高等数学证明题

第一篇：高等数学证明题

正文: 不等式是中学数学中的重要内容之一，也是解题的一种十分重要的思想方法。在中学证明不等式一般有比较法，综合法，分析法，反证法，判别法，放缩法，数学归纳法，利用二项式定理和变量代换法等等，其中包含了很多的技巧，从而证明的难度也比较大，下面就利用高等数学知识进行不等式的证明，从中也可看出不等式的证明具有很大的灵活性。利用函数的单调性证明不等式，首先引入下面的定理： 定理1：设有两个函数f(x)与g(x),满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间（a,b)内可导有f'(x)>g'(x)(或 f'(x)g(x)成立。例1：求证：ex-1>x(当x>0时)从例题可以看出，在不等式的中有ex形式的指数形式，如用初等代数来证明则有一定的难度，如用高等数学中上面的定理则非常直观。分析1：要证ex-1>x，可以设f(x)=ex-1,g(x)=x 这样就转化成定理1的形式。

证明：设f(x)=ex-1,g(x)=x 并且知：f(x),g(x)在[0,∞)连续，并在(0,∞)可导 有：f'(x)=ex >g'(x)=1(当x>0)并有 ：f'(0)=e0=1 g'(0)=1 即：f'(0)=g'(0)所以根据定理1有：f(x)>g(x)即：ex-1>x 这样通过高等数学中的导数和函数的基本性质就可以证明。

另外，也可以将不等式转化成：ex-x-1>0，证明方法同上（略）。如果不等式中的次数较高，形式也比较复杂，这可能需要多次转化，才能达到目标，通过下面的例子不难看出这一点。

例2：设a>ln2-1为任一常数，求证：当x>0时,有x2-2ax+10 不妨设：F(x)=ex-x2+2ax-1 有：F(0)=0 则：F'(x)=ex-2x+2a 现在只需证明：F'(x)>0即可证明F(x)>0 下面分析证明：F'(x)>0 设g(x)=F'(x)=ex-2x+2a 有：g(0)=e0+2a>1+2(ln2-1)=ln4-1=ln >0(a>ln2-1)又因：g'(x)=ex-2 所以现在只需证：g'(x)≥0就可以证明g(x)>0.即需要证：ex≥2 Ⅰ.当x≥ln2时成立.Ⅱ.下面考察：当 00 g(x)=F'(x)=ex-2x+2a 又知：g'(x)=ex-2 g(0)>0

e4所以：g(x)在x=ln2时为极值点，且为极小值。这样只要说明：g(ln2)>0即可。又因：2-2ln2+2a>0(当a>ln2-1时）所以：在00.综上所述，可知F'(x)>0.所在在证明不等式过程中连续两次用到求导。有时在证明不等式时，如用初等数学知识则比较困难，如果我们能巧妙地构造函数，这样可使问题得以简化，其中判断函数的单调性，我们利用了高等数学中的导数知识很容易地就解决了。下面利用高等数学中的拉格朗中值定理进行不等式的证明，下面引入拉格朗日中值定理： 定理2：若函数f(x)满足下列条件：（1）f(x)在[a,b]并闭区间上连续；（2）f(x)在(a,b)开区间内可导； 则至少存在一点ξ∈（a,b),使得 f '(ξ)=

f(b)f(a)成立。

ba例3：证明：| sinb-sina | ≤| b-a | 分析：我们知道| sinx | ≤1, | cosx |≤1 ,而a,b我们可以假设其中一个为较大者，则a,b可组成一个区间。再分析sinx函数在该区间内的性质可知符合拉格朗日中值定理的条件，从而可以得以证明。证明：若a＝b,则等号成立。

若a≠b,不妨设a＜b.设f(x)=sinx 则f '(x)=cosx 则拉格朗日中值定理知，存在一点ξ∈（a,b)使得： f '(ξ)= cosξ= 又因为：|cosξ|≤1 所以 | sinb-sina| ≤| b-a | 从上面的定理和证明中，我们不难发现在遇到形如拉格朗日中值定理形式的不等式证明时，可用此定理，使得证明得以简化，其中我们应灵活地利用拉格朗日中值定理的各种变形进行不等式的证明。利用定积分的有关知识进行不等式的证明

在不等式的证明中，我们经常会发现，有些不等式是求和的形式，这里我们可以利用定积分的定义或是利用积分的关的性质使问题得以解决，下面的分析不难发现这一点。例4：对任意正整数n>1 3n1123n<()n +()n +()n +…… +()n < 2 2n2nnnn123n分析：不等式中()n +()n +()n +…… +()n 的形式比较复杂，nnnnsinbsina

ba求证：但从中可看出它是一些有相同特性的分式的和。设f(x)=xn(其中x= ，,……,）可看出：x∈(0,1)则不等式的和为0xndx,从下图可看出： 根据函数的凸凹性和定积分的定义可证此题。11n2n3nnn证明：设f(x)=xn , x∈(0,1)因为n≥2,可知f(x)为单调递增的 凹函数，(如上图所示）则有：

1n1n1)]< 0xndx= nn1123n1n1所以：()n +()n +()n +…… +()<

nnnnn1123n1所以：()n +()n +()n +…… +()n < +1< 2 nnnnn11011n1nn1nn又因为： [()n +()n +()n +……+()+()+()n ] > 2nnnnnn= [()n +()n +()n +…… +(1n2n3nn0xndx

n1nn1nn)+()n-()n > nn2nn1n1123n所以：+<()n +()n +()n +…… +()n

n12nnnn3n1123n即： <()n +()n +()n +…… +()n < 2 2n2nnnn1所以[()n +()n +()n +…… +(1n2n3n在上面的证明中，我们利用了定积分的定义以及函数的的一些性质。上面的几个例子中都利用了函数，由此可见函数在不等式的证明中起着非常关键的作用，函数的构造和对函数的分析，其中函数单调性的判断利用了高等数学中的导数的知识使问题简化，其次本文利用高等数学中的拉格朗日中值定理进行不等式的证明，使得具有符合拉格朗日中值定理形式的不等式证明得以简化，再次通过定积分的定义进行不等式的证明，以上的问题表明高等数学在不等式的证明方面存在着很大的优势，我们还需进一步的学习和研究。参考文献：

[1]《高初数学结合讲义 》 首都师范大学张海山教师 [2]《数学分析讲义》 高等教育出版社

第二篇：高等数学证明题

1.证明：函数f(x)(x2)(x3)(x4)在区间(2,4)内至少存在一点，使f()0。

证明：f(x)在[2,3]上连续，在(2,3)内可导，且f(2)f(3)0，由罗尔定理，至少存在一点1(2,3)，使f(1)0，同理，至少存在一点2(3,4)，使得f(2)0；f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，再一次运用罗尔定理，至少存在一点(1,2)(2,4)，使得f()0。

2.设f为[a,b]上的二阶可导函数，f(a)f(b)0, 并存在一点c(a,b)，使得f(c)0.证明至少存在一点(a,b)，使得

证明：考虑区间[a,c]，则f''()0.(10分)f在[a,c]满足Lagrange中值定理的条件，则存在1(a,c)，使得f'(1)f(c)f(a)0.(3分)ca

f'(2)f(b)f(c)0.(5分)bc

Lagrange中值定理的条件，则存在同理可证存在2(c,b), 使得再考虑区间[1,2], 由条件可知导函数f'(x)在[1,2]上满足

(1,2)，使得f''()f(2)f(1)0.得证.21

3.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且

证明在[a,b]内有F(x)

证明在[a,b]内有F(x)f(x)0F(x)1xf(t)dt xaa0 0

F(x)x1[(xa)f(x)f(t)dt](2分)2a(xa)

=1[(xa)f(x)(xa)f()]([a,x][a,b])(2分)(xa)2

xf()((,x)[a,b])xa=

F(x)0(2分)

1x)arctanx 4.证明:当x0时,(1x)ln（令

f(x)(1x)ln(1x)arctanx 0时,f(x)ln(1x)1

当x所以

0 2

1x

f(x)在(0,)上单调增(3分)又f(0)0（f(x)0即当x0时,(1x)ln(1x)arctanx(3分)

5.证明：当x

1时，3

1。

x

答案：证：令f(x)3

1

，则 x

f(x)

'

22(1)，xx

因为f(x)在1,连续，并且在1,内f'(x)0，因此f(x)在1,上单调增加，从而当x1时，f(x)f(1)0。这就得到

3

(x1)。x

x2,x0.(8分)6.应用函数的单调性证明不等式：ln(1x)x2

证明: 令

x2

f(x)ln(1x)x,(2分)

x2

f(0)0,f'(x)0, x0.所以

1x

则

f(x)在[0,+)上连续，在(0,+)上可导，且

f(x)在[0,+)严格单调递增，故f(x)f(0)0, x0.(7分).即

x2

ln(1x)x,x0.(8分)

7.证明：设a0

na1a2a

n0，证明函数f（x）=a0a1xanx在（0，1）内至23n1

少有一个零点。（6分）证明：法一利用定积分：假设函数f（x）=a0

a1xanxn在（0，1）上没有零点

则因f（x）在[0，1]上连续，姑f（x）恒为正或负————（1分）从而由定积分性质得：



f(x)dx[a0x

1a12a23a

xxnxn1]

023n1

=a0



a1a2a

n 23n1————（4分）

为正或为负，这与假设矛盾。

所以函数f（x）在（0，1）上至少有一个零点。#——（1分）法二利用罗尔定理

设

=a0

F（x）=

a0x

a12a23a

xxnxn123n1，则

F'(x)

f（x）

a1xanxn——（2分）

显然F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F（0）=F（1）=0故由罗尔定理知，在（0，1）内至少存在一点，使F'()即

0———（3分）

f()0。因此，函数f（x）在（0，1）上至少有一个零点。#———（1分）

8.证明：已知(x)af

证明：(x)=af

(x)，且

f(x)

1，证明(x)2(x)f(x)lna

(x)

lna2f(x)f(x)----------------------4分

=2(x)lnaf(x)

1----------------------3分 f(x)lna

=2(x)---------------------------3分

9.若f(x)a1sinx

aa2

sin2xnsinnx，求证：存在c(0,)，使得 2n

a1cosca2cos2cancosnc0

证：因为

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且

f'(x)a1cosxa2cos2xancosnx（2分）, f(0)0f()（3分）所以，由Rolle

中值定理得到: f

‘

(x)在(a,b)

内至少有一个零点（4分），即至少存在一点c

(0,), 使得

a1cocsa2co2scanconcs0

10.证明:|sinxsiny||xy|

证：由微分中值定理得到：sinxsin

y(xy)cos,在x与y之间（3分）

所以|sinxsiny||xy||cos|（5分）|xy|（6分）

x

x

11.设函数

f(x)在[a,b]上是连续函数, 且f(x)0,令F(x)f(t)dt

a

b

'

1.f(t)

求证：（1）F（2）F(x)在(a,b)内有且仅有一个零点(x)2；

证：由微积分学基本定理得到：

F'(x)f(x)

f(x)

（1分）

2

（2分）。因为，a

F(a)

b

a

11=0；F(b)f(t)dt0（3分）则由根的存在性定理得到： f(t)f(t)ab

b

F(x)在(a,b)内至少有一个零点（4分），由（1）知F(x)在[a,b]上是单调上升，所以F(x)在(a,b)

内有且仅有一个零点（5分）

12.设

f(x)在[0，1]上可导，且f(1)2xf(x)dx

。试证明在（0，1）内至少有一点，使

f()f()0。

证明：设

g(x)xf(x)

12，则

g(x)

在[0，1]上可导，又由积分中值定理

g(1)=f(1)2xf(x)dx=f()g()（在（0，12）内，从而由罗尔定理在（0，）内有使

f()f()0证毕。

13.

第三篇：证明题

一、听力部分

1—5 ACACB6—10 ABCBC11—15 ACABC16—20 CABAA

二、单选

21—25 ABBCC26—30 DBACC31—35 DCCDB

三、完形填空

36—40 BACCD41—45 AABAB

四、阅读理解

46-50 ABBCD51—55 BBABD56—60 DADCD 61—65 TFTFF

五、综合填空

66.hear67.advice

71.discuss72.angry

六、情景交际

76—80CFAED

七 作文

该卷分工情况

第五大题：史永利

第七答题：孙荣花68.how to73.them董丽萍 陈志宏69.understanding70.feel74.true75.goes 周婷平晓蕾

第四篇：证明题

一．解答题（共10小题）1．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．

2．如图，已知∠1+∠C=180°，∠B=∠C，试说明：AD∥BC．

3．已知：如图，若∠B=35°，∠CDF=145°，问AB与CE是否平

行，请说明理由．

分值：显示解析

4．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请

你完成下列填空，把解答过程补充完整．

解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）

∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）

又∠1=∠2，从而∠CDA-∠1=∠DAB-

．（等式的性质）

即∠3=

．

∴DF∥AE．（7．如图，∠B=55°，∠EAC=110°，AD平分∠EAC，AD与BC平行吗？

为什么？根据下面的解答过程，在括号内填空或填写理由．

解：∵AD平分∠EAC，∠EAC=110°（已知）

∴∠EAD=

第五篇：证明题格式

证明题格式把已知的作为条件 因为(已知的内容)因为条件得出的结论 所以(因为已知知道的东西)顺顺顺 最后就会得出 题目所要求的 东西了 谢谢 数学我的强项 1 当 xx 时，满足。是以xx为条件，做出答案。2 试探究。。。。是以。。。。。为条件，做出答案 【需要证的】

∵【从题目已知条件找】(已知)∴【从上一步推结论】(定理)„„(写上你所找的已知条件然后推出结论进行证明，最好“∴”后面都标上所根据的定理)∴【最终所证明的】

就是不知道怎么区分这两种证明格式： 1 当 时，满足。并证明

回答时好像要把该满足的内容当做条件证明 2 试探究。。。。同上

怎么回答时就要自己在草稿本上算出当 时，然后把它作为条件 得到满足 的结论 2 1 当 xx 时，满足。是以xx为条件，做出答案。2 试探究。。。。是以。。。。。为条件，做出答案 3 把已知的作为条件 因为(已知的内容)因为条件得出的结论 所以(因为已知知道的东西)顺顺顺 最后就会得出 题目所要求的 东西了 谢谢 数学我的强项 尽管问我吧 谢谢..............4 格式就按照你的想法写就行。要说的是，不少证明题是可以“骗分”的。假如有一道题是要求证某三角形的形状，你知道是等边三角形，到不会算，那你就可以利用等边三角形的特性，随便写。多多益善，只要不是错的。老师改卷时一般先看结果，结果对的话，只要过程没有很明显毛病就会得到大部分分数。就是是被看出是错的，因为你写的特性没错。老师也不会给你零分。

试论推理格式与数学证明方法孙宗明摘要本文以命题真值代数的基本知识为依据，阐述五种主要的数学证明方法：演绎法、完全归纳法、反证法、半反证法、数学归纳法。关键词推理，推理格式，数学证明本文假定熟知命题真值代数的基本知识.本文所使用的符号是标准的，见【川.1 1 当 xx 时，满足。是以xx为条件，做出答案。2 试探究。。。。是以。。。。。为条件，做出答案 3 把已知的作为条件 因为(已知的内容)因为条件得出的结论 所以(因为已知知道的东西)顺顺顺 最后就会得出 题目所要求的 东西了 谢谢 数学我的强项 1 当 xx 时，满足。是以xx为条件，做出答案。2 试探究。。。。是以。。。。。