专题28 纵观全局——整体思想
阅读与思考
解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。与分解、分部处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题方向的策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径主要有：
1.整体观察
2.整体设元
3.整体代入
4.整体求和
5.整体求积
注：既看局部，又看整体；既见“树木”，又见“森林”，两者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法．
例题与求解
【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是38000元。由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际平均年收入高出了342元，则输入计算机的那个错误数据是
．
（北京市竞赛题）
解题思路：有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元．
注：有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到沟通已知与未知的辅助的作用，因此可“设而不求”，通过整体考虑，直接获得问题的答案．
【例2】设是不全相等的任意数，若，则（）
（全国初中数学联赛试题）
A.都不小于零
B.都不大于零
C.至少有一个小于零
D.至少有一个大于零
解题思路：由于的任意性，若孤立地考虑，则很难把握的正负性，应该考虑整体求出的值．
【例3】如果a满足等式，试求的值．
(天津市竞赛题)
解题思路：不能直接求出的值，可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代入求值．
注：整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现．
【例4】已知，代数式，求当时，代数式的值．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
解题思路：的值无法求出，将给定的值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代入求值．
【例5】已知实数满足方程组．
求的值．
（上海市竞赛题）
解题思路：将上述六个式子看成整体，通过⑥－⑤，④－③，②－①分别得到．
【例6】如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内，使得任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M得最小值并完成你的填图．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）＼
解题思路：解答此题的关键是根据题意得出，这是本题的突破口．
注：在解答有同一结构的问题时，可将这一相同结构看作一个整体，用一个字母代换，以此达到体现式子结构的特点，化繁为简的目的．
能力训练
1．已知密码：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码翻译成式子是
2．若a，b，c的值满足，则
(“城市杯”竞赛试题)
3．角中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，全班得到23.5°，24.5°，25.5°这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的答案是
4．如果，那么=
（“希望杯”邀请赛试题）
5．已知都是正数，设，那么与的大小关系是
．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
6．若方程组有解，则
（湖北省武汉市选拔赛试题）
7．若正数满足不等式，则的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
8．若，则的值是（）
A．
B．
C．
D．
9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三人中最大年龄与最小年龄的差是（）
A．
B．
C．
D．
10．设，满足等式，则
中至少有一个值（）
A．
B．
C．
D．
（全国初中数学联赛试题）
11．12．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为5，试求这个四位数．
（江苏省竞赛试题）
13．代数式中，可以分别取+1或-1．
（1）证明代数式的值都是偶数．
（2）求这个代数式所能取到的最大值．
（“华罗庚金杯”竞赛试题）
14．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和（1）大于9？（2）大于10？
若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．
（江苏省竞赛试题）
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