线性代数试题1（推荐）

第一篇：线性代数试题1（推荐）

线性代数试题

课程代码：02198

说明：|A|表示方阵A的行列式

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共24分)1.若A是（），则A必为方阵.A.分块矩阵

B.可逆矩阵 C.转置矩阵

D.线性方程组的系数矩阵

*-12.设n阶方阵A，且｜A｜≠0，则(A)=（）.A.1|A|A

B.D.1|A|A* A C.｜A-1｜A-1

1|A|*3.设向量组M为四维向量空间R4的一个基，则（）必成立.A.M由四个向量组成 B.M由四维向量组成

C.M由四个线性无关的四维向量组成 D.M由四个线性相关的四维向量组成

4.已知β1=3α1-α２，β2=α1+5α2，β3=-α1+4α2，α1，α2为非零向量，则向量组β1，β2，β3的秩（）.A.>3

B.<3 C.=3

D.=0 5.设向量α1=(3,0,-2)T，α2=(2,-1,-5)T，β=(1,-2,k)T，则k=（）时，β才能由α1,α2线性表示.A.–2

B.–4 C.–6

D.-8 6.设n阶方阵A，秩(A)=r

C.任意r个行向量都构成最大无关组

D.任意一个行向量都可由其他r个行向量线性表示

7.设非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，A为m×n矩阵，则必有（）.A.m=n

B.秩(A)=m C.秩(A)=n

D.秩(A)

浙02198# 线性代数试题 9.A为实对称矩阵，Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2，且λ1≠λ2，则(x1，x2)=（）.A.1

B.–1 C.0

D.2 10.若（），则A∽B.A.｜A｜=｜B｜

B.秩(A)=秩(B)C.A与B有相同的特征多项式

D.n阶矩阵A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同 11.正定二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为A，则（）必成立.A.A的所有顺序主子式为非负数

B.A的所有特征值为非负数 C.A的所有顺序主子式大于零

D.A的所有特征值互不相同 12.设A，B为n阶矩阵，若（），则A与B合同.A.存在n阶可逆矩阵P、Q，且PAQ=B B.存在n阶可逆矩阵P，且P-1AP=B C.存在n阶正交矩阵Q，且Q-1AQ=B D.存在n阶方阵C、T，且CAT=B

二、填空题(每空2分，共24分)00010100001001.行列式001=______.12.设A=23，则AAT=______.3.向量组α1=(1,1,1,1),α2=(0,1,1,1),α3=(0,0,1,1)的一个最大无关组是______.4.非零n维向量α1,α2线性无关的充要条件是______.5.三维向量空间R3的一个基为(1，2，3)，(-4，5，6)，(7，-8，9)，R3中向量α在该基下的坐标为(-2，0，1)，则α=______.6.线性方程组Ax=0解向量的一个最大无关组为x1，x2，…，xt，则Ax=0的解向量x=_____.7.设m×n矩阵A，且秩(A)=r，D为A的一个r+1阶子式，则D=______.8.已知P-1AP=B，且｜B｜≠0，则09.矩阵A=01010100|A||B|=______.的所有特征值为________.10.二次型f(x1,x2,x3)的矩阵A有三个特征值1，-1，2，该二次型的标准形为______.浙02198# 线性代数试题 11.二次型f(x1,x2,x3)=2x12-x22+x32，该二次型的负惯性指数等于______.112.与矩阵A=0100010对应的二次型是______.0

三、计算题(每小题7分，共42分)1.已知2103X=01a11，求矩阵1a2a21a2a2a31a3a3a3X.1a4a4a4a42.计算行列式a1a11a1

3.t取何值时，向量组α1=(1,2,3),α2=(2,2,2)，α3=(3,0,t)线性相关，写出一个线性相关的关系式.x14x2x32x404.方程组2x1x23x3x40是否有非零解?若有，求其结构解.3x6x7x02315.已知二阶方阵A的特征值为4，-2，其对应的特征向量分别为(1，1)T，(1，-5)T，求矩阵A.6.求一个正交变换，把f(x1,x2)=2x12+2x1x2+2x22化成标准形，并判断f(x1,x2)是否正定.四、证明题(每小题5分，共10分)1.若对称矩阵A为非奇异矩阵，则A-1也是对称矩阵.2.设n阶矩阵A，且A2=E，试证A的特征值只能是1或-1.浙02198# 线性代数试题

第二篇：05-06-2线性代数试题A答案1

二、求矩阵5200210000850032的逆阵（10分）

解

设5A22 8B153------------2分

21则

1 8323----------6分 5212B15258A12125于是

5200210000850120010AA125003B1B0023200581-------10分

三、T设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知1 2 3

T是它的三个解向量 且 1(2 3 4 5) 23(1 2 3 4)求该方程组的通解（12分）

解：由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量

且由于1 2 3均为方程组的解 由非齐次线性方程组解的结构性质得

21(23)(12)(13)(3 4 5 6)T

为其基础解系向量------10分

故此方程组的通解为：

xk(3 4 5 6)T(2 3 4 5)T(kR)---------------------12分

四、TT已知R的两个基为

TTTT3a1(1 1 1) a2(1 0 1) a3(1 0 1)； b1(1 2 1) b2(2 3 4) b3(3 4 3) 求由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵P（12分）解：设e1 e2 e3是三维单位坐标向量组 则

1111-------111------4分(a1, a2, a3)(e1, e2, e3)100(e1, e2, e3)(a1, a2, a3)100111111于是

111123---------------------------10分 123-----------(b1, b2, b3)(e1, e2, e3)234(a1, a2, a3)1002341431111431由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵为

111123234-----------------------12分

P100234010111143101

1五、设 x1x2x31问为何值时 此方程组（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解?（15分）x1x2x32x1x2x3解

----------6分 111112rB11~ 011(1)11200(1)(2)(1)(1)2

(1)要使方程组有唯一解 必须R(A)3 因此当1且2时方程组有唯一解.-----9分

(2)要使方程组无解 必须R(A)R(B) 故

(1)(2)0(1)(1)20

因此2时 方程组无解--------------12分

(3)要使方程组有有无穷多个解 必须R(A)R(B)3 故

(1)(2)0(1)(1)20

因此当1时 方程组有无穷多个解.-15分

六、（1）判定向量组(1 3 1)(2 1 0)(1 4 1)是线性相关

还是线性无关；（2）试用施密特法把向量组TTT111 正交化（16分）。(a1, a2, a3)124139解：(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为

121r121r121---------------------------6分

A314~077~011101022000

所以R(A)2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关----------------------------8分（2）根据施密特正交化方法

1--------

1-----------------------------8分 1-----------[b1,a3][b2,a3]1[b1,a2]b1a11babb2b2a2b1033121[b,b][b,b]31[b1,b1]11221

七、已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3 求A35A27A（10分）

解

令()3527-----2分 则(-1)-13 (2)2 (3)3是(A)的特征值--------6分 故 |A35A27A||(A)|(1)(2)(3)-1323-78------------------------------10分

求一个正交变换将二次型解

二次型的矩阵为f(x1,x2,x3)2x13x23x34x2x3化成标准形（15分）

222由 200--------------------2分 A032023 200AE032(2)(5)(1)023得A的特征值为12 25 31-------------------------5分

当12时, 解方程(A2E)x0 由



000012A2E012~001021000得特征向量(1 0 0)T 取p1(1 0 0)T------------------7分

当25时 解方程(A5E)x0 由

300100A5E022~011022000得特征向量(0 1 1)T 取



p2(0, 1, 1)T--------9分

22100100AE022~011022000

当31时 解方程(AE)x0 由

得特征向量(0 1 1)T 取------11分 p3(0, 1, 1)T22

于是有正交矩阵T(p1 p2 p3)和正交变换xTy 使 f2y125y22y32-----------15分

第三篇：线性代数试题

线性代数试题(一)

一、填空（每题2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。

2.设D为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D=。

3.关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是

，结论是。

4.n阶矩阵A可逆的充要条件是，设A*为A的伴随矩阵，则A-1=。

5.若n阶矩阵满足A2-2A-4I=0,则A-1=。

112212343312344=，46.=。7.设向量组1,2,3线性相关，则向量组1,1,2,2,3,3一定线性。

A1A*A8.设A三阶矩阵，若=3，则= ,=。

9.n阶可逆矩阵A的列向量组为1,2,n，则r(1,2,n)=。10.非齐次线性方程组AmnX=b有解的充要条件是。

二、单项选择题（10分，每题2分）

k12k10的充要条件是（）1．2。

（a）k1（b）k3（c）k1,且k3（d）k1,或k3 2.A,B,C为n阶方阵，则下列各式正确的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,则A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A2-B2 d)AC=BC且C可逆,则A=B 3.设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）

A10A0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量组线性相关 4.设矩阵A=(aij)mn，AX=0仅有零解的充要条件是（）(a)A的行向量组线性无关(b)A的行向量组线性相关(c)A的列向量组线性无关(d)A的列向量组线性相关

5.向量组 1,2,s的秩为r,则下述说法不正确的是（）(a)1,2,s中至少有一个r个向量的部分组线性无关

(b)1,2,s中任何r个向量的线性无关部分组与1,2,s可互相线性表示

(c)1,2,s中r个向量的部分组皆线性无关(d)1,2,s中r+1个向量的部分组皆线性相关

三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分）1．5级排列41253是一个奇排列。（）

2．A为任意的mn矩阵, 则ATA, AAT都是对称矩阵。（）

3．1,2,s线性无关，则其中的任意一个部分组都线性无关。（）

0004．行列式1001001001000=-1（）

5．若两个向量组可互相线性表示，则它们的秩相等。（）

四、计算n阶行列式（12分）

xaaaxaaaxaaaaaaaaaax

223110121(13分)注：A不可逆，修改为 2．解矩阵方程AX=A+X,其中A=232110122

3．求向量组1(2,4,2),2(1,1,0),3(2,3,1)，4(3,5,2)的极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。（10分）4．用消元法解下列方程组。（15分）

x1x2x3x41x1x2x3x401xx2x2x12342 

五、证明题（从下列三题中任选两道, 每题5分，共10分）

1．设向量组1,2,3线性无关，证明1,12,123也线性无关。（5分）

2．已知向量组,,线性无关，而向量组,,,线性相关，试证明：（1）向量一定可由向量组,,线性表示；（2）表示法是唯一的。（5分）

3． A,B是同阶对称矩阵，证明：AB为对称矩阵的充要条件是A与B可交换。（5分）

线性代数试题(一)答案

一．(1).n(n1)(2).–12 2xjDJD(3).线性方程组的系数行列式D0；方程组有唯一解且

1231*1A(A2I)A0A4(4).；(5).(6).30，41(7).相关(8).3, 9(9).n(10).234468691281216

rAbrA

二．(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.n1[x(n1)a](xa)(1).321X40(2).31230412

(3).极大线性无关组为1,2

312;412(4)全部解为： 12

11TT,0c11,1,0,0c20,0,1,1,0,22(c1 ,c2为任意常数)五．略

线性代数试题及答案

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错癣多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则()

TA.-1 B.C.D.1

2.设 则方程 的根的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3

3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若 则必有()A.B.C.D.4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是()A.B.C.D.5.设 其中 则矩阵A的秩为()A.0 B.1 C.2 D.3

6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为()A.0 B.2 C.3 D.4

7.设向量α=(1，-2，3)与β=(2，k，6)正交，则数k为()

A.-10 B.-4 C.3 D.10

8.已知线性方程组 无解，则数a=()A.B.0 C.D.1

9.设3阶方阵A的特征多项式为 则()

A.-18 B.-6 C.6 D.18

10.若3阶实对称矩阵 是正定矩阵，则A的3个特征值可能为()

A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设行列式 其第3行各元素的代数余子式之和为__转载自百分网http://www.xiexiebang.com，请保留此标记________.12.设 则 __________.13.设A是4×3矩阵且 则 __________.14.向量组(1，2),(2，3)(3，4)的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.16.设方程组 有非零解，且数 则 __________.17.设4元线性方程组 的三个解α1，α2，α3，已知 则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A的秩为2，且 则A的全部特征值为__________.19.设矩阵 有一个特征值 对应的特征向量为 则数a=__________.20.设实二次型 已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

21.设矩阵 其中 均为3维列向量，且 求

22.解矩阵方程

23.设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T问p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组 ，(1)确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?

(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).25.已知2阶方阵A的特征值为 及 方阵

(1)求B的特征值;

(2)求B的行列式.26.用配方法化二次型 为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明|A|=0.线性代数B期末试题

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1． A是n阶方阵，R，则有AA。（）

111AB0(AB)BA。（）2． A，B是同阶方阵，且，则3．如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。()4．若A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。()1,2,3,4线性相关，则1,2,3也线性相关。（）5．n维向量组

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。

001100100100010000020012100(B)010(C)001(D)001（A）2．设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。

（A）12,23,31（B）1,2,31（C）1,2,2132（D）2,3,223

12(A2E)（）AA5E03．设A为n阶方阵，且。则

11(AE)(AE)(A)AE(B)EA(C)3(D)3

4．设A为mn矩阵，则有（）。

（A）若mn，则Axb有无穷多解；

（B）若mn，则Ax0有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量；（C）若A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解；（D）若A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。

5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）

（A）A与B相似（B）AB，但|A-B|=0（C）A=B

（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

012n10。1．n*A13AA2．A为3阶矩阵，且满足3,则=______。

1021112423421570是线性（填相关或3．向量组，，无关）的，它的一个极大线性无关组是。

4． 已知1,2,3是四元方程组Axb的三个解，其中A的秩R(A)=3，14241233444，，则方程组Axb的通解为。

231A1a1503，且秩(A)=2，则a=

。5．设

四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

121A342122，求矩阵B。1．已知A+B=AB，且

Tn2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而A，求A。

3.已知方程组 有无穷多解，求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

222f(x1,x2,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结论。

T2．设A为mn矩阵，且的秩R(A)为n，判断AA是否为正定阵？证明你的结论。

第四篇：2006~2007线性代数试题1答案

一、选择题： [教师答题时间：2 分钟]（每小题 3 分，共 12分）①A ②D

③A

④B

二、填空题： [教师答题时间：4分钟]（每空 3分，共 12 分）① 5

② 线性相关

③ 0

④-8

三、计算题 [教师答题时间： 6 分钟]（共16分）

1、aDnbbbab......1bbababbab0n1a(n1)ba(n1)ba(n1)b......bb（4分）a......b0bab......bba解: [a(n1)b]111

＝[a(n1)b]00（2分）ab＝[a(n1)b](ab)（2分）

2、1解：A3100224011211202201110121(3分）514(3分）50 45(2分）2

四、综合题 [教师答题时间： 7 分钟]（共15分）

骣1çç(a1,a2,a3,a4)=ç1çççç-2桫骣1珑珑?珑0珑珑珑珑0桫骣1çç解：?ç0çççç0桫-12-801000-1-110-11-6-1-222÷÷÷4÷(2分）÷÷÷4÷-120-11-422(2分）16骣2鼢1鼢鼢2鼢(2分）?0鼢鼢鼢8鼢0桫-3÷÷÷1÷(2分）÷÷÷-4÷

所以极大无关组是a1,a2,a3(2分）a4=-3a1-a2-4a3(5分）五题、综合题 [教师答题时间： 8 分钟]（共10分）

1解:A,b1110011(3)111111200(1)(4分）2(21)2∴当＝－3时，线性方程组无解（2分）

当0且3时，线性方程组有唯一解（2分）当＝0时，线性方程组有无穷解（2分）六题、解答题 [教师答题时间： 5 分钟]（共10分）

1A3510001025325(2分）310021021(2分）001(2分）0

00∴通解为x=c-1(2分），故基础解系为c-1(2分）11七题、解答题 [教师答题时间：10 分钟]（共12分）3解：E－ A012124101=(1)(45)(2分）所以A的特征值为11,23i2(2分）4当1，EA011202140000100200所以1对应的特征向量为C12(C10)(3分）11ii2时，A-E=01101i0i11i3140021i100104i32i32i20

i3所以i2时对应的特征向量为C22i2(C20)(3分）1显然A不能相似对角化(2分）八题、证明题 [教师答题时间： 7 分钟]（共13分）

11)证明：（1，，）＝（，，）22312301设K=2002310,显然K0,∴K可逆（2分）302310（2分）3-1 ∴（1，，）=（，，2）K2313

故1，，与，，2等3价，而，，2线性3无关2311∴1，，线性无关（3分）232)证明：因为A为正交阵，故A1,而A0，∴A1(2分）E＋A＝AA＋AAA＋EAA＋EE＋A(2分）故A＋E＝0，所以E＋A不可逆(2分）TT

第五篇：线性代数较难试题

一、设A相似于对角阵，0是A的特征值，X0是A对应于0的特征向量.证明：

(1)秩(A0I) 秩(A0I)2；(2)不存在Y，使得(A0I)YX0.证：(1)设A则A0I故 =diag{0,k,0,k1，n},i0,ik1，n.0I,(A0I)2(0I)2.rank(A0I)rank(0I)rank(diag{0,k,0,k10，n0}

nk.同理，rank(A0I)2rank(0I)2rank(diag{0,k,0,(k10)2，(n0)2}

nkrank(A0I).（2）如存在Y，使得(A0I)YX0，则

2(A0I)，Y(A0I)0X

由（1）知方程组(A0I)2X与(A0I)X同解。

从而(A0I)Y，即X0，与X0为特征向量矛盾。

二、已知线性方程组AnnXb 对任何b的取值都有解的充要条件是Ann为可逆阵。

证明：充分性:设A可逆，则对任意b，XA1b.必要性:

解法一: 当 b取遍所有基本向量组中的向量后, 原方程组都有解, 以这些解向量作为列向量构做矩阵B, 显然 AB=I, 其中 I 为单位阵, 故而

A可逆.解法二: 由题目假设知任何n维向量 b 都能由 A 的列向量组线性表出, 所以向量空间 Rn的维数不会超过A 的列向量组的秩, 由此得出: A的列向量组的秩为n, 即A可逆.三、设,为3元单位列向量，且T0，记ATT。证明：(1)齐次线性方程组AX0有非零解；

100(2)A相似于矩阵010。000

四、设n阶矩阵A满足A2A, r(A)r(0rn)。(1)试确定A的特征值的取值范围；(2)证明A一定可以相似对角化；(3)求行列式A2I的值。

五、已知Rn中两个非零向量：a1,a2,,an,b1,b2,,bn，TT其中n2, b10，矩阵AT。(1)求A2；

(2)求A的特征值和特征向量；

(3)判断A是否可以相似对角化：若可以，请写出相似变换矩阵P和对角矩阵；若不可以，请说明理由。