2004年普通高等学校春季招生考试数学（文史）（北京卷）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在函数中，最小正周期为的函数是（）
A.B.C.D.2.当时，复数在复平面上对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.双曲线的渐近线方程是（）
A.B.C.D.4.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（）
A.B.C.D.5.已知，则下列不等关系中必定成立的是（）
A.，B.C.D.6.在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（）
A.B.1
C.2
D.4
7.已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
<1>若，则；
<2>若，则
<3>若，则
其中正确命题的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
8.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（）
A.B.C.D.9.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，恰有1件次品的不同取法的种数是（）
A.B.C.D.10.期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（）
A.B.1
C.D.2
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上
11.直线（a为实常数）的倾斜角的大小是_________
12.的值为____________
13.若为函数的反函数，则的值域是_______
14.若直线与圆没有公共点，则m，n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有_________个
三.解答题：本大题共6小题，共84分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.（本小题满分13分）
解不等式
16.（本小题满分13分）
在中，a，b，c分别是的对边长，已知a，b，c成等比数列，且，求的大小及的值
17.（本小题满分15分）
如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，（I）求证；
（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
18.（本小题满分14分）
2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点近地点A距地面200km，远地点B距地面350km已知地球半径R＝6371km
（I）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；
（II）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返
回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约，问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s？
（结果精确到1km/s）（注：km/s即千米/秒）
19.（本小题满分15分）
某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件
（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
（II）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
（服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本）
20.（本小题满分14分）
下表给出一个“等差数阵”：
（）
（）
（）
……
……
（）
（）
（）
……
……
（）
（）
（）
（）
（）
……
……
（）
（）
（）
（）
（）
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数
（I）写出的值；
（II）写出的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置
2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（文史）（北京卷）参考解答
一.选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分
1.A
2.D
3.A
4.C
5.B
6.C
7.D
8.C
9.A
10.B
二.填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分
11.12.1
13.14.2
三.解答题：本大题共6小题，共84分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分13分
解：原不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集：
或
解不等式组(1)得解集
解不等式组(2)得解集
所以原不等式的解集为
16.本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力满分13分
解：（I）成等比数列
又
在中，由余弦定理得
（II）解：在中，由正弦定理得
17.本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力满分15分
（I）证明：如图1
图1
底面ABCD是正方形
底面ABCD
DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得
（II）解：
底面ABCD，且ABCD为正方形
可以把四棱锥补形为长方体，如图2
面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，又
为所求二面角的平面角
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
即面ASD与面BSC所成的二面角为
图2
图3
18.本小题主要考查椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力满分14分
解：（I）设椭圆的方程为
由题设条件得
解得
所以
所以椭圆的方程为
（注：由得椭圆的方程为，也是正确的）
（II）从15日9时到16日6时共21个小时，合21×3600秒
减去开始的9分50秒，即9×60＋50＝590（秒），再减去最后多计的1分钟，共减去590＋60＝650（秒）
得飞船巡天飞行的时间是
（秒）
平均速度是（千米/秒）
所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s
19.本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力满分15分
解：（I）当时，当时，所以
（II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则
当时，因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元
20.本小题主要考查等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力满分14分
解：（I）
（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：
……
第i行是首项为，公差为的等差数列，因此
要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i，j，使得
所以
当时，得
所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列
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