线性代数较难试题

第一篇：线性代数较难试题

一、设A相似于对角阵，0是A的特征值，X0是A对应于0的特征向量.证明：

(1)秩(A0I) 秩(A0I)2；(2)不存在Y，使得(A0I)YX0.证：(1)设A则A0I故 =diag{0,k,0,k1，n},i0,ik1，n.0I,(A0I)2(0I)2.rank(A0I)rank(0I)rank(diag{0,k,0,k10，n0}

nk.同理，rank(A0I)2rank(0I)2rank(diag{0,k,0,(k10)2，(n0)2}

nkrank(A0I).（2）如存在Y，使得(A0I)YX0，则

2(A0I)，Y(A0I)0X

由（1）知方程组(A0I)2X与(A0I)X同解。

从而(A0I)Y，即X0，与X0为特征向量矛盾。

二、已知线性方程组AnnXb 对任何b的取值都有解的充要条件是Ann为可逆阵。

证明：充分性:设A可逆，则对任意b，XA1b.必要性:

解法一: 当 b取遍所有基本向量组中的向量后, 原方程组都有解, 以这些解向量作为列向量构做矩阵B, 显然 AB=I, 其中 I 为单位阵, 故而

A可逆.解法二: 由题目假设知任何n维向量 b 都能由 A 的列向量组线性表出, 所以向量空间 Rn的维数不会超过A 的列向量组的秩, 由此得出: A的列向量组的秩为n, 即A可逆.三、设,为3元单位列向量，且T0，记ATT。证明：(1)齐次线性方程组AX0有非零解；

100(2)A相似于矩阵010。000

四、设n阶矩阵A满足A2A, r(A)r(0rn)。(1)试确定A的特征值的取值范围；(2)证明A一定可以相似对角化；(3)求行列式A2I的值。

五、已知Rn中两个非零向量：a1,a2,,an,b1,b2,,bn，TT其中n2, b10，矩阵AT。(1)求A2；

(2)求A的特征值和特征向量；

(3)判断A是否可以相似对角化：若可以，请写出相似变换矩阵P和对角矩阵；若不可以，请说明理由。

第二篇：线性代数试题

线性代数试题(一)

一、填空（每题2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。

2.设D为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D=。

3.关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是

，结论是。

4.n阶矩阵A可逆的充要条件是，设A*为A的伴随矩阵，则A-1=。

5.若n阶矩阵满足A2-2A-4I=0,则A-1=。

112212343312344=，46.=。7.设向量组1,2,3线性相关，则向量组1,1,2,2,3,3一定线性。

A1A*A8.设A三阶矩阵，若=3，则= ,=。

9.n阶可逆矩阵A的列向量组为1,2,n，则r(1,2,n)=。10.非齐次线性方程组AmnX=b有解的充要条件是。

二、单项选择题（10分，每题2分）

k12k10的充要条件是（）1．2。

（a）k1（b）k3（c）k1,且k3（d）k1,或k3 2.A,B,C为n阶方阵，则下列各式正确的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,则A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A2-B2 d)AC=BC且C可逆,则A=B 3.设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）

A10A0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量组线性相关 4.设矩阵A=(aij)mn，AX=0仅有零解的充要条件是（）(a)A的行向量组线性无关(b)A的行向量组线性相关(c)A的列向量组线性无关(d)A的列向量组线性相关

5.向量组 1,2,s的秩为r,则下述说法不正确的是（）(a)1,2,s中至少有一个r个向量的部分组线性无关

(b)1,2,s中任何r个向量的线性无关部分组与1,2,s可互相线性表示

(c)1,2,s中r个向量的部分组皆线性无关(d)1,2,s中r+1个向量的部分组皆线性相关

三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分）1．5级排列41253是一个奇排列。（）

2．A为任意的mn矩阵, 则ATA, AAT都是对称矩阵。（）

3．1,2,s线性无关，则其中的任意一个部分组都线性无关。（）

0004．行列式1001001001000=-1（）

5．若两个向量组可互相线性表示，则它们的秩相等。（）

四、计算n阶行列式（12分）

xaaaxaaaxaaaaaaaaaax

223110121(13分)注：A不可逆，修改为 2．解矩阵方程AX=A+X,其中A=232110122

3．求向量组1(2,4,2),2(1,1,0),3(2,3,1)，4(3,5,2)的极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。（10分）4．用消元法解下列方程组。（15分）

x1x2x3x41x1x2x3x401xx2x2x12342 

五、证明题（从下列三题中任选两道, 每题5分，共10分）

1．设向量组1,2,3线性无关，证明1,12,123也线性无关。（5分）

2．已知向量组,,线性无关，而向量组,,,线性相关，试证明：（1）向量一定可由向量组,,线性表示；（2）表示法是唯一的。（5分）

3． A,B是同阶对称矩阵，证明：AB为对称矩阵的充要条件是A与B可交换。（5分）

线性代数试题(一)答案

一．(1).n(n1)(2).–12 2xjDJD(3).线性方程组的系数行列式D0；方程组有唯一解且

1231*1A(A2I)A0A4(4).；(5).(6).30，41(7).相关(8).3, 9(9).n(10).234468691281216

rAbrA

二．(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.n1[x(n1)a](xa)(1).321X40(2).31230412

(3).极大线性无关组为1,2

312;412(4)全部解为： 12

11TT,0c11,1,0,0c20,0,1,1,0,22(c1 ,c2为任意常数)五．略

线性代数试题及答案

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错癣多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则()

TA.-1 B.C.D.1

2.设 则方程 的根的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3

3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若 则必有()A.B.C.D.4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是()A.B.C.D.5.设 其中 则矩阵A的秩为()A.0 B.1 C.2 D.3

6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为()A.0 B.2 C.3 D.4

7.设向量α=(1，-2，3)与β=(2，k，6)正交，则数k为()

A.-10 B.-4 C.3 D.10

8.已知线性方程组 无解，则数a=()A.B.0 C.D.1

9.设3阶方阵A的特征多项式为 则()

A.-18 B.-6 C.6 D.18

10.若3阶实对称矩阵 是正定矩阵，则A的3个特征值可能为()

A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设行列式 其第3行各元素的代数余子式之和为__转载自百分网http://www.xiexiebang.com，请保留此标记________.12.设 则 __________.13.设A是4×3矩阵且 则 __________.14.向量组(1，2),(2，3)(3，4)的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.16.设方程组 有非零解，且数 则 __________.17.设4元线性方程组 的三个解α1，α2，α3，已知 则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A的秩为2，且 则A的全部特征值为__________.19.设矩阵 有一个特征值 对应的特征向量为 则数a=__________.20.设实二次型 已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

21.设矩阵 其中 均为3维列向量，且 求

22.解矩阵方程

23.设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T问p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组 ，(1)确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?

(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).25.已知2阶方阵A的特征值为 及 方阵

(1)求B的特征值;

(2)求B的行列式.26.用配方法化二次型 为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明|A|=0.线性代数B期末试题

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1． A是n阶方阵，R，则有AA。（）

111AB0(AB)BA。（）2． A，B是同阶方阵，且，则3．如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。()4．若A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。()1,2,3,4线性相关，则1,2,3也线性相关。（）5．n维向量组

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。

001100100100010000020012100(B)010(C)001(D)001（A）2．设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。

（A）12,23,31（B）1,2,31（C）1,2,2132（D）2,3,223

12(A2E)（）AA5E03．设A为n阶方阵，且。则

11(AE)(AE)(A)AE(B)EA(C)3(D)3

4．设A为mn矩阵，则有（）。

（A）若mn，则Axb有无穷多解；

（B）若mn，则Ax0有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量；（C）若A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解；（D）若A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。

5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）

（A）A与B相似（B）AB，但|A-B|=0（C）A=B

（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

012n10。1．n*A13AA2．A为3阶矩阵，且满足3,则=______。

1021112423421570是线性（填相关或3．向量组，，无关）的，它的一个极大线性无关组是。

4． 已知1,2,3是四元方程组Axb的三个解，其中A的秩R(A)=3，14241233444，，则方程组Axb的通解为。

231A1a1503，且秩(A)=2，则a=

。5．设

四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

121A342122，求矩阵B。1．已知A+B=AB，且

Tn2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而A，求A。

3.已知方程组 有无穷多解，求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

222f(x1,x2,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结论。

T2．设A为mn矩阵，且的秩R(A)为n，判断AA是否为正定阵？证明你的结论。

第三篇：线性代数试题及答案

线性代数习题和答案

第一部分

选择题

(共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12a13a22a23=m，=n，则行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n 1002.设矩阵A=020，则A-1等于（）

0031

3A.00012000

1

B.10001200013

1003

C.010

1002

12D.000010 3013123.设矩阵A=101，A*是A214的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.BC时A=0 D.|A|0时B=C 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）

A.A =0

C.A0时B=C

A.1 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全为

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（）

A.所有r-1阶子式都不为0

C.至少有一个r阶子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 B.秩(A)=n-1

D.方程组Ax=0只有零解

12128.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.设λ0是矩阵3是

A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属

0的线性无关的特征向量的个3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

A的特征方程的3重根，A的属于λ

B.k<3

D.k>3 数为k，则必有（）

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）

A.|A|2必为1

C.A-1=AT

B.|A|必为1

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）

A.A与B相似

B.A与B不等价

C.A与B有相同的特征值

D.A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）

A.23343426

B. 100

C.023035111D.120102

第二部分

非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15.111356

.9253611111116.设A=，B=123.则

124A+2B=

.17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=

.19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为

.20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

.3 / 7

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=

.22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为

.23.设矩阵0106A=133，已知α21082=12是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为

.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为

.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

12025.设A=340121，B=1105231（2）|4A|..求（1）ABT；

24026.试计算行列式352112341313.42327.设矩阵A=110123，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.21301301.，α=28.给定向量组α1=，α，α23=4=22404193试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

12124229.设矩阵A=210333266.23340求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵022A=234432的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形

/ 7

2f(x1,x2,x3)=x12x223x34x1x24x1x34x2x3，并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ基础解系.试证明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其导出组Ax=0的一个

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2线性无关。

337137

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1z22z3z4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

12022403425.解（1）AB=312110T

86=1810310（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=1203402.121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 352111051234131351105110511311300

/ 7

=5111111 55051162620301040.55550=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1223=1101211143153.164所以

B=(A-2E)-114342353110 A=116412338696.=2212928.解一 2130053213011301

0224011234190131121000100005111200088014140002101, 0110003035112

011000所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二

考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 2x1x23x30x3x112 2x2x4323x14x2x39.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解

对矩阵A施行初等行变换

121000A03209602628232

/ 7

212101210328303200000062000217000283=B.31000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.25/525/15经正交标准化，得η

1，η

25/5=5/15=4.05/3λ=-8的一个特征向量为

1/3ξ=13，经单位化得η2

3=2/3.22/325/5215/151/3所求正交矩阵为

T=.5/545/152/305/32/31对角矩阵

D=00010.00825/5215/151/3（也可取T=.）

05/32/35/545/152/331.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.y1x12x22x3x1y12设yy22x2x3，即x2y2y3xyy3x333因其系数矩阵C=12011可逆，故此线性变换满秩。0001经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

y12-2y22-5y32.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.证

由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而

l0=0.所以η0，η1，η2线性无关。

/ 7，

第四篇：线性代数试题(B)

(101)北京理工大学远程教育学院2007-2008学年第一学期

《线性代数》期末试卷(A卷)

教学站 学号 姓名 成绩

一．填空题（每小题4分，共20分）

x1211．已知A，则XTAX_______； ,X13x22．设向量1(0,1,1),2(0,t,2)线性相关，则t _____；

3．设A是秩为1的3阶矩阵，则齐次线性方程组AX=0 的基础解系含_____个解；

1114．已知矩阵001，则其秩为__________；

0015．已知2是矩阵A的一个特征值，则 |2EA| __________。

二．选择题（每小题4分，共20分）

1．设A与B是两个同阶可逆矩阵，则（）；

A．(AB)1A1B1

B．|A||B||B||A|

C．|AB||A||B| D．ABBA

2．设A是12矩阵，B是2阶方阵，C是21矩阵，则（）A．ABC是1阶方阵

B．ABC是21阶矩阵

C．ABC是2阶方阵

D．ABC是12阶矩阵

3．已知向量组1,2,3满足3k11k22，则（）A．k1,k2不全为零

B．1,2线性无关 C．30

D．1,2,3线性相关

4．设1,2是非齐次线性方程组AXb的两个解，则下述说法不正确的是（）； A．12是导出组AX0的1解

B．(12)是AX0的解

21C．12是AXb的解

D．(12)是AXb的解

5．设A是一个方阵，则（）；

A．由| A | = 0可得 A = 0

B．由| A | = 0可得 0是A的一个特征值

C．由| A | = 1可得 A = E

D．由| A | = 1可得 1是A的一个特征值

三．计算题（每小题10分，共50分）

131．计算行列式

3233333333

342．求解下列线性方程组

 x15x22x333x1 x24x32

 5x3x6x1123用导出组的基础解系表示通解。

0111203．解矩阵方程 X101 110021

1104．已知矩阵A110，求A的特征值和特征向量。

002

5．求非退化线性替换，把实二次型

f(x1,x2,x3)4x1x32x2x3

化为规范形。

四．其它（每小题5分，共10分）

1．设同阶方阵A与B满足ABE，证明：|A||B|1；

2．举例说明：由|A||B|1不能导出ABE。

第五篇：自考线性代数试题

全国2010年10月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题 课程代码：04184 说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=（）A.-8 C.2 12.设矩阵A=1,B=(1,1),则AB=（）B.-2 D.8 A.0 1C.1

B.(1,-1)11D.11

3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（）A.AB-BA C.AB

B.AB+BA D.BA 12-14.设矩阵A的伴随矩阵A*=34,则A=（）A.1 24321 1234 

B.1 21 21234 4231 C.1 2D.5.下列矩阵中不是初等矩阵的是（）．．101A.010 000100C.030

001

001

B.010

100100D.010

201═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套试题共分11页，当前页是第2

132516.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且1,13,则该线性方程

3749组的通解是_________.1117.已知P是3阶正交矩,向量3,0,则内积(P,P)_________.2218.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.1219.与矩阵A=03相似的对角矩阵为_________.12T20.设矩阵A=2k,若二次型f=xAx正定,则实数k的取值范围是_________.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)0121.求行列式D=201012210102的值.1001012022.设矩阵A=100,B210,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.001000112223.若向量组11,21,36,40的秩为2,求k的值.13k2k232224.设矩阵A110,b1.1210(1)求A-1;(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩.(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套试题共分11页，当前页是第4

C.| A |=| B |

D.A与B有相同特征值

9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=（）A.-2 C.2

B.0 D.4 10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（）A.A正定 C.A负定

B.A半正定 D.A半负定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）3 22 1 111.设A=0 1,B=，则AB=_________________.0 1 02 412.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A-1 |=______________.13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.116.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，1，则| 5A-1 |=______________.217.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________. 2 1 018.实对称矩阵1 0 1 所对应的二次型f(x1, x2, x3)=________________. 0 1 11119.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=2，α2= 2且r(A)=2，则Ax=b的通解是_______________.3 3120.设α=2，则A=ααT的非零特征值是_______________.3

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 21.计算5阶行列式D=

0 0 2 0 0 1 0 0 0 222.设矩阵X满足方程

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本套试题共分11页，当前页是第6

A.PA C.QA

B.AP D.AQ

5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2 B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2 C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0 D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误的是（）．．A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（）A.α1必能由α2,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出

B.α2必能由α1,α3，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出

8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（）A.小于m C.小于n

B.等于m D.等于n

9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（）A.AT C.A-1

B.A2 D.A

*22210.二次型f（x1,x2,x3）=x1x2x32x1x2的正惯性指数为（）

A.0 C.2

B.1 D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式***0的值为_________________________.11320,则ATB=____________________________.12.设矩阵A=,B=2010113.设4维向量（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向量γ满足2γ=3β，则γ=__________.114.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=,则|A-1|=___________________________.n15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________.═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套试题共分11页，当前页是第8

226.设矩阵A=0003a01-1a的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使PAP=03002000。5

四、证明题（本题6分）

27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1。

全国2010年1月高等教育自学考试

说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）

2x2y2z41.设行列式4031,则行列式01（）

3111111xyzA.2 3B.1 C.2

8D.32.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=（）A.A-1B-1C-1 C.C-1A-1B-1

B.C-1B-1A-1 D.A-1C-1B-1

3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（）A.-32 C.4

B.-4 D.32 4.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（）A.α1，α2，α3，α4一定线性无关 C.α1，α2，α3，α4一定线性相关

B.α1一定可由α2，α3，α4线性表出 D.α1，α2，α3一定线性无关

5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（）A.1 C.3

B.2 D.4 6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）

A.1 C.3

B.2 D.4 7.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（）A.m≥n

B.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解

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本套试题共分11页，当前页是第10

a11x11x11a117.设线性方程组2有无穷多个解，则a=_________.11ax3218.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.2220.二次型f(x1,x2,x3)4x23x34x1x24x1x38x2x3的秩为_________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）2321．计算4阶行列式D=453456456756.78231-145222.设A=，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A.57323.设向量α=（3，2），求（αTα）101.24.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.（1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.x1x22x4025.求齐次线性方程组4x1x2x3x40的基础解系及其通解.3xxx012332226.设矩阵A=010，求可逆方阵P，使P-1AP为对角矩阵.423

四、证明题（本大题6分）

27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.═════════════════════════════════════════════════════════════════════

-本套试题共分11页，当前页是第11