1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
一．（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分
（1）设S，T是两个非空集合，且S
T，T
S，令X=ST，那么SX等于
（D）
（A）X
（B）T
（C）
（D）S
（2）设椭圆方程为，令，那么它的准线方程为
（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）设a,b是满足ab<0的实数，那么
（B）
（A）|a+b|>|a-b|
（B）|a+b|<|a-b|
（C）|a-b|<||a|-|b||
（D）|a-b|<|a|+|b|
（4）已知E，F，G，H为空间中的四个点，设
命题甲：点E，F，G，H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交
那么
（A）
（A）甲是乙的充分条件，但不是必要条件
（B）甲是乙的必要条件，但不是充分条件
（C）甲是乙的充要条件
（D）甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件
（5）在区间上为增函数的是
（B）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）要得到函数的图象，只需将函数的图象（图略）
（D）
（A）向左平行移动
（B）向右平行移动
（C）向左平行移动
（D）向右平行移动
（7）极坐标方程所表示的曲线是
（B）
（A）直线
（B）圆
（C）双曲线
（D）抛物线
（8）函数的图象是
（A）
（A）
（B）
Y
（C）
Y
（D）
Y
Y
O
O
O
O
二．（本题满分28分）本题共7小题，每一个小题满分4分只要求写出结果
（1）求函数的周期
[答]
（2）已知方程表示双曲线，求λ的范围
[答]λ＞-1或λ＜-2.（注：写出一半给2分）
（3）若（1+x)n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，求n.[答]8
（注：若给出8同时给出-5得2分）
（4）求极限
[答]2
（5）在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短
[答]
（6）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数求这种五位数的个数
[答]72
（7）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高
[答]
三．（本题满分10分）
求的值
解：原式=
（注：本题有多种解答）
四．（本题满分12分）
P
E
C
A
D
B
如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h求证三棱锥P-ABC的体积V=L2h.证：连结AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD
∵ED⊥PA，∴S△ABC=PA·ED=Lh
VB-PAD=(Lh)·BD=Lh·BD
同理，VC-PAD=Lh·CD
∴三棱锥P-ABC的体积
V=Lh·BD+Lh·CD=Lh（BD+CD）=Lh·BC=L2h.若E，D不是分别在线段AP，BC上，结论仍成立
（此话不说，也不扣分）
五．（本题满分12分）
设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围
解：由题意得：
令则（3）式变为
化简为解得
（4）
（2）式变为即
（5）
综合（4），（5）得
由此，（6）解（1），（6）得a取值范围：
六．（本题满分12分，共2个小题）
设复数满足关系式其中A为不等于0的复数证明：
（1）（2）
证：（1）
（2）
七．（本题满分12分，共3个小题）
设数列的前n项的和Sn与的关系是
其中b是与n无关的常数，且b≠-1
（1）求的关系式;
（2）写出用n和b表示的表达式;
（3）当时，求极限.注：(2)也可用数学归纳法证明
所以当
八．（本题满分10分）
定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
解：设A（x1,y1),B(x2,y2),AB长度为3，那么x1=y12,x2=y22,（1）
32=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(y22-y12)2+(y2-y1)2=(y2-y1)2[(y2+y1)2+1]（2）
线段AB的中点M（x,y）到y轴的距离为
下证x能达到最小值，根据题意不妨设y1>y2,由（3）得
九．（附加题，本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计
入总分）
（1）求极限
（2）设
解：
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