线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

第一篇：线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数(经管类)优化试卷

（一）说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩

阵，|A|表示方阵A的行列式．

一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分．

1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则 | 2A-l |

（）

A．-4

B．-1

C．1

D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是

A．ACB

B．ABC

C．BAC

D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是

（A．A+AT

B．A-AT

C．A AT

D．AT A 4．设2阶矩阵A=，则A*=

（）

5．矩阵的逆矩阵是

（）

（）)

6．设矩阵A=，则A中

（）

A．所有2阶子式都不为零

B．所有2阶子式都为零

C．所有3阶子式都不为零

D．存在一个3阶子式不为零

7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是

（）

A．A的列向量组线性相关

B．A的列向量组线性无关

C．A的行向量组线性相关

D．A的行向量组线性无关

8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数

矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为

（）

9．矩阵

A．4

B．3

C．2

D．l 的非零特征值为

（）

10．4元二次型

A．4

B．3

C．2

D．l 的秩为

（）

二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分)请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分．

11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。

12．设矩阵A=，则行列式|ATA|=_______________。

13．若齐次线性方程组

__________________。

有非零解，则其系数行列式的值为

14．设矩阵A=

15．向量空间

16．设向量,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。的维数为_______________。，则向量的内积

=_______________。

17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为___________。

19．设3元实二次型f(x1 , x2 , x3)的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。

20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

21．计算3阶行列式。

22．设A= 23．设向量组，求A-1

(1)求向量组的—个极大线性无关组：

(2)将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．

24．求齐次线性方程组的基础解系及通解。

25．设矩阵A=，求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵。

26．利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：

四、证明题(本题6分)27．证明：若A为3阶可逆的上三角矩阵．则A-1也是上三角矩阵．

第二篇：2010年7月自考线性代数(经管类)试卷及答案

全国2010年7月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 课程代码：04184 说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.＊

一、单项选择题

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中α（为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=(C)ii=1,2,3）A.-12 C.6

B.-6

D.12 解析: αi（i=1,2,3）为A的列向量，3行1列

0 2 0 2 10 5 0 0 0 2 02 3 2 32.计算行列式=（A)

A.-180 C.120

B.-120 D.180 解析: =3*-2*10*3=-180

3.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=（C)1A.B.2 2C.4 解析:=2

3D.8 | A |=8*1/2=4

4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有（B)n+1个n维向量线性相关 A.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示

B.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示

B.3

n-r(A)=解向量的个数=2,n=6 D.5 5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=（C)A.2 C.4 6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则（C)A与B合同 r(A)=r(B)PTAP=B, P可逆 A.A与B相似 C.A与B等价

B.| A |=| B | D.A与B合同

7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=（D)，| A |=所有特征值的积=0 A.0 C.3

B.2

A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A+2E |=4*3*2 D.24 8.若A、B相似，则下列说法错误的是（B)．．A.A与B等价 C.| A |=| B |

B.A与B合同

D.A与B有相同特征值

A、B相似A、B特征值相同| A |=| B | r(A)=r(B)；若A～B，B～C，则A～C（～代表等价）9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=（D)

A.-2 C.2

B.0 D.4

T0, 即1*2-2*3+1*t=0，t=4

10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（B)，所有特征值都大于0，正定； A.A正定

B.A半正定

所有特征值都小于0，负定；

C.A负定

D.A半负定

所有特征值都大于等于0，半正定；同理半负定；其他情况不定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。3 211.设A=0 1,B=2 42 1 10 1 0，则AB=（A的每一行与B的每一列对应相乘相加）

a12a13a22a如a21表示第二2下标依次为行列，3a32a333*22*03*12*13*12*0653a110*11*00*11*0=010

a21=0*21*02*24*02*14*12*14*0422a31行第一列的元素。

A为三行两列的矩阵即3×2的矩阵，B为2×3的矩阵，则AB为3×3的矩阵，对应相乘放在对应位置

12.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A

-|= 33| A-1 |=27*

1=9 Ax1x2x3113.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.扩充为0x200，再看答案

00x3014.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_____跟高中单位向量相同____________.15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.116.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，1，则| 5A-1 |=____同12题__________.217.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.若矩阵A的行列式| A |0，则A可逆，即A A-1=E，E为单位矩阵。Ax=0只有零解| A |0，故A可逆 若A可逆，则r(AB)= r(B)=3，同理若C可逆，则r(ABC)= r(B) 2 1 02218.实对称矩阵A=1 0 1 所对应的二次型f(x1, x2, x3)=2x1x32x1x22x2x3

 0 1 1x12实对称矩阵A 对应于x1x2x1x3x1x22x2x2x3x1x3x2x3各项的系数 2x31119.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=2，α2= 2且r(A)=2，则Ax=b的通解是_______________.3 3120.设α=2，则A=ααT的非零特征值是_______________.3

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 221.计算5阶行列式D=

22.设矩阵X满足方程

2 0 01 0 01 4 3

0 1 0X0 0 1=2 0 1 0 0 20 1 01 2 0求X.23.求非齐次线性方程组

x1x23x3x413x1x23x34x44的x5x9x8x02341.24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组. 2 1 225.已知A= 5 a 3的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值1 b 2的全部特征向量.2 1 1 226.设A= 1 2 1 a，试确定a使r(A)=2. 1 1 2 2

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

第三篇：2015年10月自考线性代数(经管类)试卷及答案

2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数(经管类)试卷

(课程代码04184)说明：在本卷中。A表示矩阵A的转置矩阵。A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。T

*

7．已知矩阵，则A+2A+E=___________．

28．设矩阵9．设向量，若矩阵A满足AP=B，则A=________．，线性表出的表示式为=____________．，则

由向量组10．设向量组a1=(1，2,1)，a2=(-1，1，0)，a3=(0，2，k)线性无关，则数k的取值应 满足__________．

11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为

TTT

若该方程组无解，则数k=_________． 12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．

13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________．

14．设向量a1=(1，-l，0)，a2=(4，0，1)，则15．二次型f(x1，x2)=-2x1+x2+4x1x2的规范形为__________．

三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分)请在答题卡上作答。

2TT

=__________．

16.计算行列式的值．

17.已知矩阵，若矩阵x满足等式AX=B+X，求X．

线性代数试卷

18.已知矩阵A,B满足关系式B=E-A，其中2

3，计算

(1)E+A+A与A;2(2)B(E+A+A)．

TTTT19.求向量组a1=(1，-l，2，1)，a2=(1，0,2，2)，a3=(0，2，1，1)，a4=-(1，0，3，1)的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

20.设3元线性方程组，问数a，b分别为何值时，方程组有无穷

多解?并求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．

线性代数试卷

21.设矩阵，求A的全部特征值和特征向量．

222.用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x1-x1x2+x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性

变换．

四、证明题(本大题共l小题，共7分)请在答题卡上作答。

23·设向量组a1，a2，a3的秩为2，且a3可由a1，a2线性表出，证明a1，a2是向量组 a1，a2，a3的一个极大线性无关组．

线性代数试卷

线性代数试卷

线性代数试卷

线性代数试卷

线性代数试卷

第四篇：自学考试专题：线性代数（经管类）复习材料

04184线性代数(经管类)

√

关于：

①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；

②线性无关；

③；

④；

⑤任意一个维向量都可以用线性表示.√

行列式的计算：

①

若都是方阵（不必同阶）,则

②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：

√

逆矩阵的求法:

①

②

③

④

⑤

√

方阵的幂的性质：

√

设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.√

设的列向量为,的列向量为，的列向量为,√

用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；

用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√

两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：

√

矩阵方程的解法：设法化成当时,√

和同解（列向量个数相同）,则：

①

它们的极大无关组相对应,从而秩相等；

②

它们对应的部分组有一样的线性相关性；

③

它们有相同的内在线性关系.√

判断是的基础解系的条件：

①

线性无关；

②

是的解；

③

.①

零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②

单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③

部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④

原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤

两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.⑥

向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.⑦

向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.⑧

维列向量组线性相关；

维列向量组线性无关.⑨

.⑩

若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.⑪

矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫

矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.向量组等价

和可以相互线性表示.记作：

矩阵等价

经过有限次初等变换化为.记作：

⑬

矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵与作为向量组等价

矩阵与等价.⑭

向量组可由向量组线性表示≤.⑮

向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.⑯

向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；

⑰

任一向量组和它的极大无关组等价.⑱

向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.⑲

若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳

若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；

若，的列向量线性无关,即：

线性无关.线性方程组的矩阵式

向量式

矩阵转置的性质：

矩阵可逆的性质：

伴随矩阵的性质：

线性方程组解的性质：

√

设为矩阵,若,则,从而一定有解.当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.是的上限.√

矩阵的秩的性质：

①

②

≤

③

≤

④

⑤

⑥≥

⑦

≤

⑧

⑨

⑩

且在矩阵乘法中有左消去律:

标准正交基

个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1..是单位向量

.√

内积的性质：

①

正定性：

②

对称性：

③

双线性：

施密特

线性无关,单位化：

正交矩阵

.√

是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基.√

正交矩阵的性质：①；

②；

③

是正交阵,则（或）也是正交阵；

④

两个正交阵之积仍是正交阵；

⑤

正交阵的行列式等于1或-1.的特征矩阵

.的特征多项式

.的特征方程

.√

上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.√

若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.√

√

若,则一定可分解为=、,从而的特征值为：,.√

若的全部特征值，是多项式,则:

①的全部特征值为；

②

当可逆时,的全部特征值为,的全部特征值为.√

√

与相似

（为可逆阵）

记为：

√

相似于对角阵的充要条件：恰有个线性无关的特征向量.这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.√

可对角化的充要条件：

为的重数.√

若阶矩阵有个互异的特征值,则与对角阵相似.与正交相似

（为正交矩阵）

√

相似矩阵的性质：①

若均可逆

②

③

（为整数）

④,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是关于的特征向量,是关于的特征向量.⑤

从而同时可逆或不可逆

⑥

⑦

√

数量矩阵只与自己相似.√

对称矩阵的性质：

①

特征值全是实数,特征向量是实向量；

②

与对角矩阵合同；

③

不同特征值的特征向量必定正交；

④

重特征值必定有个线性无关的特征向量；

⑤

必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,重数=）.可以相似对角化

与对角阵相似.记为：

（称是的相似标准型）

√

若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.√

设为对应于的线性无关的特征向量,则有：

.√

若，则：.√

若,则,.二次型

为对称矩阵

与合同

.记作：

（）

√

两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√

两个矩阵合同的充分条件是：

√

两个矩阵合同的必要条件是：

√

经过化为标准型.√

二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由

惟一确定的.√

当标准型中的系数为1，-1或0时,则为规范形

.√

实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√

任一实对称矩阵与惟一对角阵合同.√

用正交变换法化二次型为标准形:

①

求出的特征值、特征向量；

②

对个特征向量单位化、正交化；

③

构造（正交矩阵）,；

④

作变换,新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.正定二次型

不全为零，.正定矩阵

正定二次型对应的矩阵.√

合同变换不改变二次型的正定性.√

成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

①

正惯性指数为；

②的特征值全大于；

③的所有顺序主子式全大于；

④

合同于，即存在可逆矩阵使；

⑤

存在可逆矩阵，使

（从而）；

⑥

存在正交矩阵，使

（大于）.√

成为正定矩阵的必要条件：；.

第五篇：2011年1月线性代数(经管类)试题及答案

2011年1月线性代数（经管类）试题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a11a31a12a32a13a332a112a12a222a13a233a331.设行列式a21a22a23=4，则行列式a21=（）

3a313a32A.12

B.24

C.36 D.48 2.设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=（）A.A-1CB-1

B.CA-1B-1

C.B-1A-1C D.CB-1A-1 3.已知A2+A-E=0，则矩阵A-1=（）A.A-E

B.-A-E

C.A+E

D.-A+E

4.设1,2,3,4,5是四维向量，则（）A.1,2,3,4,5一定线性无关

B.1,2,3,4,5一定线性相关

C.5一定可以由1,2,3,4线性表示 D.1一定可以由2,3,4,5线性表出 5.设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则（）A.A=0

B.A=E

C.r(A)=n（）A.Ax=0只有零解

B.Ax=0的基础解系含r(A)个解向量

C.Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量 D.Ax=0没有解

7.设1,2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，则（）A.12是Ax=b的解 C.3122是Ax=b的解

B.12是Ax=b的解 D.2132是Ax=b的解 D.0

390的三个特征值，则A=045123=（002）

A.20

B.24

C.28 D.30 9.设P为正交矩阵，向量,的内积为（,）=2，则（P,P）=（）A.B.1

C.1232D.2

2210.二次型f(x1,x2,x3)=x12x2x32x1x22x1x32x2x3的秩为（）

A.1

B.2

C.3 D.4

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.行列式12.设A=13.设1k22k1=0，则k=_________________________.Ak=_________________________.A的逆矩阵

A-1=，则矩阵341210，k为正整数，则112阶可逆矩阵A=_________________________.14.设向量=（6，-2，0，4），=（-3，1，5，7），向量满足23，则=_____.15.设A是m×n矩阵，Ax=0,只有零解，则r(A)=_________________________.16.设1,2是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3172）=________.17.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1-x2+x3=0}的维数是______________________.18.设方阵A有一个特征值为0，则|A3|=________________________.19.设向量1（-1，1，-3），2（2，-1，）正交，则=__________________.2220.设f(x1,x2,x3)=x124x22x32tx1x22x1x3是正定二次型，则t满足_________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

abc2abac2c2a2bcab21.计算行列式2b2c

22.设矩阵112，对参数讨论矩阵A=21511061A的秩.13114 23.求解矩阵方程251X=25001131231251224.求向量组：1，2，3，4的一个极大线性无关组，16172513并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.2x13x2x35x4025.求齐次线性方程组3x1x22x34x40的一个基础解系及其通解.x2x3xx0234132226.求矩阵182的特征值和特征向量.2143

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.设向量1，2，….,k线性无关，1

三、计算题