2004年普通高等学校招生浙江卷文史类数学试题
第Ⅰ卷
(选择题
共60分)
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)
若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则=
(A)
{1,2,3}
(B)
{4}
(C)
{1,3,4}
(D)
{2}
（2）直线y=2与直线x+y—2=0的夹角是
（A）
（B）
（C）
（D）
(3)
已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=
(A)
–4
(B)
–6
(C)
–8
(D)
–10
（4）已知向量且∥，则=
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为
（A）（（B）（（C）（（D）（（6）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是
（A）y2=8--4x
（B）y2=4x—8
（C）y2=16--4x
（D）y2=4x—16
(7)
若展开式中存在常数项,则n的值可以是
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)“”“A=30º”的(A)
充分而不必要条件
(B)
必要而不充分条件
(C)
充分必要条件
(D)
既不充分也必要条件
(9)若函数的定义域和值域都是[0，1]，则a=
（A）
（B）
（C）
（D）2
（10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α=
（A）（B）（C）（D）
（11）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点（，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷
（非选择题
共90分）
二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分把答案填在题中横线上
（13）已知则不等式的解集是
（14）已知平面上三点A、B、C满足则的值等于
（15）已知平面α⊥β，=，P是空间一点，且P到α、β的距离分别是1、2，则点P到的距离为
（16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有
种（用数字作答）
三.解答题：本大题共6小题，满分74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
（17）（本题满分12分）
已知数列的前n项和为
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求证数列是等比数列
（18）（本题满分12分）
在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求bc的最大值
（19）（19）（本题满分12分）
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；
（20）（本题满分12分）
某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）假定工厂之间的选择互不影响
（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；
（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率
（21）（本题满分12分）
已知a为实数，（Ⅰ）求导数；
（Ⅱ）若，求在[--2，2]
上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围
（22）（本题满分14分）
已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双
曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1
（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲
线的方程
2004年普通高等学校招生浙江卷文史类数学试题
参考答案
一选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分
1.B
2.A
3.B
4.A
5.A
6.C
7.C
8.B
9.D
10.D
11D
12.B
二.填空题
(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.14.–4
15.16.5
三.解答题
17.解:
(Ⅰ)由,得
∴
又,即,得
.(Ⅱ)当n>1时,得所以是首项,公比为的等比数列.(12分)
(18)
解:
(Ⅰ)
=
=
=
=
(Ⅱ)
∵
∴,又∵
∴
当且仅当
b=c=时,bc=,故bc的最大值是.(19)
(满分12分)
方法一
解:
(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE
∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE
(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角
在RtΔASB中，∴
∴二面角A—DF—B的大小为60º
（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF
在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴
又∵ΔPAF为直角三角形，∴，∴
所以t=1或t=3(舍去)
即点P是AC的中点
方法二
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系
设，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,∴
=(,又点A、M的坐标分别是
（）、（∴
=（∴=且NE与AM不共线，∴NE∥AM
又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF
∴AB⊥平面ADF
∴为平面DAF的法向量
∵=（·=0，∴=（·=0得,∴NE为平面BDF的法向量
∴cos<>=
∴的夹角是60º
即所求二面角A—DF—B的大小是60º
（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得
∴=（，0，0）
又∵PF和CD所成的角是60º
∴
解得或（舍去），即点P是AC的中点
(20)
解:
(Ⅰ)设5个工厂均选择星期日停电的事件为A,则.(Ⅱ)设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,则
因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是,所以
(12分)
(21)
解:
(Ⅰ)由原式得
∴
(Ⅱ)由
得,此时有.由得或x=-1,又
所以f(x)在[--2,2]上的最大值为最小值为
(Ⅲ)解法一:的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得
即
∴--2≤a≤2.所以a的取值范围为[--2,2].解法二:令即
由求根公式得:
所以在和上非负.由题意可知,当x≤-2或x≥2时,≥0,从而x1≥-2,x2≤2,即
解不等式组得:
--2≤a≤2.∴a的取值范围是[--2,2].(22)
(满分14分)
解:
(Ⅰ)由条件得直线AP的方程(即.又因为点M到直线AP的距离为1,所以
得.∵
∴≤≤2,解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.∴m的取值范围是
(Ⅱ)可设双曲线方程为
由
得.又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1因此，（不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为
直线AP的方程y=x-1,∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，所以所求双曲线方程为
即
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