2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷）
数学（理工农医）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是
2．复数的值是
3．已知为异面直线，，则
4．不等式的解集是（）
5．在内，使成立的取值范围为（）
6．设集合，则（）
7．正六棱柱底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线与所成的角是（）
8．函数是单调函数的充要条件是（）
9．已知，则有（）
10．平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中有且，则点的轨迹方程为（）
11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）
12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”如果“十·五”期间(2001年—2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（）
亿元
亿元
亿元
亿元
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．函数
图象与其反函数图象的交点坐标为▁▁▁▁▁
14．椭圆的一个焦点是，那么▁▁▁▁▁▁
15．直线与曲线所围成的图形绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积等于▁▁▁▁▁▁
16．已知函数，那么▁▁▁▁▁▁
三．解答题（本大题共6小题，共74分）
17．（本题满分12分）已知求的值
18．注意：考生在以下（甲）、（乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（甲）计分
（甲）如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为
（1）建立适当的坐标系，并写出点的坐标；
（2）求与侧面所成的角
（乙）如图，正方形的边长都是1，而且平面互相垂直点在上移动，点在上移动，若
（1）求的长；
（2）当为何值时，的长最小；
（3）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小
19．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
20．（本题满分12分）已知，函数设，记曲线在点处的切线为
（1）求的方程；
（2）设与轴交点为证明：
（ⅰ）；（ⅱ）若则
21、（本题满分12分）已知两点，且点使，成公差小于零的等差数列
（1）点P的轨迹是什么曲线？
（2）若点P坐标为，记为与的夹角，求
22、（本题满分14分）已知是由非负整数组成的数列，满足，(1)求；
(2)证明；
(3)求的通项公式及其前项和
2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷）
数学（文史类）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.若直线与圆相切，则的值为
2.已知为异面直线，，则
3.不等式的解集是（）
4.函数在上的最大值与最小值的和为3，则的值为（）
5.在内，使成立的取值范围为（）
6.设集合，则（）
7.椭圆的一个焦点是，那么（）
8.正六棱柱底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线与所成的角是（）
9．函数是单调函数的充要条件是（）
10．已知，则有（）
11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）
12．平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中有且，则点的轨迹方程为（）
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积
如图所示，其中，从▁▁▁▁年到▁▁▁▁年的五年间增长最快
14．已知，则
▁▁▁▁▁▁
15．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）:
其中产量比较稳定的小麦品种是▁▁▁▁▁▁（复查至此）
16．设函数在内有定义，下列函数；
；；
中必为奇函数的有▁▁▁▁▁▁（要求填写正确答案的序号）
三．解答题（本大题共6小题，共74分）
17．（本题满分12分）在等比数列中，已知，求前8项的和
18．（本题满分12分）已知，求的值
19．（本题满分12分）（注意：考生在以下（甲）、（乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以下（甲）计分）
（甲）如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为
（1）建立适当的坐标系，并写出点的坐标；
（2）求与侧面所成的角
（乙）如图，正方形的边长都是1，而且平面互相垂直点在上移动，点在上移动，若
（1）求的长；
（2）当为何值时，的长最小；
（3）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小
20．（本题满分12分）
某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
21．（本题满分12分）已知，函数，设，记曲线在点处的切线为
（1）求的方程；
（2）设与轴交点为证明：
（ⅰ）；（ⅱ）若则
22．（本题满分14分）已知两点，且点使，成公差小于零的等差数列
（1）点P的轨迹是什么曲线？
（2）若点P坐标为，记为与的夹角，求
2002年普通高等学校招生全国统一考试新课程数学试题答案（文理）
参考答案
一、1、D 2、（文）B，（理）C 3、（文）D，（理）B 4、（文）B，（理）D5、C 6、B 7、B8、（文）B，（理）A 9、（文）A，（理）D10、D11、B12、（文）D，（理）C
二、填空题
13、（文）1995，2000；（理）（0,0），（1,1）； 14、（文），（理）－1；
15、（文）甲种，（理）； 16、（文）（2），（4），（理）；
三、解答题
17、（文）设数列的公比为，依题意，（理）
从而，18、（文）由倍角公式及原式得，即，也即，即，（理）（甲）（1）如图，以点为坐标原点，以所成直线为轴，以所在直线为轴，以经过原点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系
由已知得，，（2）坐标系如上，取的中点，于是有，连，有，且，由，所以，面，∴与所成的角就是与侧面所成的角
∵，∴，，∴，所以，与所成的角，即与侧面所成的角为
（乙）（1）作∥交于点，∥交于点，连结，依题意可得
∥，且，即是平行四边形
∴
由已知，∴
又，即
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当时，即、分别移动到、的中点时，的长最小，最小值为
（Ⅲ）取的中点，连结、，∵，为的中点
∴⊥，⊥，∠
即为二面角的平面角
又，所以，由余弦定理有
故所求二面角
19．（理）（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即
（2）至少4人同时上网的概率为，至少5人同时上网的概率为，因此，至少5人同时上网的概率小于
20．（理）（1）的导数，由此得切线的方程，（2）依题得，切线方程中令，得，其中，（ⅰ）由，有，及，∴，当且仅当时，（ⅱ）当时，因此，且由（ⅰ），所以
21（文科）（1）的导数，由此得切线的方程，（2）依题意，在切线方程中令，得，（ⅰ），∴，当且仅当时取等成立
（ⅱ）若，则，且由（ⅰ），所以
（理科）（1）记，由，得，，∴，，因，是公差小于零的等差数列，即（），所以，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆
（2）点的坐标为，则，∵，∴，∵，∴，，22．（理科）（1）由题设得，且、均为非负整数，所以的可能的值为1，2，5，10
若，则，与题设矛盾，若，则，与题设矛盾，若，则，，与题设矛盾，所以
（2）用数学归纳法证明
（i）当，等式成立
（ii）假设当（）时等式成立，即，由题设，∵，∴，也就是说，当时，等式成立
根据（i）和（ii），对于所有，有
（3）由，及，得，即，所以
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