普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 82届

1982年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一．（本题满分6分）

填表：

函

数

使函数有意义的x的实数范围

{0}

R

R

[-1,1]

(0,+∞）

R

解：见上表

二．（本题满分9分）

1．求（-1+i)20展开式中第15项的数值;

2．求的导数

解：1.第15项T15=

2.三．（本题满分9分）

Y

X

O

Y

O

X

在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形

1．2．

解：1.得2x-3y-6=0图形是直线

2.化为图形是椭圆

四．（本题满分12分）

已知圆锥体的底面半径为R，高为H

求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）

A

D

c

H

h

B

E

O

2R

解：设圆柱体半径为r高为h

由△ACD∽△AOB得

由此得

圆柱体体积

由题意，H＞h＞0，利用均值不等式，有

（注：原“解一”对h求导由驻点解得）

五．（本题满分15分）

（要写出比较过程）

解一：当>1时，解二：

六．（本题满分16分）

A

M

P（ρ，θ）

X

O

N

B

如图：已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c2今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线

解：设P的极点坐标为（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),四边形PMON的面积

这个方程表示双曲线由题意，动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分

七．（本题满分16分）

已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形

B

M

R

A

N

Q

D

K

S

P

C

证：连结AC，在△ABC中，∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC

在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，∴QP∥AC∴MN∥QP

同理，连结BD可证MQ∥NP

∴MNPQ是平行四边形

取AC的中点K，连BK，DK

∵AB=BC，∴BK⊥AC，∵AD=DC，∴DK⊥AC因此平面BKD与AC垂直

∵BD在平面BKD内，∴BD⊥AC∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角故MNPQ是矩形

八．（本题满分18分）

Y

x2=2qy

y2=2px

A1

O

A2

A3

X

抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切

解：不失一般性，设p>0,q>0.又设y2=2px的内接三角形顶点为

A1（x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)

因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3

其中y1≠y2,y2≠y3,y3≠y1

.依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切

因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，所以原点O不能是所设内接三角形的顶点即（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，都不能是（0，0）;又因A1A2与x2=2qy相切，所以A1A2不能与Y轴平行，即x1≠x2,y1≠-y2,直线A1A2的方程是

同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即

x2≠x3,y2≠-y3,同样得到

由（1）（2）两方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.由上式及y2≠0,得y3≠-y1，也就是A3A1也不能与Y轴平行今将y2=-y1-y3代入（1）式得：

(3)式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，即A3A1与抛物线x2=2qy相切所以只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，则A3A1也与抛物线x2=2qy相切

九．（附加题，本题满分20分，计入总分）

已知数列和数列其中

1．用p,q,r,n表示bn，并用数学归纳法加以证明;

2．求

解：1.∵1=p,n=pn-1,∴n=pn.又b1=q,b2=q1+rb1=q(p+r),b3=q2+rb2=q(p2+pq+r2),…

设想

用数学归纳法证明：

当n=2时，等式成立;

设当n=k时，等式成立，即

则bk+1=qk+rbk=

即n=k+1时等式也成立

所以对于一切自然数n≥2，都成立