2012线性代数考试大纲（大全）

第一篇：2012线性代数考试大纲（大全）

2012-2013学年《线性代数》教学及考试大纲

第一章行列式（9学时）

熟练掌握行列式按行（列）展开法则，并利用这一法则并结合行列式的六个性质会计算一般难度的行列式，熟悉范德蒙行列式，会用克拉默法则解含n个未知数n个方程的线性方程组。

注：性质2证明不讲,对换中只介绍概念、定理及推论，证明不讲。

第二章矩阵及其运算（9学时）

掌握矩阵的定义、线性变换与矩阵的关系及一些特殊的矩阵，熟练掌握矩阵 的运算规律，特别是矩阵的乘法。掌握方阵行列式的定义及运算规律，方阵的伴随阵的构造及其性质；熟练掌握方阵的逆阵的概念、逆阵存在的充要条件及求法；了解矩阵分块法及分块矩阵的运算规则。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（9学时）

熟练掌握矩阵的秩的定义、性质及求法，掌握矩阵的初等变换及其与初等方阵的关系，会利用初等行变换求行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、逆阵以及矩阵 方程；熟练掌握n元齐次线性方程组和n元非齐性线性方程组有解的充要条件，会求方程组的通解。

注：定理2证明不讲。

第四章向量组的线性相关性（12学时）

掌握n维向量的定义及向量组的线性运算；熟练掌握向量组的线性组合、线性相关、线性无关、等价的概念、性质及判定定理；熟练掌握矩阵的秩和向量组的秩两者之间的关系；掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的定义；熟练掌握齐次线性方程组的求解；掌握非齐次线性方程组解的性质、解的结构；熟练掌握求解非齐次线性方程组。了解向量空间的定义、维数及基的概念和有关性质；注：§5中只介绍向量空间的基本概念，基、r维向量空间、基变换公式、坐标变换公式和过渡矩阵不讲。

第五章 相似矩阵及二次型（9学时）

掌握向量的内积、长度、夹角的概念；熟练掌握正交向量组，向量空间的正交规范基的定义、性质及把基化为正交规范基的施密特正交化过程；熟练掌握方阵的特征多项式、特征值、特征向量的定义、性质和求法；掌握矩阵相似的定义及n阶方阵A与对角阵相似的充要条件；会用正交阵将n 阶实对称阵对角化。

注：举一用正交变化化二次型为标准型的例题

考题题型：填空题、选择题、计算题、证明题。

期中考试成绩占总成绩的20%，期未成绩占总成绩的70%，平时成绩占10%。

第二篇：《线性代数》考试大纲

课程名称：《线性代数》考试对象：09级本科

使用教材：《线性代数教程》，科学出版社，陆建华主编

一、课程要求：

二、课程考试内容及所占比重：

1、掌握行列式的相关概念、性质，熟练运用行列式的性质计算行列式，掌握化三角形法和

降价法这两种基本的计算行列式的方法，了解范德蒙德行列式，掌握代数余子式的性质，了解克拉默法则。

2、掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算律，特别是方阵、行列式混合运算律，能熟

练运用；掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法，利用逆矩阵的性质进行矩阵运算和证明；理解初等矩阵的概念及它们与矩阵初等变换的关系。能熟练运用逆矩阵的球阀解矩阵方程，熟练求出矩阵的秩，掌握求线性方程组的通解的方法。

3、理解n维向量的概念；掌握向量组的线性相关性、矩阵的秩等概念，并能熟练运用相关

性质定理判断和证明向量的相关性；熟练求向量组的极大无关组；掌握齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构；掌握非齐次线性方程组有解的条件及解的结构；能熟练地用初等变换方法求线性方程组的解及基础解系。

4、理解向量内积的定义，掌握线性无关向量组的正交化方法，理解正交矩阵的定义，掌握

其主要性质。

5、理解矩阵的特征值和特征向量的概念，掌握其求法并熟练运用其性质；理解相似矩阵的概念，掌握其基本性质，掌握矩阵可对角化的条件，熟练求得正交变换矩阵将是对称矩阵对角化。

6、理解二次型的定义，掌握二次型的两种表示方法并能互相转化；理解正定二次型和正定

矩阵的概念，能够判别二次型的正定性，了解有定性判别法。

各部分所占比重：

1、基本理论：70%

2、综合运用：30%

三、考试方法：闭卷、笔试

四、试题类型：选择题20%填空题24%计算题30%解答题20%证明题6%

五、成绩评定方式：成绩评定采取百分制：平时成绩占40%，笔试成绩占60%

第三篇：线性代数考试要点

线性代数考试要点：

1、行列式（要求只要是4阶的行列式会求）

（1）会利用行列式的定义来计算行列式（包括逆序数的求法）；

（2）会利用行列式的性质来计算行列式；

（3）利用按行、列展开公式来求解行列式，包括按行、列展开公式的应用。

（4）会利用克拉默法则的推论讨论齐次线性方程组解的情况。

2、向量

（1）向量的基本运算；

（2）会判别向量组的线性相关性，掌握向量组线性相关性的性质；（证明题与选择题）

（3）会求出给定的一组向量组的极大线性无关组及其秩，并会应用相应的性质；（计算题）

（4）利用施密特正交化把一组线性无关的向量组化成标准正交组；

（5）会判别一个集合是否会向量空间。

3、矩阵

（1）会矩阵的基本运算，掌握矩阵运算中的性质；

（2）会求给定矩阵（3阶）的逆矩阵；

（3）给定一个等式，会用逆矩阵的定义来判别一个矩阵是否可逆，并会求出其逆矩阵；

（4）掌握逆矩阵的性质；

（5）掌握矩阵的初等变换，初等矩阵及其应用；

（6）会利用逆矩阵或矩阵的初等变换方法求解矩阵方程。

4、线性方程组

（1）会求解齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组（不带末知参数的）的一般解。

（2）定理4.1、4.2、4.5的应用。（选择题或判断题）

（3）齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构的性质（主要是选择题与判断题）。

5、相似矩阵及二次型

（1）给定一个3阶矩阵，会求出它的特征值与特征向量；

（2）给定一个3阶矩阵，会求出它的相似矩阵P，使得PAPB(对角阵)；

（3）掌握特征值的性质；

（4）掌握相似矩阵的性质；

（5）掌握正交矩阵的性质；

（6）掌握矩阵可以对角化的几个性质；

（7）给定一个二次型，会写出它所对应的对称矩阵；或者给定一个二次型，会写出它所对应的二次型；（填空题）

（8）会用配方法化二次型为标准型。

以上给的要点是A、B两份卷子的。此次题型分为判断题（10分）、选择题（15分）、填空题（15分）、简答题（60分），其中简答题中包括证明题。

此次的试卷出的题目很多来自书上和练习册，建议大定让学生要多做一下练习题（包括例题）。1

第四篇：复旦大学 研究生入学考试《数学分析与线性代数》专业课程考试大纲

复旦大学2005年入学研究生《数学分析与线性代数》专业课程考试大纲 第一部分

数学分析

考试题型：判断说明理由、简答、计算和证明

参考书目：《数学分析》欧阳光中等，上海科技出版社 或《数学分析》陈纪修，金路等，高等教育出版社 总分：105分

一、极限与连续

内容：

映射与函数；数列的极限、函数的极限；实数系的连续性、连续函数、一致连续；Rn中 的点集、多元函数的极限与连续；函数和连续函数的各种性质。要求：

理解集合、映射、函数、极限、连续、一致连续等概念；理解极限和连续的有关性质和 定理；掌握求数列和函数极限的各种方法；掌握连续性、间断性的判别方法。

二、微分与导数 内容：

微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；全微分和偏导数的概念；求导运算；微 分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒公式；最值和极值。要求：

理解微分和导数的概念、关系、几何意义和性质；掌握求微分和导数（一阶和高阶，一 元和多元，隐函数，复合函数）的各种方法；理解和应用微分中值定理；掌握各种最值 和极值的求法（一元和多元，条件极值）；判断函数的凹凸性；求空间曲面的切平面和 空间曲线的切线。三、一元和多元函数的积分 内容：

定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；重 积分的概念及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的定义和判别。要求：

理解定积分的概念、性质、意义和微积分基本定理，理解黎曼积分概念，并能灵活应用 ；掌握不定积分和定积分的各种计算方法（换元法、分部积分、有理函数积分）；掌握 用定积分计算几何量和物理量的方法；理解二重和三重积分的概念和性质，掌握二重和 三重积分的计算方法；掌握曲线积分和曲面积分概念及计算；掌握反常积分收敛性的讨 论和判别方法。

四、级数 内容：

数项级数、数项级数的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致 收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。要求：

理解级数收敛、发散、一致收敛的概念；掌握级数收敛的判别方法（绝对收敛、条件收 敛、一致收敛）；掌握幂级数收敛半径和收敛区间的判别方法，并能利用幂级数的性质 求和函数；掌握基本初等函数的泰勒展开。第一部分

线性代数

考试题型：判断说明理由、简答、计算和证明

参考书目：《线性代数》孙兰芬，陈一中，浙江大学出版社 总分：45分

一、行列式 内容：

行列式的定义和性质；Cramer法则；子式与代数余子式；按一行（列）展开定理；Lapla ce定理。要求：

掌握行列式的概念和性质，熟练应用行列式的性质计算行列式，并会用行列式求解线性 方程组。

二、矩阵 内容：

矩阵的概念和运算；常用的特殊矩阵；矩阵的初等变换与初等矩阵；可逆矩阵以及性质 ；矩阵的秩等概念。要求：

掌握矩阵和秩的概念；能熟练地进行矩阵的各种运算（加、减、数乘、乘、求逆、分块 矩阵运算等）；会求逆阵和矩阵的秩。

三、线性方程组 内容：

n元向量的线性关系；线性方程组的解和解的结构。要求：

掌握向量的线性关系（组合与等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组）等概念，能熟练应用矩阵来求解或讨论线性方程组的解。

四、线性空间与欧氏空间 内容：

线性空间的概念（定义和性质）；基、维数和坐标；欧氏空间的定义及其基本性质；子 空间的交、和、直和及正交。要求：

掌握线性空间、基和维数、子空间的概念；理解线性空间的基和坐标的关系，基变换和 坐标变换的关系；掌握内积空间特别是欧氏空间的概念，掌握正交基和Schmidt 方法。

五、线性变换 内容：

线性变换的定义、性质及运算；线性变换的矩阵及在不同基下的矩阵间的关系；特征值 与特征向量；矩阵的对角化；对称变换和正交变换。要求：

掌握线性变换，特征值和特征向量的概念；掌握线性变换和矩阵的相互关系；掌握正交 变换和对称变换；掌握凯莱-哈米尔顿定理；能熟练地求特征值和特征向量。六、二次型 内容：

二次型的基本概念：惯性定理；正定二次型。要求：

掌握二次型和矩阵的关系，学会用矩阵方法来处理二次型的问题；掌握惯性定理和正定 二次型。

第五篇：线性代数历年考试试题

东 北 大 学 考 试 试 卷（A卷）2006-2007学年第2学期课程名称：线性代数

一单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）

1.设1,2,3,1,2都是四维列向量，且四阶行列式|1,2,3,1|m，|1,2,2,3|n，则四阶行列式|3,2,1，(12)|等于 [ ].(A)mn(B)(mn)(C)nm(D)mn

2.设n阶矩阵A，B，C满足ABCE，则下列一定正确的是 [ ].(A)ACBE(B)BACE(C)CBAE(D)CABE

3.向量组1,2,,r线性相关的充分必要条件是 [ ].(A)向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示；(B)向量组中任一向量都可由其它向量线性表示；(C)向量组中任一向量都不能由其它向量线性表示；(D)向量组中至少有一个向量不能由其它向量线性表示；

4.设1,2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，1,2是其导出组Ax0的一个基础解系，则线性方程组Axb的通解可表示为 [ ].11(12)k11k2(122)(12)k11k2(12)22(A)(B)

(C)(12)k11k22(D)(12)k11k22

5.设n阶矩阵A与B相似，则下列不正确的是 [ ].22(A)AB(B)AEBE(C)AEBE(D)A与B相似

二填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分；将正确答案填在题中括号内。）

2AB1.设A,B都是n阶矩阵，且|A|=2,|B|3，则

1=()。

101aA11a0002的秩R(A)2,则a()。2.设矩阵110212122的过渡矩阵 R3.从向量空间的基，到基，1111为()。

4.设R(A)2，且线性方程组Axb无解，则R(Ab)()。

222f(x,x,x)x2x3x1232tx1x2是正定的，则t满足条件()。5.设二次型1231

2三、计算行列式（10分）D342341341241 23230

1四、设A120，且ABA6ABA，求矩阵B（10分）.003TTTT(1,0,1,1)(1,1,1,1)(1,2,3,1)(1,3,5,1)312

4五、讨论向量组，,的线性相关性，并求其秩和一个极大线性无关组(10分)。六为何值时线性方程组：

x1x2x3x412xx3x2x21234x14x25x43x13x25x35x43

有解？在有解时求该方程组的通解（10分）。设V是RV22上所有对称矩阵组成的线性空间，试求出V的一组基，并求

1212A21在此组基下的矩阵(10分)。2122f(x1,x2,x3)2x12x2x32x2x3化成标准形，并说明上线性变换(A)

八、求一正交变换，将二次型f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面(10分)。

线性代数试题 2008.5

一、计算下列各题(每小题5分, 共30分)

1、设1,2,,都是3维列向量，且行列式|A||1,22,|a，|B||2,1,|b，求行列式C|1,22,|.100*1A2、设的逆矩阵A220, 求A的伴随矩阵A.333TTTT(1,1,3,2)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,0,1,2)31243、设，，求向量组1,2,3,4的秩和一个极大线性无关向量组。

111x11

4、已知线性方程组211x22有解，但解不唯一，求a,b的值。

1a1xb3T100122(A)AR

5、求线性空间的线性变换在基E11,E120000，0000TA,下的矩阵，其中是A的转置矩阵。E21E221001222fxx5x2tx1x22x1x34x2x3是正定二次型。123t6、问为何值时，二次型1a23412a34123a4234a

二、(10分)计算行列式

1三、(10分)求解下面矩阵方程中的矩阵X

010100121100X011102001001134

x1x3x42xx2xx13

4四、(10分)求线性方程组12的通解，并用对应齐次线性方程组基础2x1x2x32x433x1x23x45解系表示通解。

1a1300

五、(10分)已知矩阵Aab0与B030相似，求a,b的值.411001222f(x,x,x)2xxx2x2x3为标准形 xQy12312

3六、12分)求出正交变换，使化二次型

七、(8分)记R是R上所有23矩阵，按矩阵加法、数与矩阵乘法构成的R上的线0Vx3性空间，集合2323x10x2xxx0,x,x,x,xR1241234x4，证明：V是R的线性子空间，并求V的一组基和维数。

八、（10分）证明题：

（1）设向量组1,2,,s线性无关，向量组1,2,,s,线性相关，证明向量可由向量组1,2,,s线性表示且表示式唯一。（2）设A(aij)Ta1b(1,0,0)3311是实正交矩阵，且，向量，证明线性方程组Axb有唯一解xb。

东 北 大 学 期 末 考 试 试 卷2008-2009学年第1学期：线性代数

一、单项选择题（本题4小题，每小题3分，共12分；在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题中括号内）

1、设A,B都是n阶非零矩阵，且ABO，则必有（）.(A)AO或BO；(B)ABO；(C)A0或B0 ；(D)AB0.2、设A是n阶矩阵，A0An1，A是A的伴随矩阵，则

An*

A*=（）

(A)1；(B)；(C)

；(D)A.3、n阶矩阵A具有n个不同的特征值，是A与对角矩阵相似的（）

A 充分必要条件B充分但非必要条件C 必要但非充分条件D既非充分也非必要条件.4、设A是mn阶矩阵，B是nm阶矩阵，则齐次线性方程组(AB)x0（）A当nm时仅有零解B当nm时必有非零解C当mn时仅有零解D当mn时必有非零解

二、填空（本题6个小题，每小题3分，共18分；将正确的答案填在题中括号内）

1、设4阶矩阵A(,2,3,4)，B(,2,3,4)，其中,,2,3,4,均为 4维列向量，已知A4，B1，则AB（）.11111111AA511111111，则 

2、设



3、设P[ij(k)]表示把n阶单位矩阵的第j行的k倍加到第i行的得到的初等矩阵，则(P[ij(k)])1=（）..222f(x,x,x)3x3x9x10x1x212x1x312x2x3的秩是（）.1231234、已知二次型00B005、设矩阵003001020022，矩阵A与B相似，则R(AE)R(A3E)（）

1(A2)

16、设2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵3有一个特征值等于（）.423A110123，求矩阵B n

三、（10）设阶矩阵A与B满足条件ABA2B，已知矩阵

1333332333Dn33333333433333nx1x2kx34,2x1kx2x3k,xx2x431

2四、（10分）计算行列式

五、（12分）已知线性方程组

问k为何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？ 并求出有无穷多解时的通解.123，六、（12分）（1）设向量组1,2,3线性无关，证明向量组1,2,3TTTT(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),,1,0)，234(2,1也线性无关.（2）设1试判断该向量组的线性相关性，并给出其一个极大线性无关组。

七、（10分）设AR，记(1)S(A)是Rn×nn×nS(A)B:BRn×n，AB0，证明： 的一个子空间；(2)设秩(A)r，求S(A)的一组基和维数.222f3x3x6x8x1x24x1x34x2x3 12

3八、（16分）用正交变换化二次型

为标准形，给出所用的正交变换，并判断该二次型的正定性，给出判别的理由.