高考卷 08 普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷·理科）（附答案，完全word版）

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数

学（理工农医类）（福建卷）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为

A.1

B.2

C.1或2

D.-1

(2)设集合A={x|},B={x|0＜x＜3,那么“mA”是“mB”的A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为

A.63

B.64

C.127

D.128

(4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR)，若f(a)=2,则f(-a)的值为

A.3

B.0

C.-1

D.-2

(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是

A.B.C.D.(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

A.B.C.D.(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为

A.14

B.24

C.28

D.48

(8)若实数x、y满足，则的取值范围是

A.(0,1)

B.C.(1,+)

D.(9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0)

平移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m的值可以为

A.B.C.－

D.－

(10)在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为

A.B.C.或

D.或

(11)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为

A.(1,3)

B.C.(3,+)

D.(12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答)

x=1+cos

(14)若直线3x+4y+m=0与圆

y=-2+sin

（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是

.（15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集也是数域。

有下列命题：

①整数集是数域；

②若有理数集，则数集M必为数域；

③数域必为无限集；

④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号填填上）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）

已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A为锐角.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域.（18）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.（19）（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.（20）（本小题满分12分）

某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科

目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证

书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试

成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.（21）（本小题满分12分）

如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.（22）（本小题满分14分）

已知函数f(x)=ln(1+x)-x1

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）记f(x)在区间（n∈N*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx.（Ⅲ）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；

（Ⅳ）求证：

数学试题（理工农医类）参考答案

一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）B

（2）A

（3）C

（4）B

（5）B

（6）D

（7）A

（8）C

（9）A

（10）D

（11）B

（12）D

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.（13）31

（14）

（15）9

（16）③④

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由题意得

由A为锐角得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

所以

因为x∈R，所以，因此，当时，f(x)有最大值.当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是.（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：

（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD,平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,所以OB＝，在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以异面直线PB与CD所成的角是.（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，在Rt△POC中，所以PC=CD=DP,由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.解法二：

(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以

所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由(Ⅱ)知

设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设由，得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存在点Q满足题意，此时.(19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.(Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x,由点在函数y=f′(x)的图象上,又所以

所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,故点也在函数y=f′(x)的图象上.(Ⅱ)解:,由得.当x变化时,﹑的变化情况如下表:

x

(-∞,-2)

(-2,0)

0

(0,+∞)

f′(x)

+

0

0

+

f(x)

↗

极大值

↘

极小值

↗

注意到,从而

①当,此时无极小值；

②当的极小值为,此时无极大值；

③当既无极大值又无极小值.(20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分.解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，则.答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.(Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

故

答：该考生参加考试次数的数学期望为.(21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以,即1＝

因此，椭圆方程为

(Ⅱ)设

(ⅰ)当直线

AB与x轴重合时，(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：

整理得

所以

因为恒有，所以AOB恒为钝角.即恒成立.又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，即a2b2m2>

a2

-a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2-

a2b2+b2<0.a2

b2,a2<（a2-1)b2=

b4,因为a>0,b>0,所以a0,解得a>或a<(舍去)，即a>,综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.解法二：

（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，x=1代入=1.因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4

yA2,yA2>1，即>1,解得a>或a<(舍去)，即a>.（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）,B（x2,y2）.设直线AB的方程为y=k(x-1)代入

得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+

a2

k2-

a2

b2=0,故x1+x2=

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,所以x21+y21+

x22+

y22<（x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+

y1y2<0恒成立.x1x2+

y1y2=

x1x2+k2(x1-1)

(x2-1)=(1+k2)

x1x2-k2(x1+x2)+

k2

=(1+k2).由题意得（a2-

a2

b2+b2）k2-

a2

b2<0对kR恒成立.①当a2-

a2

b2+b2>0时，不合题意；

②当a2-

a2

b2+b2=0时，a=;

③当a2-

a2

b2+b2<0时，a2-

a2(a2-1)+

(a2-1)<0，a4-

3a2

+1>0,解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.（22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分.解法一：

（I）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+）,且f〃(x)=-1=.由f〃(x)>0得-1

由f〃(x)<0得x>0，f(x)的单调递增区间为（0，+）.(II)因为f(x)在[0,n]上是减函数，所以bn=f(n)=ln(1+n)-n,则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.(i)

又lim,因此c<1，即实数c的取值范围是（-，1）.（II）由（i）知

因为[]2

=

所以＜(nN*),则＜

N*）

解法二：

（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为f(x)在上是减函数，所以

则

（i）因为对n∈N*恒成立.所以对n∈N*恒成立.则对n∈N*恒成立.设

n∈N*，则c＜g(n)对n∈N*恒成立.考虑

因为＝0，所以内是减函数；则当n∈N*时，g(n)随n的增大而减小，又因为＝1.所以对一切因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞，1].(ⅱ)

由(ⅰ)知

下面用数学归纳法证明不等式

①当n=1时，左边＝，右边＝，左边<右边.不等式成立.②假设当n=k时,不等式成立.即

当n=k+1时，=

即n＝k＋1时，不等式成立

综合①、②得，不等式成立.所以

即.