第一篇:圆的证明竞赛题
如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF.求证: tanPAD
EF. BC
第二篇:圆票证明
圆 票 证 明
地税局:
兹有 公司在我单位承接消防安装工程,需圆票金额,现由该公司 前来办理圆票手续,请贵局给予办理为谢!
业主单位名称 年 月 日
第三篇:圆的证明歌
圆的证明歌:
圆的证明不算难,常把半径直径连;有弦可作弦心距,它定垂直平分弦;直径是圆最大弦,直圆周角立上边,它若垂直平分弦,垂径、射影响耳边;还有与圆有关角,勿忘相互有关联,圆周、圆心、弦切角,细找关系把线连。同弧圆周角相等,证题用它最多见,圆中若有弦切角,夹弧找到就好办;圆有内接四边形,对角互补记心间,外角等于内对角,四边形定内接圆;直角相对或共弦,试试加个辅助圆;若是证题打转转,四点共圆可解难;要想证明圆切线,垂直半径过外端,直线与圆有共点,证垂直来半径连,直线与圆未给点,需证半径作垂线;四边形有内切圆,对边和等是条件;如果遇到圆与圆,弄清位置很关键,两圆相切作公切,两圆相交连公弦。
解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。
高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。
证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高下。
直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。
还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造法
第四篇:圆票证明1
圆票证明
*****税务局:
兹有******为我公司提供仓库防火墙改建工程,施工地址为*****************。本次工程总价款叁万陆仟元整(¥36000元)。
请贵局予以圆票。
单位名称:************* 税号:******************** 开户行:************************* 账号:************************ 地址:************************ 电话:****************
*********************
******年****月****日
第五篇:圆的定理及其证明
圆周角定理
内容:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。证明:
情况1:
如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时:
图1
∵OA、OC是半径 解:∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO(等腰三角形底角相等)∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情况2:
如图2,,当圆心O在∠BAC的内部时: 连接AO,并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径 解:∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等边对等角)∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情况3:
如图3,当圆心O在∠BAC的外部时:
图3
连接AO,并延长AO交⊙O于D连接OC,OB。解:∵OA、OB、OC、是半径 ∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO(等腰三角形底角相等),∠CAD=∠ACO(OA=OC)∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 圆心角等于180度的情况呢?
看情况1的图,圆心角∠AOB=180度,圆周角是∠ACB,显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2 ∠OCB=∠OBC=∠AOC/2 所以∠OCA+∠OCB=(∠BOC+∠AOC)/2=90度 所以2∠ACB=∠AOC 圆心角大于180度的情况呢?
看情况3的图,圆心角是(360度-∠AOB),圆周角是∠ACB,只要延长CO交园于点D,由圆心角等于180度的情况可知∠ACD=∠ABD=90度 根据情况3同理可证:∠BOC=2∠BAC=2∠BDC 根据情况1和情况3同理可证:∠AOC=2∠ADC=2∠ABC 所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度 即∠ACB=180度-∠ADB 由情况2可知:∠AOB=2∠ADB 所以360度-∠AOB=2(180度-∠ADB)=2∠ACB
切线长定理
内容:切线长定理,是初等平面几何的一个定理。在圆中,在经过圆外一点的切线,这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长。它指出,从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。证明:
欲证AC = AB,只需证△ABO≌ △ACO。
如图,OC、OB为圆的两条半径,又∠ABO = ∠ACO=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中
∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO(H.L)
∴AB=AC,且∠AOB=∠AOC,且∠OAB=∠OAC。[3]
弦切角定理
内容:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数。证明:
分三种情况
:
(1)圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径 ∴弧CmA=弧CA ∵弧CA为半圆, ∴弧CmA的度数为180° ∵AB为圆的切线 ∴∠CAB=90°
∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点
E,连接EC、ED、EA。则 ∵弧CD=弧CD ∴∠CED=∠CAD ∵AD是圆O的直径 ∴∠DEA=90° ∵AB为圆的切线 ∴∠BAD=90° ∴∠DEA=∠BAD ∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC 又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半
∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半
(3)圆心O在∠BAC的外部 过A作直径AD交⊙O于D,连接CD ∵AD是圆的直径 ∴∠ACD=90° ∴∠CDA+∠CAD=90° ∵AB是圆O的切线 ∴∠DAB=90° ∴∠BAC+∠CAD=90° ∴∠BAC=∠CDA ∵∠CDA的度数等于弧CmA的度数的一半。
∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
切割线定理
内容:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。与圆相交的直线是圆的割线。切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时,切线与割线之间的关系。这是一个重要的定理,在解题中经常用到。
推论: 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。证明:
设ABP是⊙O的一条割线,PT是⊙O的一条切线,切点为T,则PT²=PA·PB。
图1
证明:连接AT,BT。
∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理);∠APT=∠TPB(公共角); ∴ △PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似); ∴PB:PT=PT:AP; 即:PT²=PB·PA。
垂径定理
内容:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。证明:
如图,在⊙O中,DC为直径,AB是弦,AB⊥DC于点E,AB、CD交于E,求证:AE=BE,弧AC=弧BC,弧AD= 弧BD 连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B ∵OA、OB是⊙O的半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE,∠AOE=∠BOE(等腰三角形三线合一)
∴弧AD=弧BD,∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC