1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
考生注意：这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分
一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分
（1）如果正方体ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱长为，那么四面体A＇-ABD的体积是
（D)
（2）的（A）
（A）必要条件
（B）充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分又不必要的条件
（3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？
（B）
（A）
（B）
（C）
（D）
(4)极坐标方程的图象是
（C）
(A)
O
X
(C)
O
X
(B)
O
X
(D)
O
X
（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有
（B）
（A）96个
（B）78个
（C）72个
（D）64个
二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）
（1）求方程解集
答：
（2）设，求的值
答：π
（3）求曲线的焦点
答：（0，0）
（4）设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2
+a1+a0的值
答：64（或26）
（5）设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x2)的定义域
答：[-1，1]
三．（本题满分14分）
（1）解方程
解：由原对数方程得
解这个方程，得到x1=0,x2=7.检验：x=7是增根，x=0是原方程的根
（2）解不等式
解：
解得
四．（本题满分15分）
如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为450，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（00<θ<900)，线段PM的长为，求线段PQ的长
A
P
B
N
C
450
M
θ
R
β
Q
D
解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，则PN⊥BC（三垂线定理）因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=450
由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以∠PQR=β
在Rt△PNR中，NR=PRctg450,所以NR=PR
在Rt△MNR中，MR=
在Rt△PMR中，又已知00＜θ＜900，所以
在Rt△PRQ中，故线段PQ的长为
五．（本题满分15分）
设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ，（2）△OZ1Z2的面积为定值S
求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值
Y
Z1
θ
O
-θ
X
Z2
解：设Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z，其中
由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，则有
于是
又知△OZ1Z2的面积为定值S及，所以
六．（本题满分15分）
已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L:y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图求直线PA和QB的交点M的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）
解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长，所以可设点A和B分别是（,)和(+1,+1)，其中为参数
Y
y=x
Q
P·
X
B
O
A
M
于是可得：直线PA的方程是
直线QB的方程是
1.当直线PA和QB平行，无交点
2．当时，直线PA与QB相交，设交点为M(x,y)，由（2）式得
将上述两式代入（1）式，得
当=-2或=-1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式
所以（*）式即为所求动点的轨迹方程
注：考生没指出“=0”及“=-2或=-1”时的情形不扣分
七．（本题满分14分）
设
（1）证明不等式对所有的正整数n都成立
（2）设用定义证明
（1）证一：用数学归纳法略
证二：由不等式对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，得到
又因以及
对所有的正整数n都成立
（2）由（1）及bn的定义知
对任意指定的正数ε，要使，只要使，即只要使
取N是的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足
根据极限的定义，证得
八．（本题满分12分）
设,b是两个实数，A={(x,y)|x=n,y=n+b,n是整数}，B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数}，C={(x,y)|x2+y2≤144}，是平面XOY内的点集合，讨论是否存在和b使得
（1）A∩B≠（表示空集），（2）（,b)∈C
同时成立
解：如果实数和b使得（1）成立，于是存在整数m和n使得
(n,n+b)=(m,3m2+15),即
由此得出，存在整数n使得n+b=3n2+15,或写成n+b-(3n2+15)=0
这个等式表明点P（,b)在直线L：nx+y-(3n2+15)=0上，记从原点到直线L的距离为d，于是
当且仅当时上式中等号才成立由于n是整数，因此，所以上式中等号不可能成立即
因为点P在直线L上，点P到原点的距离必满足
而（2）成立要求2+b2≤144，即由此可见使得（1）成立的和b必不能使（2）成立
所以，不存在实数和b使得（1），（2）同时成立
九．（附加题，本题满分10分，）
已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值
解：已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6，因此y＇=3x2-12x+11
在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是
y＇|x=x0=3x02-12x0+11
点P处切线方程是
y=(3x02-12x0+11)(x-x0)+y0
设这切线与y轴的截距为r，则
r=(3x02-12x0+11)(-x0)+(x03-6x02+11x0-6)=-2x03+6x02-6
根据题意，要求r（它是以x0为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值因为
r＇=-6x02+12x0=-6x0(x0-2)
当0＜x0＜2时r＇＞0，因此r是增函数，故r在区间[0，2]的左端点x0=0处取到最小值即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小
这个最小值是r最小值=-6
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