1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
（这份试题共九道大题，满分120分）
一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分
1．两条异面直线，指的是
（D）
（A）在空间内不相交的两条直线
（B）分别位于两个不同平面内的两条直线
（C）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
（D）不在同一平面内的两条直线
2．方程x2-y2=0表示的图形是
（A）
（A）两条相交直线
（B）两条平行直线
（C）两条重合直线
（D）一个点
3．三个数a,b,c不全为零的充要条件是
（D）
（A）a,b,c都不是零
（B）a,b,c中最多有一个是零
（C）a,b,c中只有一个是零（D）a,b,c中至少有一个不是零
4．设则的值是
（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．这三个数之间的大小顺序是
（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
二．（本题满分12分）
1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程的图形，并写出它们交点的坐标
2．在极坐标系内，方程表示什么曲线？画出它的图形
解：
Y
O
X
P
1.图形如左图所示
交点坐标是：O（0，0），P（1，-1）
O
X
(,0)
2．曲线名称是：圆
图形如右所示
三．（本题满分12分）
1．已知，求微分
2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法
解：1.2．
或：
四．（本题满分12分）
计算行列式（要求结果最简）：
解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以加到第2列上，得
五．（本题满分15分）
1．证明：对于任意实数t，复数的模
适合2．当实数t取什么值时，复数的幅角主值适合？
1．证：复数（其中t
是实数）的模为
要证对任意实数t，有，只要证对任意实数t，成立
对任意实数t，因为，所以可令
且，于是
2．因为复数的实部与虚部都是非负数，所以z的幅角主值一定适合从而
显然因为
由于
这就是所求的实数t的取值范围
六．（本题满分15分）
如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等
S
M
P
C
A
N
D
B
于∠NSC，求证SC垂直于截面MAB
证：因为SN是底面的垂线，NC是斜线SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂线定理）
连结DM因为AB⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC所决定的平面又因DM在这个平面内，所以AB⊥DM
∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC
在△MDC和△NSC中，因为∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900从而DM⊥SC从AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB
七．（本题满分16分）
如图，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N设∠F2F1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？
Y
M
α
A1
F1
O
F2
A
X
N
解一：以椭圆焦点F1为极点，以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系
由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=，短半轴b=1，离心率e=，中心到准线距离=,焦点到准线距离p=.椭圆的极坐标方程为
解得
以上解方程过程中的每一步都是可逆的，所以当或时，|MN|等于短轴的长
解二：以椭圆的中心为原点，F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为
MN所在直线方程为
解方程组
消去y得.下同解法一
解三：建立坐标系得椭圆如解二，MN所在直线的参数方程为
代入椭圆方程得
设t1,t2是方程两根，则由韦达定理，下同解一
解四：设|F1M|=x,则|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α
在△MF1F2中由余弦定理得
同理，设|F1N|=y，则|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得
下同解一
八．（本题满分16分）
已知数列{an}的首项a1=b(b≠0），它的前n项的和Sn=a1+a2+…+an
(n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一个等比数列，其公比为p（p≠0且|p|＜1）
1．证明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}从第二项起）是一个等比数列
2．设Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示）
1．证：由已知条件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1）
因为当n≥2时，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以
an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)从而
因此a2,a3,a3,…an,…是一个公比为p的等比数列
2．解：当n≥2时，且由已知条件可知p2<1，因此数列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比为p2<1的无穷等比数列于是
从而
九．（本题满分12分）
1．已知a,b为实数，并且e
1．证：当e
考虑函数因为但时，所以函数内是减函数
因为e
2．证一：由ab=ba，得blna=alnb，从而
考虑函数，它的导数是
因为在（0，1）内，所以f(x)在（0，1）内是增函数
由于0 所以a=b 证二：因为0 假如a 矛盾 所以a不能小于b 假如a>b，则，而，这也与矛盾 所以a不能大于b因此a=b 证三：假如a 即ab 假如b 因此a=b
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