2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）全解全析
第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）“”是“”的（）
Ａ．充分而不必要条件
Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
【答案】：A
【分析】：由可得,可得到,但得不到.故选A.（2）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】：D
【分析】：由由
故选D.（3）直线关于直线对称的直线方程是（）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】：D
【分析】：解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于对称点为(2-x,y)
在直线上,化简得故选答案D.解法二：根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线选答案D.（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪
都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】B
【分析】：因为龙头的喷洒面积为36π，正方形面积为256,故至少三个龙头。
由于，故三个龙头肯定不能
保证整个草坪能喷洒到水。当用四个
龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于，故可以保证整个草坪能喷洒到水。
（5）已知随机变量服从正态分布，则（）
A．
B．
C．
D，【答案】：A
【分析】：由又
故选A.（6）若两条异面直线外的任意一点，则（）
Ａ．过点有且仅有一条直线与都平行
Ｂ．过点有且仅有一条直线与都垂直
Ｃ．过点有且仅有一条直线与都相交
Ｄ．过点有且仅有一条直线与都异面
【答案】：B
【分析】：设过点P的直线为，若与l、m都平行，则l、m平行，与已知矛盾，故选项A错误。
由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与
公垂线平行的直线只有一条，故B正确。
对于选项C、D可参考右图的正方体，设AD为直线l，为直线m;
若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误。
若P在P2点，则由图中可知直线均与l、m异面，故选项D错误。
（7）若非零向量满足，则（）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】：C
【分析】：
由于是非零向量，则必有故上式中等号不成立。
∴。故选C.（8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．
B．
C．
D．
【答案】：D
【分析】：检验易知A、B、C均适合，D中不管哪个为均不成立。
（9）已知双曲线的左、右焦点分别为，是准线上一点，且，则双曲线的离心率是（）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】：B
【分析】：设准线与x轴交于A点.在中，又,化简得,故选答案B
（10）设是二次函数，若的值域是，则的值域是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】：C
【分析】：要的值域是，则又是二次函数，定义域连续，故不可能同时结合选项只能选C.第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
（11）已知复数，则复数
．
【答案】：
【分析】：
（12）已知，且，则的值是
．
【答案】：
【分析】：本题只需将已知式两边平方即可。∵
∴两边平方得：，即，∴
.（13）不等式的解集是
．
【答案】：
【分析】：
（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种.小张用10元钱买杂志
（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是
（用数字作答）．
【答案】：266
【分析】：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本共有
②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有
故210+56=266.（15）随机变量的分布列如下：
其中成等差数列，若则的值是
．
【答案】：
【分析】：成等差数列，有
联立三式得
（16）已知点在二面角的棱上，点在内，且．若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是
．
【答案】：
【分析】：设直线OP与平面所成的角为,由最小角原理及恒成立知,只
有作于H,则面,故为.（17）设为实数，若，则的取值范围是
．
【答案】：
【分析】：作图易知,设若不成立;
故当且斜率大于等于时方成立.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（18）（本题14分）已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
解：（I）由题意及正弦定理，得，两式相减，得．
（II）由的面积，得，由余弦定理，得，所以．
（第19题）
（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，平面，平面，且，是的中点．
（I）求证：；
（II）求与平面所成的角．
本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．
方法一：
（I）证明：因为，是的中点，所以．
又平面，所以．
（II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，．是直线和平面所成的角．
因为平面，所以，又因为平面，所以，则平面，因此．
设，在直角梯形中，是的中点，所以，，得是直角三角形，其中，所以．
在中，所以，故与平面所成的角是．
方法二：
如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，．，．
（I）证明：因为，所以，故．
（II）解：设向量与平面垂直，则，即，．
因为，所以，即，直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以，因此直线与平面所成的角是．
（第20题）
（20）（本题14分）如图，直线与椭圆
交于两点，记的面积为．
（I）求在，的条件下，的最大值；
（II）当，时，求直线的方程．
本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以．
当且仅当时，取到最大值．
（Ⅱ）解：由
得，．
②
设到的距离为，则，又因为，所以，代入②式并整理，得，解得，代入①式检验，故直线的方程是
或或，或．
（21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，；
（II）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，求证：．
本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．
（I）解：方程的两个根为，当时，所以；
当时，，所以；
当时，，所以时；
当时，，所以．
（II）解：
．
（III）证明：，所以，．当时，，同时，．
综上，当时，．
（22）（本题15分）设，对任意实数，记．
（I）求函数的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
（Ⅲ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．
（I）解：．由，得．
因为当时，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
（II）证明：（i）方法一：
令，则，当时，由，得，当时，所以在内的最小值是．
故当时，对任意正实数成立．
方法二：
对任意固定的，令，则，由，得．
当时，．
当时，所以当时，取得最大值．
因此当时，对任意正实数成立．
（ii）方法一：
．
由（i）得，对任意正实数成立．
即存在正实数，使得对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：
当，时，，由（i）得，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
方法二：对任意，因为关于的最大值是，所以要使
对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，①
又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
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