线性代数证明题

第一篇：线性代数证明题

4.设A、B都是n阶对称矩阵，并且B是可逆矩阵，证明：AB1B1A是对称矩阵.A、B为对称矩阵，所以ATA,BTB

TTT11111证明：因为(AB1B1A)T(AB1)T(B1A)T(B)AA(B)BAABABBA则矩阵5.设T1

AB1B1A 是对称矩阵。

n1n阶矩阵的伴随矩阵为*，证明：**

0时，*0.*0，则知*可逆，*1.证明：因为

⑴当用反证法：假设在等式**O左右两边同时右乘，得到O，于是O，这与假设矛盾，n1可知当0时, 有*0；

⑵ 当0时，在等式*两边同时取行列式，得

**n

两边同时约去，得*n1.6.设向量b能由1,2,3这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组1,2,3线性无关。证明：（反证法）如果a1,a2,a3线性相关，则有一组不全为0的系数1,2,3使1a1由已知设b（1），2a23a3=0 112233，结合（1）式得

b0b(11)a1(22)a2(33)a3（2）

由于1,2,3不完全为零，则17.设1,2,3是1，22，33与1,2,3不同，这与b表示法惟一相矛盾，故向量组1,2,3线性无关。

n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123，证明：不是

A的特征向量。

证明：假设AAA123A1A2A3112233，又： 123A112233

从而： 1122330，由于特征值各不相等，所以1,2,3线性无关，所以的1230123，矛盾。故不是

A的特征向量。

8.已知向量组a1,a2,a3线性无关，b12a1a2，b23a2a3，b3a14a3，证明向量组b1,b2,b3线性无关.证明 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

20130 b1,b2,b3a1,a2,a31,记BAK，014设Bx0，以BAK代入得A(Kx)0，因为矩阵A的列向量组a1,a2,a3线性无关，知Kx0的系数行列式K250，知齐次线性方程组 Kx0只有零解x0。

0只有零解x0，故矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关。所以，齐次线性方程组Bx9.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2线性无关。

证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑k0η0+k1η1+k2η2=0，即（k0+k1+k2）η0+k1ξ1+k2ξ2=0.则k0+k1+k2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 k1ξ1+k2ξ2=0.又由Ax=0的一个基础解系, 所以，ξ1，ξ2线性无关，所以k1=k2=0，从而 k 0=0.故η0，η1，η2线性无关。

10.设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，AE可逆，且f(A)(EA)(EA)1。

f(A))(EA)2E；（2）f(f(A))A。证明（1）(E证明 ：（1）(Ef(A))(EA)[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)(EA)(EA)2E

（2）f(f(A))[Ef(A)][Ef(A)]1

f(A)]1由（1）得：[E1(EA)，代入上式得 2111f(f(A))[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)22211(EA)(EA)A 2211.设A与B相似，证明：AT与BT相似。

A与B相似，故存在可逆矩阵P，使得 证明：因为 B则 BTP1AP

(P1AP)TPTAT(P1)TPTAT(PT)1

T 且 P是可逆矩阵

于是

12.证明：矩阵AT与BT相似。

A与B是正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵.证明：由题设，对任意x0都有 xTAx0,AB也正定矩阵.xTBx0xT(A+B)x0(x0)，由正定矩阵的定义，则13.一个n级行列式，假设它的元素满足aijaji,i,j1,2,,n,证明，当n为奇数时，此行列式为零。

aa12a1na22a2nan2ann11aaanaaaan，则A21证明：设Aananannan1的元素满足

aijaji,i,j1,2,,n，所以，a11ATa12a1n于是，当a21an1a22an2a2nanna11a21an1a12a1nA(1)nA，a22a2nan2annn为奇数时，由 AAT(1)nAA0.14.设矩阵A正交，证明：对于数k，若kA也正交,则k1

证明：因为A正交，所以ATA1。从而

kA正交(kA)T(kA)111A，k又ATA1，所以，(kA)TkATkA1kA111A，kk21k1.15设

1，证明：矩阵AB、AB 是正交矩阵。A、B为n阶正交矩阵，证明：因为A、B为n阶正交矩阵，所以AATE,BBTE

T

因为（AB)(AB)所以 ABBTATAEATAATE

AB是正交矩阵。

（即两个同阶的正交矩阵的乘积也是正交矩阵）

因为B是正交矩阵，所以B1也是正交矩阵（P115)

由以上结论得：AB1也是正交矩阵。

16.若0是可逆矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，证明：1是A1的特征值，是A1的属于

1的特征向量；

证明：因为

1A1AA1 从而 A1

1111即 是A的特征值，是A的属于的特征向量。A，则

第二篇：证明题

一、听力部分

1—5 ACACB6—10 ABCBC11—15 ACABC16—20 CABAA

二、单选

21—25 ABBCC26—30 DBACC31—35 DCCDB

三、完形填空

36—40 BACCD41—45 AABAB

四、阅读理解

46-50 ABBCD51—55 BBABD56—60 DADCD 61—65 TFTFF

五、综合填空

66.hear67.advice

71.discuss72.angry

六、情景交际

76—80CFAED

七 作文

该卷分工情况

第五大题：史永利

第七答题：孙荣花68.how to73.them董丽萍 陈志宏69.understanding70.feel74.true75.goes 周婷平晓蕾

第三篇：证明题

一．解答题（共10小题）1．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．

2．如图，已知∠1+∠C=180°，∠B=∠C，试说明：AD∥BC．

3．已知：如图，若∠B=35°，∠CDF=145°，问AB与CE是否平

行，请说明理由．

分值：显示解析

4．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请

你完成下列填空，把解答过程补充完整．

解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）

∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）

又∠1=∠2，从而∠CDA-∠1=∠DAB-

．（等式的性质）

即∠3=

．

∴DF∥AE．（7．如图，∠B=55°，∠EAC=110°，AD平分∠EAC，AD与BC平行吗？

为什么？根据下面的解答过程，在括号内填空或填写理由．

解：∵AD平分∠EAC，∠EAC=110°（已知）

∴∠EAD=

第四篇：证明题格式

证明题格式把已知的作为条件 因为(已知的内容)因为条件得出的结论 所以(因为已知知道的东西)顺顺顺 最后就会得出 题目所要求的 东西了 谢谢 数学我的强项 1 当 xx 时，满足。是以xx为条件，做出答案。2 试探究。。。。是以。。。。。为条件，做出答案 【需要证的】

∵【从题目已知条件找】(已知)∴【从上一步推结论】(定理)„„(写上你所找的已知条件然后推出结论进行证明，最好“∴”后面都标上所根据的定理)∴【最终所证明的】

就是不知道怎么区分这两种证明格式： 1 当 时，满足。并证明

回答时好像要把该满足的内容当做条件证明 2 试探究。。。。同上

怎么回答时就要自己在草稿本上算出当 时，然后把它作为条件 得到满足 的结论 2 1 当 xx 时，满足。是以xx为条件，做出答案。2 试探究。。。。是以。。。。。为条件，做出答案 3 把已知的作为条件 因为(已知的内容)因为条件得出的结论 所以(因为已知知道的东西)顺顺顺 最后就会得出 题目所要求的 东西了 谢谢 数学我的强项 尽管问我吧 谢谢..............4 格式就按照你的想法写就行。要说的是，不少证明题是可以“骗分”的。假如有一道题是要求证某三角形的形状，你知道是等边三角形，到不会算，那你就可以利用等边三角形的特性，随便写。多多益善，只要不是错的。老师改卷时一般先看结果，结果对的话，只要过程没有很明显毛病就会得到大部分分数。就是是被看出是错的，因为你写的特性没错。老师也不会给你零分。

试论推理格式与数学证明方法孙宗明摘要本文以命题真值代数的基本知识为依据，阐述五种主要的数学证明方法：演绎法、完全归纳法、反证法、半反证法、数学归纳法。关键词推理，推理格式，数学证明本文假定熟知命题真值代数的基本知识.本文所使用的符号是标准的，见【川.1 1 当 xx 时，满足。是以xx为条件，做出答案。2 试探究。。。。是以。。。。。为条件，做出答案 3 把已知的作为条件 因为(已知的内容)因为条件得出的结论 所以(因为已知知道的东西)顺顺顺 最后就会得出 题目所要求的 东西了 谢谢 数学我的强项 1 当 xx 时，满足。是以xx为条件，做出答案。2 试探究。。。。是以。。。。。

第五篇：证明题格式

证明题格式

把已知的作为条件因为(已知的内容)

因为条件得出的结论所以(因为已知知道的东西)

顺顺顺最后就会得出题目所要求的东西了谢谢数学我的强项

1当xx时，满足。是以xx为条件，做出答案。

2试探究。。。。是以。。。。。为条件，做出答案

【需要证的】

∵【从题目已知条件找】(已知)

∴【从上一步推结论】(定理)

……(写上你所找的已知条件然后推出结论进行证明，最好“∴”后面都标上所根据的定理)

∴【最终所证明的】

就是不知道怎么区分这两种证明格式：

1当时，满足。并证明

回答时好像要把该满足的内容当做条件证明

2试探究。。。。同上

怎么回答时就要自己在草稿本上算出当时，然后把它作为条件得到满足的结论

21当xx时，满足。是以xx为条件，做出答案。

2试探究。。。。是以。。。。。为条件，做出答案

3把已知的作为条件因为(已知的内容)

因为条件得出的结论所以(因为已知知道的东西)

顺顺顺最后就会得出题目所要求的东西了谢谢数学我的强项尽管问我吧谢谢..............4格式就按照你的想法写就行。要说的是，不少证明题是可以“骗分”的。假如有一道题是要求证某三角形的形状，你知道是等边三角形，到不会算，那你就可以利用等边三角形的特性，随便写。多多益善，只要不是错的。老师改卷时一般先看结果，结果对的话，只要过程没有很明显毛病就会得到大部分分数。就是是被看出是错的，因为你写的特性没错。老师也不会给你零分。

试论推理格式与数学证明方法孙宗明摘要本文以命题真值代数的基本知识为依据，阐述五种主要的数学证明方法：演绎法、完全归纳法、反证法、半反证法、数学归纳法。关键词推理，推理格式，数学证明本文假定熟知命题真值代数的基本知识.本文所使用的符号是标准的，见【川.1

1当xx时，满足。是以xx为条件，做出答案。

2试探究。。。。是以。。。。。为条件，做出答案

把已知的作为条件因为(已知的内容)

因为条件得出的结论所以(因为已知知道的东西)

顺顺顺最后就会得出题目所要求的东西了谢谢数学我的强项

1当xx时，满足。是以xx为条件，做出答案。

2试探究。。。。是以。。。。。为条件，做出答案

把已知的作为条件因为(已知的内容)

因为条件得出的结论所以(因为已知知道的东西)

顺顺顺最后就会得出题目所要求的东西了谢谢数学我的强项尽管问我吧谢谢..............