2004年普通高等学校招生浙江卷理工类数学试题
第Ⅰ卷
(选择题
共60分)
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)
若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则=
(A)
{1,2,3}
(B)
{2}
(C)
{1,3,4}
(D)
{4}
(2)
点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为
(A)
(B)
（(C)
（(D)
（(3)
已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=
(A)
–4
(B)
–6
(C)
–8
(D)
–10
(4)曲线关于直线x=2对称的曲线方程是
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)
设z=x—y,式中变量x和y满足条件则z的最小值为
(A)
(B)
–1
(C)
(D)
–3
(6)
已知复数,且是实数,则实数t=
(A)
(B)
(C)
--
(D)
--
(7)
若展开式中存在常数项,则n的值可以是
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)在ΔABC中,“A>30º”是“sinA>”的(A)
充分而不必要条件
(B)
必要而不充分条件
(C)
充分必要条件
(D)
既不充分也必要条件
(9)若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α=
（A）（B）（C）（D）
（11）设是函数f(x)的导函数，y=的图象
如图所示，则y=
f(x)的图象最有可能的是
（12）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷
（非选择题
共90分）
二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分把答案填在题中横线上
（13）已知则不等式≤5的解集是
（14）已知平面上三点A、B、C满足则的值等于
（15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有
种（用数字作答）
（16）已知平面α和平面交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为
三.解答题：本大题共6小题，满分74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
（17）（本题满分12分）
在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求bc的最大值
（18）
（本题满分12分）
盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）记第一次与第二次取到球的标号之和为ε
（Ⅰ）求随机变量ε的分布列；
（Ⅱ）求随机变量ε的期望Eε
（19）（本题满分12分）
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；
（20）（本题满分12分）
设曲线≥0）在点M（t,c--1）处的切线与x轴y轴所围成的三角表面积为S（t）
（Ⅰ）求切线的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值
（21）（本题满分12分）
已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双
曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1
（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲
线的方程
（22）（本题满分14分）
如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn),（Ⅰ）求及;
（Ⅱ）证明
(Ⅲ)若记证明是等比数列.2004年普通高等学校招生浙江卷理工类数学试题
参考答案
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.D
2.A
3.B
4.C
5.A
6.A
7.C
8.B
9.D
10.D
11.C
12.B
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.13.14.--25
15.5
16.三.解答题:本大题共6小题,满分74分.17.(本题满分12分)
解:
(Ⅰ)
=
=
=
=
(Ⅱ)
∵
∴,又∵
∴
当且仅当
b=c=时,bc=,故bc的最大值是.(18)
(满分12分)
解:
(Ⅰ)由题意可得,随机变量ε的取值是2、3、4、6、7、10
随机变量ε的概率分布列如下
ε
P
0.09
0.24
0.16
0.18
0.24
0.09
随机变量ε的数学期望
Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.(19)
(满分12分)
方法一
解:
(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE
∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE
(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角
在RtΔASB中，∴
∴二面角A—DF—B的大小为60º
（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF
在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴
又∵ΔPAF为直角三角形，∴，∴
所以t=1或t=3(舍去)
即点P是AC的中点
方法二
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系
设，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,∴
=(,又点A、M的坐标分别是
（）、（∴
=（∴=且NE与AM不共线，∴NE∥AM
又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF
∴AB⊥平面ADF
∴为平面DAF的法向量
∵=（·=0，∴=（·=0得,∴NE为平面BDF的法向量
∴cos<>=
∴的夹角是60º
即所求二面角A—DF—B的大小是60º
（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得
∴=（，0，0）
又∵PF和CD所成的角是60º
∴
解得或（舍去），即点P是AC的中点
（20）（满分12分）
解：（Ⅰ）因为
所以切线的斜率为
故切线的方程为即
（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得
所以S（t）=
=
从而
∵当（0，1）时，>0,当（1,+∞）时,<0,所以S(t)的最大值为S(1)=
(21)
(满分12分)
解:
(Ⅰ)由条件得直线AP的方程
即
因为点M到直线AP的距离为1,∵
即.∵
∴
解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.∴m的取值范围是
(Ⅱ)可设双曲线方程为
由
得.又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1因此，（不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为
直线AP的方程y=x-1,∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，所以所求双曲线方程为
即
（22）（满分14分）
解：(Ⅰ)因为，所以，又由题意可知
∴
=
=
∴为常数列
∴
(Ⅱ)将等式两边除以2，得
又∵
∴
（Ⅲ）∵
=
=
又∵
∴是公比为的等比数列
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