怎样证明直线与圆相切？

第一篇：怎样证明直线与圆相切？

怎样证明直线与圆相切？

在直线与圆的各种位置关系中，相切是一种重要的位置关系．

现介绍以下三种判别直线与圆相切的基本方法：

(1)利用切线的定义——在已知条件中有“半径与一条直线交于半径的外端”，于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端．

例1：已知：△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且∠CAP=∠ABC．

求证：PA是⊙O的切线．

证明：连接EC．

∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∴∠E＋∠EAC=90°．

∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°，∴∠EAP=90°，∴PA⊥OA，且过A点，则PA是⊙O的切线．

(2)利用切线的判定定理——在已知条件中，有“一条直线过圆上某一公共点(即为切点)，但没有半径”，于是先连接圆心与这个公共点成为半径，然后再证明这条直线和这条半径垂直．

例2：以Rt△ABC的直角边BC为直径作⊙O交斜边AB于P，Q为AC的中点． 求证：PQ必为⊙O的切线．

证明 连接OP，CP．

∵BC为直径，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．

又∵Q为AC中点，∴QP=QC，∴∠1=∠2．

又OP=OC，∴∠3=∠4．

又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90°，∴∠OPQ=90°．

∵P点在⊙O上，且P为半径OP的端点，则QP为⊙O的切线．

说明：要证PQ与半径垂直，即连接OP．这是判别相切中添辅助线的常用方法．

(3)证明“d=R”——在已知条件中“没有半径，也没有与圆有公共交点的直线”，于是过圆心作直线的垂线，然后再证明这条垂线的长(d)等于圆的半径(R)．

例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC与D，且AD=BC，E、F为AB、AC的中点，O为EF2的中点。

求证：以EF为直径的圆与BC相切．

证明：作OH⊥BC于H，设AD与EF交于M，又AD⊥BC，∴OH∥MD，则OHDM是矩形．

∴OH是⊙O的半径，则EF为直径的圆与BC相切.思考题：

1．AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=CD，EF过点C，EF⊥BD于G．

求证：EF是⊙O的切线．

提示：连接CO，则OC是⊙O的半径，再证OC⊥EF．

2．DB是圆的直径，点A在DB的延长线上，AB=OB，∠CAD=30°．求证：AC是⊙O的切线．

提示：∵AC与⊙O没有公共点，∴作OE⊥AC于E，再证OE是⊙O的半径．

第二篇：证明直线与圆相切的常见方法（定稿）

证明直线与圆相切的常见方法

学习了直线与圆的位置关系,常会遇到证明一条直线是圆的切线的题目,如何证明一条直线是圆的切线,一般会出现以下三种情况.一、若证明是圆的切线的直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,此时可根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记为“见半径，证垂直”.例1如图1,已知AB为⊙O的直径,直线PA过点A,且∠PAC=∠B.求证:PA是⊙O的切线.图 1分析：要证明PA是⊙O的切线，因为AB是⊙O的直径，所以只要证明AB⊥AP.可结合直径所对的圆周为直角进行推理.证明：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°，因为∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°，即∠BAP=90°，所以PA是⊙O的切线.二、若给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则连结公共点和圆心，然后根据“经过半径外端且垂直这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记为“作半径，证垂直”.例2如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．

求证：DE是⊙O的切线．

证明：连接OC，则OA=OC，所以∠CAO=∠ACO，因为AC平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，所以AE∥CO，又AE⊥DE，所以CO⊥DE，所以DE是⊙O的切线．

三、若直线与圆的公共点不明确时，则过圆心作该直线的垂线段，然后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径，该直线是圆的切线”来证明.简记为“作垂直，证相等”.例3如图3，已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F.求证：CD与⊙O相切．

图3

分析：要识别“CD与⊙O相切”，由于不知道CD经过圆上哪一点，所以先过点O作：ON⊥CD于N，再证明ON是⊙O半径。易知OM是⊙O的半径，只要证明：OM=ON即可.证明：连结OM，作ON⊥CD于N，因为 ⊙O与BC相切，所以 OM⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以 AC平分∠BCD.所以OM=ON.图 4

所以CD与⊙O相切.总结： 切线判断并不难，认真审题是重点；直线与圆有交点，连接半径是关键，推得垂直是切线；若没明确是切点，作过圆心垂线段，半径相等得切线.

第三篇：圆锥曲线与直线相切的条件教案

圆锥曲线与直线相切的条件教案

教学目的(1)掌握圆锥曲线与直线相切的条件及圆锥曲线切线的定义；

(2)使学生会用初等数学方法求圆锥曲线的切线；

(3)应用相切的公式解题，从而培养学生综合应用能力．

教学过程

一、问题提出

1．有心的二次曲线包括哪些？无心的二次曲线包括哪些？

(答：有心的二次曲线是圆、椭圆及双曲线；无心的二次曲线是抛物线．)

(由教师启发下，让学生共同讨论．)

(1)当α＞0，β＞0且α＝β时，方程表示为圆；

(2)当α＞0，β＞0且α≠β时，方程表示为椭圆；

(3)当α、β为异号时，方程表示为双曲线．

因此，这个方程可以统一表示有心的二次曲线．

3．圆锥曲线与直线的相切的条件是什么？

设直线l′与圆锥曲线相交于P、Q两点(图1)，将直线l′绕点P旋转，使点Q逐渐靠近点P，当l′转到直线l的位置时，点Q与点P重合，这时，直线l叫做圆锥曲线在点P的切线．也就是圆锥曲线与直线l相切．根据这个定义，于是圆锥曲线方程

f(x，y)＝0

与直线方程

y＝kx＋m

组成的方程组应有两个相同的实数解．实系数一元二次方程有两个相同的实数解的充要条件是判别式Δ＝0，根据条件转化为求Δ＝0．

(启发学生回答，由教师归纳，然后板书课题．)

今天我们要研究“圆锥曲线与直线相切的条件”．

二、讲述新课

根据上面分析，得

由②代入①，化简、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③

当αk＋β≠0时(二次项系数)，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)

＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2

＝4αβ(αk2＋β－m2)．

(启发学生讨论．)

由于α、β均不为零，因此当Δ＝0时可知有心二次曲线与直线y＝kx＋m相切的充要条件为

m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④

这里αk2＋β恰是方程③的二次项系数．

(引导学生对结论④，在圆、椭圆、双曲线各种情况下变化规律进行讨论，教师边归纳，边板书．)

(1)对于圆x2＋y2＝γ2，可写成

222

222

即有α＝β＝γ2，于是相切条件为m2＝γ2(k2＋1)．

(2)对于椭圆(焦点在x轴上)

即有α＝a，β＝b，于是相切条件为m＝ak＋b．

(3)对于椭圆(焦点在y轴上)

即有α＝b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝b2k2＋a2．

(4)对于双曲线(焦点在x轴上)

即有α＝a2，β＝－b2，于是相切条件为m2＝a2k2－b2．

(5)对于双曲线(焦点在y轴上)

即有α＝－b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝a2－b2k2．

[应用有心曲线统一公式，这样就不必从圆、椭圆、双曲线一个一个地去求，可避免一个一个冗长复杂的计算，使问题的解决变得简捷．]

2．无心的二次曲线y2＝2px与直线y＝kx＋m相切的条件

根据上面的分析，得

由②代入①，化简整理，得

(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．

当二次项系数k2≠0时，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp

＝4p(p－2mk)＝0．

无心的二次曲线x2＝2py与直线y＝kx＋m相切的条件，应为

(让学生独立完成．)

三、巩固新课

(让学生直接对照上述结论，设所求公切线的斜率为k，截距为m，再根据椭

解 设所求的公切线斜率为k，截距为m，根据相切条件有

由②代入①，化简整理，得

81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．

因此，所求的公切线方程为

即

x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．

求双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹方程．

(帮助学生分析解题的几个要点，然后由学生上黑板解，教师巡视指点．)

y=kx＋m，则由相切条件，可知m2=a2k2－b2．

(2)设两切线交点为P(x0，y0)，则切线方程为

y－y0=k(x－x0)，即

y=kx＋(y0－kx0)．

(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直线，就有

m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．

整理得

(4)k1k2=－1，用韦达定理从方程①求得k1k2，即

因此，点P的轨迹方程为

x＋y=a－b．

这里a＞b，点P的轨迹是一个实圆；

a=b，点P的轨迹是一个点圆；

a＜b，点P无轨迹(虚圆)．

解略．

法，不难得出轨迹方程为圆方程

x＋y=a＋b；

这题若改为求抛物线y=2px的两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程，方法也类似，不难得出轨迹方程为

即点P一定在准线上．

[这样改变一下题目，可让学生开拓思路，举一反三．]

四、练习

1．已知l为椭圆x＋4y=4的切线并与坐标轴交于A、B两点，求|AB|的最小值及取得最小值时切线l的方程．

2解 如图2，设切线方程为

y=kx＋m，根据相切条件有m2=4k2＋1，即①

|OA|2=4k2＋1．

在y=kx＋m中，令y=0，得

即

于是得

代入m=4k＋1，求得 2

因此，所求的切线共有四条(图3)，它们的方程为

求四边形ABCD的最大面积．

则由相切条件，知

m2=a2k2＋b2，故两切线方程为

即

两切线间的距离

∴四边形ABCD的最大面积为

五、补充作业

轨迹方程．

2．求出斜率为k的圆锥曲线的切线方程．

教案说明

这一节课的指导思想是：根据现代教育理论，强调在教学的过程中培养能力，特别是思维能力．数学思维结构与科学结构十分相似，学习数学的过程，就是从一种思维结构过渡到另一种思维结构的过程，数学知识只是进行思维结构训练的材料．二次曲线与直线相切的条件若从上述结构进行训练，就是使学生形成完整的思维结构，使对数学的认识有新的突破．这一点已成为我在课堂教学中进行探索和研讨的课题．

这节课的整个教学过程中，着重于讲解——启导——探究，培养学生的分析能力．讲解时，突出重点：“相切条件”，并以此为中心，达到举一反

三、触类旁通．其中也穿插了自学讨论，而不是教师满堂灌．

在练习中，注意到了再现性练习、巩固性练习，同时也留有发现性练习，使学生以新带旧，巩固新知，发展智力，反过来从思维结构上形成完整体系，以认识数学本身．

第四篇：苏教版直线与圆单元测试(A级)

苏教版直线与圆单元测试（A级）

一、填空题（共70分）

1、已知过两点A（4，y）,B(2,-3)的直线的倾斜角是135°，则y=_______。

2、过点（3,1），且斜率是4的直线方程为_______________。

3、原点到直线的距离为___________；

4、过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程________________.5、直线与的交点坐标是___________；

6、已知过点A(-2,m)和B（m，4）的直线与直线平行，则m的值为______________；

7、圆心为A（2，-3）,半径长为5的圆的方程为______________；

8、点（0,2）关于直线x+y=0的对称点是_________；

9、空间两点P（3，-2,5），Q（6,0，-1）间的距离PQ为________；

10、在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点的坐标为_______________；

11、以线段A（-4，-5），B（6，-1）为直径的圆的方程是______________；

12、设直线过点，其斜率为1，且与圆相切，则。

13、经过三点A（-1,5），B（5,5），C（6，-2）的圆的方程是____________________；

14、一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路径是。

二、解答题

15、已知半径为5的圆过点P（-4,3），且圆心在直线上，求这个圆的方程。

16、已知△ABC的顶点坐标为A（-1,5），B（-2，-1），C（4,7），求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程。

17、求过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程。

18、已知直线与，则当为何值时，直线：

(1)平行？（2）垂直？（3）相交?

19、求过点A（2,4）向圆所引的切线方程；并求出切线长。

20、已知圆C：，直线。

（1）求证：对直线与圆C总有两个不同的交点；

（2）若直线与圆C交于不同的两点A、B，且，求直线的方程。

第五篇：直线与圆的位置关系教案

《直线与圆的位置关系》教案

教学目标：

根据学过的直线与圆的位置关系的知识，组织学生对编出的有关题目进行讨论.讨论中引导学生体会

（1）如何从解决过的问题中生发出新问题.（2）新问题的解决方案与原有旧方法之间的联系与区别.通过编解题的过程，使学生基本了解、把握有关直线与圆的位置关系的知识可解决的基本问题，并初步体验数学问题变化、发展的过程，探索其解法.重点及难点：

从学生所编出的具体问题出发，适时适度地引导学生关注问题发展及解决的一般策略.教学过程

一、引入：

1、判断直线与圆的位置关系的基本方法：

（1）圆心到直线的距离

（2）判别式法

2、回顾予留问题：

要求学生由学过知识编出有关直线与圆位置关系的新题目，并考虑下面问题：

（1）为何这样编题.（2）能否解决自编题目.（3）分析解题方法及步骤与已学过的基本方法、步骤的联系与区别.二、探讨过程：

教师引导学生要注重的几个基本问题：

1、位置关系判定方法与求曲线方程问题的结合.2、位置关系判定方法与函数或不等式的结合.3、将圆变为相关曲线.备选题

1、求过点P（-3，-2）且与圆x2+y2+2x-4y+1=0相切的直线方程.备选题

2、已知P(x, y)为圆(x+2)2+y2=1上任意一点，求（1）（2）2x+3y=b的取值范围.备选题

3、实数k取何值时，直线L：y=kx+2k-1与曲线: y=两个公共点；没有公共点.三、小结：

1、问题变化、发展的一些常见方法，如：

（1）变常数为常数，改系数.（2）变曲线整体为部分.有一个公共点；=m的最大、最小值.（3）变定曲线为动曲线.2、理解与体会解决问题的一般策略，重视“新”与“旧”的联系与区别，并注意哪些可化归为“旧”的方法去解决.自编题目：

下面是四中学生在课堂上自己编的题目，这些题目由学生自己亲自编的或是自学中从课外书上找来的题目，这些题目都与本节课内容有关.①已知圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，P（x0, y0）是圆外一点，求过P点的圆的两切线的夹角如何计算？

②P（x0, y0）是圆x2+(y-1)2=1上一点，求x0+y0+c≥0中c的范围.③圆过A点（4，1），且与y=x相切，求切线方程.④直线x+2y-3=0与x2+y2+x-2ay+a=0相交于A、B两点，且OA⊥OB，求圆方程？

⑤P是x2+y2=25上一点，A（5，5），B（2，4），求|AP|2+|BP|2最小值.⑥圆方程x2+y2=4，直线过点（-3，-1），且与圆相交分得弦长为3∶1，求直线方程.⑦圆方程x2+y2=9，x-y+m=0，弦长为

2，求m.⑧圆O(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0, y0)圆一点，求过P点弦长最短的直线方程？

⑨求y=的最值.圆锥曲线的定义及其应用

[教学内容]

圆锥曲线的定义及其应用。

[教学目标]

通过本课的教学，让学生较深刻地了解三种圆锥的定义是对圆锥曲线本质的刻画，它决定了曲线的形状和几何性质，因此在圆锥曲线的应用中，定义本身就是最重要的性质。

1．利用圆锥曲线的定义，确定点与圆锥曲线位置关系的表达式，体现用二元不等式表示平面区域的研究方法。

2．根据圆锥曲线定义建立焦半径的表达式求解有关问题，培养寻求联系定义的能力。

3．探讨使用圆锥曲线定义，用几何法作出过圆锥曲线上一点的切线，激发学生探索的兴趣。

4．掌握用定义判断圆锥曲线类型及求解与圆锥曲线相关的动点轨迹，提高学生分析、识别曲线，解决问题的综合能力。

[教学重点]

寻找所解问题与圆锥曲线定义的联系。

[教学过程]

一、回顾圆锥曲线定义，确定点、直线（切线）与曲线的位置关系。

1．由定义确定的圆锥曲线标准方程。

2．点与圆锥曲线的位置关系。

3．过圆锥曲线上一点作切线的几何画法。

二、圆锥曲线定义在焦半径、焦点弦等问题中的应用。

例1．设椭圆+=1(a>b>0)，F1、F2是其左、右焦点，P(x0, y0)是椭圆上任意一点。

（1）写出|PF1|、|PF2|的表达式，求|PF1|、|PF1|·|PF2|的最大最小值及对应的P点位置。

（2）过F1作不与x轴重合的直线L，判断椭圆上是否存在两个不同的点关于L对称。

（3）P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3, y3)是椭圆上三点，且x1, x2, x3成等差，求证|PF1|、|PF2|、|PF3|成等差。

（4）若∠F1PF2=2，求证：ΔPF1F2的面积S=btg

（5）当a=2, b=最小值。

时，定点A（1，1），求|PF1|+|PA|的最大最小值及|PA|+2|PF2|的2例2．已知双曲线-=1，F1、F2是其左、右焦点。

（1）设P(x0, y0)是双曲线上一点，求|PF1|、|PF2|的表达式。

（2）设P(x0, y0)在双曲线右支上，求证以|PF1|为直径的圆必与实轴为直径的圆内切。

（3）当b=1时，椭圆求ΔQF1F2的面积。

+y=1 恰与双曲线有共同的焦点，Q是两曲线的一个公共点，2例3．已知AB是过抛物线y=2px(p>0)焦点的弦，A(x1, y1), B(x2, y2)、F为焦点，求证：

（1）以|AB|为直径的圆必与抛物线的准线相切。

（2）|AB|=x1+x2+p

（3）若弦CD长4p, 则CD弦中点到y轴的最小距离为

2（4）+为定值。

（5）当p=2时，|AF|+|BF|=|AF|·|BF|

三、利用定义判断曲线类型，确定动点轨迹。

例4．判断方程=1表示的曲线类型。

例5．以点F（1，0）和直线x=-1为对应的焦点和准线的椭圆，它的一个短轴端点为B，点P是BF的中点，求动点P的轨迹方程。

备用题：双曲线实轴平行x轴，离心率e=，它的左分支经过圆x+y+4x-10y+20=0的2

2圆心M，双曲线左焦点在此圆上，求双曲线右顶点的轨迹方程。