2008年普通高等学校招生全国统一考试
数
学（文史类）（福建卷）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于
A.{x|0＜x＜1}
B.{x|0＜x＜3}
C.{x|1＜x＜3}
D.￠
（2）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（3）设|an|是等左数列，若a2=3,a1=13,则数列{an}前8项的和为
A.128
B.80
C.64
D.56
（4）函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R)，若f(a)=2,则f(-a)的值为
A.3
B.0
C.-1
D.-2
(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是
A.B.C.D.(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为
A.B.C.D.（7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为
A.-sinx
B.sinx
C.-cosx
D.cosx
(8)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2ac,则角B的值为
A.B.C.或
D.或
(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
A.14
B.24
C.28
D.48
(10)若实数x、y满足则的取值范围是
A.（0，2）
B.（0，2）
C.(2,+∞)
D.[2，+∞)
（11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么
导函数y=f(x)的图象可能是
（12）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PE2|，则双曲线离心率的取值范围为
A.（1，3）
B.（1，3）
C.（3，+∞）
D.[3，+∞]
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）（x+）9展开式中x2的系数是
.（用数字作答）
（14）若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是
.（15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是
.（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集QM,则数集M必为数域;
④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是
.（把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）
已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值；
(Ⅱ)求函数R)的值域.（18）（本小题满分12分）
三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；
(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.（20）（本小题满分12分）
已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn
·bn+2＜b2n+1.(21)（本小题满分12分）
已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称.(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.(22)（本小题满分14分）
如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；
(ⅱ)求△AMN面积的最大值.2008年普通高等学校招生全国统一考试
数
学（文史类）（福建卷）参考答案
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）A
（2）C
(3)C
(4)B
(5)C
(6)D
（7）A
（8）A
(9)A
(10)D
(11)A
(12)B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.（13）84
（14）（15）9（16）①④
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）由题意得
m·n=sinA-2cosA=0,因为cosA≠0,所以tanA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因为xR,所以.当时，f(x)有最大值，当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是
（18）本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分12分.解：记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3)，依题意有
且A1，A2，A3相互独立.（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有
B＝A1·A2··A1··A3+·A2·A3且A1·A2·，A1··A3，·A2·A3
彼此互斥
于是P(B)=P(A1·A2·)+P（A1··A3）+P（·A2·A3）
＝
＝.答：恰好二人破译出密码的概率为.（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.D＝··，且，互相独立，则有
P（D）＝P（）·P（）·P（）＝＝.而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，PB＝,cos∠PBO=,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，在Rt△POC中，PC＝，所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.又S△=
设点A到平面PCD的距离h，由VP-ACD=VA-PCD，得S△ACD·OP＝S△PCD·h，即×1×1＝××h，解得h＝.解法二：
（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），∞〈、〉=，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），则 n·＝0，所以-x0+
x0=0,n·＝0，-x0+
y0=0，即x0=y0=x0,取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).又=(1,1,0).从而点A到平面PCD的距离d＝
（20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.满分12分.解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ ···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1
＝=2n-1.因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b,解法二：
（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b2=1,bn·bn+2-
b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-
b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，所以bn-bn+2 （21）本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3,……① 由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n; 而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,代入①得n=0.于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)>得x>2或x<0,故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f′(x)<0得0 X (-∞.0) 0 (0,2) (2,+ ∞) f′(x) + 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 由此可得： 当0 当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值； 当1 当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.综上得：当0 （Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b2=a2-c2=3,所以椭圆C前方程为.(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1.……① AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0.设M(x0,y0),则有 n(x0-1)-(m-1)y0=0,……② n(x0-4)+(m-4)y0=0,……③ 由②，③得 x0=.所以点M恒在椭圆G上.(ⅱ)设AM的方程为x=xy+1,代入＝1得（3t2+4）y2+6ty-9=0.设A(x1,y1),M（x2，y2），则有：y1+y2= |y1-y2|= 令3t2+4=λ(λ≥4),则 |y1-y2|＝ 因为λ≥4，0< |y1-y2|有最大值3，此时AM过点F.△AMN的面积S△AMN= 解法二： （Ⅰ）问解法一： （Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),……① AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0,……② n(x-4)-(m-4)y=0,……③ 由②，③得：当≠.……④ 由④代入①，得=1（y≠0）.当x=时，由②，③得： 解得与a≠0矛盾.所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.（Ⅱ）同解法一.
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