高考卷 07普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（文史类）全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（文史类）全解全析

第I卷

（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},则（CUB）等于

A.{2}

B.{5}

C.{3,4}

D.{2,3,4,5}

解析：（CUB）={3，4，5}，（CUB）={3，4}，选C

(2)等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于

A.4

B.8

C.16

D.32

解析：a2·a6=

a42=16，选C

(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于

A.0

B.C.D.1

解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°=

sin215°+cos215°=1，选D

（4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：由|x|<2得-2

x2-x-6<0得-2

（5）函数y=sin(2x+)的图象

A.关于点（，0）对称

B.关于直线x=对称

C.关于点（，0）对称

D.关于直线x=对称

解析：由2x+=kπ得x=，对称点为（，0）（），当k=1时为（，0），选A

（6）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

解析：连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于.60°，选B

（7）已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是

A.（-，1）

B.（1，+）

C.（-，0）（0，1）

D.（-，0）（1，+）

解析：由已知得解得或x>1，选D

（8）对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是

A.若a·b＝0，则a=0或b=0

B.若a=0,则＝0或a=0

C.若a2=b2,则a=b或a=-b

D.若a-b=a·c，则b=c

解析：

a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B

(9)已知m,n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A.∥，n∥

∥

B.∥，m∥n

C.m⊥，m⊥nn∥

D.n∥m,n⊥m⊥

解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D

(10)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是

A.x2+y2-4x-3=0

B.x2+y2-4x+3=0

C.x2+y2+4x-5=0

D.x2+y2+4x+5=0

解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆方程为，即x2+y2-4x+3=0，选B

(11)已知对任意实数x,有f（-x）=-f

(x)，g(-x)=g(x),且x>0时f’’(x)>0,g’

(x)

>0,则x<0时

A.f’(x)>0,g’(x)>0

B.f

’(x)>0,g’(x)<0

C.f

’(x)<0,g’(x)<0

D.f

’

(x)<0,g’(x)<0

解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反,x>0时f’’(x)>0,g’

(x)

>0,递增,当x<0时,f(x)

递增,f

’(x)>0;

g(x)递减,g’(x)<0,选B

(12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为

A.2000

B.4096

C.5904

D.8320

解析：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C

第Ⅱ卷（非选择题

共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

（13）（x2+）6的展开式中常数项是

.（用数字作答）

解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个x2，4个，故常数项为

法二：展开后可得常数项为15

（14）已知实数x、y满足则z=2x-y的取值范围是

.解析：画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7]

（15）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。

解析：由已知C=2，（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意a∈A,都有a-a;

(2)对称性：对于a,b∈A，若a-b,则有b-a;

(3)传递性：对于a,b,c∈A,若a-b,b-c,则有a-c.则称“-”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系：

.解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，tanA=,tanB=.(I)求角C的大小;

(II)若AB边的长为，求BC边的长

本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分12分.解：（I）∵C＝-(A+B),∴tanC=-tan(A+B)=

又∵0

(II)由且A∈（0，），得sinA=

∵∴BC＝AB·.（18）（本小题满分12分）

甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：

（I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率;

(II)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;

(III)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力.解：记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1.依题意得P（A1）＝0.7，P（B1）＝0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互独立.(I)“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，∴P（A3）＝P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063.答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，解法一：C＝A1彼此互斥，∴P（C）

＝

＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6

=

0.88.解法二：P（C）＝1-＝1-0.3×0.4=0.88.答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.（III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0,1,2）,“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0,1,2),∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1为互斥事件.∴所求的概率为

＝×0.7×0.3×0.42+0.72××0.6×0.4

=0.0672+0.2352

=0.3024.答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.（19）（本小题满分12分）

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.(I)求证：AB1⊥平面A1BD;

(II)求二面角A-A1D-B的大小.本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力

解法一：（I）取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1,∴AO⊥平面BCC1B1,连结B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD,∴AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD.(II)设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG为二面A-A1B-B的平面角.在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝，又∵AG＝=,∴sin∠AFG=,所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin.解法二：（I）取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中点O1，以a为原点，的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1,0,0）,D

(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),∴

∵

∴⊥⊥,∴AB1⊥平面A1BD.(II)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).∵n⊥⊥,∴

∵

∴

令z=1得a=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.由（I）知AB1⊥A1BD.∴为平面A1BD的法向量.cos===-.∴二面角A-A1D-B的大小为arccos.(20)（本小题满分12分）

设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(I)求f

(x)的最小值h(t);

(II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.解：（I）∵

（），∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.当t变化时g’(t)、g(t)的变化情况如下表：

T

(0,1)

(1,2)

g’(t)

+

0

g(t)

递增

极大值1-m

递减

∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-m

h(t)<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)<0在（0，2）内恒成立，即等价于1-m<0

所以m的取值范围为m>1

（21）（本小题满分12分）

数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn

(n∈N*).(I)求数列{an}的通项an;

(II)求数列｛nan｝的前n项和T.本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分.解：（I）∵an+1=2Sn，∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.又∵S1＝a1=1,∴数列｛Sn｝是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*).∴当n2时，an-2Sn-1=2·3n-2(n2),∴an=

(II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.当n=1时，T1=1;

当n2时，Tn=1+4·30+6·31+2n·3

n-2,…………①

3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………②

①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3

n-1

=2+2·

=-1+(1-2n)·3n-1

∴Tn=+(n-)3n-1

(n2).又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N*)

(22)（本小题满分14分）

如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且·

（I）求动点P的轨迹C的方程;

（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.（1）已知的值;

(2)求||·||的最小值.本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得：

(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C：y2=4x.(II)（1）设直线AB的方程为：

x=my+1(m≠0).设A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.联立方程组,消去x得：

y2-4my-4=0,△

=(-4m)2+12>0,由得：，整理得：,∴

=

=-2-

=0.解法二：（I）由

∴·，∴=0,∴

所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.(II)(1)由已知

则：…………①

过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A1、B1,则有：…………②

由①②得：

（II）（2）解：由解法一：

·＝（）2|y1-yM||y2-yM|

=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2|

=(1+m2)|-4+

×4m+|

=

=4(2+m2+)

4(2+2)=16.当且仅当，即m=1时等号成立，所以·最小值为16.