浅议向量组线性无关的证法

第一篇：浅议向量组线性无关的证法

浅议向量组线性无关的证法

【摘要】根据辅导自学考试的教学经历，考查近几年经管类《线性代数》试题中有关向量组线性无关的证明（第27题），归纳分析该类考题的特点，并给出了一般的证明方法。本文通过展示对历年考题的证明过程，阐述了向量组线性无关概念的多种灵活变形，提取这类题目的本质并提出大致解题想法，从而为提高学生例题解析能力和培养逻辑归纳思维提供思路。

【关键词】向量组 线性无关 齐次线性方程组

【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）04-0251-01

向量组的线性无关性是线性空间结构理论的基础，在线性代数中有着重要作用，在矩阵、向量组的秩求解、正交向量组、齐次线性方程组的基础解系、二次型、线性空间变换中均有应用。向量组的线性无关性判别证明以其严谨的逻辑推证，巧妙的归纳综合等特点，增强了数学爱好者的科学智能，但也往往使得初学者难以抓住要领。针对学生的这一问题，为打消其顾虑调动学习积极性，笔者根据多年《线性代数》自学考试的教学经验，结合教材考试大纲分析命题思路，梳理归纳了历年考题并给出证明。

全国高等教育自学考试线性代数试题（经管类）共27题，满分是100分，第27题作为6分的压轴题难度较大，学生对此往往有畏难心理。该题大多考查向量组线性无关的证明，在历次考试中出现的几率很高。例如：

一、（2009年1月第27题）

本题证法与前面不同的是，根据已知条件，可以写出对应的三元齐次线性方程组，得到系数行列式，且不等于零，依据克莱姆法则判断，齐次线性方程组只有零解，故向量组线性无关。

从以上五个题的证明可以看出，命题紧紧联系向量组线性无关的定义，重在考查学生的数学应用、思维发散能力及推理运算技巧。

向量组的线性无关理论是在向量空间一章中讲述的，是重要的部分，在求矩阵的秩、向量组的秩、正交向量组等均有广泛的应用，尤其在线性方程组解的理论中，求基础解系、通解，不可或缺。因此，证明向量组线性无关，在考试中作为重点考查内容之一，恰如其分。学生应加强学习训练，提高逻辑归纳能力，才能融会贯通顺利通过考试。

参考文献：

[1]牛少彰，刘吉佑.线性代数学习指导与例题分析[M].北京邮电大学出版社，2003.[2]刘吉佑，徐诚浩.线性代数： 经管类[M].武汉大学出版社，2006.[3]刘吉佑，徐诚浩.线性代数（经管类）习题详解[M].清华大学出版社，2007.[4]任功全，封建湖，薛宏智.线性代数[M].北京：科学出版社，2005.[5]付立江.线性无关向量组的构造[J].黑龙江科技信息，2010（031）： 25-25.[6]王建平，曹殿立，孙成金，等.线性空间中线性无关向量组扩充为基的研究[J].河南教育学院学报： 自然科学版，2003，12（4）： 8-9.作者简介：

臧新建，男，1965年12月生，理学学士。研究方向：基础数学。

第二篇：《向量的线性运算》的教学设计

《向量的线性运算》教学设计

一、教材分析

1、本单元的教学内容的范围

本单元包括向量的概念、向量的加法、向量的减法、数乘向量和向量共线的条件与轴上向量坐标运算，共5小节内容。

2．本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用

站在数学学科角度来看平面向量，向量的运算（包括中学阶段的平面向量与空间向量）是在数的运算的基础上对运算的发展；向量的两重性使得向量成为几何问题代数化的一个重要组成部分，这对数字化时代研究几何问题提供了一个良好的手段；平面向量为研究三角函数、解析几何等提供了工具作用；平面向量是空间向量的基础。

《向量的线性运算》作为平面向量的第一个单元的教学内容，既是《平面向量》这一模块的重要知识，也是学习本模块其他知识的基础。3．本单元的教学内容总体教学目标

（1）通过实例，了解平面向量的实际背景。

（2）理解平面向量和相等向量的含义，理解向量的几何表示。

（3）通过实例，掌握向量的加法、减法以及数乘向量运算及其几何意义；理解两个向量共线的含义。

（4）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。

（5）通过学习使学生初步体会向量所具有的代数和几何的两重性。4．本单元的教学内容重点和难点分析

本单元的教学重点包括向量的概念、向量的线性运算和平行向量基本定理；难点是向量的概念。

通过学习使学生建立起向量的概念是学习向量知识的一个重要目标，因而向量的概念是教学的一个重点内容；向量的线性运算不仅是本单元的教学重点也是本模块的教学重点；通过学习习近平行向量基本定理不仅能加深对向量概念的理解，而且平行向量基本定理在向量知识体系和数学的其他分支中都有广泛的应用，因此平行向量基本定理应是本单元的一个教学重点。

向量作为一个新的概念，学生开始接触时自然会感到困难，加之2.1.1小节中不仅概念多，而且还有自由向量和位置向量的干扰，更使得向量的概念难上加难，因此向量的概念是学生学习的一个难点。当然，学生对向量的加法、减法运算及平行向量基本定理的理解会产生一定的困难，但学生如果很好的理解了向量的概念，则着几个难点的难度会随之降下来。5．本单元教材的编写特色

（1）用点的相对位置和位移理解向量（自由向量），用位移的合成理解向量的加法。（2）用放大、缩小理解数乘向量。用相似三角形的性质理解数乘向量的分配率。

二、本单元所需教学资源的概述

教学中可采用几何画板及实物投影等辅助教学

三、本单元学时建议

本单元教学可用5课时来完成，具体分配如下： 2.1.1向量的概念1课时； 2.1.2向量的加法1课时； 2.1.3向量的减法1课时； 2.1.4数乘向量1课时；

2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算1课时。

四、本单元的教学内容处理的几点想法 1．关于向量概念的教学（1）先由学生已有的位移的概念出发，引入向量的概念：

质点从A出发运动到点B，在从B点运动到点C，这时点C相对于点A的位置如何表示？

在由位移的概念引出向量的概念之后，再让学生联想已经学习过的力、速度、加速度等知识来加深学生对向量概念的理解。

注意这里不是先介绍物理中的力、速度或加速度，而是重点由位移出发，它的好处在于：

① 在说明某点相对于另一个点的位置时，更容易让学生具体的想到“大小”和“方向”； ② 从点的位移的角度更便于使学生理解自由向量；

③ 从位移的角度理解向量的概念的过程也为学生理解向量的加法打下伏笔。（2）在学生建立起自由向量的概念之后，对比自由向量认识位置向量的概念。

这里一方面要强调向量OA叫做点A相对于点O的位置向量，另一方面要指出在研究向量时，常常要把多个向量通过平移，使他们有共同的起点，这时每个向量就有其终点唯一确定。

（3）教材中P78第22行“由以上分析，一个平面向量的直观形象是平面上‘同向且等长的有向线段的集合’”这一说法值得商榷。2．关于向量加法的教学

（1）结合位移的概念（右图为向量第一节课图形）理解向量的加法的三角形法则和多边形法则。这样可使学生理解起来更加自然，从而达到降低难度的目的。

（2）把向量加法的平行四边形法则放在三角形法则之后，一方面可深化学生对向量加法的理解，也为学生日后学习向量的分解作知识准备。

（3）关于加法交换率abba的证明，采用下面的方法学生接受起来可能会比课本上的方法更自然（以两个向量不共线的情形为例）：

已知向量a,b。如图，作ABa,BCb，则ACab。作CDa，则四边形ABDC为平行四边形，BDACab，abba。

教学过程中，可考虑采取小组探究的方式，让学生寻找证明的方法。3．关于向量减法的教学

（1）类比数的运算理解向量减法的两种定义方式

方法1：实数的减法是加法的逆运算向量减法是向量加法的逆运算；

方法2：减去一个数等于加上这个数的相反数减去一个向量等于加上这个向量的相反向 量。

（2）从三角形法则和平行四边形法则两个角度理解两个定义

方法1：向量的减法作为加法的逆运算。从三角形法则角度看，两个向量的减法是把两个向量的始点放在一起，他们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量（下面图形中的左图）；

方法2：在相反向量的基础上通过加法定义向量的减法，用平行四边形法则理解更自然（下面图形中的右图）。

（3）可选配如下类型的例题、习题加深学生对向量加法和减法运算的例解: 化简：

①CDED；②ABDEDBEB。

4．关于数乘向量的教学

（1）类比数的乘法导入，并从图形的“放大”“缩小”来直观的理解数乘向量。

（2）对于数乘向量的三个运算率，一般不要求学生证明。对于分配律可指导学生课后阅读，对于前两个运算率，学生程度好的学校可选取其中之一给出证明，而另外一个让有兴趣的学生尝试课后给出证明方法。因为这个问题的证明有两个重要作用： ①强化从“大小”和“方向”两个角度把握向量概念的意识； ②培养学生分类讨论的数学思想。（3）对于例3也可采取下面的解法：

///OA3OA,AB3AB，///OA3OA,AB3AB，OA/B/OAB，OABOAB，OB3OB。/,///OB与OB方向相同，OB3OB。

本例从向量的形式表现了“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。5．关于向量共线的条件与轴上向量的坐标运算的教学

（1）平行向量基本定理的证明要求学生理解其中严谨的逻辑关系

当ab时，由数乘向量的定义知a//b；

当a//b时，若a0，由于b0，显然存在唯一的实数0使得ab成立；

bb若a0且a,b方向相同，取，则ab，即存在使得ab成立。

aa现假设有两个实数1,2使得a1b和a2b成立，于是1b1b，12b0。

b0，120,12。a0且a,b方向相同时，存在唯一的实数，使得ab成立；

类似地可证明当a0且a,b方向相反时，存在唯一的实数，使得ab成立„。

（2）通过例1的教学要引导学生体会以下两点

①由向量相等的一个条件可为我们带来“长度上的相等”和“方向上的平行”两个方面的结果；

②研究两个向量的关系（相等）时，常常要把两个向量用平面上不共线的两个向量来表示。（3）通过例2的教学要让学生掌握平行于同一个向量的两个向量平行。（4）轴上向量的坐标的教学要围绕平形向量基本定理的应用展开。

（5）教材中P91第11行“反过来，任意给定一个实数x，我们总能作一个向量axe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致”，这里的“方向与实数的符号一致”是不是改成“方向与实数的符号所确定的方向一致”更合适些。

第三篇：《平面向量的线性运算》教学反思

复习本节课，应该说是轻松的，复习目标无非是1，向量概念的梳理，2向量的线性运算，3，共线向量定理的应用，《平面向量的线性运算》教学反思。但实际上课过程中，我感觉很累，主要问题自己想了一下，主要是以下几点：1，自身对向量的概念还没有真正理解透，像有向线段只是向量的一种表现形式，但并不是向量，我不知道对于学生，我有没有让学生真正理解；2，板书不是强项，看到别的老师拿着三角板进行作图，本身自己作图就不太好，还随手画，对于学生不是一个好现象；3，时间的把握上，7班明明只有35分，我还是发现自己有些废话太多，导致没有像在8班完整上完，教学反思《《平面向量的线性运算》教学反思》。

第四篇：向量的线性运算竞教心得体会

课题：向量的线性运算

教学反思

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。平面向量理论性强，内容抽象，解题方法独特，对于学生来说比较困难。

向量是高中重要内容之一，是解决几何问题、函数问题等重要工具。本节内容是平面向量的基础，向量的概念，向量的加法和减法，实数与向量的积，两个向量共线的充要条件是本节的重点内容，也是高考的热点内容。根据近几年向量高考试题分析发现，考查主要以选择题、填空题形式出现,侧重于对向量的基本概念、向量运算的关系的考查;与函数、解析几何交汇命题则以解答题为主，所以复习时以基础内容为主，进行适当的拓展练习。2014•考纲点击：

1.了解向量的实际背景；

2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示；

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.根据高考考纲要求，“平面向量的线性运算”的学习要求是:掌握向量加、减法和数乘运算，了解向量的线性运算的性质及其几何意义。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，理解平面向量的基本概念和几何表示，掌握向量的线性运算是解决这些问题的最重要的工具之一，同时也将为后续的空间向量的学习奠定良好的基础。向量的三类运算：

（一）几何运算：数形结合是求解向量问题的基本方法。向量加法重点讲解了三角形法则、平行四边形法则，减法讲解了三角形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，充分体现了数形结合的数学思想。

（二）代数运算：

1、加法、减法的运算法则；

2、实数与向量乘法法则；

3、向量数量积运算法则。

（三）坐标运算：平面向量的坐标运算是联结几何运算与数量运算的桥梁，在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用“解析法”来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。

本节的特点：

1、运用类比、数形结合思想解决问题。

2、利用“向量法”解决实际问题。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法--向量法。向量法能将技巧性解题化成算法性解题，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。

3、强化数学能力。指导学生综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。根据本节课的特点，我确定一下重、难点，重点：掌握向量的加法、减法及数乘向量的运算；难点：理解向量加法、减法及数乘向量的几何意义；基于本堂课的 教学重、难点和我班学生认知水平，本堂课我采用讲练结合的教学方法，引导学生自主探究、合作交流。新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生的引导者、组织者、合作者和促进者，因此本节课以学生动手练习为主题展开教学工作，在教师的引导和组织下，通过自主实践来抓住本节课的重点，进而突破本节课的难点。

教学体会

1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。

2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。

3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高“向量法”的运用能力，充分发挥工具作用。

4、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养，提高引导学生发现问题、分析问题及解决问题的能力。

第五篇：高二数学教案设计：圆的方程+高等数学教案：向量及其线性运算

高二数学教案设计：圆的方程

一、教学目标

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化.（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题.（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线.（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法.教学建议

教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题.②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用.教法建议

（1）圆是最简单的曲线.这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备.同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法.（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结.（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识.（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题.建议适当选择一些内容供学生研究.例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题.类似的还有圆系方程等问题.二、教学设计示例

圆的一般方程

教学目标：

（1）掌握圆的一般方程及其特点.（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径.（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程.（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法.教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径.（2）用待定系数法求圆的方程.教学难点：圆的一般方程特点的研究.教学用具：计算机.教学方法：启发引导法，讨论法.教学过程：

【引入】

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何圆的方程都可以通过展开化成形如

①的方程

【问题1】

形如①的方程的曲线是否都是圆?

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗?运用配方法，得

②

显然②是不是圆方程与

是什么样的数密切相关，具体如下：

（1）当

时，②表示以

为圆心、以

为半径的圆；

（2）当

时，②表示一个点；

（3）当

时，②不表示任何曲线.总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示.圆的一般方程的定义：

当

时，①表示以

为圆心、以

为半径的圆，此时①称作圆的一般方程.即称形如的方程为圆的一般方程.【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同.（1）

和的系数相同，都不为0.（2）没有形如的二次项.圆的一般方程与一般的二元二次方程

③

相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件.圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然.（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.【实例分析】

例1：下列方程各表示什么图形.（1）；

（2）；

（3）

.学生演算并回答

（1）表示点（0，0）；

（2）配方得，表示以

为圆心，3为半径的圆；

（3）配方得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以

为圆心，为半径的圆.例2：求过三点，的圆的方程，并求出圆心坐标和半径.分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解.解：设圆的方程为

因为、、三点在圆上，则有

解得：，所求圆的方程为

可化为

圆心为，半径为5.请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别.【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求圆的方程多用待定系数法.其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程.（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程.下面再看一个问题：

例3：

经过点

作圆的割线，交圆

于、两点，求线段的中点的轨迹.解：圆的方程可化为，其圆心为，半径为2.设

是轨迹上任意一点.∵

∴

即

化简得

点

在曲线上，并且曲线为圆

内部的一段圆弧.【练习巩固】

（1）方程

表示的曲线是以

为圆心，4为半径的圆.求、、的值.（结果为4，-6，-3）

（2）求经过三点、、的圆的方程.分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为

.（3）课本第79页练习1，2.【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点.（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径.（3）用待定系数法求圆的方程.【作业】课本第82页5，6，7，8.高等数学教案：向量及其线性运算

一、向量概念

二、向量的线性运算

本授课单元教学目标或要求：

理解向量的概念及其表示，会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：向量的定义，向量的线性运算及其基本性质

重点：向量的定义，向量的线性运算及其基本性质

难点：向量线性运算基本性质的证明和理解

对学生的引导及重点难点的解决方法：

从中学平面解析几何中代数与几何的关系入手，指出可以用代数方法帮助研究几何问题，从而提出建立空间坐标系的重要性；引入向量的相关概念，定义向量的线性运算并给出其几何解释。本节的难点为向量运算基本性质的证明与理解问题，首先应该通过力学实例给出向量加法的物理学实例，从而引入向量加法的定义，完成从实例到抽象定义的转化；然后在几何上给出向量加法的平行四边形法则和三角形法则，说明其等价性，完成从抽象到具体几何解释的转化，为后续证明打好基础；接着定义向量与数的乘法，并给出几何解释；最后利用向量运算的几何解释证明向量线性运算的结合律与分配律。

例题：

例1

化简

例2

试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.其他例题见PPT

本授课单元教学手段与方法：

讲授教学与多媒体教学相结合本授课单元思考题、讨论题、作业：

高等数学（同济五版）P301

5.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

高等数学（同济五版）P289---P294

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。