方程组解法综合教学目标
1.学会用带入消元和加减消元法解方程组
2.熟练掌握解方程组的方法并用到以后做题
知识精讲
知识点说明:
一、方程的历史
同学们,你们知道古代的方程到底是什么样子的吗?公元
263
年,数学家刘徽所著《九章算术》一书里有一个例子:“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?”刘徽列出的“方程”如图所示。
方程的英语是
equation,就是“等式”的意思。清朝初年,中国的数学家把
equation
译成“相等式”,到清朝咸丰九年才译成“方程”。从这时候起,“方程”这个词就表示“含有未知数的等式”,而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。
二、学习方程的目的使用方程有助于解决数学难题,作为代数学最基本内容,方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数学学习打好基础,同时能够将抽象数学直观表达出来,能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。
三、解二元一次方程组的一般方法
解二元一次方程的关键的步骤:是消元,即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。
消元方法:代入消元法和加减消元法
代入消元法:
⒈
取一个方程,将它写成用一个未知数表示另一个未知数,记作方程①;
⒉
将①代入另一个方程,得一元一次方程;
⒊
解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;
⒋
将这个未知数的值代入①,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.
加减消元法:
⒈
变形、调整两条方程,使某个未知数的系数绝对值相等(类似于通分);
⒉
将两条方程相加或相减消元;
⒊
解一元一次方程;
⒋
代入法求另一未知数.
加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入.
例题精讲
模块一、二元一次方程组
【例
1】
解方程(为正整数)
【考点】二元一次方程组
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
方法二:解
代入消元法,由得到,代入方程中,得到,整理得,所以,所以方程的解为
【答案】
【例
2】
解方程(为正整数)
【考点】二元一次方程组
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
方法一:加减消元法
化的系数相同,加减消元法计算得
去括号和并同类项得
方法二:代入消元法由得到,代入方程中得到,整理得,所以方程解为
【答案】
【例
3】
解方程组(为正整数)
【考点】二元一次方程组
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
加减消元,若想消掉,应将的系数统一,因为,所以第一个方程应该扩大2倍,第二个式子应该扩大5倍,又因为的系数符号不同,所以应该用加消元,计算结果如下:,得,所以,解得。
【答案】
【例
4】
解方程组(为正整数)
【考点】二元一次方程组
【难度】2星
【题型】解答
【解析】
将第一个式子扩大2倍和二式相减得,去括号整理解得,所以方程的解为
【例
5】
解方程组(为正整数)
【考点】二元一次方程组
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
对第一个方程去括号整理,根据等式的性质将第二个式子扩倍变成正式进行整理得:,若想消掉,将方程二扩大3倍,又因为的系数符号不同,所以应该用加消元,计算结果如下:,去括号整理得,解得,所以方程的解为
【例
6】
【答案】解下面关于、的二元一次方程组:
【考点】二元一次方程组
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
整理这个方程组里的两个方程,可以得到:,可以看出,两个方程是不可能同时成立的,所以这是题目本身的问题,无解
【答案】无解
【例
7】
解方程组(为正整数)
【考点】二元一次方程组
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
本题需要同学能够利用整体思想进行解题,将与看出相应的未知数,因为每一项的分母不同,所以先将分母系数化成同样的,所以第二个式子等号两边同时乘以2整理得:,去括号整理后得到,根据分数的性质计算得,所以方程的解为:
模块二、多元一次方程
【例
8】
解方程组(为正整数)
【考点】二元一次方程组
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
观察的系数发现,第二个式子与第三个式子中的系数是3倍关系,所以将第二个式子扩大3倍与第三个式子相减得到:,去括号整理得,与第一个式子整理得,若想消掉,因为,所以第一个方程应该扩大5倍,第二个式子应该扩大2倍,又因为的系数符号相同,所以应该用减消元,计算结果如下:,去括号整理得,所以方程解为
【巩固】
解方程组(为正整数)
【考点】二元一次方程组
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
将一式与二式相减得去括号整理后得;将二式扩大2倍与三式相减得,去括号整理后得;最后将两式相加计算结果如下:,整理得,所以方程的解为:
【例
9】
解方程组(为正整数)
【考点】二元一次方程组
【难度】3星
【题型】解答
【解析】
将5个式子相加得,将1式与2式相加得,将2式与3式相加得,同理连续相加得到,整理后解为
【答案】