2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
文科数学（必修+选修Ⅰ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
1．等于（B）
A．
B．
C．
D．
2．已知全集，集合，则集合（D）
A．
B．
C．
D．
3．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（C）
A．30
B．25
C．20
D．15
4．已知是等差数列，，则该数列前10项和等于（B）
A．64
B．100
C．110
D．120
5．直线与圆相切，则实数等于（A）
A．或
B．或
C．或
D．或
6．“”是“对任意的正数，”的（A）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（D）
A．10
B．4
C．1
D．
8．长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两点的球面距离为（C)
A．
B．
C．
D．
9．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（B）
A．
B．
C．
D．
10．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（D）
A
B
a
b
l
A．
B．
C．
D．
11．定义在上的函数满足（），则等于（A）
A．2
B．3
C．6
D．9
12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（C）
A．11010
B．01100
C．10111
D．00011
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．
13．的内角的对边分别为，若，则
．
14．的展开式中的系数为
．(用数字作答)
15．关于平面向量．有下列三个命题：
①若，则．②若，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）
16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有
种．（用数字作答）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．
17．解：（Ⅰ）．的最小正周期．
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．
函数是偶函数．
18．（本小题满分12分）
一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；
（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．
解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果，则所求概率
．
（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为
．
19．（本小题满分12分）
三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，，为中点．
A1
A
C1
B1
B
D
C
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
【解法一】
（Ⅰ）∵，∴
.在RT中，AB=AC，D为BC中点，∴
BC⊥AD，又
∴，∴
.（Ⅱ）如图，作AE⊥交于E点，连接BE，由已知得AB⊥平面，∴
AE是BE在平面内的射影，由三垂线定理知,∴
∠AEB是二面角的平面角.过，则
CF=AC-AF=1，∴
.在RT
在RT
∴，即二面角为.【解法二】
（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0),∵
D为BC的中点，∴
D点坐标为（1，1，0）.∴
∵
∴
BC⊥AD，∴,∴
（Ⅱ）∵
BA⊥平面,如图，可取为平面的法向量,设平面的法向量为
如图，可取m=1，则
∴
二面角
20．（本小题满分12分）
已知数列的首项，…．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）数列的前项和．
解：（Ⅰ），，又，数列是以为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．
设…，①
则…，②
由①②得
…，．又…．
数列的前项和
．
21．（本小题满分12分）
已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解法一：（Ⅰ）如图，设，把代入得，x
A
y
M
N
B
O
由韦达定理得，，点的坐标为．
设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，．
即．
（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，．
由（Ⅰ）知
．
轴，．
又
．，解得．
即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得
．由韦达定理得．，点的坐标为．，抛物线在点处的切线的斜率为，．
（Ⅱ）假设存在实数，使．
由（Ⅰ）知，则，，解得．
即存在，使．
22．本小题满分14分）
设函数其中实数．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；
（Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围．
解：（Ⅰ），又，当时，；当时，在和内是增函数，在内是减函数．
（Ⅱ）由题意知，即恰有一根（含重根）．
≤，即≤≤，又，．
当时，才存在最小值，．，．的值域为．
（Ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数．
由题意得，解得≥；
当时，在和内是增函数，在内是增函数．
由题意得，解得≤；
综上可知，实数的取值范围为．
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