自学考试专题：线性代数（经管类）复习思考题含答案

复习思考题

一．单选题：

1．下列各式正确的是（）。

A、B、C、D、2．行列式（）。

A、-1

B、0

C、1

D、2

3．（）。

A、B、C、D、4．，（）。

A、-1

B、1

C、-2

D、2

5．若行列式，则（）。

A、B、C、D、且

6．若行列式，为元素的代数余子式，下列各式正确的是（）。

A、，B、，C、，D、，7．（）。

A、B、C、D、8．=（）。

A、B、C、D、9．

=（）。

A、B、C、D、10．

=（）。

A、B、C、D、11．

=（）。

A、B、C、D、12．为方阵，（）。

A、B、C、D、13．为阶方阵，（）。

A、B、C、0

D、14.设A、B为可逆矩阵，则分块矩阵的逆矩阵是（）。

A、B、C、D、15.设A、B为可逆矩阵，则分块矩阵的逆矩阵是（）。

A、B、C、D、16．矩阵的秩为（）。

A、0

B、C、2

D、3

17．矩阵的秩为（）。

A、0

B、C、2

D、3

18．矩阵的秩为（）。

A、0

B、C、2

D、3

19．矩阵的秩为（）。

A、0

B、C、2

D、3

20．矩阵的秩为（）。

A、0

B、C、2

D、3

21．若三个非零3维向量共面，则这三个非零3维向量（）。

A、线性无关

B、线性相关

C、任意一个都不能由其余两个表示

D、以上都不对

22．若三个非零3维向量不共面，则这三个非零3维向量（）。

A、线性无关

B、线性相关

C、至少一个都能由其余两个表示

D、以上都不对

23．若三个非零3维向量共面，则非零3维向量组的秩为（）。

A、1

B、2

C、3

D、以上都不对

24．若三个非零3维向量不共面，则非零3维向量组的秩为（）。

A、1

B、2

C、3

D、以上都不对

25．4个非零3维向量一定（）。

A、线性无关

B、线性相关

C、任意一个都不能由其余3个表示

D、以上都不对

26．为方阵，若，则的所有行构成的行向量组一定（）。

A、线性无关

B、线性相关

C、任意一个向量都不能由其余向量表示

D、以上都不对

27．为方阵，若，则的所有行构成的行向量组一定（）。

A、线性无关

B、线性相关

C、至少有一个向量能由其余向量表示

D、以上都不对

28．为矩阵，若，则的所有行构成的行向量组一定（）。

A、线性无关

B、线性相关

C、至少有一个向量能由其余向量表示

D、以上都不对

29．为矩阵，若，则的所有行构成的行向量组一定（）。

A、线性无关

B、线性相关

C、任意一个向量都不能由其余向量表示

D、以上都不对

30．为方阵，若，则的所有列构成的列向量组一定（）。

A、线性无关

B、线性相关

C、任意一个向量都不能由其余向量表示

D、以上都不对

31．为方阵，若，则的所有列构成的列向量组一定（）。

A、线性无关

B、线性相关

C、至少有一个向量能由其余向量表示

D、以上都不对

32．为矩阵，若，则的所有列构成的列向量组一定（）。

A、线性无关

B、线性相关

C、至少有一个向量能由其余向量表示

D、以上都不对

33．为矩阵，若，则的所有列构成的列向量组一定（）。

A、线性无关

B、线性相关

C、任意一个向量都不能由其余向量表示

D、以上都不对

34．向量组的秩是（）。

A、0

B、C、2

D、3

35．向量空间的维数是（）。

A、0

B、C、2

D、3

36．向量空间的一组基是（）。

A、B、C、D、37．下列命题中不正确的是（）。

A、向量组的最大无关组一定唯一

B、初等变换不改变向量组的秩和向量组的线性相关性

C、向量组与它的最大无关组等价

D、设矩阵的行向量组线性相关，此时它的列向量组不一定线性相关

38．设向量组，，线性无关，下列命题正确的是（）。

A、，，线性无关

B、，，线性无关

C、，，线性无关

D、，，线性无关

39．设n阶方阵A、B、C都可逆且满足

ABC=E，则必有（）。

A、ACB=E

B、CBA=E

C、BAC=E

D、BCA=E

40．为矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是（）。

A、R(A)

B、R(A)

C、D、41．为矩阵，齐次线性方程组只有零解的充要条件是（）。

A、R(A)

B、R(A)

C、D、42．为矩阵，非齐次线性方程组没有解的充要条件是（）。

A、B、C、-1

D、向量不能由矩阵的列向量组表示

43．为矩阵，非齐次线性方程组有解的充要条件是（）。

A、B、C、-1

D、向量不能由矩阵的列向量组表示

44．下列命题正确的是（）。

A、若x=，x=是AX=b的解，则x=+是AX=b的解

B、若x=，x=是AX=b的解，则x=－是AX=b的解

C、若x=，x=是AX=b的解，则x=+是AX=0的解

D、若x=，x=是AX=b的解，则x=－是AX=0的解

45．要使=，=都是方程组的解，只要系数矩阵是（）。

A、B、C、D、46．，下列各式中错误的是（）。

A、B、C、D、47．设表示向量的长度，则下列各式中错误的是（）。

A、时，>0

B、=0时，C、D、48．正交矩阵一定是（）。

A、单位矩阵

B、可逆矩阵

C、降秩矩阵

D、对称矩阵

49．设P是正交矩阵．则下列命题中不正确的是（）。

A、P=P

B、P的列向量不是单位向量

C、PP=E

D、P的行向量都是单位向量且两两正交

50．对应于对称矩阵不同特征值的特征向量一定（）。

A、线性相关

B、线性无关

C、正交

D、不正交

51．方阵的特征值是（）。

A、B、C、D、52．若方阵的特征值为，则方阵多项式的特征值为（）。

A、B、C、D、53．若方阵的特征值为，则的特征值为（）。

A、B、C、D、54．若3阶方阵的特征值为，则的特征值为（）。

A、B、C、D、55.设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）。

A、E-A

B、-E-A

C、2E-A

D、-2E-A

56.设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(A2)-1必有一个特征值等于（）。

A、B、C、2

D、4

57．若3阶方阵的特征值为，则（）。

A、6

B、36

C、D、58．若3阶方阵的特征值为，则（）。

A、6

B、36

C、D、59．二次齐式对应的矩阵是（）。

A、B、C、D、60.二次型f(x1,x2,x3,x4,)=的秩为（）。

A、1

B、2

C、3

D、4

二．填空题：

1．2．

=。

3.=。

4.。

5.。

6.设行列式D==3，D1=，则D1

=。

7.。

8.。

9.。

10.。

11.。

12.。

13.。

14.。

15.。

16.。

17.。

18.。

19.行列式=。

20.设，元素的代数余子式。

21.若行列式，为元素的代数余子式，则。

22.若行列式，为元素的代数余子式，则。

23.。

24.2。

25.。

26.。

27.。

28.。

29.。

30.。

31.。

32.。

33.设，则。

34.设，则。

35.设，则。

36.设为方阵，则。

37.设为阶方阵，则。

38.设为方阵，则。

39.设为可逆矩阵，则。

40.设为可逆矩阵，则。

41.。

42.。

43.。

44.设为方阵，则。

45.若两个向量共线，则这两个向量一定线性。

46.若两个非零向量不共线，则这两个向量一定线性。

47.线性无关的向量组，其中任一向量都

由其余向量线性表示。

48.线性相关的向量组，其中至少有一个向量

由其余向量线性表示。

49.若存在一组不全为零的数，使向量组的线性组合为零向量，则该向量组一定线性。

50.若对于任意一组不全为零的数，都不能使向量组的线性组合为零向量，则该向量组一定线性。

51.若矩阵的个行向量线性无关，则。

52.若矩阵的个行向量线性相关，则。

53.若矩阵的个列向量线性无关，则。

54.若矩阵的个列向量线性相关，则。

55.矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩、矩阵的非零子式的最高阶数，以上四者。

56．等价的矩阵秩。

57.初等变换

矩阵的秩。

58.若两个同型矩阵的秩相等，则它们。

59.若两个矩阵相似，则它们的秩。

60.若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则该向量组一定线性。

61.向量组的最大无关组所含向量的个数即该向量组的。

62.若向量组线性相关，则满足

关系式。

63.向量组的秩等于。

64.向量组的最大无关组为。

65.矩阵的秩等于。

66.设，且，则向量。

67.向量由向量组表示的表达式是。

68.若为矩阵，为阶可逆方阵，为阶可逆方阵，则。

69.若，则齐次线性方程组的基础解系所含线性无关的解的个数等于。

70.若列向量可以由矩阵的列向量组线性表示，则非齐次线性方程组一定。

71.若矩阵的列向量组线性相关，则齐次线性方程组一定

非零解。

72.若矩阵的列向量组线性无关，则齐次线性方程组一定

非零解。

73.设是非齐次线性方程组的解，若也是非齐次线性方程组的解，则。

74.齐次线性方程组的基础解系是。

75.非齐次线性方程组的通解为。

76.设向量，则。

77.设向量，则与向量同方向的向量。

78.向量的夹角为。

79.若0，则。

80.两两正交的向量组一定线性。

81.向量正交化为。

82.矩阵=的特征值为。

83.矩阵=的特征向量为。

84.矩阵的特征值为1,2,3，则的特征值为。

85.矩阵的特征值为1,2,3，则的特征值为。

86.对应于实对称矩阵的不同特征值的特征向量一定两两。

87.阶实对称矩阵存在个两两正交的特征向量。

88.相似矩阵的特征值。

89.若矩阵满足，则称为

矩阵。

90.若矩阵为正交矩阵，则。

91.正交矩阵的行向量组中每一个向量都是单位向量，且两两。

92.正交矩阵的列向量组中每一个向量都是单位向量，且两两。

93.正定矩阵的所有特征值为。

94.负定矩阵的所有特征值为。

95.若方阵的所有主子式为正，则方阵为

矩阵。

96.若方阵的所有奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，则方阵为

矩阵。

97.二次型所对应的矩阵为。

98.用配方法化二次型为标准型，所用变换矩阵

为。

99.用正交变换化二次型为标准型，所用变换矩阵为。

100..若二次型f(x1,x2,x3)=(k+1)+

(k-1)+

(k-2)正定，则数k的取值范围为________.。

三．判断题：

1．。

（）

2．。

（）

3．。

（）

4．。

（）

5．。

（）

6．。

（）

7．。

（）

8．。

（）

9．。

（）

10．。

（）

11．。

（）

12．。

（）

13．。

（）

14．。

（）

15．当时，行列式=0。

（）

16．设为阶方阵，若，则方程组有唯一一组解。

（）

17．设为阶方阵，若方程组有无数组解，则。

（）

18．设为阶方阵，若方程组没有解，则。

（）

19．设为阶方阵，若，则方程组只有零解。

（）

20．设为阶方阵，若方程组有非零解，则。

（）

21．若方程组有非零解，则。

（）

22．若方程组无解，则。

（）

23．行列式就是矩阵。

（）

24.行列式是一个数值。

（）

25.矩阵是一个数表。

（）

26.只有同型的矩阵才可能相等。

（）

27.任何零矩阵都相等。

（）

28.只有同型的矩阵才能相加减。

（）

29.任何零矩阵都能相加且结果等于零矩阵。

（）

30.。

（）

31.。

（）

32.只有当左乘阵的列数等于右乘阵的行数时，这两个矩阵才能相乘。

（）

33.矩阵乘法不满足交换律，即。

（）

34.设A、B为同阶方阵，则。

（）

35.设A、B为同阶方阵，则。

（）

36.若AB=AC,则B=C。

（）

37.若，则或。

（）

38.若，则。

（）

39.若，则或。

（）

40.设A、B为同阶方阵，且，则。

（）

41.设矩阵A=，B=，则AB-BA=。

（）

42.设为矩阵，、为、阶单位矩阵，则。（）

43.方阵可逆的充要条件是：。

（）

44.逆矩阵运算是矩阵乘法的逆运算。

（）

45.若，则。

（）

46.若，则。

（）

47.。

（）

48.=。

（）

49.。

（）

50.设均为n阶可逆矩阵，且，则。

（）

51.若，则。

（）

52.若，则。

（）

53.若，则。

（）

54.设A、B为同阶方阵，则。

（）

55.设A、B为同阶方阵，则。

（）

56.。

（）

57.若矩阵的秩等于，则的低于阶子式都非零。

（）

58.若矩阵的秩等于，则的高于阶子式都为零。

（）

59.若矩阵的秩等于，则的所有阶子式都非零。

（）

60.若矩阵的秩等于，则的任意个行（列）向量都线性无关。

（）

61.若矩阵的秩等于，则的任意个行（列）向量都线性相关。

（）

62.若矩阵的秩等于，则的行（列）向量组的秩都等于。

（）

63.初等变换改变矩阵的秩。

（）

64.等价的矩阵秩相等。

（）

65.秩相等的矩阵等价。

（）

66.相似的矩阵秩相等。

（）

67.秩相等的矩阵相似。

（）

68.合同的矩阵秩相等。

（）

69.秩相等的矩阵合同。

（）

70.等价的矩阵一定合同。

（）

71.合同的矩阵一定等价。

（）

72.相似的矩阵一定等价。

（）

73.等价的矩阵一定相似。

（）

74.合同的矩阵一定相似。

（）

75.相似的矩阵一定合同。

（）

76.正交矩阵、正定矩阵一定是可逆矩阵。

（）

77.可逆矩阵不一定是正交矩阵、正定矩阵。

（）

78.正交矩阵不一定是正定矩阵，正定矩阵也不一定是正交矩阵。

（）

79.直观而言：若平面上两个非零向量共线，或空间里三个非零向量共面，则它们线性相关。

（）

80.向量组线性相关，其代数意义即它们之间存在线性关系，亦即其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。

（）

81.直观而言：若平面上两个非零向量不共线，或空间里三个非零向量不共面，则它们线性无关。

（）

82.向量组线性无关，其代数意义即它们之间不存在线性关系，亦即其中任何一个向都不能由其余向量线性表示。

（）

83.若向量组线性无关，则其中任意两个向量都线性无关。

（）

84.若向量组中任意两个向量都线性无关，则该向量组线性无关。

（）

85.若向量组线性相关，则其中任意两个向量都线性相关。

（）

86.若向量组中任意两个向量都线性相关，则该向量组线性相关。

（）

87.若非零向量组中任意两个向量都正交，则该向量组线性无关。

（）

88.若非零向量组中任意两个向量都线性无关，则该向量组正交。

（）

89.含有零向量的向量组一定线性相关。

（）

90.线性相关的向量组一定含有零向量。

（）

91.设3阶方阵A的秩为2，则A与矩阵等价。

（）

92.二次型f(x1,x2,x3,x4,)=的秩为。

（）

93.设A为n（n≥2）阶方阵，且A2=E，则A的秩等于n。

（）

94.设向量组，的秩为2，则数t=1。（）

95.设向量组α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）与向量组β1，β2，β3等价，则向量组β1，β2，β3的秩为。

（）

96.设m×n矩阵A的秩r（A）=n-3（n>3），是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为。

（）

97.设是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为（5，-3，-1）。（）

98.设向量α=(2，1，0，3)T，β=(1,-2,1,k)T,α与β的内积为2，则数k=。

（）

99.设向量α=（2，-1，1），则α的长度为。

（）

100.设向量α=T为单位向量，则数。

（）

101.设向量α=（1，-2，3，4）与β=（3，a，5，-7）正交，则数。

（）

102.属于同一特征值的特征向量只有一个。

（）

103.设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则。

（）

104.矩阵A与对角矩阵D=相似，则。

（）

105.矩阵A=对应的二次型

（）

四．计算题：

1．计算行列式。

2．　计算行列式。

3．计算行列式。

4．计算行列式。

5．计算行列式。

6．计算行列式。

7．计算行列式。

8．计算行列式。

9．计算行列式。

10．解方程。

11.解方程。

12.设，计算。

13.设，计算。

14.设，其中，求。

15.设，利用分块矩阵计算。

16.求矩阵的逆矩阵。

17.设，求矩阵。

18.设都是四维列向量。若，求的值。

19.设，其中都是三维行向量。若，求的值。

20.求矩阵的秩。

21.求矩阵的秩。

22.设，试分别求的值，使。

23.求一个秩是4的方阵，它的两个行向量是。

24.判断向量组的线性相关性。

25.判断向量组的线性相关性。

26.求向量组的极大无关组。

27.求向量组的极大无关组。

28.验证向量组是的一组基，并把向量用这组基表示。

29.验证向量组是的一组基，并把向量用这组基表示。

30.求齐次线性方程组的基础解系。

31.求齐次线性方程组的基础解系。

32.求非齐次线性方程组的通解。

33.求非齐次线性方程组的通解。

34.求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为。

35.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，已知，是它的三个解向量，且

求该方程组的通解。

36.当为何值时，非齐次线性方程组

有唯一解？无解？有无数组解？

37.当为何值时，非齐次线性方程组

有唯一解？无解？有无数组解？

38.当为何值时，非齐次线性方程组

有唯一解？无解？有无数组解？

39，设，计算。

40.求与都正交的单位向量。

41.试确定，使为正交矩阵。

42，用施米特方法将向量正交化。

43．求的特征值与特征向量。

44.设矩阵的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵。

45.设矩阵与对角阵相似，求。

46.求正交矩阵，使为对角矩阵。

47.写出二次型的矩阵表达式。

48.用配方法化二次型为标准型，并写出所用变换矩阵。

49.用正交化方法化二次型为标准型，并写出所用变换矩阵。

50.判定二次型的正定性。

第三部分

参考答案

一．选择题：

1．A

2．B

3．D

4．C

5.D

6．B

7.D

8．B

9.A

10.A

11．D

12．C

13．D

14．C

15.A

16．B

17．B

18．D

19.B

20.B

21．B

22．A

23．D

24．C

25.B

26．B

27．A

28．A

29.B

30.B

31．A

32．A

33．B

34．D

35.C

36．C

37．A

38．C

39.D

40.C

41．C

42．D

43．A

44．D

45.A

46．D

47．C

48．B

49.B

50.B

51．C

52．D

53．A

54．D

55.D

56．A

57．B

58．C

59.B

60.C

二．填空题：

1.=

2.—

3.—

4.=

5.=

6.6

7.6

8.-6

9.24

10.-90

11.0

12.0

13.0

14.0

15.0

16.0

17.-18

18.(b-a)(c-a)(c-b)

19.0

20.6

21.D

22.0

23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.=

37.38.=

39.A

40.41.42.A

43.44.45.相关

46.无关

47.不能

48.能

49.相关

50.无关

51.m

52.m-1

53.n

54.n-1

55.相等

56.相等

57.不改变

58.等价

59.相等

60.相关

61.秩

62.a=b

63.2

64.65.3

66.67.68.=

69.n-r

70.有解

71.有

72.无

73.1

74.75.76.2

77.78.79.正交

80.无关

81.82.2,4

83.84.85.4,7,16

86.正交

87.n

88.相等

89.正交

90.91.正交

92.正交

93.正

94.负

95.正定

96.负定

97.98.99.100.k大于2

三．判断题：

1.×

2.×

3.√

4.×

5.√

6.√

7.×

8.×

9.√

10.×

11.√

12.√

13.×

14.√

15.√

16.√

17.×

18.×

19.√

20.√

21.√

22.√

23.×

24.√

25.√

26.√

27.×

28.√

29.×

30.×

31.×

32.√

33.√

34.×

35.×

36.×

37.×

38.×

39.×

40.√

41.√

42.√

43.√

44.√

45.√

46.√

47.×

48.×

49.√

50.√

51.√

52.×

53.√

54.×

55.√

56.√

57.×

58.√

59.×

60.×

61.√

62.√

63.×

64.√

65.×

66.√

67.×

68.√

69.×

70.×

71.√

72.√

73.×

74.×

75.×

76.√

77.√

78.√

79.√

80.√

81.√

82.√

83.√

84.×

85.×

86.√

87.√

88.×

89.√

90.×

91.√

92.×

93.√

94.×

95.√

96.√

97.√

98.×

99.√

100.√

101.×

102.×

103.√

104.√

105.√

四．计算题：

1.－４

2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.或，且

23.24.相关

25.相关

26.或

27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.时有唯一解，时无解，时有无数组解

37.时有唯一解，时无解，时有无数组解

38.时有唯一解，且时无解，且时有无数组解

39.40.41.中一个为，其余为，或者都为

42.43.44.45.46.47.48.49.50.负定