2006年普通高等学校招生全国统一考试
上海卷
数学(文史类)
一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空填对得4分,否则一律得零分。
1、已知,集合,若,则实数。
2、已知两条直线若,则____.3、若函数的反函数的图像过点,则。
4、计算:。
5、若复数满足(为虚数单位),其中则。
6、函数的最小正周期是_________。
7、已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为,则双曲线的标准方程是____________________.8、方程的解是_______.9、已知实数满足,则的最大值是_________.10、在一个小组中有8名女同学和4名男同学,从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是______(结果用分数表示)。
11、若曲线与直线没有公共点,则的取值范围是_________.12、如图,平面中两条直线和相交于点,对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离,则称有序非负实数对是点的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是____________.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。
13、如图,在平行四边形中,下列结论中错误的是
()
(A)
(B)
(C)
(D)
14、如果,那么,下列不等式中正确的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
15、若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()
(A)充分非必要条件
(B)必要非充分条件
(C)充分必要条件
(D)既非充分又非必要条件
16、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
(A)48
(B)
(C)
(D)36
三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤。
17、(本题满分12分)
已知是第一象限的角,且,求的值。
18、(本题满分12分)如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西,相距10海里处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援(角度精确到)?
19、(本题满分14)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。
在直三棱柱中,.(1)求异面直线与所成的角的大小;
(2)若与平面S所成角为,求三棱锥的体积。
20、(本题满分14)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。设数列的前项和为,且对任意正整数。
(1)求数列的通项公式
(2)设数列的前项和为,对数列,从第几项起?
21、本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,设点.(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;
(3)过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值。
22(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分。
已知函数有如下性质:如果常数,那么该函数在上是减函数,在上是增函数。
(1)如果函数在上是减函数,在上是增函数,求的值。
(2)设常数,求函数的最大值和最小值;
(3)当是正整数时,研究函数的单调性,并说明理由。
上海数学(文史类)参考答案
一、(第1题至笫12题)
1.4
2.2
3.4.5.3
6.π
7.8.5
9.0
10.11.-1
12.4
二、(第13题至笫16题)
13.C
14.A
15.A
16.D1、已知,集合,若,则实数。
2、已知两条直线若,则2.3、若函数=(>0,且≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则原函数的图象过点(-1,2),∴,=.
4、计算:。
5、若复数满足(为虚数单位)为纯虚数,其中,则m=2,z=3i。
6、函数=sin2x,它的最小正周期是π。
7、已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为,即,解得,则双曲线的标准方程是.8、方程的解满足,解得x=5.9、已知实数满足,在坐标系中画出可行域,得三个交点为A(3,0)、B(5,0)、C(1,2),则的最大值是0.10、在一个小组中有8名女同学和4名男同学,从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是.11、曲线得|y|>1,∴
y>1或y<-1,曲线与直线没有公共点,则的取值范围是[-1,1].12、如图,平面中两条直线和相交于点,对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离,则称有序非负实数对是点的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个,所以满足条件的点的个数是4个.二、选择题:
13.C
14.A
15.A
16.D
A
B
C
D
13.如图,在平行四边形ABCD中,根据向量的减法法则知,所以下列结论中错误的是C.
14、如果,那么,∴,选A.15、若空间中有两条直线,若“这两条直线为异面直线”,则“这两条直线没有公共点”;若
“这两条直线没有公共点”,则
“这两条直线可能平行,可能为异面直线”;∴
“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件,选A.16、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”,分情况讨论:①
对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24个;②
对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个;所以正方体中“正交线面对”共有36个.选D.三、(第17题至笫22题)
17.解:=
由已知可得sin,∴原式=.18.解:连接BC,由余弦定理得BC2=202+102-2×20×10COS120°=700.于是,BC=10.∵,∴sin∠ACB=,∵∠ACB<90°
∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.19.解:(1)
∵BC∥B1C1,∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)
∵∠ABC=90°,AB=BC=1,∴∠ACB=45°,∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.(2)
∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角,∠ACA
=45°.∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC=,∴AA1=.∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=.20.解(1)
∵an+
Sn=4096,∴a1+
S1=4096,a1
=2048.当n≥2时,an=
Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)=
an-1-an
∴=
an=2048()n-1.(2)
∵log2an=log2[2048()n-1]=12-n,∴Tn=(-n2+23n).由Tn<-509,解待n>,而n是正整数,于是,n≥46.∴从第46项起Tn<-509.21.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由
x=
得
x0=2x-1
y=
y0=2y-
由,点P在椭圆上,得,∴线段PA中点M的轨迹方程是.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(-,-),则,又点A到直线BC的距离d=,∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥-1,得S△ABC≤,其中,当k=-时,等号成立.∴S△ABC的最大值是.22.解(1)
由已知得=4,∴b=4.(2)
∵c∈[1,4],∴∈[1,2],于是,当x=时,函数f(x)=x+取得最小值2.f(1)-f(2)=,当1≤c≤2时,函数f(x)的最大值是f(2)=2+;
当2≤c≤4时,函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)设0
当0
在(-∞,-]上是增函数,在[-,0)上是减函数.当n是偶数时,g(x)是偶函数,函数g(x)在(-∞,-)上是减函数,在[-,0]上是增函数.