勾股定理的证明及应用

第一篇：勾股定理的证明及应用

勾股定理的证明及应用

【重点】：

学习勾股定理的文化背景，欣赏历史上经典的勾股定理证明方法，体会其蕴含的创新思维，初步运用勾股定理分析处理具体问题

【难点】：

通过图示欣赏，还原推测图示所含的证明方法

【勾股文化学习】

勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”。它在‘RT△的三条边之间建立了固定关系’，使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式。

千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

在西方国家，一般称勾股定理为毕达哥拉斯（前500）定理，因为人们相信是毕达哥拉斯最早提出并证明了这一定理。并且据说，他在发现这一结论时，欣喜若狂，杀牛百只以供奉神灵。因而这一定理又有了“百牛定理“的称法。在法国和比利时这个定理被称为“驴桥定理”。在中世纪的阿拉伯国家和印度，这一定理还有一个绰号，叫“新娘图”。至于绰号由来，现代人众说纷纭，莫衷一是。

在我国以前也称这一定理为毕达哥拉斯定理。五十年代初，曾展开过关于这一定理命名的讨论。有人主张叫“商高定理”。因这一结论的在我国最早是由西周初的商高提出的。在数学著作《周髀算经》(前1世纪)一书中，记载有商高(前1120)与周公的对话，其中商高提出了“勾三股四弦五”的说法。不过据推断，他还只是了解三边满足3：4：5关系的特例情况，普遍性的结论，由陈子(前716)提出。他说：“„„勾股各自乘，并而开方除之„„”这是普遍勾股定理在我国的最早记载。故有人主张应称为“陈子定理”。后来决定不用人名，而称为“勾股定理”。单就名称之多，勾股定理就可创下一项平面几何之最了。

今天有人戏称，勾股定理为‘宇宙大定理’，因为现在看来，世界上各民族都在差不多接近的时间内独立地发现了勾股定理及其逆定理。目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。

勾股定理在每一个时代都会被当代的精英们给出新的内涵外延，从柏拉图寻求不定方程通解到费马大定理，到今天的分形勾股树(如右上两图)，每每读到这些智慧的创造都会让人神往。

„„

【勾股定理的证明】

观察下列图形，推测勾股定理的证明方法

1、下图是《几何原本》（公元前4世纪前后）中提供的一种证明方法，过A作AH⊥BC于H延长交FK于G．

可证明：

证明思路很多，较简捷的是过F作FP⊥AB于P

易证△FPB≌△CBA进而可知

而

2、下图最早是由我国三国时期数学家赵爽（东汉末至三国东吴人）提出的一种证法．

该图叫弦图，由图示可知

．

3、下图最早是由我国三国时魏国的数学家刘徽（公元三世纪）为注释《九章算术》时提出的一种证法“青朱入出图”，由图示．

边长为a、b的两个正方形，如图示裁割．

M补入 处，N补入处，Q补入

处

4、下图最早是由古代印度数学家婆什迦罗提出的一种证法．

图示的裁割线索很清晰，你试试给出解释．

„„

【勾股定理的应用】

1、已知在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，且a=3，b=4，且b

错解：由勾股定理可得

分析：上面的解法受“勾

三、股

四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形。

正解：，又，∴，即4

评述：运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算。

2、已知：三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为_____，∴ x=13

错解：设第三边长为x，则由勾股定理可得：

分析：由于此题中己知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论

正解：当x为斜边时，x=13；当x为直角边时，故第三边长为13或。

评述：在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当。

3、利用勾股定理求线段长的简单应用

(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=7，b=24，则c=________；②若a=5，c=13，则b=________；

③若b=15，c=25，则a=________

(2)等腰直角三角形的斜边长为，则此直角三角形的腰长为________________

(3)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB=________________，斜边AB上的高线长

为________________。(与面积的结合)

(4)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=________。

(5)如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是___

解析：（1）①

（2）2 ②

③

（3）AB=10，（4）

（5）设斜边长为c，另一直角边为a，则

∵ c、a为自然数

∴

∴ 周长为132

4、勾股定理在几何中的应用。

己知：△ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。

解：过A作AE⊥BC于E。

∵ AB=AC，∴

在Rt△ABE中，AB=20，BE=16，∴

∴ AE=12

故在Rt△ADE中，设DE=x，则

∵ AD⊥AC于A，∴

解得，即，∴ BD=BE-DE=16-9=7

评述：勾股定理是解决直线形中线段计算问题的常用方法，题目中含有直角三角形别忘记使用，题目中没有给出直角三角形可以考虑作垂线构建直角三角形。

5、利用勾股定理解决实际问题

(1)平面上有A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向。甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min。结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，试问两只蚂蚁原来所处地点相距多远?

解析：首先结合题设画出图形，C在A东南，则A在C西北；C在B西南，则B在C东北

∴ 可知∠ACB=90°，依题设AC=60cm，BC=80cm

∴ AB=100cm

(2)如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A。经测量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°。已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米。

求：1)河宽AD(结果保留根号)；

2)公路CD的长：

3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。

解析：过B作BF⊥AD交DA延长线于F

在Rt△ABF中可知∠BAF=60°，AB

∴ BF=6，在Rt△BFD中，知∠BDF=45°

∴ DF=BF=6

∴

过B作BG⊥CD于G，则BG=6，BC=10，有CG=8

∴ DC=CG+DG=14

设CE=x，则方案一、二费用分别为

由

∴ 当

当0＜CE＜

当CE=

6、画出长为的线段，可作图 可解得，＜CE＜14时，方案一较省

时，方案二较省 时，方案一、二均可．

解析：考虑到

线段AB为所求

考虑到，可作图

线段CD为所求

第二篇：如何证明勾股定理

如何证明勾股定理

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。

一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。

在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。

二、赵爽弦图的证法（图2）

第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直

角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”。

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。

第三篇：勾股定理 专题证明

勾股定理 专题证明

1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。

(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：----------，----------；

(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O（0,0），A（3,0）,B(0,4)请你画出以格点为顶

点，OA,OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB ；

(3)如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到 △DBE，连结AD,DC,∠DCB=

30°。写出线段DC,AC,BC的数量关系为----------------；

2.（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF 是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）如图2，10×10的正方形网格中，点A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），①依次连结A、B、C、D四点得到四边形ABCD，四边形ABCD的形状是------------；

②在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最短（直接画出图形，不要求写作法）；

此时，点P的坐标为------------，最短周长为------------------；

3.如图正方形ABCD ,E 为AD边上一点，F为CD边上一点，∠FEA=∠EBC,若AE= kED, 探究DF与CF的数量关系；

4.如图1 等腰直角 △ABC，将 等腰直角△DMN如图 放置，△DMN的斜边MN与△ABC的一直角边AC重合.⑴ 在图1中，绕点 D旋转△DMN，使两直角边DM、DN分别与 交于点E，F如图2，求证：AE2+BF2=EF2 ；

⑵ 在图1 中，绕点 C旋转△DMN，使它的斜边CM、直角边 CD的延长线分别与 AB交于点E，F，如图3，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.⑶ 如图4，在正方形 ABCD中，E、F 分别是边BC、CD 上的点且满足△CEF 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，AE、AF 分别与对角线 BD交于点M、N.线段BM、MN、DN 恰能构成三角形.请指出线段BM、MN、DN 所构成的三角形的形状，并给出证明；

5.将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（如图①②③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点，⑴如图①三角板一直角边与OD重合，则线段BN、CD、CN间的数量关系为-----------------------；

⑵如图②三角板一直角边与OC重合，则线段BN、CD、CN间的数量关系为-----------------------；

⑶如图③，探究线段BN、CN、CM、DM间的数量关系，写出你的结论，加以说明；

④若将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，探究线段BN、CN、CM、DM间的数量关系，写出你的结论，加以说明；

6.如图，四边形ABCD, AD∥BC，AD≠BC，∠B=90°，AD=AB ,点E是AB边上一动点(点E不与点A、B重合)，连结ED，过ED的中点F作ED的垂线，交AD于点G,交BC于点K,过点K作KM⊥AD于M．若AB=k AE , 探究DM与DG 的数量关系；（用含 的式子表示）．

第四篇：勾股定理证明

勾股定理证明

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

以下即为一种证明方法：

如图，这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c²）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c²=a²+b²，即在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和

初二十四班秦煜暄

第五篇：证明勾股定理

勾股定理的应用

一、引言

七年级上册的数学有讲到如何精确地画出根号2。老师说，要画一个2×2的，边长都为1的方格。然后在里面再做出一个菱形（表示方格面积的一半）。这个菱形的边长就是根号2。当时有人就埋怨方法的麻烦了，老师就回答用勾股定理会简便许多。还有印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”用勾股定理就可以很简便的解出。就勾股定理，我查阅了一些资料，弄清楚了它的意义以及它的2种证明方法。

二、提出问题

1、什么是勾股定理？

2、怎么证明勾股定理？

三、问题求解（1）中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

勾股定理用文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。勾股定理示意图

用数学式表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

（2）针对它的证明方法，我查阅了一些相关的资料，通过我自己的整理和理解，得出了2种证明方法。

方法一：（课本的证明）

做8个全部相同的直角三角形，设它们的直角边长分别为a和b，斜边长为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成两个大正方形，如下图所示：

由上图可知，两个大正方形的边长都是a加b，所以面积是相等的。用方程表

1示它们的面积关系，得：（a+b）²=c²+4× ab

2（a+b）(a+b)=c²+2ab

a(a+b)+b(a+b)=c²+2ab

a²+ab+ab+b²=c²+2ab

a²+b²+2ab=c²+2ab

a²+b²=c²

方法二：（利用相似三角形性质证明）

在直角三角形ABC中，设直角边AC和BC的长度分别为a和b，斜边AB的长度为c。过点C做AB的垂线CD，垂足是D。如图所示：

在直角三角形ABC与直角三角形ACD中，因为角ADC=角ACB=90度

角CAD=角BAC，所以它们互为相似的直角三角形。

因为它们互为相似的直角三角形，所以它们在各个线

段上的三角形边长的比值都是相同的。即ADAC =ACAB

对角相乘得AC²=AD·AB，同理可证，右边的直角三角形BCD与直角三角形ABC也是互为相似的直角三角形的。从而有了BCAB =BDBC

对角相乘得 BC²=BD·AB，因为（AC²=AD·AB）=（BC²=BD·AB）

所以AC²+BC²= AD·AB+BD·AB

AC²+BC²=(AD+BD)·AB

AC²+BC²=AB·AB

AC²+BC²=AB²

即a²+b²=c².四、总结与感想 随着数学水平的提高，很多数学的定理和公式都被人们一一推敲了出来，勾股定理就是其中的一个重大的发现。勾股定理是人们认识宇宙中形规律的自然起点，无论在东方还是西方文明起源过程中，都有着很多动人的故事。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，比如用它就可以很方便地把引言中的问题解决掉。答案是3.75尺。从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数，就如引言中的画根号2一样。

我想说的是，虽然勾股定理看似简单，只是一句话，但是它的意义以及作用是无穷大的。认识和掌握勾股定理对初一的无理数有着一定的帮助。我作为一个初一的学生，能力毕竟有限，只能把勾股定理推敲到这里。以后我一定会再接再厉，玩转勾股定理！

2013.11