2015年中国石油大学华东考研真题704(数学分析)考试大纲

第一篇：2015年中国石油大学华东考研真题704(数学分析)考试大纲

2015年硕士研究生入学考试大纲 考试科目名称：数学分析

一、考试要求：

1.极限与连续：

①.掌握数列极限和函数极限的基本理论与性质，会用极限的定义与性质证明或计算一般极限方面的命题．

②.掌握函数连续性定义与性质，会用函数连续性定义与性质证明相关的命题和结论．

③.了解实数的基本定理，会用实数的基本定理证明相关的命题和结论．

2.一元函数微积分及其应用：

①.掌握一元函数微分学的基本理论与性质，会用导数的定义与性质讨论或 证明相关的命题和结论．掌握一元函数常见的求导方法，会求一元函数各阶导数．

②.掌握导数与微分中值定理及其应用，会用微分中值定理证明相关的命题 和结论．会用导数与微分的基本性质讨论函数的单调性，凹凸性，极值．掌握罗比塔法则，会利用罗比塔法则计算或讨论相关的命题和结论．

③.掌握原函数、不定积分、定积分的概念与性质，掌握常见的不定积分 与定积分计算方法，掌握变上限定积分定义的函数及其求导方法，掌握牛顿－莱布尼兹公式.④.会利用定积分表达或计算一些几何量与物理量，如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及表面积、质心、变力做功、压力等．

3.多元函数微积分学：

①.掌握多元函数的极限和连续的基本理论与性质，偏导数和全微分，链式法则，隐函数存在定理及隐函数求导法则，极值和条件极值．

②.掌握二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的概念与性质，掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式，会利用有关的性质与公式计算或证明相关的命题和结论．会利用重积分、曲线积分表达或计算一些几何量与物理量，空间曲线的弧长、立体的体积、质心、引力等． 4.级数理论与广义积分：

①.掌握数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数的基本理论与性质，掌握函数项级数、幂级数、傅里叶级数的各种收敛理论与性质，会利用常见的判别方法判断各类级数的敛散性，会利用常见幂级数、傅里叶级数计算数项级数的和．

②.掌握一元函数的广义积分的基本理论与性质，会利用常见的判别方法讨论无穷限广义积分，无界函数广义积分，含参变量的广义积分的敛散性．

③.理解广义重积分的基本理论与性质，会计算简单的广义重积分．

二、考试内容：

1）极限与连续：

a: 数列极限、函数极限的定义与性质，利用定义与性质证明或计算一般极限方面的命题．

b:函数连续、一致连续的定义与性质，利用定义与性质证明或计算一般极限方面的命题．

c: 实数基本定理，闭区间上函数连续的性质及其应用． 2)一元函数微积分及其应用：

a: 一元函数各阶导数的定义与性质，导数与微分中值定理及其应用：微分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，凹凸性，极值，罗比塔法则．利用有关定义微分学的基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论

b: 一元函数积分及其应用：不定积分，定积分，平面图形的面积，曲线的长，旋转体的体积及表面积、质心．

c: 原函数、不定积分、定积分的概念与性质，不定积分与定积分计算方法，变上限定积分定义的函数及其求导.利用有关定义微分学的基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论

3)多元函数微积分学：

a: 多元函数的极限和连续的基本理论与性质，偏导数和全微分，链式法则，隐函数存在定理及隐函数求导法则，极值和条件极值．利用有关定义、基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论． b: 二重积分、三重积分、曲线积分，曲面积分的定义与性质，格林公式，高斯公式.利用有关定义、基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论．

c: 计算多元函数的偏导数和全微分、二重积分、三重积分、曲线积分，曲面积分．

4)级数理论与广义积分：

a: 数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数的基本理论与性质，数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数敛散性的判别.利用有关定义、基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论．

b: 幂级数的收敛域，将函数展成幂级数或傅里叶级数，计算数项级数的和． c: 一元函数的广义积分与广义重积分的基本理论与性质，判别广义积分的敛散性．利用有关定义、基本理论与性质，讨论或证明相关的命题和结论．计算一元函数的广义积分与简单的广义重积分．讨论含参变量的广义积分的性质．

三、试卷结构：

a)考试时间：180分钟，满分：150分 b)题型结构

a:基本概念与理论（含填空、选择与判断题）(约40分)b:证明题(约60分)c:计算题(约50分)石油大学华东专业课考研复习资料联系扣扣2410194465

四、参考书目

1.《数学分析》（上、下册），复旦大学数学系：陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中编，高等教育出版社，2004年7月，第二版．

2.《数学分析》（上、下册），郭大钧，陈玉妹，裘卓明编著，山东科技出版社，2002年8月，第二版．

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计算数学系

2013-9-23

第二篇：华东师大2006数学分析考研真题

华东师范大学2006年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目：数学分析

一（30）判别题（正确证明，错误举反例或说理由）

1.设数列{an}满足条件：0,N,使nN,|anaN|,，则{an}收敛。

2.设f(x)在(a,b)上可导。若

f'(x)在(a,b)上有界，则f(x)在(a,b)上有界.an3.设正数列{an}满足条件limnb0则(1)nan收敛。

n14.设f(x)在[a,b]上可积，且f(x)dx0，则存在[c,d][a,b]，a使得:x[c,d],5.设f(x,y)在(x0,f(x)0.y0)的某邻域内连续，且在

(x0,y0)处有偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0),则

f(x,y)在(x0,y0)处可微.二.计算题（30分）6.求limnnanbn,其中0ab.7.求f(x)

8.求

x01costdt的麦克劳林级数展开式。t10x2ln2xdx.)9.设zf(u),方程u(uyxP(t定)d义t了隐函数

''uu(x,y)，其中f(u),(u)可微，P(t),(u)连续，且(u)1 1 求P(y)

10.求zzP(x).xy(y2z2)ds,其中{(x,y,z):x2y2z21}

三.证明题（90分）11.设0,f(x)在(,)上具有连续的二阶导函数

f'(0),x0f''(x),f(0)0.若g(x),求证：g(x)在(,)上有f(x),x0x连续的导函数.12.设fn(x)是[0,1]上连续函数，且在[0,1]上一致收敛于f(x),求证：

limn11n0fn(x)dx10f(x)dx.limf(n)0.求证：13.设f(x)在[0,)上一致连续，且0，nxlimf(x)0.14.设f(x)在[0,)上连续有界，求证：

nlimnn0|f(x)|ndxsup|f(x)|:x[0,]

15.设f(x,y,z)是定义在开区域D上的有连续的偏导数的三元函数，且(x,y,z)D，fx2(x,y,z)fy2(x,y,z)fz2(x,y,z)0,S是由f(x,y,z)0定义的封闭的光滑曲面。若P,QS,且P与Q之间的距离是S中任意两点之间距离的最大值,求证：过P的S的切平面与过Q的S的切平面互相平行，且垂直于过P与Q的连线.4

6

第三篇：2010数学分析考研真题答案

2010年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准

一、（12分）按数列极限定义证明：lim

证明：2n2n31n22n0.nn31考试科目代码：636考试科目名称：数学分析————4分任给0,要22n,只要,即只要nn2n31————10分

取N2n2nnNlim0.————12分 ,则当时, ,所以, 33nn1n

1二、（14分）若f(x)在点x0连续，证明f2(x)也在点x0连续.证明：设f(x)在点x0连续,则01,0,xx0, f(x)f(0x),————4分 f(x)f0x————20(x)1fx()8分 ,同时f(x)f(0x)

于是f2(x)f2(x0)12f(x0).————12分 所以f2(x)在点x0连续.————14分

三、（14分）证明f(x)axb(a0)在(,)上一致连续.证明：x,x,,f(x)f(x)axx,————4分

0,取a,当xx时,就有f(x)f(x),————12分所以f(x)axb(a0)在(,)上一致连续.————14分

四、（16分）设f(x)在[0,1]上可导且导函数连续.证明：

limnxnf(x)dxf(1).n0

1第1页（共5页）

证明：由于f(x)在[0,1]上连续,因此存在Mmaxf(x)————2分

0x1

xn111n1n

f(x)xf(x)dx 0xf(x)dx0n1n10

111n1

f(x)xf(x)dx,————8分0n1n1

又因

11M

0,————12分xn1f(x)dxMxn1dx

00n

2所以

11nn

f(1)xn1f(x)dxf(1)————16分limnxf(x)dxlim

00nnn1

五、（16分）证明级数

sinnx

在区间(0,)内条件收敛.nn

1

sinnxsin2nx1cos2nx1cos2nx

证明：,————4分 

nn2n2n2n

n1

由于数列单调趋于零,且部分和数列cos2kx有界,2nk1

由Dirichlet判别法知,



cos2nx

收敛,————10分 2nn1





sinnx1

又发散,所以级数在区间(0,)内发散————13分

nn1n12n

原级数收敛性显然,因此原级数在区间(0,)内条件收敛.————16分

六、（14分）证明函数序列sn(x)(1x)xn在[0,1]上一致收敛.证明：sn(x)在[0,1]上收敛于s(x)0，由

sn(x)s()1xn, x————5分

nn

1及(1xx)xxnn1, 

n

易知sn(x)s(x)在x取到最大值，从而————10分

n1

nn11

dsn,s1n1n0n0.n1n1

所以, 函数序列sn(x)(1x)xn在[0,1]上一致收敛.————14分

nn

uxy



七、（16分）通过自变量变换11,变换方程

vxy

22z22z2zx(xy)y0.x2xyy2

解：

zz1zzz1z

2,,————3分 xuxvyuy2v

2z2z22z12z2z

,————6分 x2u2x2uvx4v2x3v

2z2z22z12z2z

22423,————9分 2

yuyuvyvyv2z2z112z12z,————12分 

xyu2x2y2uvx2y2v2

代入原方程,得

x

注意到v

y



x2y2

11z2z

20,uvxyv

u11xyu

,即xy,于是就有

vxyxyxy

x

y

x2y2

xyxy

xy

112

xy4xy

xy

u

v2u24uvuv4.v

从而得变换后的方程

2z2z

.————16分 

uvu4uvv

x2y2z22az,若从z轴的正向

八、（16分）计算ydxzdyxdz,其中L为曲线

L

xza(a0)

看去，L的方向为逆时针方向.解：设是L所围的平面xzaa0的部分，方向由右手法则确定（即取上侧）.上任一点的单位法向量

cos,cos,cos,————6分

由Stokes公式,

L

ydxzdy

cos



xdz

x

ycosyzcos

dS————13分

zx

dSa2.————16分



九、（16分）设D是两条直线yx,y4x和两条双曲线xy1,xy4所围成的区域,F(u)是具有连续导数的一元函数,记f(u)F(u).证明

4F(xy)

dyln2f(u)du,D1y

其中D的方向为逆时针方向.证明：由Green公式,得

F(xy)

dyfxydxdy————4分

DDy

y,则此变换将区域D变为 x

作变换uxy,v,vDuvu————9分 1u4,1v

4变换的Jacobi行列式为J

x,y

1,于是————11分

u,v2v

fuF(xy)

dyfxydxdyDyDD2vdudv

uv

fudu

ln2fudu

12v

所以

4F(xy)

dyln2f(u)du.————16分

D1y

十、（16分）证明含参变量积分I

0

etcos2xtdt满足方程

dI

2xI0.dx

证明：记 fx,tetcos2xt，则 fxx,t2tetsin2xt.这时有————2分

fxx,t2tetsin2xt2tet,x,0t,而反常积分I

0

tetdt收敛,由Weierstrass判别法,

0

fxx,tdx2

0

tetsin2xtdt

关于x在,上一致收敛.应用积分号下求导定理,得到————8分

dI

2tetsin2xtdtetsin2xt

0dx



2x

0

etcos2xtdt

2xI.————14分

所以

dI

2xI0.————16分dx

第四篇：2001四川大学数学分析考研真题

四川大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试题

一、求极限（每小题8分，共16分）1p3p(2n1)p

1.limnnp1222lim()（其中p是自然数）2.nn111 nn2n1n2nnn

二、（第一小题5分，第二小题10分，共15分）

1.叙述实数R上的区间套定定理和确界原理；2.用区间套定定理证明确界原理

三、（第一小题10分，第二小题5分，共15分）设

证明:1.对任意x[a,b]，f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数且f(a)f(b)0，f(x)1bf''(x)a(xa)(xb)ba

b4maxf(x)f''(x)2.axba[a,b]

四、（每小题7分，共14分）

cosx1y(1x2)edy，计算dx.1.利用公式22001x1x

2.求0xsinx 21x

五、（10分）证明：若f(x)在R上非恒为零，存在任意阶导数，且对任意的xR，有f(n)(x)f(n1)(x)1

n2，则limnf(n)(x)Cex，其中C是常数。

xnynxyn()

六、（10分）若n1及x0，y0，证明不等式：22

xn

七、（10分）求级数 n(n1)n1

八、（10分）计算曲面积分Sxzdydz(x2z)ydzdxx2zdxdy，其中S是旋转抛物面

x2y2a2z（a0）取0z1部分，下侧为正.

第五篇：中国石油大学(华东)2014年硕士研究生入学物理化学考试大纲

中国石油大学（华东）

2014年硕士研究生入学考试大纲

考试科目名称：物理化学考试时间：180分钟，满分：150分

一、考试要求：

闭卷考试，书写规范、工整，所有答案均写在答题纸上，否则无效。

二、考试内容：

1．气体p-V-T性质：

（1）： 理解理想气体模型、实际气体和理想气体p-V-T性质的差别。

（2）： 掌握理想气体状态方程、范德华方程、分压、分容概念及应用、气体液化与临

界性质、临界参数、对比参数、对应状态原理、压缩因子等概念。

2．热力学第一定律：

（1）： 理解系统和环境、状态和状态性质、过程和途径、可逆过程、功和热的概念。

（2）： 掌握热力学第一定律、焓、Cp、Cv、ΘfHΘ

mrHm、、相变焓等重要概念以及rHΘ

m、相变HΘm与温度关系的重要关系式。熟练掌握单纯pVT变化过程、相变过程、化学反应过程的Q、W、ΔU、ΔH的计算。

（3）： 会设计过程计算复杂情况下的热、功、温度、热力学能及焓的变化。

（4）： 掌握化学反应焓、相变焓和温度的关系、热力学第一定律对理想气体的应用、节流过程特点。知道溶解焓、稀释焓、离子生成焓的概念。

3．热力学第二定律：

（1）： 掌握卡诺循环、热机效率概念。会在p-V，T-S，H-S等图上表示卡诺循环。

（2）： 理解第二定律的表述、实质、卡诺定理及其推论。掌握熵的概念、实质、统计

意义、克劳修斯不等式、熵增原理、熵判据、ΔF、ΔG判据。

（3）： 理解第三定律、规定熵、标准熵的概念及其数值求取。

ΔH、ΔS、ΔF、（4）： 熟练掌握单纯pVT变化过程、相变过程、化学反应过程的ΔU、ΔG的计算。掌握热力学基本关系式、麦克斯韦关系式及其应用，能够较熟练地做有关证明题。熟练克拉佩龙及克劳修斯-克拉佩龙方程的各种形式和应用。

4．多组分体系热力学：

（1）： 熟练掌握拉乌尔定律和亨利定律。

（2）： 掌握偏摩尔量和化学势的定义，理解其物理意义、偏摩尔量间关系。

（3）： 掌握理想气体、理想溶液、稀溶液中化学势的表达、各种标准态的选取和化学

势在化学平衡、相平衡中的应用、理想溶液、稀溶液定义、特点及微观说明。

（4）： 理解并会计算理想溶液的混合性质，会用吉布斯-杜亥姆公式。理解稀溶液的依

数性质，熟练它们的应用和计算。

（5）： 掌握逸度、活度概念和路易斯-兰德尔规则，会计算活度系数。

5．化学平衡：

（1）： 掌握fGm和rGΘm及化学反应亲和势概念、化学反应等温方程及其应用、理想

气体化学反应的各种平街常数及其相互关系。

（2）： 掌握温度、压力、浓度、惰性气体等因素对化学平衡的影响、多相化学平衡。

（3）： 熟练计算化学反应的rGm、不同温度的平衡常数和平衡组成，会推导

KΘfT关系式。

（4）： 理解实际气体化学平衡、同时平衡、反应耦合。

（5）： 知道溶液中平衡常数和rGΘ

m的关系，化学平衡近似计算，反应有利温度。

（6）： 利用红外光谱、核磁共振谱并结合理化性质推断结构。

6．相平衡：

（1）： 掌握相、自由度、物种数、组分数的概念及求法。

（2）： 理解相律的推导和表达，能熟练进行相数、自由度、组分数的计算。

（3）： 熟练相图分析(单组分相图，二组分理想溶液、真实溶液、部分互溶，完全不互

溶体系的气-液平衡、液-液平衡相图，二组分固态不互溶及生成稳定、不稳定化合物的固-液平衡相图，水-盐体系相图，三组分一对液体部分互溶的液-液平衡相图：点、线、面、自由度、相、动态分析、冷却曲线、方程计算等)。

（4）： 理解精馏原理和各类气-液平衡体系的精馏特点。

（5）： 熟练杠杆规则及其计算。

7．电化学：

（1）： 明确电化学和热力学之间的关系。

（2）： 熟悉阳极、阴极、正极、负极、标准氢电极、电极电势的规定。

（3）： 理解电解质溶液导电机理。

（4）： 掌握法拉第定律和离子迁移数的希托夫法测定。

（5）： 熟练掌握电导率、摩尔电导率、离子独立运动定律，离子摩尔电导率、离子迁

移率的概念、影响因素和计算。

（6）： 掌握电导测定应用、电解质平均活度和平均活度系数、德拜-许克尔极限公式及

有关计算，理解可逆电池概念。

Θ

（7）: 熟练掌握各类可逆电极、电极反应、原电池热力学、能斯特方程、E和E的测

定及应用、原电池的书写和设计。

（8）: 掌握盐桥的作用、浓差电池、极化、极化曲线、极化造成的影响和极化原因及

影响极化的因素。

（9）: 知道电解时电极反应的影响因素、电动势产生的机理、液接电势的计算。

8．统计热力学初步：

（1）： 熟悉统计系统分类和统计热力学基本假设。

（2）： 明白能级、简并度、能级分布、状态分布、能级分布的微态数、系统的总微态

数、数学几率、热力学几率、最可几分布、平蘅分布的概念。

（3）： 理解定域子系及离域子系能级分布热力学几率计算方法。

（4）： 掌握粒子配分函数、玻尔兹曼分布、配分函数析因子性质、能量零点的选择对

配分函数的影响、玻尔兹曼熵定理、各种运动形式对热容的贡献，熟悉平动、转动、振动、电子、核、振动特征温度、转动特征温度的表达式。

（5）： 知道热力学能、熵与配分函数的关系，残余熵概念，理想气体化学平衡常数与

配分函数的关系。

9．表面现象：

（1）： 掌握表面张力及其影响因素，曲界面压力差、毛细现象，弯曲液面上的饱和蒸

气压极其应用（液体的过冷、过热、过饱和现象及毛细凝结现象等）、单分了层吸附理论、溶液的表面吸附、表面活性物质基本性质。

（2）： 熟悉润湿现象、物理吸附、化学吸附、吸附热、Freundlich吸附等温式。

（3）： 知道吸附等压，等量线概念、溶液中吸附、多分子层吸附。

10．化学动力学基础：

（1）： 掌握反应速率定义、反应级数、反应分子数、基元反应，质量作用定律、反应

速率测定、速率方程微分和积分形式，零级、一级、二级、n级反应的特点，确定速率方程的方法、温度对反应速率的影响等。

（2）： 明确活化能、表观活化能、碰撞理论活化能、过渡状态理论活化能、阿累尼乌

斯活化能以及活化能对反应速率的影响、影响活化能的因素。

（3）： 熟练动力学计算。掌握平行，对峙，连串，链反应的特点，会推导有关公式。

（4）： 掌握复杂反应近似处理方法、反应速率理论要点及其与阿累尼乌斯公式的关系。

明白单分子反应、爆炸反应的分类和影响因素。

11．各类特殊反应：

（1）： 掌握催化剂基本特征、催化反应一般机理、气-固相催化与吸附、光化反应定律、机理和速率方程，温度对光化反应速率影响。

（2）： 明白溶液中反应、酶催化反应。知道酸碱催化、络合催化。

12．胶体化学：

（1）： 掌握分散体系分类，胶体的基本性质、光学性质、动力性质、电学性质（胶团

结构）以及胶体稳定和聚沉的影响因素。

（2）： 熟悉乳状掖的类型，稳定原因及破坏方法，高分子溶液的渗透压、黏度和唐南

平衡、盐析；凝胶，冻胶，触变的概念。

（3）： 知道溶胶制备、悬浮液的斯托克斯公式、泡沫和气溶胶的性质。

三、参考书目：

1)《物理化学》(第五版)傅献彩等编，北京：高等教育出版社2005年版；

2)《物理化学》(第五版)天津大学物化教研室编，北京：高等教育出版社

2009年版