线性代数试卷

第一篇：线性代数试卷

线性代数试题

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

选择题部分

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1．设行列式A.－3 C.1 2．设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)= A.1 C.3 3．设A为2阶可逆矩阵，若A1B.2 D.4 a1a2b1acabc1，112，则111 b2a2c2a2b2c2B.－1 D.3 13A.

2553C. 21A.r=m时，Ax=0必有非零解 C.r

，则A= 251B.25D.23 53 14．设A为m×n矩阵，A的秩为r，则

B.r=n时，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x12x23x38x1x312x2x3的矩阵为

1A.081C.04 08212 1230426 631B.001D.4008212 034026 63═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=______．

7．设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=8．设矩阵A=12，则A=______.34a12a11a12a11，B=，且r(A)=1，则r（B）=______.a21a22a11a21a12a229．设向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，则β－2α=________． 10．设向量α=(3，－4)T，则α的长度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T线性无关，则数k的取值必满足______.12．齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为______．

12210013．已知矩阵A=212与对角矩阵D=010相似，则数a=______ 22100a14．设3阶矩阵A的特征值为－1，0，2，则|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，则实数t的取值范围是______． x2tx

3三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

abc16．计算行列式D=2a2a2b2cbac2b.2ccab17．已知向量α=（1，2，k），β=1，，且βαT=3，A=αTβ，求(1)数k的值；(2)A10． 11231231218．已知矩阵A=231，B=00，求矩阵X，使得AX=B.3401019．求向量组α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

2x3yz020．设线性方程组2xyz1，问：

xyz1═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值时，方程组无解？

(2)λ取何值时，方程组有解？此时求出方程组的解．

00121．求矩阵A=010的全部特征值与特征向量．

1002222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x38x2x3为标准形，并写出所用的可逆线性变换．

四、证明题（本题7分）

23．设向量组α1，α2线性无关，且β=clα1+c2α2，证明：当cl+c2≠1时，向量组β－α1,β－α2线性无关．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════

第二篇：线性代数试卷

厦门理工学院继续教育学院20 第 学期期末试卷

线性代数（考试时间：120分钟）

专业 姓名 层次形式 成绩

一、选择题（每小题4分，共16分）1.A，B为三阶方阵，矩阵X满足AXABXBBXAAXBE则().22111(A)X(AB);(B)X(AB)(AB)(C)X(AB)(AB)(D)以上答案都不对.2.11；

A、B、C为n阶方阵，且ABC,A、B、C的列向量组分别为1,2,,n；1,2,,n(A)；

1,2,,n.若

1,2,,n线性相关，则().1,2,,n线性相关;(B)

1,2,,n线性相关；

(C)（A）与(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.设A,B为三阶矩阵，且r(A3A2E)3，若r(B)2则r(ABB)().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)无法判断． A22334.设三阶矩阵

B22，3，其中,,2,3均为三维行向量，已知A18，2B2，则AB().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空题（每小题4分，共16分）

En10ABOB为n阶非零矩阵，5.设A、，且A的阶梯形为1Da1111b1111c1111n00，则矩阵B的秩=.6.已知，则此行列式的所有代数余子式之和i,j1Aij.1

1A0Tx(1,1)7.已知是1a的一个特征向量，则a.8.为已知A是3阶方阵，1,2,3是三维线性无关的向量.若A112，A223，A313，则A的行列式等于.三、计算下列各题（每小题7分，共28分）

01D1110111110111110111110.9.计算n阶行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)2x18x2x32ax1x2222正定，求a的取值范围.411.已知(1,1,1),(1,0,1)，且A.求A.TTT

2A02 030110B002010000

12.已知矩阵X满足AX2BBA2X，求X．

四、解答下列各题（每小题14分，共28分）

2x13x23x3ax1x2x313x4x2(a2)x3a1x2xax12313.求a使方程组1与1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)XAXx1x32ax1x22x1x32bx2x3T22的秩为2，Tf(x1,x2,x3)(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求经正交变换所得的标准型，并写出相应的正交矩阵.3

五.解答下列各题（每小题4分，共12分）

15.设1,2,,t是线性方程组AxO的基础解系，向量满足AbO.证明1,2,,t,线性无关.16.已知A是n阶方阵且可对角化，问BAAE可否对角化？证明你的结论.2 T17.已知A为n阶矩阵.证明方程组AxO与AAxO的解相同.

第三篇：线性代数 试卷

浙江大学2008-2009学年秋冬学期 《线性代数I》课程期末考试试卷及参考答案

2x11．解线性方程组x1x15x22x24x24x3x36x3x4x42x4x5x5x535。10解：略。

2．线性变换T:22的定义是

T(x,y)(3xy,x3y).设B{(1,1),(1,1)},B{(2,4),(3,1)}。（a）证明B,B是2的两组基。

（b）给出T关于基B的矩阵表示A和T关于基B的矩阵表示A。（c）求矩阵Q使AQ1AQ。

（a）证明：先证明B线性无关（略）。因为B所含的向量个数2dim2，所以B是2的一组基。B类似可证。

（b）解：由定义即可（略）。

（c）解：矩阵Q是基B到基B的过渡矩阵，由定义求之即可。

00103．设矩阵A0100n2。解：

0a100a200a3。求行列式AtI，其中I是n阶单位阵，01an0t1AtI00000t000000000ta1a2a31tan101tan0000tnantn1a2ta1tn1antn2a3ta2tn2antn3a4ta3t2antan1tanRn1tRn100Rn2tRn1010R1tR20000

0001tnantn1a2ta14．令V为由全部在闭区间[0,1]上连续的实函数构成的集合，即

V{f:[0,1]|f连续}（a）给出V的向量加法和数乘法使V成为线性空间。（b）证明(f,g)f(x)g(x)dx是V的内积。

01（a）解：对f,gV,，定义

fg:[0,1]f(x)g(x)，f:x[0,1]x(f(x))验证上面定义的加法和数乘法使V成为线性空间。（b）证明：对f,g,hV,，有

(f,g)f(x)g(x)dxg(x)f(x)dx(g,f);0011(f,g)f(x)g(x)dxf(x)g(x)dx(f,g);0011(fg,h)(f(x)g(x))h(x)dxf(x)h(x)dxg(x)h(x)dx(f,h)(g,h);000111(f,f)f2(x)dx001所以(f,g)f(x)g(x)dx是V的内积。

015．设映射D:[x]5[x]5用D(f)f来定义，其中f是f的导数。（a）证明D是线性变换。

（b）给出D的核，他的一组基和维数。（c）给出D的像，他的一组基和维数。（a）证明：对

fa0a1xa2x2a3x3a4x4,gb0b1xb2x2b3x3b4x4[x]5,，有

D(fg)D((a0b0)(a1b1)x(a2b2)x2(a3b3)x3(a4b4)x4)(a1b1)2(a2b2)x3(a3b3)x24(a4b4)x3D(f)D(g),D(f)D(a0a1xa2xa3xa4x)a12a2x3a3x24a4x3D(f)所以D是线性变换。

234

（b）D的核kerD，f1是他的一组基，他的维数dimkerD1。（c）D的像ImD[x]4，1,x,x2,x3是他的一组基，他的维数dimImD4。

1126．判断实矩阵A121是否可对角化。若A可对角化，求矩阵Q使Q1AQ013是对角矩阵D，并给出矩阵Q1和D。解：略。

27．实二次型f:2的定义是f(x1,x2)2x125x24x1x2。

（a）给出对应于f的实对称矩阵A。

（b）给出A在相合（即合同）意义下的标准形（或规范形）。

（c）给出f的正惯性指数和负惯性指数，并判断f是否正定或者负定。解：略。

8．设,是线性变换T:VV的两个互异的特征值，v和w分别是属于和的特征向量。如果avbw是T的特征向量，证明a0或者b0。证明：因为avbw是T的特征向量，所以存在T的特征值使得T(avbw)(avbw)。因为v和w分别是属于和的特征向量，所以avbwT(avbw)aT(v)bT(w)avbw，即a()vb()w0。因为,是线性变换T:VV的两个互异的特征值，v和w分别是属于和的特征向量，所以v,w线性无关。所以a()0,b()0。

如果a0，则有。因为,互异，所以0，进而b0。所以有a0或者b0。

9．证明或举反例否定下面命题。

V)dim(W，)则任何线性映射（a）若有限维线性空间V,W满足dim(T:VW都不是同构。

答：正确。因为T:VW是同构dim(V)dim(W)。

（b）若方阵A,B有相同的特征多项式，则A和B是相似的。

10答：错误。例如A,BE2，则他们的特征多项式相同，均为

11f()(1)2，但A和B不相似，因为A不可对角化。

（c）若可逆方阵A相合于方阵B，则他们的逆矩阵A1,B1也是相合的。

答：正确。这是因为：若可逆方阵A相合于方阵B，则存在可逆矩阵CT1使得BCTAC，进而B1(CTAC)1C1A1(C)C1A1(C1)T，即A1,B1相合。

（d）实正交矩阵一定可对角化。

cos答：错误。比如Asinsin的特征多项式为cosf()22cos1，所以没有实特征根，当然也不能对角化。

第四篇：线性代数2011年试卷

线性代数2011年试卷

一、填空题

1、n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是_____________________________________。

2、设A是3阶可逆矩阵，若A的特征值是1,2,3，则|A|=______________________.3、含有n个未知量的线性方程组德 系数矩阵与增广矩阵的秩都是r，则r ______________

时，方程组有唯一解；则r_____________________ 时，方程组有无穷多解；

3521110

54、设D，其aij元素的代数余子式记做Aij，则13132413-2A11+6A12+2A13+6A14=__________________________

5、二次型

二、选择题

1设A,B为n阶方阵，满足等式AB=0，则必有（）

A、A=0，或B=0;

B、A+B=0;

C、|A|=0或|B|=0;

D、|A|+|B|=0

2、设A,B为n阶方阵，A与B等价，则下列命题中错误的是（）A、若|A|>0,则|B|>0;B、若|A|≠0,则B也可逆;C、若A与E等价，则B与E也等价；D、存在可逆矩阵P,Q，使得PAQ=B.11203

3、齐次线性方程组系数矩阵的行阶梯型矩阵是00132，则自由未知量不能

00006取为（）

A、x4,x5;

B、x2,x3;

C、x2,x4;

D、x1,x3.4若R(1,2,,s)=r，则（）

A、向量 组中任意r-1个向量均线性无关；B、向量组中任意r个向量均线性无关； C、向量组中向量个数必大于r；D、向量组中任意r+1个向量均线性相关。

5、设A为3阶方阵，1，-1，2是它的三个特征值，对应的特征向量依次为

012TTT 1(1,1,0),2(2,0,2),3(0,3,3),令P310，则P-1AP等于（）

302111;

B、;

2A、21122;

D、1;C、11

三、计算题

a101b11、计算行列式01c00100 1d0231

2、求矩阵1121的秩

1344101

3、求A=052的逆

00111131111

4、求向量组1，234的一个极大无关组，并用此极大21353157无关组线性表示其余向量。

5、求非齐次线性方程组2x1x22x33的通解

3x12x24x31123

6、求213的特征值和特征向量

336

四、设 A为n阶矩阵，1和2是A 的2个不同的特征值，1,2是分别属于1和2的特征向量，证明：12不是A的特征向量。

第五篇：07线性代数试卷

集美大学07级会计学函授班 线性代数期末考试卷

（一）班级_______________号数_________姓名___________成绩____________

一、选择题（4分×10=40分）

101、矩阵

00234121

中元素-3的代数的余子式是（）013001

A、-1

B、0

C、1

D、2 1

2、计算乘积：1(2，3，-1)=（）

1

A、(4，-4，-4)

B、(2，-3，1)

132C、0

D、2 3 1

231

23、解矩阵方程1

5x= 37194 11，得x=（）2219

D、 1 11352751

A、

B、C、31431 

4、当R(A)=n时，齐次线性方程组AmxnX=0必有（）

A、唯一零解

B、n个零解

C、m个零解

D、没有一个零解

5、向量x=(1，2，2，3)T与y=(3，1，5，1)T间的夹角是（）

A、

B、C、D、64324，当特征值=-2时的特征向量是（）2

36、矩阵A = 5



A、(4，-5)T

B、(4，-5)

C、c1(4，-5)T

D、c1(4，-5)

7、A与B相似，则下列结论中错误的是（）

A、AB；

B、A与B有相同的特征多项式； C、AEBE；

D、A与B有相同的特征向量。

8、n阶方阵A满足AAT = ATA=E，则A称作（）

A、单位矩阵

B、正规矩阵

C、正交规范矩阵

D、正交矩阵

9、当R(A)

A、线性相关；

B、线性无关；

C、相似；

D、正交

2210、二次型f(x1,x2,x3)x122x23x34x1x26x2x3的秩等于（）

A、0

B、1

C、2

D、3

二、填空题（4分×5=20分）

203

1、矩阵A = 1 1 1的伴随矩阵A*=_______________。

0120A

2、分块矩阵B 0的逆矩阵是_________________。

1

23、矩阵A = 

3012 032142 的秩R(A)= ____________________。6100

4、将1=(2，1，-1)T，2=(3，-1，1)T，3=(-1，4，0)正交规范化得___________________________________________________________________。

11

5、矩阵A = 4 3

1000的特征值是_______________________。22

线性代数期末考试卷

（一）班级_______________号数_________姓名___________成绩____________

三、解答题（8分×5 = 40分）

1、利用克拉默法则解方程组

x1x22x32

x22x31

xx22

12、方阵A满足A2 – A – 2E = 0，证明A及A + 2E均可逆，并求A-1及

（A +2E）-

13、求下列线性方程组的通解

x1x22x31

x1x23x31

xx4x1231224、已知二次型f(x1,x2,x3)5x12ax23x32x1x26x1x36x2x3的秩为2，求a的值。

5、设n维向量a=(a，0，…，0，E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-T，a)T，a<0，1B = E+T，其中A的逆矩阵为B，求a。

a集美大学07级会计学函授班 线性代数期末考试卷

（二）班级_______________号数_________姓名___________成绩____________

一、选择题（4分×10=40分）

1、已知4阶方阵A，其第3列元素分别是1，3，-2，2，它们的余子式值分别为3，-2，1，1，则|A| =（）

A、1

B、3

C、5

D、7 x1x2x30

2、x1x2x30有非零解，则=（）

xx2x023

1A、1或2

B、-1或-2

C、-1或2

D、1或-2

3、(2，3，-1)(1，-1，-1)T=（）

A、0

B、1

C、2

D、3 ac

4、设A = b d，当a、b、c、d满足（）时，A可逆。



A、abcd0

B、adbc0

C、adbc0

D、adbc0

124

5、1 10 1

12352，则R(A)=（）4A、0

B、1

C、2

D、3

6、设n维向量=(a，0，…，0，a)T，a<0，E为n阶单位矩阵，A = E-T，1B = E+T，其中A = B-1，则a=（）

a

1A、-1

B、0或

C、-1或-2

D、-2

27、设a1=(1，-1，1)，a2=(-1，1，1)，a3=(1，1，-1)，则a14a27a3=（）

A、-2；

B、(-10，-4，12)；

C、2；

D、(10，4，-12)

8、下列向量组中，线性相关的有（）

A、1＝(1，0，0，1)，2=(0，1，0，3)，3=(0，0，1，4)； B、1=(1，-1，0，0)，2=(0，1，1，-1)，3=(-1，3，2，1)； C、1=(1，2，3，5)，2=(4，1，0，2)，3=(5，10，15，25)D、1=(1，2，1，1)，2=(1，1，2，-1)，3=(3，4，5，1)

9、向量a=(1，2，2，3)与b=(3，1，5，1)的夹角为（）

A、；

B、；

C、；

D、；

24362210、二次型f(x1,x2,x3)x12ax23x34x1x26x2x3的秩R(A)=3则a=（）

A、5

B、4

C、3

D、2

二、填空题（4分×5=20分）

41231、计算3 4 1 2 = _________________ 2341231

2、已知A = 2 4 6，则伴随矩阵A*= ___________ 169

3、已知向量x=(1，-1，2，3)，则x= _____________

4、设n维向量1，…，则1，…，2，2，m是一组两两正交的非零向量组，m_____________________（填线性相关或线性无关）

221

5、矩阵A = 2 2 4的特征值是_________________ 244 线性代数期末考试卷

（二）班级_______________号数_________姓名___________成绩____________

三、解答题：（8分×5=40分）

a1b1c1

1、求证：a2b2 b2c2 c2a2 = 2 a2 b2 c2

a3b3b3c3c3a3a3b3c3a1b1b1c1c1a1

2、用初等变换解矩阵方程

123

3 1 2x = 2312404 0 2 0241212

3、已知= 1是A=5 a3的一个特征向量，求a、b的值。

11b220020001004、设矩阵A =  0 与B= y 相似。01x001

（1）求x与y

（2）求一个可逆矩阵P，使P-1AP = B

5、求下列方程组的通解：

x12x23x30

2x15x23x30

x8x041 集美大学07级会计学函授班 线性代数期末考试卷

（三）班级_______________号数_________姓名___________成绩____________

一、选择题（4分×10=40分）

251、计算 =（）

37A、1

B、-1

C、29

D、17 11

2、已知1 1 112x1x2 = 0有非零解，则=（）x3 A、-1

B、2

C、-1或2

D、±1

3、计算乘积：（2，3，-1）（1，-1，-1）T=（）

132T A、0；

B、（2，-3，1）

C、（2，-3，1）

D、2 3 1

231cossin-1

4、设A=，则其逆矩阵A=（）sincossincossincos A、sin cos

B、sin cos

cossincossinC、

D、cossin cossin1231

5、若A = 2 4 6 2，则秩R（A）=（）

0321 7 A、2

B、3

C、4

D、0 a11a12a13

6、设A = a21 a22 a23；B = a31a32a33010P1 = 1 0 0；P2 = 001a23a22a21aa

a； 111312aaa32a12a33a1311311000 1 0；则必有（）101A、AP1P2=B

B、AP2P1=B

C、P1P2A=B

D、P2P1A=B

7、使n维向量组A：a1，a2，…，am线性相关的下列条件中，错误的是（）

A、至少有一个向量可由其他m-1个向量线性表示； B、R(A)

D、a1，a2，…，am中含有零向量

8、设A是n阶正交矩阵，则A=（）

A、1

B、-1

C、±1

D、0

9、向量x =(2，1，3，2)T与y =(1，2，-2，1)T间的夹角是（）

A、

B、C、D、6432200100

10、矩阵A = 2 x 2与B=0 2 0相似，则（x，y）=（）

31100yA、（2，－2）

B、（0，－2）

C、（－2，2）

D、（－2，0）线性代数期末考试卷

（三）班级_______________号数_________姓名___________成绩____________

二、填空题（4分×5=20分）

1、已知3阶方阵A，其第三列元素分别是1，3，-2，它们的余子式的值分别是3，-2，1，则A = ____________ 203

2、已知A = 1 1 1，则伴随矩阵A*= ___________ 012

3、若n阶方阵A可逆，则（A*）-1 = __________ 221

4、矩阵A = 2 2 4的特征值是__________________ 244225、二次型f(x1,x2,x3)x122x23x34x1x26x2x3的秩等于_________

三、解答题（8分×5= 40分）

a1b1c11、求证：a2b2 b2c2 c2a2 =2a2 b2 c2

a3b3b3c3c3a3a3b3c3a1b1b1c1c1a12、利用克拉默法则解方程组：

x1x22x32 x22x31xx22

13、方阵A满足A2 – A –2E = 0，证明A及A+2E均可逆，并求A-1，(A+2E)-1

120

4、已知A=1 2 3，用初等行变换求A-1.223121215a35、已知α=是A=的一个特征向量，试求a，b的值，及α所1b21对应的特征值λ。