2011年10月自学考试线性代数试题

第一篇：2011年10月自学考试线性代数试题

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全国2011年10月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

A表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则12A=（）

A.-1 B.14

C.1 4 D.1 2.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若AB,则必有（）A.C.x2x12x13x2x22x2，则方程f(x)0的根的个数为（）3x5B.D.3.设f(x)2x23x2A.0 C.2 T

B.1 D.3

T4.设A为n阶方阵，则下列结论中不正确的是（）．．．A.AA是对称矩阵 C.E+AT是对称矩阵

a1b15.设Aa2b1ab31a1b2a2b2a3b2B.AA是对称矩阵 D.A+AT是对称矩阵

a1b3a2b3，其中ai0,bi0,i1,2,3,则矩阵A的秩为（）a3b3A.0 C.2

B.1 D.3

*6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A的秩为（）

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A.0 C.3

B.2 D.4 7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（）A.-10 C.4

B.-4 D.10

28.设3阶方阵A的特征多项式为EA(2)(3)，则A=（）

A.-18 C.6

B.-6 D.18 x1x2x349.已知线性方程组x1ax2x33无解，则数a=（）2x2ax421A.12 B.0 C.12 D.1 22210.设二次型f(x1,x2,x3)2x13x23x32ax2x3正定，则数a的取值应满足（）

A.a＞9 C.-3＜a＜3

B.3≤a≤9 D.a≤-3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

302342，其第3行各元素的代数余子式之和为____________.2b,则AB____________.b11.设行列式D25aA12.设aab,Bab13设线性无关的向量组1,2,…，r可由向量组1,2,…,s线性表示，则r与s的关系为____________.114.设A是4×3矩阵且r(A)2,B0102030，则r(AB)= ____________.315.已知向量组1(1,2,1),2(2,0,t),3(0,4,5)的秩为2，则数t=____________.16.设4元线性方程组Ax=b的三个解为α1，α2，α3，已知α1=(1,2,3,4)T, α2 +α3=（3，5，7，9）T，r(A)=3.则方程组自考网上培训班(http://net.thea.cn/zk/kc/)-精品课程在线免费试听 联展自考网(http://net.thea.cn/zk/ks/)-中国最好的自考辅导资料网站 的通解是____________.x1x2x3017.设方程组x1x2x30有非零解，且数λ＜0，则λ=____________.xxx0231218.设矩阵A041a1110有一个特征值2，对应的特征向量为x2，则数a=____________.23219.设3阶方阵A的秩为2，且A5A0,则A的全部特征值为____________.20.设实二次型f(x1,x2,x3)xTAx，已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为____________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

210111010314511013211.121.计算行列式D012的值.122.解矩阵方程01121102X140TTTT23.设向量1(1,1,1,3),2(1,3,5,1),3(3,2,1,p2),4(2,6,10,p),问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.2x1x2x3124.设3元线性方程组x1x2x32，4x5x5x1231（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）

125.求矩阵A0043424的全部特征值及其对应的全部特征向量.322226.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)x12x22x34x1x212x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题（本题6分）

27.设A是m×n实矩阵，n＜m，且线性方程组Ax=b有惟一解.证明AA是可逆矩阵.T自考网上培训班(http://net.thea.cn/zk/kc/)-精品课程在线免费试听

第二篇：2010年1月自学考试线性代数试题

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全国2010年1月高等教育自学考试

线性代数试题 课程代码：02198

说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，R（A）表示矩阵A的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

xy01z31,则行列式12x4312y012z111.设行列式41（）

A.23 B.1 D.3-1C.2

82.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）=（）A.ABC C.C-1A-1B-1-1-1-

1B.CBA D.A-1C-1B-1

-1-1-13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4），如果|A|=2，则|-2A|=（）A.-32 C.4 4.设方阵A满足A5=E，则必有（）A.A=E C.|A|=1

B.A=-E D.|A|=-1 B.-4 D.32 5.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（）A.α1，α2，α3，α4一定线性无关 C.α1，α2，α3，α4一定线性相关

B.α1一定可由α2，α3，α4线性表出 D.α1，α2，α3一定线性无关

6.设A是4×6矩阵，R（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）

A.1 C.3 47.设A=56579B.2 D.4 23，则以下向量中是A的特征向量的是（）4A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T

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C.（1，1，0）T

18.设矩阵A=11131D.（1，0，-3）T

11的三个特征值分别为λ11，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 =

（）

A.4 C.6

B.5 D.7

229.三元二次型f（x1，x2，x3）=x124x1x26x1x34x212x2x39x3的矩阵为（）

1A.231C.2024636 966 91B.031D.2344636 930 9246241210.设矩阵A=A.a<2 C.a=6 132是正定矩阵，则a满足（）a

B.a=2 D.a>6

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

125739=_________.13

32-111.行列式4612.设方阵A满足A-2A+E=0，则（A-2E）=_________.52A=002100002100，则1113.设A-1=_________.14.设α=（1，1，-1），β=（-2，1，0），γ=（-1，-2，1），则3α-β+5γ=_________.15.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.a16.设线性方程组111a11x111x21有无穷多个解，则a=_________.ax32自考网上培训班(http://net.thea.cn/zk/kc/)-精品课程在线免费试听 联展自考网(http://net.thea.cn/zk/ks/)-中国最好的自考辅导资料网站

17.设A是m×n实矩阵，若R（ATA）=5，则R（A）=_________.18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.2220.二次型f(x1,x2,x3)4x23x34x1x24x1x38x2x3的秩为_________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

135211313241321．计算行列式D=105.222.设A=453571-12，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A.323.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.（1）求该向量组的一个最大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该最大线性无关组的线性组合.x1x22x4024.求齐次线性方程组4x1x2x3x40的基础解系及其结构解.3xxx01233025.设矩阵A=42122-10，求可逆方阵P，使PAP为对角矩阵.32226.已知二次型f(x1,x2,x3)5x125x2cx32x1x26x1x36x2x3的秩为2，求参数c.四、证明题（本大题6分）

27．设方阵A与方阵B相似，证明：对任意正整数m，Am与Bm相似.自考网上培训班(http://net.thea.cn/zk/kc/)-精品课程在线免费试听

第三篇：全国2003年10月高等教育自学考试线性代数试题

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http://www.xiexiebang.com 全国2003年10月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码：02198

试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。a11.设矩阵Aa2a3b1b2b3c1a2c2,Ba1ac33b2b1b3c2010c1,P100,则必有（）

001c3A.PA=B

C.AP=B

1112x

B.P2A=B

2D.AP=B 2.设f(x)11x11,则方程f(x)=0的全部根为（）

A.-1，0

B.0，1

C.1，2

D.2，3 3.设非齐次线性方程组Ax=b有n个未知数，m个方程，且秩（A）=r，则下列命题正确的是（）

A.当r=m时方程组有解

B.当r=n时方程组有唯一解 D.当r

x1x2x304.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为（）

2x2x3x40A.1

B.2

C.3

D.4

115.若方阵A与对角矩阵D=6

相似，则A=（）1A.A

B.-E 6.若向量组（I）：α1，α2,…，αA.s

C.t

C.E

D.6E

（II）：β1，β2，…，βt线性表示，则（）s可由向量组

B.s=t

D.s, t的大小关系不能确定

D.A

*7.设A是n阶方阵，且A2=E，则必有A=（）

-1A.E

B.-E

C.A 8.下列矩阵为正交矩阵的是（）

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http://www.xiexiebang.com 20.二次型f(x1,x2)= x1x2的负惯性指数是__________.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1121.设矩阵A=11111111111126，求（1）A；（2）A.11

1a11a11111b11111b22.计算行列式111

1223.求矩阵A=2324131203062326的秩.34

24.设矩阵X满足矩阵方程

1214X07112112240101, 1求X.2x14x25x3125.λ取何值时，线性方程组3x16x24x32 有解？在有解时求出通解.4x8x3x231

26.设矩阵A=

11110027.用施密特正交化方法，化线性无关向量组α1=，α2= ，α3=为正交向量组.010001a3b2b1,求a, b.有特征值1，相应的特征向量为2a128.用配方法化二次型f(x1,x2,x3)= x1x2+ x1x3为标准形，并写出相应的满秩线性变换.

第四篇：全国2004年1月高等教育自学考试线性代数试题

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线性代数试题

课程代码：02198

*试卷说明：A表示矩阵A的转置矩阵，E是单位矩阵，A是方阵A的伴随矩阵。

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共20分)T1251.设行列式D=132=0，则a=().25aA.2 B.3 C.-2 D.-3

T2.设A是k×l矩阵，B是m×n矩阵，如果ACB有意义，则矩阵C的阶数为().A.k×m B.k×n C.m×l D.l×m 3.设A、B均为n阶矩阵，下列各式恒成立的是().TTTA.AB=BA B.(AB)=BA

22222C.(A+B)=A+2AB+B

D.(A+B)(A-B)=A-B 4.A为n阶方阵，下面各项正确的是().A.|-A|=-|A| B.若|A|≠0,则AX=0有非零解

2C.若A=A,则A=E D.若秩(A)k B.秩(A)≥k C.秩(A)=k D.秩(A)≤k 6.设A、B为同阶方阵，则下面各项正确的是().A.若|AB|=0，则|A|=0或|B|=0 B.若AB=0, 则A=0或B=0 22-1-1-1C.A-B=(A-B)(A+B)

D.若A、B均可逆，则(AB)=AB kxkyz0 7.当k满足()时，2xkyz0 只有零解.kx-2yz0A.k=2或k=-2 B.k≠2 C.k≠－2 D.k≠2且k≠－2 8.设A为n阶可逆阵，则下列()恒成立.-1-1-1TT-1A.(2A)=2A B.(2A)=(2A)

-1-1TT-1-1TT-1-1-1TC.［(A)］=［(A)］ D.［(A)］=［(A)］

9.设A是n阶方阵，则A能与n阶对角阵相似的充要条件是().A.A是对角阵

B.A有n个互不相同的特征向量

C.A有n个线性无关的特征向量 D.A有n个互不相同的特征值

22T10.二次型f(x1,x2)=x1+2x1x2+3x2=xAx,则二次型的矩阵表示式中的A为().12101131A. B.C.D.03231311 

二、填空题(每小题2分，共28分)

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http://www.xiexiebang.com 4.求向量组α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7)的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出.5.求方程组的通解

x1x23x3x41 3x1x23x34x44

x5x9x8x02341122，求A的特征值及对应的特征向量.2126.设A=2217.用配方法将二次型f(x1,x2,x3)=x1+4x1x2-3x2x3化为标准型.四、证明题(每小题5分，共10分)21.设n阶方阵A满足A-A-2E=0,证明A和E-A可逆.2.设A为n阶方阵，λ1,λ2是A的两个不同的特征值，而α1,α2是分别对应于λ1,λ2的特征向量，证明α1,α2线性无关.2

第五篇：线性代数历年考试试题

东 北 大 学 考 试 试 卷（A卷）2006-2007学年第2学期课程名称：线性代数

一单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

1.设1,2,3,1,2都是四维列向量，且四阶行列式|1,2,3,1|m，|1,2,2,3|n，则四阶行列式|3,2,1，(12)|等于 [ ].(A)mn(B)(mn)(C)nm(D)mn

2.设n阶矩阵A，B，C满足ABCE，则下列一定正确的是 [ ].(A)ACBE(B)BACE(C)CBAE(D)CABE

3.向量组1,2,,r线性相关的充分必要条件是 [ ].(A)向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示；(B)向量组中任一向量都可由其它向量线性表示；(C)向量组中任一向量都不能由其它向量线性表示；(D)向量组中至少有一个向量不能由其它向量线性表示；

4.设1,2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，1,2是其导出组Ax0的一个基础解系，则线性方程组Axb的通解可表示为 [ ].11(12)k11k2(122)(12)k11k2(12)22(A)(B)

(C)(12)k11k22(D)(12)k11k22

5.设n阶矩阵A与B相似，则下列不正确的是 [ ].22(A)AB(B)AEBE(C)AEBE(D)A与B相似

二填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分；将正确答案填在题中括号内。）

2AB1.设A,B都是n阶矩阵，且|A|=2,|B|3，则

1=()。

101aA11a0002的秩R(A)2,则a()。2.设矩阵110212122的过渡矩阵 R3.从向量空间的基，到基，1111为()。

4.设R(A)2，且线性方程组Axb无解，则R(Ab)()。

222f(x,x,x)x2x3x1232tx1x2是正定的，则t满足条件()。5.设二次型1231

2三、计算行列式（10分）D342341341241 23230

1四、设A120，且ABA6ABA，求矩阵B（10分）.003TTTT(1,0,1,1)(1,1,1,1)(1,2,3,1)(1,3,5,1)312

4五、讨论向量组，,的线性相关性，并求其秩和一个极大线性无关组(10分)。六为何值时线性方程组：

x1x2x3x412xx3x2x21234x14x25x43x13x25x35x43

有解？在有解时求该方程组的通解（10分）。设V是RV22上所有对称矩阵组成的线性空间，试求出V的一组基，并求

1212A21在此组基下的矩阵(10分)。2122f(x1,x2,x3)2x12x2x32x2x3化成标准形，并说明上线性变换(A)

八、求一正交变换，将二次型f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面(10分)。

线性代数试题 2008.5

一、计算下列各题(每小题5分, 共30分)

1、设1,2,,都是3维列向量，且行列式|A||1,22,|a，|B||2,1,|b，求行列式C|1,22,|.100*1A2、设的逆矩阵A220, 求A的伴随矩阵A.333TTTT(1,1,3,2)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,0,1,2)31243、设，，求向量组1,2,3,4的秩和一个极大线性无关向量组。

111x11

4、已知线性方程组211x22有解，但解不唯一，求a,b的值。

1a1xb3T100122(A)AR

5、求线性空间的线性变换在基E11,E120000，0000TA,下的矩阵，其中是A的转置矩阵。E21E221001222fxx5x2tx1x22x1x34x2x3是正定二次型。123t6、问为何值时，二次型1a23412a34123a4234a

二、(10分)计算行列式

1三、(10分)求解下面矩阵方程中的矩阵X

010100121100X011102001001134

x1x3x42xx2xx13

4四、(10分)求线性方程组12的通解，并用对应齐次线性方程组基础2x1x2x32x433x1x23x45解系表示通解。

1a1300

五、(10分)已知矩阵Aab0与B030相似，求a,b的值.411001222f(x,x,x)2xxx2x2x3为标准形 xQy12312

3六、12分)求出正交变换，使化二次型

七、(8分)记R是R上所有23矩阵，按矩阵加法、数与矩阵乘法构成的R上的线0Vx3性空间，集合2323x10x2xxx0,x,x,x,xR1241234x4，证明：V是R的线性子空间，并求V的一组基和维数。

八、（10分）证明题：

（1）设向量组1,2,,s线性无关，向量组1,2,,s,线性相关，证明向量可由向量组1,2,,s线性表示且表示式唯一。（2）设A(aij)Ta1b(1,0,0)3311是实正交矩阵，且，向量，证明线性方程组Axb有唯一解xb。

东 北 大 学 期 末 考 试 试 卷2008-2009学年第1学期：线性代数

一、单项选择题（本题4小题，每小题3分，共12分；在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题中括号内）

1、设A,B都是n阶非零矩阵，且ABO，则必有（）.(A)AO或BO；(B)ABO；(C)A0或B0 ；(D)AB0.2、设A是n阶矩阵，A0An1，A是A的伴随矩阵，则

An*

A*=（）

(A)1；(B)；(C)

；(D)A.3、n阶矩阵A具有n个不同的特征值，是A与对角矩阵相似的（）

A 充分必要条件B充分但非必要条件C 必要但非充分条件D既非充分也非必要条件.4、设A是mn阶矩阵，B是nm阶矩阵，则齐次线性方程组(AB)x0（）A当nm时仅有零解B当nm时必有非零解C当mn时仅有零解D当mn时必有非零解

二、填空（本题6个小题，每小题3分，共18分；将正确的答案填在题中括号内）

1、设4阶矩阵A(,2,3,4)，B(,2,3,4)，其中,,2,3,4,均为 4维列向量，已知A4，B1，则AB（）.11111111AA511111111，则 

2、设



3、设P[ij(k)]表示把n阶单位矩阵的第j行的k倍加到第i行的得到的初等矩阵，则(P[ij(k)])1=（）..222f(x,x,x)3x3x9x10x1x212x1x312x2x3的秩是（）.1231234、已知二次型00B005、设矩阵003001020022，矩阵A与B相似，则R(AE)R(A3E)（）

1(A2)

16、设2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵3有一个特征值等于（）.423A110123，求矩阵B n

三、（10）设阶矩阵A与B满足条件ABA2B，已知矩阵

1333332333Dn33333333433333nx1x2kx34,2x1kx2x3k,xx2x431

2四、（10分）计算行列式

五、（12分）已知线性方程组

问k为何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？ 并求出有无穷多解时的通解.123，六、（12分）（1）设向量组1,2,3线性无关，证明向量组1,2,3TTTT(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),,1,0)，234(2,1也线性无关.（2）设1试判断该向量组的线性相关性，并给出其一个极大线性无关组。

七、（10分）设AR，记(1)S(A)是Rn×nn×nS(A)B:BRn×n，AB0，证明： 的一个子空间；(2)设秩(A)r，求S(A)的一组基和维数.222f3x3x6x8x1x24x1x34x2x3 12

3八、（16分）用正交变换化二次型

为标准形，给出所用的正交变换，并判断该二次型的正定性，给出判别的理由.