《线性代数》考试大纲

第一篇：《线性代数》考试大纲

课程名称：《线性代数》考试对象：09级本科

使用教材：《线性代数教程》，科学出版社，陆建华主编

一、课程要求：

二、课程考试内容及所占比重：

1、掌握行列式的相关概念、性质，熟练运用行列式的性质计算行列式，掌握化三角形法和

降价法这两种基本的计算行列式的方法，了解范德蒙德行列式，掌握代数余子式的性质，了解克拉默法则。

2、掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算律，特别是方阵、行列式混合运算律，能熟

练运用；掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法，利用逆矩阵的性质进行矩阵运算和证明；理解初等矩阵的概念及它们与矩阵初等变换的关系。能熟练运用逆矩阵的球阀解矩阵方程，熟练求出矩阵的秩，掌握求线性方程组的通解的方法。

3、理解n维向量的概念；掌握向量组的线性相关性、矩阵的秩等概念，并能熟练运用相关

性质定理判断和证明向量的相关性；熟练求向量组的极大无关组；掌握齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构；掌握非齐次线性方程组有解的条件及解的结构；能熟练地用初等变换方法求线性方程组的解及基础解系。

4、理解向量内积的定义，掌握线性无关向量组的正交化方法，理解正交矩阵的定义，掌握

其主要性质。

5、理解矩阵的特征值和特征向量的概念，掌握其求法并熟练运用其性质；理解相似矩阵的概念，掌握其基本性质，掌握矩阵可对角化的条件，熟练求得正交变换矩阵将是对称矩阵对角化。

6、理解二次型的定义，掌握二次型的两种表示方法并能互相转化；理解正定二次型和正定

矩阵的概念，能够判别二次型的正定性，了解有定性判别法。

各部分所占比重：

1、基本理论：70%

2、综合运用：30%

三、考试方法：闭卷、笔试

四、试题类型：选择题20%填空题24%计算题30%解答题20%证明题6%

五、成绩评定方式：成绩评定采取百分制：平时成绩占40%，笔试成绩占60%

第二篇：2012线性代数考试大纲

2012-2013学年《线性代数》教学及考试大纲

第一章行列式（9学时）

熟练掌握行列式按行（列）展开法则，并利用这一法则并结合行列式的六个性质会计算一般难度的行列式，熟悉范德蒙行列式，会用克拉默法则解含n个未知数n个方程的线性方程组。

注：性质2证明不讲,对换中只介绍概念、定理及推论，证明不讲。

第二章矩阵及其运算（9学时）

掌握矩阵的定义、线性变换与矩阵的关系及一些特殊的矩阵，熟练掌握矩阵 的运算规律，特别是矩阵的乘法。掌握方阵行列式的定义及运算规律，方阵的伴随阵的构造及其性质；熟练掌握方阵的逆阵的概念、逆阵存在的充要条件及求法；了解矩阵分块法及分块矩阵的运算规则。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（9学时）

熟练掌握矩阵的秩的定义、性质及求法，掌握矩阵的初等变换及其与初等方阵的关系，会利用初等行变换求行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、逆阵以及矩阵 方程；熟练掌握n元齐次线性方程组和n元非齐性线性方程组有解的充要条件，会求方程组的通解。

注：定理2证明不讲。

第四章向量组的线性相关性（12学时）

掌握n维向量的定义及向量组的线性运算；熟练掌握向量组的线性组合、线性相关、线性无关、等价的概念、性质及判定定理；熟练掌握矩阵的秩和向量组的秩两者之间的关系；掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的定义；熟练掌握齐次线性方程组的求解；掌握非齐次线性方程组解的性质、解的结构；熟练掌握求解非齐次线性方程组。了解向量空间的定义、维数及基的概念和有关性质；注：§5中只介绍向量空间的基本概念，基、r维向量空间、基变换公式、坐标变换公式和过渡矩阵不讲。

第五章 相似矩阵及二次型（9学时）

掌握向量的内积、长度、夹角的概念；熟练掌握正交向量组，向量空间的正交规范基的定义、性质及把基化为正交规范基的施密特正交化过程；熟练掌握方阵的特征多项式、特征值、特征向量的定义、性质和求法；掌握矩阵相似的定义及n阶方阵A与对角阵相似的充要条件；会用正交阵将n 阶实对称阵对角化。

注：举一用正交变化化二次型为标准型的例题

考题题型：填空题、选择题、计算题、证明题。

期中考试成绩占总成绩的20%，期未成绩占总成绩的70%，平时成绩占10%。

第三篇：线性代数考试要点

线性代数考试要点：

1、行列式（要求只要是4阶的行列式会求）

（1）会利用行列式的定义来计算行列式（包括逆序数的求法）；

（2）会利用行列式的性质来计算行列式；

（3）利用按行、列展开公式来求解行列式，包括按行、列展开公式的应用。

（4）会利用克拉默法则的推论讨论齐次线性方程组解的情况。

2、向量

（1）向量的基本运算；

（2）会判别向量组的线性相关性，掌握向量组线性相关性的性质；（证明题与选择题）

（3）会求出给定的一组向量组的极大线性无关组及其秩，并会应用相应的性质；（计算题）

（4）利用施密特正交化把一组线性无关的向量组化成标准正交组；

（5）会判别一个集合是否会向量空间。

3、矩阵

（1）会矩阵的基本运算，掌握矩阵运算中的性质；

（2）会求给定矩阵（3阶）的逆矩阵；

（3）给定一个等式，会用逆矩阵的定义来判别一个矩阵是否可逆，并会求出其逆矩阵；

（4）掌握逆矩阵的性质；

（5）掌握矩阵的初等变换，初等矩阵及其应用；

（6）会利用逆矩阵或矩阵的初等变换方法求解矩阵方程。

4、线性方程组

（1）会求解齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组（不带末知参数的）的一般解。

（2）定理4.1、4.2、4.5的应用。（选择题或判断题）

（3）齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构的性质（主要是选择题与判断题）。

5、相似矩阵及二次型

（1）给定一个3阶矩阵，会求出它的特征值与特征向量；

（2）给定一个3阶矩阵，会求出它的相似矩阵P，使得PAPB(对角阵)；

（3）掌握特征值的性质；

（4）掌握相似矩阵的性质；

（5）掌握正交矩阵的性质；

（6）掌握矩阵可以对角化的几个性质；

（7）给定一个二次型，会写出它所对应的对称矩阵；或者给定一个二次型，会写出它所对应的二次型；（填空题）

（8）会用配方法化二次型为标准型。

以上给的要点是A、B两份卷子的。此次题型分为判断题（10分）、选择题（15分）、填空题（15分）、简答题（60分），其中简答题中包括证明题。

此次的试卷出的题目很多来自书上和练习册，建议大定让学生要多做一下练习题（包括例题）。1

第四篇：线性代数考试要求09年

线性代数考试要求

第一章行列式

本章考查重点：行列式的定义、行列式的性质，解线性方程组的克莱姆法则，掌握行列式的常用计算方法。

本章试题类型：

（1）n阶行列式的定义、性质的运用；

（2）二阶、三阶、四阶行列式的计算或证明。

第二章矩阵及运算

本章考查重点：矩阵的线性运算、乘法、转置、幂和方阵的行列式等运算及其规律，逆

矩阵的概念与性质，矩阵可逆的充分必要条件。

本章试题类型：

（1）利用矩阵的运算规律进行相应的运算；

（2）利用逆矩阵解矩阵方程。

（3）会证明矩阵可逆。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

本章考查重点：矩阵的初等变换，矩阵的秩，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，非齐次线性方程组有解的充分必要条件，用初等变换解线性方程组。

本章试题类型：

（1）利用矩阵的初等行变换求矩阵的秩；

（2）利用矩阵的初等行变换求逆矩阵；

（3）利用矩阵的初等行变换解线性方程组。

（4）线性方程组解的判定。

第四章向量组的线性相关性

本章考查重点：向量的线性组合和线性表示，向量组的线性相关与线性无关及有关的性质，向量组的最大线性无关组与向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩的关系，等价向量

组，线性方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次

线性方程组的通解。

本章试题类型：

（1）向量组的线性相关与线性无关的判定或证明；

（2）求向量组的最大线性无关组与向量组的秩；

（3）求齐次线性方程组的基础解系和通解；

（4）求非齐次线性方程组的通解（参数不同取值与解的各种情况）。

第五章相似矩阵

本章考查重点：向量的内积和性质，线性无关向量组的正交规范化方法，规范正交基，正

交矩阵及其性质，方阵的特征值和特征向量的概念、性质和求法，相似矩阵的概念及

性质，矩阵可对角化的充分必要条件及相似对角矩阵，实对称矩阵的特征值、特征

向量及相似对角矩阵。了解二次型的概念并掌握其矩阵表示及正定性的概念与性质。

本章试题类型：

（1）会求向量的内积、长度，判别正交向量、正交矩阵；

（2）求方阵的特征值和特征向量；

（3）能将对称矩阵对角化。

（4）会判定二次型及实对称矩阵的正定性。

第五篇：线性代数历年考试试题

东 北 大 学 考 试 试 卷（A卷）2006-2007学年第2学期课程名称：线性代数

一单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

1.设1,2,3,1,2都是四维列向量，且四阶行列式|1,2,3,1|m，|1,2,2,3|n，则四阶行列式|3,2,1，(12)|等于 [ ].(A)mn(B)(mn)(C)nm(D)mn

2.设n阶矩阵A，B，C满足ABCE，则下列一定正确的是 [ ].(A)ACBE(B)BACE(C)CBAE(D)CABE

3.向量组1,2,,r线性相关的充分必要条件是 [ ].(A)向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示；(B)向量组中任一向量都可由其它向量线性表示；(C)向量组中任一向量都不能由其它向量线性表示；(D)向量组中至少有一个向量不能由其它向量线性表示；

4.设1,2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，1,2是其导出组Ax0的一个基础解系，则线性方程组Axb的通解可表示为 [ ].11(12)k11k2(122)(12)k11k2(12)22(A)(B)

(C)(12)k11k22(D)(12)k11k22

5.设n阶矩阵A与B相似，则下列不正确的是 [ ].22(A)AB(B)AEBE(C)AEBE(D)A与B相似

二填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分；将正确答案填在题中括号内。）

2AB1.设A,B都是n阶矩阵，且|A|=2,|B|3，则

1=()。

101aA11a0002的秩R(A)2,则a()。2.设矩阵110212122的过渡矩阵 R3.从向量空间的基，到基，1111为()。

4.设R(A)2，且线性方程组Axb无解，则R(Ab)()。

222f(x,x,x)x2x3x1232tx1x2是正定的，则t满足条件()。5.设二次型1231

2三、计算行列式（10分）D342341341241 23230

1四、设A120，且ABA6ABA，求矩阵B（10分）.003TTTT(1,0,1,1)(1,1,1,1)(1,2,3,1)(1,3,5,1)312

4五、讨论向量组，,的线性相关性，并求其秩和一个极大线性无关组(10分)。六为何值时线性方程组：

x1x2x3x412xx3x2x21234x14x25x43x13x25x35x43

有解？在有解时求该方程组的通解（10分）。设V是RV22上所有对称矩阵组成的线性空间，试求出V的一组基，并求

1212A21在此组基下的矩阵(10分)。2122f(x1,x2,x3)2x12x2x32x2x3化成标准形，并说明上线性变换(A)

八、求一正交变换，将二次型f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面(10分)。

线性代数试题 2008.5

一、计算下列各题(每小题5分, 共30分)

1、设1,2,,都是3维列向量，且行列式|A||1,22,|a，|B||2,1,|b，求行列式C|1,22,|.100*1A2、设的逆矩阵A220, 求A的伴随矩阵A.333TTTT(1,1,3,2)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,0,1,2)31243、设，，求向量组1,2,3,4的秩和一个极大线性无关向量组。

111x11

4、已知线性方程组211x22有解，但解不唯一，求a,b的值。

1a1xb3T100122(A)AR

5、求线性空间的线性变换在基E11,E120000，0000TA,下的矩阵，其中是A的转置矩阵。E21E221001222fxx5x2tx1x22x1x34x2x3是正定二次型。123t6、问为何值时，二次型1a23412a34123a4234a

二、(10分)计算行列式

1三、(10分)求解下面矩阵方程中的矩阵X

010100121100X011102001001134

x1x3x42xx2xx13

4四、(10分)求线性方程组12的通解，并用对应齐次线性方程组基础2x1x2x32x433x1x23x45解系表示通解。

1a1300

五、(10分)已知矩阵Aab0与B030相似，求a,b的值.411001222f(x,x,x)2xxx2x2x3为标准形 xQy12312

3六、12分)求出正交变换，使化二次型

七、(8分)记R是R上所有23矩阵，按矩阵加法、数与矩阵乘法构成的R上的线0Vx3性空间，集合2323x10x2xxx0,x,x,x,xR1241234x4，证明：V是R的线性子空间，并求V的一组基和维数。

八、（10分）证明题：

（1）设向量组1,2,,s线性无关，向量组1,2,,s,线性相关，证明向量可由向量组1,2,,s线性表示且表示式唯一。（2）设A(aij)Ta1b(1,0,0)3311是实正交矩阵，且，向量，证明线性方程组Axb有唯一解xb。

东 北 大 学 期 末 考 试 试 卷2008-2009学年第1学期：线性代数

一、单项选择题（本题4小题，每小题3分，共12分；在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题中括号内）

1、设A,B都是n阶非零矩阵，且ABO，则必有（）.(A)AO或BO；(B)ABO；(C)A0或B0 ；(D)AB0.2、设A是n阶矩阵，A0An1，A是A的伴随矩阵，则

An*

A*=（）

(A)1；(B)；(C)

；(D)A.3、n阶矩阵A具有n个不同的特征值，是A与对角矩阵相似的（）

A 充分必要条件B充分但非必要条件C 必要但非充分条件D既非充分也非必要条件.4、设A是mn阶矩阵，B是nm阶矩阵，则齐次线性方程组(AB)x0（）A当nm时仅有零解B当nm时必有非零解C当mn时仅有零解D当mn时必有非零解

二、填空（本题6个小题，每小题3分，共18分；将正确的答案填在题中括号内）

1、设4阶矩阵A(,2,3,4)，B(,2,3,4)，其中,,2,3,4,均为 4维列向量，已知A4，B1，则AB（）.11111111AA511111111，则 

2、设



3、设P[ij(k)]表示把n阶单位矩阵的第j行的k倍加到第i行的得到的初等矩阵，则(P[ij(k)])1=（）..222f(x,x,x)3x3x9x10x1x212x1x312x2x3的秩是（）.1231234、已知二次型00B005、设矩阵003001020022，矩阵A与B相似，则R(AE)R(A3E)（）

1(A2)

16、设2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵3有一个特征值等于（）.423A110123，求矩阵B n

三、（10）设阶矩阵A与B满足条件ABA2B，已知矩阵

1333332333Dn33333333433333nx1x2kx34,2x1kx2x3k,xx2x431

2四、（10分）计算行列式

五、（12分）已知线性方程组

问k为何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？ 并求出有无穷多解时的通解.123，六、（12分）（1）设向量组1,2,3线性无关，证明向量组1,2,3TTTT(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),,1,0)，234(2,1也线性无关.（2）设1试判断该向量组的线性相关性，并给出其一个极大线性无关组。

七、（10分）设AR，记(1)S(A)是Rn×nn×nS(A)B:BRn×n，AB0，证明： 的一个子空间；(2)设秩(A)r，求S(A)的一组基和维数.222f3x3x6x8x1x24x1x34x2x3 12

3八、（16分）用正交变换化二次型

为标准形，给出所用的正交变换，并判断该二次型的正定性，给出判别的理由.