线性代数考试复习提纲、知识点、例题

第一篇：线性代数考试复习提纲、知识点、例题

线性代数考试复习提纲、知识点、例题

一、行列式的计算（重点考四阶行列式）

1、利用行列式的性质化成三角行列式

行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】

2、行列式按行（列）展开定理降阶

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘

n ,积之和，即Dai1Ai1ai2Ai2...ainAin

i1,2,...n , Da1iA1Ai2...aniAni

i1,2,...iai222404135例

1、计算行列式

312320

51二、解矩阵方程

矩阵方程的标准形式：AXB

XAB

AXBC

111若系数矩阵可逆，则XA1B

XBA

XACB

切记不能写成XA1B1C或X求逆矩阵的方法：

C AB1、待定系数法ABE(或BAE)

2、伴随矩阵法A11A

A其中A叫做A的伴随矩阵，它是A的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。A11AA12...A1nA21...A22...A2nAn1...An2 .........Ann初等行变换EA1

3、初等变换法AE例

2、解矩阵方程31561416X 527891001011111B20例

3、解矩阵方程 XAXB，其中 A

 10153

三、解齐次或非齐次线性方程组

设Aaijmn，n元齐次线性方程组AX0有非零解r(A)n

n元齐次线性方程组AX0只有零解r(A)n。

当mn时，n元齐次线性方程组AX0只有零解A0。

当mn时，n元齐次线性方程组AX0有非零解A0。

当mn时，齐次线性方程组一定有非零解。定义：设齐次线性方程组AX0的解1,...,t满足：（1）1,...,t线性无关，AX0的每一个解都可以由1,...,t线性表示。（2）

则1,...,t叫做AX0的基础解系。

定理

1、设Amn，齐次线性方程组AX0，若r(A)rn，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于nr。

齐次线性方程组的通解xk11...knrnr

k1,...kn,rR 设Aaijmn，n元非齐次线性方程组AXB有解r(A)r(A)。

唯一解r(A)r(A)n。

无数解r(A)r(A)n。

无解r(A)r(A)。

非齐次线性方程组的通解xk11...knrnr，k1,...kn,rR

x1x22x3x40例

4、求齐次线性方程组2x1x2x3x40的通解

2x2xx2x01234x1x23x3x41例

5、求非齐次线性方程组3x1x23x34x44的通解。

x5x9x8x0234

1四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论

xyz0例

6、当为何值时，齐次线性方程组xyz0有非零解，并求解。

2xyz02x1x2x32例

7、已知线性方程组x12x2x3，问当为何值时，它有唯一

xx2x2312解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。

五、向量组的线性相关性

1,2,...,s线性相关1,2,...,s(s2)中至少存在一个向量能由其余

向量线性表示。

存在不全为0的数k1,k2,...,ks使得k11k22..kss0。

k11列行k21,2,...,s0有非零解

k1,k2,...,ks20有非零解

......kssk1k///20有非零解

1,2,...,s...ksr1,2,...,ss

r1/,2/,...,s/s

1,2,...,s线性无关1,2,...,s(s2)中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。

若k11k22..kss0，则k1k2...ks0。

k11列行k

21,2,...,s0只有零解

k1,k2,...,ks20只有零解

......kssk1k///2,,...,0

r1,2,...,ss

12s...ks///

r1,2,...,ss

特殊的，n个n维向量1,2,...,n线性相关1,2,...,n0或

12...0。

n12...n个n维向量1,2,...,n线性无关1,2,...,n0或

0。

n例

8、已知向量组1t,2,1，22,t,0，31,1,1，讨论t使该向量组（1）线性相关

（2）线性无关

六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示

设向量组A:1,2,...,s，若从A中选出r个向量构成向量组

A0:i1,i2,...,ir满足：

（1）A0线性无关

A中的每一个向量都能由A0线性表示，（2）

条件（2）换一句话说A的任意r1个向量（若有的话）都线性相关，或者说从A中向A0任意添加一个向量（若有的话），所得的向量组都线性相关。

则A0叫做A的极大线性无关向量组，简称极大无关组。向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩，记作r1,2,...,sr 求向量组的秩的方法：（1）扩充法

12（2）子式法

1,2,...,mnm ...mmn最高阶非0子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组。

（3）初等变换法

同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。例

9、设向量组

1(1,2,1,3),2(4,1,5,6),3(1,3,4,7),4(2,1,2,3)

求（1）向量组的秩；

（2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大线性无关组线性表示。

七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题

P1APB

相似矩阵的性质:

1、相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式，迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。

2、相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。

3、相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。

4、若A与B相似，则Ak与Bk相似，kN，则(A)与(B)相似。

Bk(P1AP)kP1APP1AP...P1APP1AkP

12相似 An与nAn有n个线性无关的特征向量p1,p2,...,pn，且以它们为列向量组的矩阵P使P1AP，1,2,...,n分别为与p1,p2,...,pn对应的An的特征值。

若An有n个互不相等的特征值1,2,...,n，则An一定与12相似。nAn与相似对应于An的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。

nr(EA)k

其中k为的重数

1245002x2B0y0例

10、设矩阵A与相似 004421（1）求x与y；

（2）求可逆矩阵P，使P1APB。

001例

11、设A11a，问a为何值时，矩阵A能相似对角化。

100 例

12、设三阶矩阵A的特征值为11，22，33，对应的特征向量依次为11,1,1，21,2,4，31,3,9，求矩阵A。

例

13、设三阶实对称矩阵A的特征向值1,1,1，与特征值1对应的特征向量为11,1,1，求A。

///

八、化二次型为标准型，并求所用线性变换的矩阵

22例

14、化二次型f(x1,x2,x3)x15x26x234x1x26x1x310x2x为标准3型，并求所用可逆线性变换的矩阵。

例

15、化二次型f(x1,x2,x3)2x1x22x1x36x2x3为标准形，并求所用可逆线性变换的矩阵。

第二篇：线性代数复习提纲1

线性代数复习重点

第一章． 行列式

1.排列的逆序数

2.对角线法则

3.具体数字行列式的计算（行列式的性质、展开定理）

4.余子式、代数余子式的线性组合的计算

5.特殊行列式（对角、三角、对称、反对称、范德蒙）

6.Cramer法则

第二章． 矩阵

1.矩阵的基本运算（转置、加法、数乘、乘法、方阵的幂、方阵的行列式、方阵的伴随、方阵的逆）及其运算性质

2.矩阵方程

3.具体数字矩阵求逆的三种方法（公式法、初等变换法、分块矩阵）

4.抽象矩阵证明可逆并求逆

5.初等矩阵与初等变换的关系

6.化行阶梯形、行最简形

7.求矩阵的秩（不带参数和带参数）

8.秩的性质（特别是乘积的秩、伴随的秩）

第三章． 向量组

1． 线性组合的概念和判断（带参数，不带参数）

2． 线性相关、无关的概念的判断（带参数，不带参数，注意有多种判断方法）

3． 线性相关、无关与线性组合的关系

4． 向量组与向量组之间的线性关系

5． 求向量组的秩和一个极大无关组

第四章． 线性方程组

1． 线性方程组解的判断

2． 解的性质（齐次，非齐次）

3． 齐次方程组的基础解系及通解

4． 非齐次方程组的通解

第五章． 相似矩阵

1． 向量的内积和正交性

2． 正交矩阵的概念和性质

3． 求特征值、特征向量

4． 特征值、特征向量的性质

5． 已知特征值求行列式

6． 相似对角化的判断

7． 实对称矩阵的特征的特殊性

第六章． 二次型

1． 二次型的矩阵

2． 二次型化标准形（配方法、对称变换法（合同变换法））

3． 正定二次型和正定矩阵的判断（多种方法）

第三篇：matlab线性代数例题

《数学实验》在线习题3 Matlab程序设计部分 一.分析向量

组

a1[1T2a23],T[a31T2，0],a4[121]T，a5[246]T的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其余向理表示成最大无关组的线性组合。

解，a1=[1 2 3]';

a2=[-1-2 0]';a3=[0 0 1]';a4=[1-2-1]';a5=[2 4 6]';A=[a1,a2,a3,a4,a5];[R,S]=rref(A)r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0

S =

4

r =

线性相关 a1,a2,a3,a4,a5 最大无关组是a1,a2,a4 其余向量的线性组合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二.计算行列式

x13D4x23x33x43x12y1x22y2x32y3x42y4x1y12x2y22x3y32x4y42y13y23y3323的值。其中1解，syms x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 xxxy43

x42357,y1y2y3y44567。

D=[x1^3 x1^2*y1 x1*y1^2 y1^3;x2^3 x2^2*y2 x2*y2^2 y2^3;x3^3 x3^2*y3 x3*y3^2 y3^3;x4^3 x4^2*y4 x4*y4^2 y4^3];d=det(D)x1=2;x2=3;x3=5;x4=7;y1=4;y2=5;y3=6;y4=7;eval(d)

d = ans =

153664 三.已知向量a1,1,0，b1,0,1，求向量a与b的夹角的度数。解，a=[1-1 0];b=[-1 0-1];

x=a.*b;x1=sum(x,2);x2=norm(a);x3=norm(b);y=x1/(x2*x3)y1=acos(y)y =

-0.5000

y1 =

2.0944

四.已知线性方程组

clear 2x1x23x32x409xx14x2x112343x12x25x34x414x15x27x310x42，求系数矩阵的秩和方程组的通解。

a=[2-1 3 2;9-1 14 2;3 2 5-4;4 5 7-10];b=[0 1 1 2]';[R,s]=rref([a,b]);[m,n]=size(a);x0=zeros(n,1);r=length(s);x0(s,:)=R(1:r,end);

disp('非齐次线性方程组的特解为：')

x0

disp('对应的线性方程组的基础解系为：')x=null(a,'r')

非齐次线性方程组的特解为：

x0 =

0.1429 0.2857 0 0

对应的齐次线性方程组的基础解系：

x =

-1.5714 0-0.1429 2.0000 1.0000 0 0 1.0000 则方程组的通解为：

x1x2x412x2x322x3xxx0234五.求齐次方程组1的通解。

clear

a=[-1 1 0 1;0 2 1 0;2 3-1-1];b=[1 2 0]';

[R,s]=rref([a,b]);[m,n]=size(a);x0=zeros(n,1);r=length(s);

x0(s,:)=R(1:r,end);

disp('非齐次线性方程组的特解为：')x0

disp('对应的线性方程组的基础解系为：')x=null(a,'r')

非齐次线性方程组的特解为：

x0 =

-0.4286 0.5714 0.8571 0

对应的齐次线性方程组的基础解系：

x = 0.8571-0.1429 0.2857 1.0000

232A36112115，求正交矩阵P及对角形矩阵B，使P1APB。六.clear

a=[2 3-2;3 6 11;-2 11 5];[v,d]=eig(a)v =

-0.3684 0.9280 0.0562 0.6512 0.2144 0.7280-0.6635-0.3047 0.6833

d =

-6.9057 0 0 0 3.3500 0 0 0 16.5556

七.求下列向量的秩和最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表出：

11,2,1,324,1,5,631,3,4,7a1=[1 2 1 3]';a2=[4-1-5-6]';a3=[1-3-4-7]';A=[a1,a2,a3];[R,S]=rref(A)r=length(S)R =

1.0000 0-1.2222 0 1.0000 0.5556 0 0 0 0 0 0

S =

r =

最大线性无关组为：a1

a2

a3=-1.2222a1+0.5556a2 八.判断方程组否有解，如果有，求其通解：

x1x23x3x413x1x23x34x44x5x9x8x02341

clear

a=[1 2-3-1;3-1-3 4;1 5-9-8];b=[1 4 0]';[R,s]=rref([a,b]);[m,n]=size(a);x0=zeros(n,1);r=length(s);x0(s,:)=R(1:r,end);

disp('非齐次线性方程组的特解为：')x0

disp('对应的线性方程组的基础解系为：')x=null(a,'r')

非齐次线性方程组的特解为：

x0 =

1.5000

0

0.1667

0

对应的线性方程组的基础解系为：

x =

-2.5000

0

-1.1667

1.0000

a112，a2021，求两向量的点积（数量积）和叉积（向九.已知向量1量积），以及它们之间的夹角的大小。

a1=[1 1 2]';a2=[0 2 1]';

TTy1=norm(a1);y2=norm(a2);y3=dot(a1,a2);y=y3/(y2*y3);c=acos(y)c*180/pi

c =

1.1071

ans =

63.4349

十.计算行列式：

1x1y1D1x1y21x1y31x1y41x2y11x2y21x2y31x2y41x3y11x3y21x3y31x3y41x4y11x4y21x4y31x4y4 的值。其中x1x2x3x42357，y1y2syms x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4

D=[1+x1*y1 1+x1*y2 1+x1*y3 1+x1*y4;1+x2*y1 1+x2*y2 1+x2*y3 1+x2*y4;1+x3*y1 1+x3*y2 1+x3*y3 1+x3*y4;1+x4*y1 1+x4*y2 1+x4*y3 1+x4*y4];

x1=2;x2=3;x3=5;x4=7;y1=4;y2=5;y3=6;y4=7;d=det(D);eval(d)

ans =

0 十一.y3y44567。

a1122，a20215，a32051，分析向量组1TTTTa43386的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其余向量表示成最大无关组的线性组合。

a1=[1 1 2 2]';a2=[0 2 1 5]';a3=[2 0 5-1]';a4=[3 3 8 6]';A=[a1,a2,a3,a4];[R,S]=rref(A)r=length(S)R =

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 S =

r =

最大线性无关组为：a1 a2 a3;

a4=a1+a2+a3 十二.求解五阶方程组

注：在系数矩阵中没有数据的地方，矩阵元素均为零。

a=[4 1 0 0 0;1 4 1 0 0;0 1 4 1 0;0 0 1 4 1;0 0 0 1 4];b=[2 1 1 1 2]';inv(a)*b 41x12141x12141x31141x41142 x5

ans =

0.4808

0.0769

0.2115

0.0769

0.4808

第四篇：《线性代数》知识点归纳整理

《线性代数》知识点

归纳整理

学生

编

01、余子式与代数余子式

02、主对角线

03、转置行列式

04、行列式的性质

05、计算行列式

06、矩阵中未写出的元素

07、几类特殊的方阵

08、矩阵的运算规则

09、矩阵多项式

10、对称矩阵

11、矩阵的分块

12、矩阵的初等变换

13、矩阵等价

14、初等矩阵

15、行阶梯形矩阵

与

行最简形矩阵

16、逆矩阵

17、充分性与必要性的证明题

18、伴随矩阵

19、矩阵的标准形：

20、矩阵的秩：

21、矩阵的秩的一些定理、推论

22、线性方程组概念

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念

25、线性方程组的向量形式

26、线性相关

与

线性无关的概念

27、向量个数大于向量维数的向量组

必然线性相关

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系及其例题

29、线性表示

与

线性组合的概念

30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系其例题

31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理

32、最大线性无关组与向量组的秩

33、线性方程组解的结构

01、余子式与代数余子式

（1）设三阶行列式D＝，则

①元素，的余子式分别为：M11＝，M12＝，M13＝

对M11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式，这个

行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此类推。

②元素，的代数余子式分别为：A11＝(－1)1＋1M11，A12＝(－1)1＋2M12，A13＝(－1)1＋3M13

.对Aij的解释（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j

M

ij

.（N阶行列式以此类推）

（2）填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。比如说，作业P1第1题：

M31＝，A31＝(-1)3+1

（3）例题：课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题

02、主对角线

一个n阶方阵的主对角线，是所有第k行第k列元素的全体，k=1,2,3…

n，即从左上到右下的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。

03、转置行列式

即元素与元素的位置对调（i表示第i行，j表示第j列），比如说，与的位置对调、与的位置对调。

04、行列式的性质

详见课本P5-8（性质1.1.1~

1.1.7）

其中，性质1.1.7可以归纳为这个：

＋＋

…

＋

（i表示第i行，k表示第k列）

熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。

例题：作业P1第2题

05、计算行列式

（1）计算二阶行列式：

①方法（首选）：＝（即，左上角×右下角－右上角×左下角）

②方法：＝＝

例题：课本P14

（2）计算三阶行列式：

＝＝(－1)1＋1M11

＋(－1)1＋2M12

＋(－1)1＋3M13

N阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时方便计算.（r是row，即行。c是column，即列）

例题：课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题

（3）n阶上三角行列式（0元素全在左下角）与n阶下三角行列式（0元素全在右上角）：

D＝…（主对角线上元素的乘积）

例题：课本P10、作业P3第4小题

有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式

例题：课本P11

（4）范德蒙行列式：详见课本P12-13

（5）有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到

元素全为1的一行，方便化简行列式。

例题：作业P2第1小题、作业P2第2小题

06、矩阵中未写出的元素

课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为007、几类特殊的方阵

详见课本P30-32

（1）上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式

（2）对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0

（3）数量矩阵：主对角线上的元素都相同

（4）零矩阵：所有元素都为0，记作O

（5）单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E或En

（其行列式的值为1）

08、矩阵的运算规则

（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A的行数与矩阵B的行数相同；

矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同）：

①课本P32“A＋B”、“A－B”

②加法交换律：A＋B＝B＋A

③加法结合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C

（2）矩阵的乘法（基本规则详见课本P34阴影）：

①数与矩阵的乘法：

I.课本P33“kA”

II.＝kn（因为k只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式）

②同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：

×＝

描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为，则

A的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A＝×＋×

B的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即B＝×＋×

C的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即C＝×＋×

D的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即D＝×＋×.×＝

描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为，则

A的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A＝×＋×＋×

B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。

③数乘结合律：k（lA）＝（kl）A，（kA）B＝A（kB）＝k（AB）

④数乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA，k（A＋B）＝kA＋kB

⑤乘法结合律：（AB）C＝A（BC）

⑥乘法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC，（A＋B）C＝AC＋BC

⑦需注意的：

I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵

II.课本P34例题数乘的消去律、交换律不成立

III.一般来讲，（AB）k

≠

A

k

B

k，因为矩阵乘法不满足交换律

IV.课本P40习题第2题：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2

.当AB＝BA时，以上三个等式均成立

（3）矩阵的转置运算规律：

①

(AT)T＝A

②

(A±B)T＝A

T±B

T

③

(kA)T＝kAT

④

(AB)T＝B

TAT

⑤

(ABC)T＝CTB

TAT

⑥

(ABCD)T＝DTCTB

TAT

（4）同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（详见课本P46）

＝

（5）例题：课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1

大题、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业

P5第4大题

09、矩阵多项式

详见课本P3610、对称矩阵

（1）对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本P37）

（2）①同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵

②数

与

对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵

③对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵

11、矩阵的分块

线代老师说这部分的内容做了解即可。

详见课本P38-4012、矩阵的初等变换

三种行变换与三种列变换：详见课本P

例题：作业P6全部

13、矩阵等价

若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为AB14、初等矩阵

（1）是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。详见课本P48-49

（2）设A为m×n矩阵，则对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m阶初等矩阵；A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵.详见课本P50-51

（3）课本P51第3大题

15、行阶梯形矩阵

与

行最简形矩阵

（1）对任意一个非零矩阵，都可以通过若干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵

（2）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：

若在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行（台阶数即是非零行的行数），阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素，也就是非零行的第一个非零元素，则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上，若非零行的第一个非零元素为都为1，且这些非零元素所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。例题：课本P45、作业P6全部、课本P51第2大题

16、逆矩阵

（1）设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA＝E，则称方阵A是可逆的，并称B为A的逆矩阵.（由逆矩阵的定义可知，非方阵的矩阵不存在逆矩阵）

（2）如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的，并将A的逆矩阵记作A－1，AA－1＝E

（3）n阶方阵A可逆的充要条件为≠0，并且，当A可逆时，A－1＝

（证明详见课本P54）

例题：课本P59第1大题

（4）可逆矩阵也称为非奇异方阵（否则称为奇异方阵）

（5）性质：设A，B都是n阶的可逆方阵，常数k≠0，那么

①

(A－1)－1＝A

②

AT也可逆，并且(AT)-1＝(A-1)T

③

kA也可逆，并且

(kA)-1＝A-1

④

AB也可逆，并且(AB)

-1＝B-1A-1

⑤

A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1

⑥

AA-1＝E

AA-1＝E＝1

AA-1＝1

A-1＝

例题：课本P58例2.3.7、作业P7第1题

（6）分块对角矩阵的可逆性：课本P57

（7）由方阵等式求逆矩阵：课本P58例2.3.6

（8）单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的，即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵，而单位矩阵的行列式=1≠0可逆，所

以初等矩阵可逆）

（9）初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵

（10）任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵

（11）方阵A可逆的充要条件是：A可以表示为若干个初等矩阵的乘积（证明：课本P67）

（12）利用初等行变换求逆矩阵：A-1（例题：课本P68、课本P71）

（13）形如AX＝B的矩阵方程，当方阵A可逆时，有A-1

AX＝A-1B，即X＝A-1B.此时有：

矩阵方程的例题：课本P35、课本P69、课本P41第6大题、课本P56、课本P58、课本P59第3大题、课本P60第5大题、课本P60第7大题、课本P71第3大题

矩阵方程计算中易犯的错误：课本P56“注意不能写成……”

17、充分性与必要性的证明题

（1）必要性：由结论推出条件

（2）充分性：由条件推出结论

例题：课本P41第8大题、作业P5第5大题

18、伴随矩阵

（1）定义：课本P52

定义2.3.2

（2）设A为n阶方阵（n≥2），则AA*＝A*A＝En（证明详见课本P53-54）

（3）性质：（注意伴随矩阵是方阵）

①

A*＝A－1

②

(kA)*

＝

·(kA)-1

＝

k

n·A-1

＝

k

n

·A-1

＝

k

n-1A*（k≠0）

③

|A*|

＝

|

A－1

|

＝n·|

A－1|

＝

n·（因为存在A－1，所以≠0）＝

n-1

④

(A*)*

＝

(A－1)*

＝

|

A－1

|·(A－1)－1

＝

n

|

A－1|·(A－1)－1

＝

n·A

＝

n-2A

（因为AA－1

＝

E，所以A－1的逆矩阵是A，即(A－1)－1）

⑤

(AB)

*＝B*A*

⑥

(A*)-1＝(A-1)

*＝

（4）例题：课本P53、课本P55、课本P58、课本P60第6大题、作业P7第2题、作业P8全部

19、矩阵的标准形：

（1）定义：课本P61-62

（2）任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形

20、矩阵的秩：

（1）定义：课本P63

（2）性质：设A是m×n的矩阵，B是p×q的矩阵，则

①

若k是非零数，则R

(kA)＝R

(A)

②

R

(A)＝R

(AT)

③

等价矩阵有相同的秩，即若AB，则R

(A)＝R

(B)

④

0≤R

(Am×n)≤min

⑤

R

(AB)≤min

⑥

设A与B都是m×n矩阵，则R

(A＋B)≤R

(A)＋R

(B)

（3）n阶方阵A可逆的充要条件是：A的秩等于其阶数，即R

(A)＝n

（4）方阵A可逆的充要条件是：A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。（证明：P67）

（5）

设A是m×n矩阵，P、Q分别是m阶与n阶可逆方阵，则R

(A)＝R

(PA)＝R

(AQ)＝R

(PAQ)

（6）例题：课本P64、课本P66、课本P71、作业P7第3题、作业P9全部

21、矩阵的秩的一些定理、推论

线代老师说这部分的内容做了解即可。详见课本P7022、线性方程组概念

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。

线性方程组经过初等变换后不改变方程组的解。

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）

（1）定义：课本P81

（2）方程组的解集、方程组的通解、同解方程组：课本P81

（3）系数矩阵A、增广矩阵、矩阵式方程：课本P82

（4）矛盾方程组（方程组无解）：课本P85例题

（5）增广矩阵的最简阶梯形：课本P87

（6）系数矩阵的最简阶梯形：课本P87

（7）课本P87下面有注明：交换列只是交换两个未知量的位置，不改变方程组的解。为了方

便叙述，在解方程组时不用交换列。

（8）克莱姆法则：

①初步认知：

已知三元线性方程组，其系数行列式D＝.当D≠0时，其解为：x1＝，x2＝，x3＝.（其中D1＝，D2＝，D3＝）（Dn以此类推）

②定义：课本P15

③使用的两个前提条件：课本P18

④例题：课本P3、课本P16-17、课本P18、作业P3第7题

（9）解非齐次线性方程组（方程组施行初等变换实际上就是对增广矩阵施行初等行变换）例题：

课本P26、课本P42、课本P82、课本P84、课本P85、课本P86第1大题、课本P88、课本P91、作业P10第1题

（10）解齐次线性方程组例题：课本P17、课本P18、课本P85、课本P86、课本P90、课本

P91、作业P1第5题、作业P10第2题

（11）n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况：（R

(A)

不可能＞

R

()）

R

(A)

＜

R

()

无解

＜

n

有无穷多个解

R

(A)

＝

R

()

有解

＝

n

有唯一解

特别地，当A是

≠0

有唯一解

n阶方阵时，可

R

(A)

＜

R

()

无解

由行列式来判断

R

(A)

＝

R

()

有解

当＝0

有无穷多个解

例题：课本P86第2大题、课本P88、课本P92、作业P11第三题

（12）n元齐次线性方程组AX＝O的解的情况：（只有零解和非零解两种情况，有唯一解的充

要条件是只有零解，有无穷多个解的充要条件是有非零解）

R

(A)

＝

n

只有零解（有唯一解，为0）

R

(A)

＜

n

有非零解（有无穷多个解）

特别地，当A是n阶方阵

≠0

只有零解（有唯一解，为0）

时，可由行列式来判断

＝0

有非零解（有无穷多个解）

例题：课本P24、课本P90-91、作业P11全部

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念

详见课本P92-93

将列向量组的分量排成矩阵计算时，计算过程中只做行变换，不做列变换。

初等行变换与初等行列变换的使用情况：矩阵、线性方程组、向量涉及行变换；列变换只在矩

阵中用。（行列式的性质包括行与列的变换）

手写零向量时不必加箭头。

25、线性方程组的向量形式

详见课本P9326、线性相关

与

线性无关的概念

详见课本P93-94

例题：课本P101第6大题、作业P14第五大题

27、向量个数大于向量维数的向量组

必然线性相关

线代老师课上提到的结论。

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系及其例题

详见课本P94

定理3.3.1、定理3.3.2

例题：课本P94-95

例3.3.2、课本P101第3大题、课

22本P101第5大题、作业P12第3小题、作业P12第二大题、作业P13第三大题、作业P13第四大题

29、线性表示

与

线性组合的概念

详见课本P9530、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系其例题

详见课本P95-96

定理3.3.3

例题：课本P95-96

例3.3.431、线性相关（无关）与线性表示的3个定理

详见课本P96

定理3.3.4、课本P97定理3.3.5、课本P98定理3.3.632、最大线性无关组与向量组的秩

详见课本P98-100

定义3.3.5、定义3.3.6、定3.3.7

单位列向量，即“只有一个元素为1，且其余元素都为0”的一列向量（求最大线性无关组

用）

例题：课本P100

例3.3.5、课本P101第4大题、作业P14第六大题

33、线性方程组解的结构

看此内容之前，最好先复习下“n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况”与“n元齐次线性

方程组AX＝O的解的情况”。

（1）n元齐次线性方程组AX＝O解的结构

①

定理3.4.1：详见课本P101-102

②

定义3.4.1（并理解“基础解系、通解、结构式通解、向量式通解”）：详见课本P102

③

定理3.4.2：详见课本P102

④

解题步骤（“注”为补充说明）（以课本P104例3.4.1为例）：

（I）A

＝

…

…

注：往“行最简形矩阵”方向转化（因为在解方程组时不用列变换，所以一般没法

真正转化成行最简形矩阵，所以说“往……方向转化”）。

（II）得到同解方程组

注：由得到同解方程组

（III）∴

此方程组的一组解向量为：＝，＝，＝

注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1有的是0，一看便知

（IV）显然，线性无关。

注：根据课本P93-94

定义3.3.3

得出线性无关，注意，下面分别是：、、，令它们分别为、、，则显然＝0×＋0×，＝0×＋0×，＝0×＋0×，可想而知，线性无关。

（V）∴，为方程组的基础解系，方程组的通解为：k1＋k2＋k3（k1，k2，k3可取任意值）

注：根据课本P102

定义3.4.1

得出该方程组的通解。

⑤

其他例题：课本P109

第1大题、课本P109第3大题、课本P109第4大题、作业

P15第一大题第1小题、作业P15第一大题第3小题

（2）n元非齐次线性方程组AX＝b解的结构

①

导出方程组：非齐次线性方程组AX＝b对应的齐次线性方程组AX＝O（详见课本P105）

②

定理3.4.3：详见课本P105

③

定义3.4.4：详见课本P105

④

定义3.4.5：详见课本P105

⑤

课本P105

“上述定理表明，……（3.4.6）的形式”这段内容

⑥

解题步骤（“注”为补充说明，做题时不用写在卷上）（以课本P106例3.4.2为例）：

（I）＝

……

…

…

（II）得到同解方程组

注：由

得到同解方程组

（III）令＝0，得到原方程组的特解X0＝

注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1有的是0，一看便知。得到原方程组的特解即以下形式的常数部分。

（IV）导出方程组的同解方程为：

注：导出方程组，即非齐次线性方程组AX＝b对应的齐次线性方程组AX＝O，即步骤（III）“注”的“形式”的系数部分。

（V）令＝1，得到方程组的基础解系＝，则原方程组的通解为：

X0

＋

k（k可取任意值）

⑦

其他例题：

（I）课本P107

例3.4.3（之前先复习“n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况”）

要将含有参数的式子作为分母时，得注意该式子是否≠0

（II）课本P109

第2大题、作业P15第一大题第4小题、作业P15第二大题、作业P16第三大题、作业P15第一大题第2小题、作业P15第一大题第3小题

第五篇：《线性代数》考试大纲

课程名称：《线性代数》考试对象：09级本科

使用教材：《线性代数教程》，科学出版社，陆建华主编

一、课程要求：

二、课程考试内容及所占比重：

1、掌握行列式的相关概念、性质，熟练运用行列式的性质计算行列式，掌握化三角形法和

降价法这两种基本的计算行列式的方法，了解范德蒙德行列式，掌握代数余子式的性质，了解克拉默法则。

2、掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算律，特别是方阵、行列式混合运算律，能熟

练运用；掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法，利用逆矩阵的性质进行矩阵运算和证明；理解初等矩阵的概念及它们与矩阵初等变换的关系。能熟练运用逆矩阵的球阀解矩阵方程，熟练求出矩阵的秩，掌握求线性方程组的通解的方法。

3、理解n维向量的概念；掌握向量组的线性相关性、矩阵的秩等概念，并能熟练运用相关

性质定理判断和证明向量的相关性；熟练求向量组的极大无关组；掌握齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构；掌握非齐次线性方程组有解的条件及解的结构；能熟练地用初等变换方法求线性方程组的解及基础解系。

4、理解向量内积的定义，掌握线性无关向量组的正交化方法，理解正交矩阵的定义，掌握

其主要性质。

5、理解矩阵的特征值和特征向量的概念，掌握其求法并熟练运用其性质；理解相似矩阵的概念，掌握其基本性质，掌握矩阵可对角化的条件，熟练求得正交变换矩阵将是对称矩阵对角化。

6、理解二次型的定义，掌握二次型的两种表示方法并能互相转化；理解正定二次型和正定

矩阵的概念，能够判别二次型的正定性，了解有定性判别法。

各部分所占比重：

1、基本理论：70%

2、综合运用：30%

三、考试方法：闭卷、笔试

四、试题类型：选择题20%填空题24%计算题30%解答题20%证明题6%

五、成绩评定方式：成绩评定采取百分制：平时成绩占40%，笔试成绩占60%