），所以是上的严格凸函数；从而，有，可得，即，又因为，所以

习

题

9-1

1.求下列函数项级数的收敛域

(1)；

解：，从而当时，级数绝对收敛；当时，级数绝对收敛；当时，发散；当时，发散，所以，级数的收敛域为

(2)

.解：，所以

当时，级数发散；当时，级数发散；当时，级数绝对收敛；当时，级数绝对收敛；当时，级数发散；当时，级数发散；当时，级数收敛；

所以原级数的收敛域为

习

题

9-2

1.证明函数项级数在上一致收敛.证明：，从而

所以对任意的，由，得对，取，当时，对任意的成立，因此，在上一致收敛到

2.设在区间上一致收敛于,且对任意有.试问是否存在,使当时,对任意有?

解：答案不正确；例

在内一致收敛到，且，有；但，和，使

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题

9-3

1.利用定理9.3.1＇证明下列函数项级数不一致收敛.(1)，证：，级数的部分和，从而，在不连续，故级数不一致收敛。

(2),.证：，级数的部分和，从而，在不连续，故级数不一致收敛。

2.设试问在上是否一致收敛?是否有

解：对，但对，都，使，所以在上不一致收敛

另外，所以

3.设试问在上是否一致收敛?是否有?

其中

解：对，有，从而

但对，都，使

所以在上不一致收敛

又，所以

4.求的收敛域，并讨论和函数的连续性.解：设，则，有根值判别法，当时，级数绝对收敛；当时，级数发散；当时，级数发散；所以级数的收敛域为。

对，总，使，从而在上连续，且在一致收敛，从而在上连续，故在上连续，由得

在上连续

习

题

9-4

1.讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性.（1），；

解：对，又在处取得最大值，从而对，取，则对，有，所以在一致收敛

（2）；

（i），解：对，对，取，则对，有，所以在一致收敛

（ii）；

解：对，对，，使，所以在不一致收敛

2.讨论下列函数项级数的一致收敛性.（1），；

解：对任意的，而收敛，由M判别法，原级数一致收敛。

（2），.解：对任意的，而收敛，由M判别法，原级数一致收敛。

3.设，.证明函数项级数在上一致收敛，并讨论其和函数在上的连续性、可积性与可微性.解：由对任意的成立，从而

而收敛，由M判别法知在上一致收敛

（1），在上一致收敛，所以和函数在连续（定理1）

（2），在上一致收敛，所以和函数在可积（定理2）

（3）由，收敛，由M判别法知在上一致收敛，从而和函数在可微。（定理3）

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题10-1

1．一块金属板平底锅在平面上占据的区域是,已知板上点处的温度为.锅底上点处的蚂蚁为了逃向温度更低的地方,它的逃逸方向为（D).；

；；

.解：，而梯度方向是温度降低最快的方向

2．一个高为的柱体储油罐，底面是长轴为，短轴为的椭圆，现将储油罐平放，当油罐中油面高度为时，计算油的质量。（长度单位为m，质量为kg，油的密度为常数）.解：储油罐平放一般指长轴平行与地面，当油罐中油面高度为时，垂直地面的截面面积为（平方米）

所以

4．在一个形状为旋转抛物面的容器内，已经盛有的水，现又倒入的水，问水面比原来升高多少.解：旋转抛物面容器的体积是深度的函数，从而，所以题中水面升高的高度为

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题10-3

1.设，证明：

（1）当时，；

证明：取，则，所以为上的严格凸函数，从而对，由定理6.2.3，恒有，即

所以

（2）当或时，．

证明：取，则，所以为上的严格凸函数，从而对，由定理6.2.3，恒有，即

2.设

证明:

证明：令，利用单调性可证（略）