线性代数试题及答案

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第一篇:线性代数试题及答案

04184线性代数(经管类)一、二、单选题

1、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做题结果:A 参考答案:D

2、B:d A:abcd C:6 D:0 做题结果:A 参考答案:D

3、B:15 A:18 C:12 D:24 做题结果:A 参考答案:B

4、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做题结果:A 参考答案:D

6、B:15 A:18 C:12 D:24 做题结果:A 参考答案:B 20、B:k A:k-1 C:1 D:k+1 做题结果:A 参考答案:B

21、行列式D如果按照第n列展开是

A.,C.,D.做题结果:A ,B.参考答案:A

22、关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则,说法正确的是

B:如果行列式不等于0,则方程组A:如果行列式不等于0,则方程组必有

只有零解

无穷多解

C:如果行列式等于0,则方程组必有唯D:如果行列式等于0,则方程组必一解 有零解 做题结果:A

参考答案:B

23、已知三阶行列D中的第二列元素依次为1、2、3,它们的余子式分别为-1、1、2,则D的值为。

B:-7 A:-3 C:3 D:7 做题结果:A 参考答案:A

24、B:1 A:0 C:-2 D:2 做题结果:A 参考答案:C

25、B:d A:abcd C:6 D:0 做题结果:A 参考答案:D

26、A:a≠2

B:a≠0

C:a≠2或a≠0 D:a≠2 且a≠0 做题结果:A 参考答案:D

27、A.,B.,C.,D.做题结果:B

参考答案:B

28、B:16|A| A:-2|A| C:2|A| D:|A| 做题结果:A 参考答案:B

29、下面结论正确的是

A:含有零元素的矩阵是零矩阵 做题结果:A

B:零矩阵都是方阵

C:所有元素都是零的矩阵是零矩阵 D:若A,B都是零矩阵,则A=B

参考答案:C 30、设A是n阶方程,λ为实数,下列各式成立的是

C.做题结果:C ,D.参考答案:C

31、A.,B.,C.,D.做题结果:B

参考答案:

B

32、设A是4×5矩阵,r(A)=3,则▁▁▁▁▁。【

A:A中的4阶子式都不为0

B:A中存在不为0的4阶子式

C:A中的3阶子式都不为0 D:A中存在不为0的3阶子式 做题结果:A

参考答案:D

33、A:a=3,b=-1,c=1,d=3

B:a=-1,b=3,c=1,d=3 C:a=3,b=-1,c=0,d=3 D:a=-1,b=3,c=0,d=3 做题结果:A

参考答案:C

34、设A是m×n矩阵,B是s×t矩阵,且ABC有意义,则C是▁▁矩阵。

A:n×s B:m×t

C:t×m D:s×n

做题结果:A 参考答案:A

35、含有零向量的向量组▁▁▁

A:可能线性相关

B:必线性相关

C:可能线性无关 D:必线性无关 做题结果:A 参考答案:B

36、对于齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形时▁▁▁。

A:只能进行行变换

B:只能进行列变换

C:不能进行行变换 D:可以进行行和列变换 做题结果:B

参考答案:A

37、非齐次线性方程组中,系数矩阵A和增广矩阵(A,b)的秩都等于4,A是()4×6矩阵,则▁▁。

B:方程组有无穷多解

A:无法确定方程组是否有解 C:方程组有唯一解 做题结果:B

D:方程组无解 参考答案:B

38、n元非齐次线性方程组Ax=b有两个解a、c,则a-c是▁▁▁的解。

B:Ax=0 A:2Ax=b C:Ax=a D:Ax=c 做题结果:B 参考答案:B

39、设A是m行n列的矩阵,r(A)=r,则下列正确的是

B:Ax=0的基础解系中的解向量的个A:Ax=0的基础解系中的解向量的个

数不可能为n-r 数可能为n-r C:Ax=0的基础解系中的解向量的个D:Ax-0的基础解系中的解向量的个数一定为n-r 数不确定 做题结果:C

参考答案:C 40、向量组A的任何一个部分组▁▁由该向量组线性表示。

B:一定不能

A:都能

C:不一定能 D:不确定 做题结果:A 参考答案:A

41、(-1,1)能否表示成(1,0)和(2,0)的线性组合?若能则表出系数为▁▁。【

B:不能

A:能,1、1 C:能,-

1、1 D:能,1、-1 做题结果:A 参考答案:B

42、若m×n矩阵C中n个列向量线性无关,则C的秩▁▁▁。

A:大于m B:大于n C:等于n D:等于m 做题结果:C 参考答案:C

43、下列矩阵中不是二次型的矩阵的是

A.,B.,C.,D.做题结果:A

44、A.,B.,C.参考答案:C ,D.做题结果:C

参考答案:C

45、B:x=1 A:x=2.5 C:x=-2.5 D:x=0 做题结果:D 参考答案:A

46、B:(-3,0,2)

A:(2,1,1)

C:(1,1,0)D:(0,-1,0)做题结果:B 参考答案:B

47、下列矩阵中不是阶梯形矩阵的是

A.,B.,C.,D.做题结果:D

参考答案:B

48、B:15 A:14 C:10 D:24 做题结果:D 参考答案:A

49、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做题结果:D 参考答案:C 50、B:-2k A:k-1 C:2k D:k+1 做题结果:B 参考答案:C

51、B:-2k A:k-1 C:2k D:k+1 做题结果:B 参考答案:C

52、关于n个方程的n元非齐次线性方程组的克拉默法则,下列说法正确的是

B:如果行列式等于0,则方程组只A:如果行列式等于0,则方程组必有

有零解

无穷多解

C:如果行列式不等于0,则方程组必D:如果行列式不等于0,则方程组有唯一解 必有零解 做题结果:A

参考答案:C

53、已知三阶行列D中的第二行元素依次为1、2、3,它们的余子式分别为-

1、1、-2,则D的值为▁▁。【 】

B:-7 A:9 C:-9 D:7 做题结果:A 参考答案:A

54、B:1 A:-1 C:-8 D:8 做题结果:A 参考答案:C

55、A:a=2 B:a=0 C:a=2或a=0 D:a=2且a=0 做题结果:A 参考答案:C

56、A.,B.,C.,D.做题结果:B

57、已知A是三阶矩阵,则|-2A|=▁▁。

A:-2|A| B:8|A| C:2|A| D:-8|A| 做题结果:B 参考答案:D

58、下面结论不正确的是

C.参考答案:A

】做题结果:C 参考答案:A

59、设A是n阶方阵,λ为实数,下列各式成立的是

B.做题结果:C ,C.,D.参考答案:C 60、A.,B.,C.,D.做题结果:C

参考答案:A 61、设A是3×4矩阵,r(A)=3,则▁▁▁。

B:A中存在不为0的3阶子式

A:A中的4阶子式都不为0 C:A中的3阶子式都不为0 D:A中存在不为0的4阶子式 做题结果:B

参考答案:B 62、B:a=-2,b=1,c=0,d=-2 A:a=2,b=-1,c=0,d=-2 C:a=2,b=-1,c=0,d=2 D:a=2,b=1,c=0,d=2 做题结果:B

参考答案:D 63、两个向量线性相关,则▁▁▁。

B:其中一个为零向量

A:对应分量不成比例

C:对应分量成比例 D:两个都不是零向量 做题结果:B

参考答案:C 64、若矩阵A是行最简形矩阵,则▁▁▁。

B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵

A:矩阵A必没有零行

C:矩阵A必有零行 D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1 做题结果:B

参考答案:D 65、非齐次线性方程组Ax=b中,系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3,A是3×4矩阵,则▁▁▁。

B:无法确定方程组是否有解

A:方程组有无穷多解

C:方程组有唯一解 D:方程组无解 做题结果:B

参考答案:A 66、A.,C.,D.做题结果:D

参考答案:B 67、B:Ax=0的基础解系中的解向量的个A:Ax=0的基础解系中的解向量的个

数不可能为2 数可能为2 C:Ax=0的基础解系中的解向量的个D:Ax=0的基础解系中的解向量的个数一定为2 数不确定 做题结果:D

参考答案:C 68、(3,-2)能否表示成(1,0)和(0,1)的线性组合?若能则表出系数为。

B:不能

A:能,2、-3 C: 能,-

3、2 D:能,3、-2 做题结果:B 参考答案:D 69、B:大于n A:等于m C:等于n D:大于m 做题结果:D 参考答案:A 70、下列矩阵中是二次型的矩阵的是

A.,B.,C.,D.做题结果:D

参考答案:

B 71、B:a=-4 A:a=2 C:a=-2 D:a=4 做题结果:D 参考答案:A 72、B:(-3,0,2)A:(-2,0,1)C:(1,1,0)D:(0,-1,3)做题结果:D 参考答案:D 74、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做题结果:B 参考答案:A 75、B:3k A:k-1 C:-3k D:k+1 做题结果:D 参考答案:B 76、关于n个方程的n元非齐次线性方程组的克拉默法则,下列说法不正确的是

B:如果行列式等于0,则方程组可A:如果行列式等于0,则方程组可能有

能无解

无穷多解

C:如果行列式不等于0,则方程组必有D:如果行列式不等于0,则方程组唯一解 必有零解 做题结果:A

参考答案:D 77、已知三阶行列D中的第二列元素依次为-1、3、2,它们的余子式分别为

1、-

1、2,则D的值为

B:-7 A:6 C:-6 D:7 做题结果:A 参考答案:C 78、当a=

时,行列式的值为零。

B:6 A:-6 C:-2 D:2 做题结果:A 参考答案:A 79、行列式的值等于。

B:0 A:abcd C:d D:6 做题结果:A 参考答案:B 80、行列式≠0的充要条件是

B:a≠-1或a≠1

A:a≠-1 C:a≠1 D:a≠-1且a≠1

做题结果:A 参考答案:C 81、已知A是三阶矩阵,则ㄧ-3Aㄧ=。

B:27∣A∣

A:-3∣A∣

C:3∣A∣ D:-27∣A∣ 做题结果:A 参考答案:D 82、下面结论不正确的是

B:零矩阵都是方阵

A:上三角矩阵都是方阵

C:对称矩阵都是方阵 D:可逆矩阵都是方阵 做题结果:A

参考答案:B 83、设A是2×3矩阵,r(A)=2,则。

A:A中的2阶子式都不为0

B:A中存在不为0的3阶子式

C:A中的3阶子式都不为0 D:A中存在不为0的2阶子式 做题结果:C

参考答案:D 84、设A是s×t矩阵,B是m×n矩阵,且ACB有意义,则C是

矩阵。

A:t×m B:m×t

C:n×s D:s×n

做题结果:C 参考答案:A 85、对于含有零向量的向量组,下列说法正确的是

A:可能线性相关

B:必线性相关

C:可能线性无关 D:必线性无关 做题结果:C 参考答案:B 86、对于非齐次线性方程组的增广矩阵化为行阶梯型时。

A:不能进行行变换

B:可以进行行变换和列变换

C:只能进行行变换 D:只能进行列变换 做题结果:A

参考答案:C 87、齐次线性方程组Ax=0中,系数矩阵A的秩等于2,A是3×4矩阵,】 则

。【

B:方程组有无穷多解

A:方程组有非零解

C:方程组只有零解 D:方程组有唯一解 做题结果:C

参考答案:A 88、设δ是齐次线性方程组Ax=0的解,λ是任意实数,则λδ是

的解。

B:Ax=ζ

A:λAx=ζ

C:Ax=λζ D:Ax=0 做题结果:C 参考答案:D 89、设A是4行5列的矩阵,r(A)=4,则下列正确的是

B:Ax=0的基础解系中的解向量的个A:Ax=0的基础解系中的解向量的个

数不可能为1 数可能为1 C:Ax=0的基础解系中的解向量的个D:Ax=0的基础解系中的解向量的个数一定为1 数不确定 做题结果:A

参考答案:C 90、(-2,3)能否表示成(-1,0)和(2,0)的线性组合?若能则表出系数为

。【

B:能,2、3 A:能,-

2、-3 C:能,2、-3 D:不能 做题结果:A 参考答案:D 91、若3×4矩阵C中3个行向量线性无关,则C的秩。

A:大于3 B:等于3 C:等于4 D:大于4 做题结果:A 参考答案:B 92、已知矩阵有一个特征值为0,则。

A:b=-2 B:b=3 C:b=2 D:b=-3 做题结果:B 参考答案:A 93、设β可由向量α1=(0,1,0),α2=(1,0,0)线性表示,则下列向量中β只能是【

A:(3,0,1)B:(-3,0,2)C:(2,3,0)D:(0,-1,2)做题结果:D 参考答案:C 100、行列式D如果按照第n列展开是

A.,B.,C.,D.做题结果:D 101、计算。

A.,B.,C.,D.做题结果:C 102、【

参考答案:A

参考答案:B

A.,B.,C.,D.做题结果:D 103、下列矩阵中不是二次型的矩阵的是

A.,B.做题结果:D 104、下列矩阵中不是阶梯形矩阵的是

】 ,C.,D.参考答案:C

参考答案:C

A.,B.做题结果:D 105、下面结论不正确的是

C.做题结果:D 参考答案:A 106、下列矩阵中是二次型的矩阵的是

A.,B.做题结果:D ,C.【

】 ,C.,D.参考答案:B ,D.参考答案:

B

107、下列矩阵中是阶梯形矩阵的是

A.,B.,C.,D.做题结果:D 108、A.,B.,C.,D.做题结果:D 109、A.,B.参考答案:A

参考答案:B ,C.,D.做题结果:D

参考答案:A

110、A.,B.,C.,D.做题结果:D

参考答案:A 111、下列矩阵中不是二次型的矩阵的是

A.,B.,C.,D.做题结果:D

参考答案:C 112、A.,B.,C.,D.做题结果:D 113、下列矩阵中是阶梯型矩阵的是

A.,B.,C.,D.做题结果:C 三、填空题 四、综合题 94、求齐次线性方程组的基础解系与通解。

做题结果: 123 参考答案:

参考答案:D

参考答案:B

95、判定向量组是线性相关还是线性无关,并说明理由: α1=(1,1,1),α2=(0,2,5),α3=(1,3,6)

做题结果: 23 参考答案:

96、求齐次线性方程组的基础解系,并写出通解。

做题结果: 123 参考答案:

97、判定向量组是线性相关还是线性无关,并说明理由: α=(1,-1,0),β=(2,1,1),γ=(1,3,-1)

做题结果: 123 参考答案:

98、做题结果: 123 参考答案:

99、判定向量组是线性相关还是线性无关,并说明理由:

β1=(-1,3,1),β2=(2,1,0),β3=(1,4,1)做题结果: 123 参考答案:

五、计算题

5、求矩阵的逆矩阵。

做题结果: 123 参考答案:

7、做题结果: 123 参考答案:

8、设矩阵,求出A的所有特征值和特征向量。

做题结果: 123 参考答案:

9、求矩阵的秩。

做题结果: 123 参考答案:

10、求矩阵的逆矩阵。

做题结果: 123 参考答案:

11、用降阶法计算行列式

做题结果: 123 参考答案:

12、已知行列式,写出元素a12的代数余子式A12,并求出A12的值。

做题结果: 123 参考答案:

13、做题结果: 123 参考答案:

14、设矩阵,求出A的所有特征值和特征向量。

做题结果: 123 参考答案:

15、求矩阵的秩。

做题结果: 123 参考答案:

16、用降阶法计算行列式

做题结果: 123 参考答案:

17、已知行列式,写出元素a32的代数余子式A32,并求出A32的值。

做题结果: 123 参考答案:

18、设矩阵,求出A的所有特征值和特征向量。

做题结果: 123 参考答案:

19、求矩阵的秩。

做题结果: 123 参考答案: 73、用降阶法计算行列式

做题结果: 123 参考答案:

第二篇:线性代数试题及答案

线性代数习题和答案

第一部分

选择题

(共28分)

一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12a13a22a23=m,=n,则行列式

等于()

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n 1002.设矩阵A=020,则A-1等于()

0031

3A.00012000

1

B.10001200013

1003

C.010

1002

12D.000010 3013123.设矩阵A=101,A*是A214的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.BC时A=0 D.|A|0时B=C 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()

A.A =0

C.A0时B=C

A.1 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(AT)等于()

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()

A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λβ2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λ(αs+βs)=0

C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λ(αs-βs)=0

D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全为

s使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λ

s

0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0 7.设矩阵A的秩为r,则A中()

A.所有r-1阶子式都不为0

C.至少有一个r阶子式不等于0 是()

A.η1+η2是Ax=0的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 B.秩(A)=n-1

D.方程组Ax=0只有零解

12128.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的9.设n阶方阵A不可逆,则必有()

10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是()

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1,λ2,λ于λ1,λ2,λ11.设λ0是矩阵3是

A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属

0的线性无关的特征向量的个3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关

A的特征方程的3重根,A的属于λ

B.k<3

D.k>3 数为k,则必有()

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是()

A.|A|2必为1

C.A-1=AT

B.|A|必为1

D.A的行(列)向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC.则()

A.A与B相似

B.A与B不等价

C.A与B有相同的特征值

D.A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为()

A.23343426

B. 100

C.023035111D.120102

第二部分

非选择题(共72分)

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15.111356

.9253611111116.设A=,B=123.则

124A+2B=

.17.设A=(aij)3×3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关,则a=

.19.设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为

.20.设A是m×n矩阵,A的秩为r(

.3 / 7

21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α-β)=

.22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为

.23.设矩阵0106A=133,已知α21082=12是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为

.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为

.三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)

12025.设A=340121,B=1105231(2)|4A|..求(1)ABT;

24026.试计算行列式352112341313.42327.设矩阵A=110123,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.21301301.,α=28.给定向量组α1=,α,α23=4=22404193试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合;若是,则求出组合系数。

12124229.设矩阵A=210333266.23340求:(1)秩(A);

(2)A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵022A=234432的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形

/ 7

2f(x1,x2,x3)=x12x223x34x1x24x1x34x2x3,并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)

32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆,且(E-A)-1=E+A+A2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ基础解系.试证明

(1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ

答案:

一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空题(本大题共10空,每空2分,共20分)15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其导出组Ax=0的一个

2均是Ax=b的解;

(2)η0,η1,η2线性无关。

337137

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)),c为任意常数 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1z22z3z4

三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)

12022403425.解(1)AB=312110T

86=1810310(2)|4A|=43|A|=64|A|,而

.|A|=1203402.121所以|4A|=64·(-2)=-128 26.解 352111051234131351105110511311300

/ 7

=5111111 55051162620301040.55550=27.解

AB=A+2B即(A-2E)B=A,而

(A-2E)-1223=1101211143153.164所以

B=(A-2E)-114342353110 A=116412338696.=2212928.解一 2130053213011301

0224011234190131121000100005111200088014140002101, 0110003035112

011000所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为(2,1,1).解二

考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即 2x1x23x30x3x112 2x2x4323x14x2x39.方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1).29.解

对矩阵A施行初等行变换

121000A03209602628232

/ 7

212101210328303200000062000217000283=B.31000(1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。(A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是)

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=(2,-1,0)T,ξ2=(2,0,1)T.25/525/15经正交标准化,得η

1,η

25/5=5/15=4.05/3λ=-8的一个特征向量为

1/3ξ=13,经单位化得η2

3=2/3.22/325/5215/151/3所求正交矩阵为

T=.5/545/152/305/32/31对角矩阵

D=00010.00825/5215/151/3(也可取T=.)

05/32/35/545/152/331.解

f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32

=(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32.y1x12x22x3x1y12设yy22x2x3,即x2y2y3xyy3x333因其系数矩阵C=12011可逆,故此线性变换满秩。0001经此变换即得f(x1,x2,x3)的标准形

y12-2y22-5y32.四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)32.证

由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆,且(E-A)-1= E+A+A2.33.证

由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.(1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解。(2)考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即

(l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而

l0=0.所以η0,η1,η2线性无关。

/ 7,

第三篇:线性代数试题及答案

线性代数(经管类)试题答案

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为三阶方阵且A.-108 B.-12 则(D)

C.12 D.108 2.如果方程组A.-2 B.-1 C.1 D.2 有非零解,则 k=(B)

3.设A、B为同阶方阵,下列等式中恒正确的是(D)

A.AB=BA B.C.D.4.设A为四阶矩阵,且则(C)

A.2 B.4 C.8 D.12 5.设可由向量α1 =(1,0,0)α2 =(0,0,1)线性表示,则下列向量中只能是(B)A.(2,1,1)B.(-3,0,2)C.(1,1,0)D.(0,-1,0)

6.向量组α1,α2,…,αs 的秩不为s(s)的充分必要条件是(C)

A.α1,α2,…,αs 全是非零向量 B.α1,α2,…,αs 全是零向量

C.α1,α2,…,αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出

D.α1,α2,…,αs 中至少有一个零向量

7.设A为m矩阵,方程AX=0仅有零解的充分必要条件是(C)

A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关

8.设A与B是两个相似n阶矩阵,则下列说法错误的是(D)

A.B.秩(A)=秩(B)

C.存在可逆阵P,使P-1AP=B D.E-A=E-B 9.与矩阵A=相似的是(A)

A.B.C.D.10.设有二次型则(C)

A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.若则k=_______1/2____.12.设A=,B=则AB=___________.13.设A=, 则A-1=

14.设A为3矩阵,且方程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= _____1______.15.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___6_________.16.方程组的通解是_____ __ c 1 _+__ c 2 __.17.向量组α1 =(1,0,0)α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是_______2____.18.矩阵A=的全部特征向量是.19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=__-16_________.20.矩阵A=所对应的二次型是.三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)

21.计算四阶行列式的值.=

22.设A=,求A.A =

23.设A=,B=,且A,B,X满足(E-BA)求X,X

(E-BA)

X= =

X==

24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组.α1 α2 α4 为极大无关组。

25.求非齐次方程组的通解

通解

26.设A=,求P使为对角矩阵.=

P= =

四、证明题(本大题共1小题,6分)

27.设α1,α2,α3 是齐次方程组A x =0的基础解系.证明α1,α1+α2,α1 +α2 +α3也是Ax =0的基础解系.(答案~~略)

线性代数B期末试题

一、判断题(正确填T,错误填F。每小题2分,共10分)1.A是n阶方阵,R,则有AAAB0。()

2.A,B是同阶方阵,且3.如果4.若

111(AB)BA。(),则A与B等价,则A的行向量组与B的行向量组等价。

()A,B均为n阶方阵,则当AB时,A,B一定不相似。

()5.n维向量组1,2,3,4线性相关,则1,2,3也线性相关。()

二、单项选择题(每小题3分,共15分)

1.下列矩阵中,()不是初等矩阵。

001100100010000020100(B)010(C)001(D)(A)2.设向量组(A)(C)

100012001

1,2,3线性无关,则下列向量组中线性无关的是()。

12,23,31(B)1,2,31 1,2,2132(D)2,3,223)

12(A2E)(AA5E03.设A为n阶方阵,且。则(A)AE(B)EA(C)11(AE)(AE)33(D)

4.设A为mn矩阵,则有()。

(A)若mn,则Axb有无穷多解;

A有n阶子式不为零,则Axb有唯一解; A有n阶子式不为零,则Ax0仅有零解。

B,但|A-B|=0(B)若mn,则Ax0有非零解,且基础解系含有nm个线性无关解向量;

(C)若(D)若5.若n阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则()

(A)A与B相似(B)A(C)A=B(D)A与B不一定相似,但|A|=|B|

三、填空题(每小题4分,共20分)

012nn101.。

2.A为3阶矩阵,且满足A3,则A1=______,3A*。

1021112423421570是线性(填相关或无关)的,它的一个极大线性无关组是。3.向量组,,14241233444R(A),Axb的三个解,其中A的秩,则方程组Axb的通解为。=3,4. 已知1,2,3是四元方程组

231A1a15.设503,且秩(A)=2,则a=。

四、计算下列各题(每小题9分,共45分)。

121A3421.已知A+B=AB,且221,求矩阵B。2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1),而AT,求An。

x1x2ax31x1x22x31xax3.已知方程组12x3a2有无穷多解,求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

f(x,x22212,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3

5. A,B为4阶方阵,AB+2B=0,矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。(1)求矩阵A的特征值;(求|A+3E|。

五.证明题(每题5分,共10分)。

1.若A是对称矩阵,B是反对称矩阵,ABBA是否为对称矩阵?证明你的结论。

2.设A为mn矩阵,且的秩R(A)为n,判断ATA是否为正定阵?证明你的结论。

2)A是否可相似对角化?为什么?;(7

3)

第四篇:2006~2007线性代数试题1答案

一、选择题: [教师答题时间:2 分钟](每小题 3 分,共 12分)①A ②D

③A

④B

二、填空题: [教师答题时间:4分钟](每空 3分,共 12 分)① 5

② 线性相关

③ 0

④-8

三、计算题 [教师答题时间: 6 分钟](共16分)

1、aDnbbbab......1bbababbab0n1a(n1)ba(n1)ba(n1)b......bb(4分)a......b0bab......bba解: [a(n1)b]111

=[a(n1)b]00(2分)ab=[a(n1)b](ab)(2分)

2、1解:A3100224011211202201110121(3分)514(3分)50 45(2分)2

四、综合题 [教师答题时间: 7 分钟](共15分)

骣1çç(a1,a2,a3,a4)=ç1çççç-2桫骣1珑珑?珑0珑珑珑珑0桫骣1çç解:?ç0çççç0桫-12-801000-1-110-11-6-1-222÷÷÷4÷(2分)÷÷÷4÷-120-11-422(2分)16骣2鼢1鼢鼢2鼢(2分)?0鼢鼢鼢8鼢0桫-3÷÷÷1÷(2分)÷÷÷-4÷

所以极大无关组是a1,a2,a3(2分)a4=-3a1-a2-4a3(5分)五题、综合题 [教师答题时间: 8 分钟](共10分)

1解:A,b1110011(3)111111200(1)(4分)2(21)2∴当=-3时,线性方程组无解(2分)

当0且3时,线性方程组有唯一解(2分)当=0时,线性方程组有无穷解(2分)六题、解答题 [教师答题时间: 5 分钟](共10分)

1A3510001025325(2分)310021021(2分)001(2分)0

00∴通解为x=c-1(2分),故基础解系为c-1(2分)11七题、解答题 [教师答题时间:10 分钟](共12分)3解:E- A012124101=(1)(45)(2分)所以A的特征值为11,23i2(2分)4当1,EA011202140000100200所以1对应的特征向量为C12(C10)(3分)11ii2时,A-E=01101i0i11i3140021i100104i32i32i20

i3所以i2时对应的特征向量为C22i2(C20)(3分)1显然A不能相似对角化(2分)八题、证明题 [教师答题时间: 7 分钟](共13分)

11)证明:(1,,)=(,,)22312301设K=2002310,显然K0,∴K可逆(2分)302310(2分)3-1 ∴(1,,)=(,,2)K2313

故1,,与,,2等3价,而,,2线性3无关2311∴1,,线性无关(3分)232)证明:因为A为正交阵,故A1,而A0,∴A1(2分)E+A=AA+AAA+EAA+EE+A(2分)故A+E=0,所以E+A不可逆(2分)TT

第五篇:线性代数试题A答案

2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准

一.填空题(本题满分12分,每小题3分)

120025111、1;

2、3;

3、A0031003002;

4、2 313

二、选择题(本题满分12分,每小题3分,.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)1.C;2.C;3.A;

4、B 三.计算行列式(本题满分6分)解1 10Dn001110010001110001110001010020003100010000n

31011分

n1n

3分

解2 10Dn00111001000111000Dn11

3分 101111n

3分

四.(本题满分12分)

解:

⑴ 由等式ABAB,得ABABEE,即

AEBEE

3分 因此矩阵AE可逆,而且AEBE.

2分

1

⑵ 由⑴知,AEBE,即ABEE

11

ABEE

或AB(BE)1

2分 1010301001200010300100101130121000 2分 2120001000010

3分 1001五.(本题满分14分)

解:

110111010221

A01a32b0321a1011101221

4分 0a10b100a10所以,⑴ 当a1时,rArA4,此时线性方程组有唯一解.2分

⑵ 当a1,b1时,rA2,rA3,此时线性方程组无解.2分

⑶ 当a1,b1时,rArA2,此时线性方程组有无穷多组解.2分

此时,原线性方程组化为

x1x2x3x40 x22x32x41因此,原线性方程组的通解为

x1x3x41x2x2x1234 xx33x4x4或者写为 x1111x2212kk

4分 x311200010x3六.(本题满分12分)

3解 AE101202123,2分

03所以得特征值12,233

2分

101对 12,解方程组A2Ex0,由A2E101,得特征向量

001011

00所以对应 12的全部特征向量为c11,c10

3分

001对 233,解方程组A3Ex0,由A3E001110r1100100000,11得特征向量 21,全部特征向量为c21,c20

3分

00A没有三个线性无关的特征向量,所以不能对角化.2分

七.(本题满分12分)

1

解:

f的矩阵为A41212 .…………2分 4因此,二次型f为正定二次型.矩阵A为正定矩阵.矩阵A的各阶顺序主子式全大于零.…………2分

而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D110,D2142,…………2分

41

D3A12412 .…………2分 4412所以,二次型f为正定二次型.D2420,且D34120

由 D2420,得 22 .

由 D34120,得 21 .

因此,得 21 .

即,二次型f为正定二次型. 21…………4分

八.(本题满分8分)

已知三维向量空间的一组基为

α11,1,0,α21,0,1,α30,1,1

求向量β2,0,0在上述基下的坐标.

解:

设向量β在基α1,α2,α3下的坐标为x1,x2,x3,则有

x1α1x2α2x3α3,2分

写成线性方程组的形式,有

1102x11x20x310

2分 0110即

x1x22x1x30,xx032得唯一解x11,x21,x31,3分,1,1.

1分 因此所求坐标为1九.(本题满分12分)

证法1:记A(1,2,,m),B(1,2,,m,),显然r(A)r(B).1°因为1,2,,m线性无关,知r(A)m

1分 2°因为1,2,,m,线性相关,知r(B)m1 1分

因此r(B)m,1分

Ax(1,2,,m)xb有解且唯一。

2分

则可由1,2,,m表示,且表示法唯一。

1分

证法2:∵1,2,,m,线性相关,∴存在不全为零的数k1,k2,,km,k,使得

……………………………… 2分 k11k22 kmmk0,若k=0,则k11k22 kmm0,∵

1,2,,m线性无关,k1k2km0矛盾。∴k≠0 kk1k122mml11l22lmm …………2分 kkk若又有bj11j22jmm

0l1j11l2j22lmjmm l1j1,l2j2,,lmjm

即可由1,2,,m线性表示,且表示法唯一.…………2分

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