2007年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷
数学（文史类）全解全析
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式的解集是
A．
B.C.D.【答案】D
【解析】由得x（x-1）>0，所以解集为
2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是
A．
B.C.D.【答案】B
【解析】由向量的减法知
3.设，有实根，则是的A．充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】判别式大于0，关于的方程有实根；但关于的方程有实根，判别可以等于0
4．在等比数列中，若，则该数列的前10项和为
A．
B.C.D.【答案】B
【解析】由，所以
5．在的二项展开式中，若只有的系数最大，则
A．8
B.9
C.10
D.11
【答案】C
【解析】只有的系数最大，是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=10
6．如图1，在正四棱柱
中，E、F
分别是的中点，则以下结论中不成立的是
A．
B.C.D.【答案】D
图1
【解析】连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角
形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以；又AC⊥BD，所以。由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1
7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是
A．48米
B.49米
C.50米
D.51米
图2
【答案】C
【解析】由频率分布直方图知水位为50米的频率/组距为1%，即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米。
8．函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】由图像可知交点共有3个。
9．设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是
A．
B.C.D.【答案】D
【解析】由已知P（），所以化简得
10.设集合，的含两个元素的子集，且满
足：对任意的，都有.则的最大值是
A．10
B.11
C.12
D.13
【答案】B
【解析】含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个。
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.11.圆心为且与直线相切的圆的方程是
.【答案】
【解析】半径R=，所以圆的方程为
12.在中，角A、B、C所对的边分别为，若，则
A=.【答案】
【解析】由正弦定理得，所以A=
13.若.【答案】3
【解析】由得，所以
b
14.设集合，（1）的取值范围是
.（2）若且的最大值为9，则的值是
.【答案】（1）（2）
【解析】（1）由图象可知的取值范围是；（2）若则（x，y）在图中的四边形内，t=在（0，b）处取得最大值，所0+2b=9，所以b=
15.棱长为1的正方形的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是
；设分别是该正方形的棱的中点，则直线被球O截得的线段长为
.【答案】，【解析】正方体对角线为球直径，所以，所以球的表面积为；由已知所求EF是正方体在球中其中一个截面的直径，d=，所以，所以EF=2r=。
三．解答题：本大题共６小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分１２分）
已知函数.求：
(Ⅰ)函数的最小正周期；
（Ⅱ）函数的单调增区间.解：
．
（I）函数的最小正周期是；
（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．
17.（本小题满分１２分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率.解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．
（I）解法一 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是．
解法二 任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是．
所以该人参加过培训的概率是．
（II）解法一 任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是
．
3人都参加过培训的概率是．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．
解法二 任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是
．
3人都没有参加过培训的概率是．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是
18.（本小题满分１4分）
如图，已知直二面角，直线CA和平面所成的角为.(Ⅰ)证明；
(Ⅱ)求二面角的大小.解：（I）在平面内过点作于点，连结．
因为，所以，A
B
C
Q
P
O
H
又因为，所以．
而，所以，．从而．又，所以平面．因为平面，故．
（II）解法一：由（I）知，又，，所以．
过点作于点，连结，由三垂线定理知，．
故是二面角的平面角．
由（I）知，所以是和平面所成的角，则，不妨设，则，．
在中，所以，于是在中，．
故二面角的大小为．
解法二：由（I）知，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，所以是和平面所成的角，则．
不妨设，则，．
A
B
C
Q
P
O
x
y
z
在中，所以．
则相关各点的坐标分别是，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，由得
取，得．
易知是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知，．
所以．
故二面角的大小为．
19.（本小题满分13分）
已知双曲线的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）.（Ｉ）证明为常数；
（Ⅱ）若动点（其中为坐标原点），求点的轨迹方程.解：由条件知，设，．
（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，此时．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入，有．
则是上述方程的两个实根，所以，于是
．
综上所述，为常数．
（II）解法一：设，则，，．由得：
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，即．
又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时，由（I）
有．…………………②
．………………………③
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，由④⑤得，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
20.（本小题满分13分）
设，.（Ⅰ）证明数列是常数数列；
（Ⅱ）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项.解：（I）当时，由已知得．
因为，所以．
…………………………①
于是．
…………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即数列（）是常数数列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．
所以，．
由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若是数列中的第项，由得，取，得．此时，由得，从而是数列中的第项．
（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）
21.（本小题满分13分）
已知函数在区间内各有一个极值点.（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）当时，设函数在点处的切线为，若在点A处穿过的图象（即动点在点A附近沿曲线运动，经过点A时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式.解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即．又由，得．故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号．于是存在（）．
当时，当时，；
或当时，当时，．
设，则
当时，当时，；
或当时，当时，．
由知是的一个极值点，则．
所以．又由，得，故．
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