04184线性代数(经管类)
√
关于：
①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；
②线性无关；
③；
④；
⑤任意一个维向量都可以用线性表示.√
行列式的计算：
①
若都是方阵（不必同阶）,则
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：
√
逆矩阵的求法:
①
②
③
④
⑤
√
方阵的幂的性质：
√
设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.√
设的列向量为,的列向量为，的列向量为,√
用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；
用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√
两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：
√
矩阵方程的解法：设法化成当时,√
和同解（列向量个数相同）,则：
①
它们的极大无关组相对应,从而秩相等；
②
它们对应的部分组有一样的线性相关性；
③
它们有相同的内在线性关系.√
判断是的基础解系的条件：
①
线性无关；
②
是的解；
③
.①
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②
单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③
部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④
原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤
两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.⑥
向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.⑦
向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.⑧
维列向量组线性相关；
维列向量组线性无关.⑨
.⑩
若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.⑪
矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫
矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.向量组等价
和可以相互线性表示.记作：
矩阵等价
经过有限次初等变换化为.记作：
⑬
矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵与作为向量组等价
矩阵与等价.⑭
向量组可由向量组线性表示≤.⑮
向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.⑯
向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；
⑰
任一向量组和它的极大无关组等价.⑱
向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.⑲
若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳
若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；
若，的列向量线性无关,即：
线性无关.线性方程组的矩阵式
向量式
矩阵转置的性质：
矩阵可逆的性质：
伴随矩阵的性质：
线性方程组解的性质：
√
设为矩阵,若,则,从而一定有解.当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.是的上限.√
矩阵的秩的性质：
①
②
≤
③
≤
④
⑤
⑥≥
⑦
≤
⑧
⑨
⑩
且在矩阵乘法中有左消去律:
标准正交基
个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1..是单位向量
.√
内积的性质：
①
正定性：
②
对称性：
③
双线性：
施密特
线性无关,单位化：
正交矩阵
.√
是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基.√
正交矩阵的性质：①；
②；
③
是正交阵,则（或）也是正交阵；
④
两个正交阵之积仍是正交阵；
⑤
正交阵的行列式等于1或-1.的特征矩阵
.的特征多项式
.的特征方程
.√
上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.√
若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.√
√
若,则一定可分解为=、,从而的特征值为：,.√
若的全部特征值，是多项式,则:
①的全部特征值为；
②
当可逆时,的全部特征值为,的全部特征值为.√
√
与相似
（为可逆阵）
记为：
√
相似于对角阵的充要条件：恰有个线性无关的特征向量.这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.√
可对角化的充要条件：
为的重数.√
若阶矩阵有个互异的特征值,则与对角阵相似.与正交相似
（为正交矩阵）
√
相似矩阵的性质：①
若均可逆
②
③
（为整数）
④,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是关于的特征向量,是关于的特征向量.⑤
从而同时可逆或不可逆
⑥
⑦
√
数量矩阵只与自己相似.√
对称矩阵的性质：
①
特征值全是实数,特征向量是实向量；
②
与对角矩阵合同；
③
不同特征值的特征向量必定正交；
④
重特征值必定有个线性无关的特征向量；
⑤
必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,重数=）.可以相似对角化
与对角阵相似.记为：
（称是的相似标准型）
√
若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.√
设为对应于的线性无关的特征向量,则有：
.√
若，则：.√
若,则,.二次型
为对称矩阵
与合同
.记作：
（）
√
两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√
两个矩阵合同的充分条件是：
√
两个矩阵合同的必要条件是：
√
经过化为标准型.√
二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由
惟一确定的.√
当标准型中的系数为1，-1或0时,则为规范形
.√
实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√
任一实对称矩阵与惟一对角阵合同.√
用正交变换法化二次型为标准形:
①
求出的特征值、特征向量；
②
对个特征向量单位化、正交化；
③
构造（正交矩阵）,；
④
作变换,新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.正定二次型
不全为零，.正定矩阵
正定二次型对应的矩阵.√
合同变换不改变二次型的正定性.√
成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：
①
正惯性指数为；
②的特征值全大于；
③的所有顺序主子式全大于；
④
合同于，即存在可逆矩阵使；
⑤
存在可逆矩阵，使
（从而）；
⑥
存在正交矩阵，使
（大于）.√
成为正定矩阵的必要条件：；.
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