线性代数复习提纲1

第一篇：线性代数复习提纲1

线性代数复习重点

第一章． 行列式

1.排列的逆序数

2.对角线法则

3.具体数字行列式的计算（行列式的性质、展开定理）

4.余子式、代数余子式的线性组合的计算

5.特殊行列式（对角、三角、对称、反对称、范德蒙）

6.Cramer法则

第二章． 矩阵

1.矩阵的基本运算（转置、加法、数乘、乘法、方阵的幂、方阵的行列式、方阵的伴随、方阵的逆）及其运算性质

2.矩阵方程

3.具体数字矩阵求逆的三种方法（公式法、初等变换法、分块矩阵）

4.抽象矩阵证明可逆并求逆

5.初等矩阵与初等变换的关系

6.化行阶梯形、行最简形

7.求矩阵的秩（不带参数和带参数）

8.秩的性质（特别是乘积的秩、伴随的秩）

第三章． 向量组

1． 线性组合的概念和判断（带参数，不带参数）

2． 线性相关、无关的概念的判断（带参数，不带参数，注意有多种判断方法）

3． 线性相关、无关与线性组合的关系

4． 向量组与向量组之间的线性关系

5． 求向量组的秩和一个极大无关组

第四章． 线性方程组

1． 线性方程组解的判断

2． 解的性质（齐次，非齐次）

3． 齐次方程组的基础解系及通解

4． 非齐次方程组的通解

第五章． 相似矩阵

1． 向量的内积和正交性

2． 正交矩阵的概念和性质

3． 求特征值、特征向量

4． 特征值、特征向量的性质

5． 已知特征值求行列式

6． 相似对角化的判断

7． 实对称矩阵的特征的特殊性

第六章． 二次型

1． 二次型的矩阵

2． 二次型化标准形（配方法、对称变换法（合同变换法））

3． 正定二次型和正定矩阵的判断（多种方法）

第二篇：线性代数考试复习提纲、知识点、例题

线性代数考试复习提纲、知识点、例题

一、行列式的计算（重点考四阶行列式）

1、利用行列式的性质化成三角行列式

行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】

2、行列式按行（列）展开定理降阶

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘

n ,积之和，即Dai1Ai1ai2Ai2...ainAin

i1,2,...n , Da1iA1Ai2...aniAni

i1,2,...iai222404135例

1、计算行列式

312320

51二、解矩阵方程

矩阵方程的标准形式：AXB

XAB

AXBC

111若系数矩阵可逆，则XA1B

XBA

XACB

切记不能写成XA1B1C或X求逆矩阵的方法：

C AB1、待定系数法ABE(或BAE)

2、伴随矩阵法A11A

A其中A叫做A的伴随矩阵，它是A的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。A11AA12...A1nA21...A22...A2nAn1...An2 .........Ann初等行变换EA1

3、初等变换法AE例

2、解矩阵方程31561416X 527891001011111B20例

3、解矩阵方程 XAXB，其中 A

 10153

三、解齐次或非齐次线性方程组

设Aaijmn，n元齐次线性方程组AX0有非零解r(A)n

n元齐次线性方程组AX0只有零解r(A)n。

当mn时，n元齐次线性方程组AX0只有零解A0。

当mn时，n元齐次线性方程组AX0有非零解A0。

当mn时，齐次线性方程组一定有非零解。定义：设齐次线性方程组AX0的解1,...,t满足：（1）1,...,t线性无关，AX0的每一个解都可以由1,...,t线性表示。（2）

则1,...,t叫做AX0的基础解系。

定理

1、设Amn，齐次线性方程组AX0，若r(A)rn，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于nr。

齐次线性方程组的通解xk11...knrnr

k1,...kn,rR 设Aaijmn，n元非齐次线性方程组AXB有解r(A)r(A)。

唯一解r(A)r(A)n。

无数解r(A)r(A)n。

无解r(A)r(A)。

非齐次线性方程组的通解xk11...knrnr，k1,...kn,rR

x1x22x3x40例

4、求齐次线性方程组2x1x2x3x40的通解

2x2xx2x01234x1x23x3x41例

5、求非齐次线性方程组3x1x23x34x44的通解。

x5x9x8x0234

1四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论

xyz0例

6、当为何值时，齐次线性方程组xyz0有非零解，并求解。

2xyz02x1x2x32例

7、已知线性方程组x12x2x3，问当为何值时，它有唯一

xx2x2312解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。

五、向量组的线性相关性

1,2,...,s线性相关1,2,...,s(s2)中至少存在一个向量能由其余

向量线性表示。

存在不全为0的数k1,k2,...,ks使得k11k22..kss0。

k11列行k21,2,...,s0有非零解

k1,k2,...,ks20有非零解

......kssk1k///20有非零解

1,2,...,s...ksr1,2,...,ss

r1/,2/,...,s/s

1,2,...,s线性无关1,2,...,s(s2)中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。

若k11k22..kss0，则k1k2...ks0。

k11列行k

21,2,...,s0只有零解

k1,k2,...,ks20只有零解

......kssk1k///2,,...,0

r1,2,...,ss

12s...ks///

r1,2,...,ss

特殊的，n个n维向量1,2,...,n线性相关1,2,...,n0或

12...0。

n12...n个n维向量1,2,...,n线性无关1,2,...,n0或

0。

n例

8、已知向量组1t,2,1，22,t,0，31,1,1，讨论t使该向量组（1）线性相关

（2）线性无关

六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示

设向量组A:1,2,...,s，若从A中选出r个向量构成向量组

A0:i1,i2,...,ir满足：

（1）A0线性无关

A中的每一个向量都能由A0线性表示，（2）

条件（2）换一句话说A的任意r1个向量（若有的话）都线性相关，或者说从A中向A0任意添加一个向量（若有的话），所得的向量组都线性相关。

则A0叫做A的极大线性无关向量组，简称极大无关组。向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩，记作r1,2,...,sr 求向量组的秩的方法：（1）扩充法

12（2）子式法

1,2,...,mnm ...mmn最高阶非0子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组。

（3）初等变换法

同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。例

9、设向量组

1(1,2,1,3),2(4,1,5,6),3(1,3,4,7),4(2,1,2,3)

求（1）向量组的秩；

（2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大线性无关组线性表示。

七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题

P1APB

相似矩阵的性质:

1、相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式，迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。

2、相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。

3、相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。

4、若A与B相似，则Ak与Bk相似，kN，则(A)与(B)相似。

Bk(P1AP)kP1APP1AP...P1APP1AkP

12相似 An与nAn有n个线性无关的特征向量p1,p2,...,pn，且以它们为列向量组的矩阵P使P1AP，1,2,...,n分别为与p1,p2,...,pn对应的An的特征值。

若An有n个互不相等的特征值1,2,...,n，则An一定与12相似。nAn与相似对应于An的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。

nr(EA)k

其中k为的重数

1245002x2B0y0例

10、设矩阵A与相似 004421（1）求x与y；

（2）求可逆矩阵P，使P1APB。

001例

11、设A11a，问a为何值时，矩阵A能相似对角化。

100 例

12、设三阶矩阵A的特征值为11，22，33，对应的特征向量依次为11,1,1，21,2,4，31,3,9，求矩阵A。

例

13、设三阶实对称矩阵A的特征向值1,1,1，与特征值1对应的特征向量为11,1,1，求A。

///

八、化二次型为标准型，并求所用线性变换的矩阵

22例

14、化二次型f(x1,x2,x3)x15x26x234x1x26x1x310x2x为标准3型，并求所用可逆线性变换的矩阵。

例

15、化二次型f(x1,x2,x3)2x1x22x1x36x2x3为标准形，并求所用可逆线性变换的矩阵。

第三篇：线性代数试题1（推荐）

线性代数试题

课程代码：02198

说明：|A|表示方阵A的行列式

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共24分)1.若A是（），则A必为方阵.A.分块矩阵

B.可逆矩阵 C.转置矩阵

D.线性方程组的系数矩阵

*-12.设n阶方阵A，且｜A｜≠0，则(A)=（）.A.1|A|A

B.D.1|A|A* A C.｜A-1｜A-1

1|A|*3.设向量组M为四维向量空间R4的一个基，则（）必成立.A.M由四个向量组成 B.M由四维向量组成

C.M由四个线性无关的四维向量组成 D.M由四个线性相关的四维向量组成

4.已知β1=3α1-α２，β2=α1+5α2，β3=-α1+4α2，α1，α2为非零向量，则向量组β1，β2，β3的秩（）.A.>3

B.<3 C.=3

D.=0 5.设向量α1=(3,0,-2)T，α2=(2,-1,-5)T，β=(1,-2,k)T，则k=（）时，β才能由α1,α2线性表示.A.–2

B.–4 C.–6

D.-8 6.设n阶方阵A，秩(A)=r

C.任意r个行向量都构成最大无关组

D.任意一个行向量都可由其他r个行向量线性表示

7.设非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，A为m×n矩阵，则必有（）.A.m=n

B.秩(A)=m C.秩(A)=n

D.秩(A)

浙02198# 线性代数试题 9.A为实对称矩阵，Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2，且λ1≠λ2，则(x1，x2)=（）.A.1

B.–1 C.0

D.2 10.若（），则A∽B.A.｜A｜=｜B｜

B.秩(A)=秩(B)C.A与B有相同的特征多项式

D.n阶矩阵A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同 11.正定二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为A，则（）必成立.A.A的所有顺序主子式为非负数

B.A的所有特征值为非负数 C.A的所有顺序主子式大于零

D.A的所有特征值互不相同 12.设A，B为n阶矩阵，若（），则A与B合同.A.存在n阶可逆矩阵P、Q，且PAQ=B B.存在n阶可逆矩阵P，且P-1AP=B C.存在n阶正交矩阵Q，且Q-1AQ=B D.存在n阶方阵C、T，且CAT=B

二、填空题(每空2分，共24分)00010100001001.行列式001=______.12.设A=23，则AAT=______.3.向量组α1=(1,1,1,1),α2=(0,1,1,1),α3=(0,0,1,1)的一个最大无关组是______.4.非零n维向量α1,α2线性无关的充要条件是______.5.三维向量空间R3的一个基为(1，2，3)，(-4，5，6)，(7，-8，9)，R3中向量α在该基下的坐标为(-2，0，1)，则α=______.6.线性方程组Ax=0解向量的一个最大无关组为x1，x2，…，xt，则Ax=0的解向量x=_____.7.设m×n矩阵A，且秩(A)=r，D为A的一个r+1阶子式，则D=______.8.已知P-1AP=B，且｜B｜≠0，则09.矩阵A=01010100|A||B|=______.的所有特征值为________.10.二次型f(x1,x2,x3)的矩阵A有三个特征值1，-1，2，该二次型的标准形为______.浙02198# 线性代数试题 11.二次型f(x1,x2,x3)=2x12-x22+x32，该二次型的负惯性指数等于______.112.与矩阵A=0100010对应的二次型是______.0

三、计算题(每小题7分，共42分)1.已知2103X=01a11，求矩阵1a2a21a2a2a31a3a3a3X.1a4a4a4a42.计算行列式a1a11a1

3.t取何值时，向量组α1=(1,2,3),α2=(2,2,2)，α3=(3,0,t)线性相关，写出一个线性相关的关系式.x14x2x32x404.方程组2x1x23x3x40是否有非零解?若有，求其结构解.3x6x7x02315.已知二阶方阵A的特征值为4，-2，其对应的特征向量分别为(1，1)T，(1，-5)T，求矩阵A.6.求一个正交变换，把f(x1,x2)=2x12+2x1x2+2x22化成标准形，并判断f(x1,x2)是否正定.四、证明题(每小题5分，共10分)1.若对称矩阵A为非奇异矩阵，则A-1也是对称矩阵.2.设n阶矩阵A，且A2=E，试证A的特征值只能是1或-1.浙02198# 线性代数试题

第四篇：2006~2007线性代数试题1答案

一、选择题： [教师答题时间：2 分钟]（每小题 3 分，共 12分）①A ②D

③A

④B

二、填空题： [教师答题时间：4分钟]（每空 3分，共 12 分）① 5

② 线性相关

③ 0

④-8

三、计算题 [教师答题时间： 6 分钟]（共16分）

1、aDnbbbab......1bbababbab0n1a(n1)ba(n1)ba(n1)b......bb（4分）a......b0bab......bba解: [a(n1)b]111

＝[a(n1)b]00（2分）ab＝[a(n1)b](ab)（2分）

2、1解：A3100224011211202201110121(3分）514(3分）50 45(2分）2

四、综合题 [教师答题时间： 7 分钟]（共15分）

骣1çç(a1,a2,a3,a4)=ç1çççç-2桫骣1珑珑?珑0珑珑珑珑0桫骣1çç解：?ç0çççç0桫-12-801000-1-110-11-6-1-222÷÷÷4÷(2分）÷÷÷4÷-120-11-422(2分）16骣2鼢1鼢鼢2鼢(2分）?0鼢鼢鼢8鼢0桫-3÷÷÷1÷(2分）÷÷÷-4÷

所以极大无关组是a1,a2,a3(2分）a4=-3a1-a2-4a3(5分）五题、综合题 [教师答题时间： 8 分钟]（共10分）

1解:A,b1110011(3)111111200(1)(4分）2(21)2∴当＝－3时，线性方程组无解（2分）

当0且3时，线性方程组有唯一解（2分）当＝0时，线性方程组有无穷解（2分）六题、解答题 [教师答题时间： 5 分钟]（共10分）

1A3510001025325(2分）310021021(2分）001(2分）0

00∴通解为x=c-1(2分），故基础解系为c-1(2分）11七题、解答题 [教师答题时间：10 分钟]（共12分）3解：E－ A012124101=(1)(45)(2分）所以A的特征值为11,23i2(2分）4当1，EA011202140000100200所以1对应的特征向量为C12(C10)(3分）11ii2时，A-E=01101i0i11i3140021i100104i32i32i20

i3所以i2时对应的特征向量为C22i2(C20)(3分）1显然A不能相似对角化(2分）八题、证明题 [教师答题时间： 7 分钟]（共13分）

11)证明：（1，，）＝（，，）22312301设K=2002310,显然K0,∴K可逆（2分）302310（2分）3-1 ∴（1，，）=（，，2）K2313

故1，，与，，2等3价，而，，2线性3无关2311∴1，，线性无关（3分）232)证明：因为A为正交阵，故A1,而A0，∴A1(2分）E＋A＝AA＋AAA＋EAA＋EE＋A(2分）故A＋E＝0，所以E＋A不可逆(2分）TT

第五篇：线性代数试卷(网上1)

线 性 代 数 试 卷(A)

一、选择题（每题3分，共15分）

1a12若矩阵A01a2的秩r(A)2,则a的值为_____________10121.(A)0(B)0或-1(C)-1(A)AT••(D)-1或者1(B)-AT*设A为正交矩阵，且|A|1,则A_____________ 2.(C)A••••(D)-A

TT3.设,是n维列向量,0,n阶方阵AE,n3，则在A的 n个特征值中,必然______________

(A)有n个特征值等于1(B)有n1个特征值等于1(C)有1个特征值等于1(D)没有1个特征值等于1

r(A)r(B),则______________ 4.设A,B为n阶方阵，且秩相等，既(A)r(A－B)0(B)r(AB)2r(A)(C)r(A,B)2r(A)(D)r(A,B)r(A)r(B)

___ 5.设矩阵Amn的秩r(A)n,则非齐次线性方程组Axb__________(A)一定无解(B)可能有解(C)一定有唯一解(D)一定有无穷多解

二、填空题（每题3分，共15分）

**|A|2|2A|=_____________ nA1.设是阶方阵A的伴随矩阵，行列式，则

2.D中第二行元素的代数余子式的和

1111j1A42j=__________ ,其中

D =

212f(xx,x)x4x2x2ax1x12x2x3正定,则实常数 1,231233.已知实二次型

a的取值范围为________________

111111111111AB________________BA4.2n阶行列式 ,其中n阶矩阵 a0000b0a00b0AB000ab00



101020，101nn1而n2为正整数，则A2A______ 5.设A=

三、计算题(每题9分,共54分)1.计算n阶行列式

x1mx2x3xnx1x2mx3xnDn••x1x2x3xnm

20060011AXBAABX0，其中,A010,B012001021 X2.求矩阵使

2x1x2a3x3a4x4d1x12x2b3x3b4x4d2cxcx2x3xd22343有三个解向量 3.设非齐次线性方程组11231112142

1＝1，2＝1，3＝2

求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中ai,bj,ck,dt为已知常数)

4.已知实二次型 f(x1,x2,x3)=2x13x23x32x2x3(0)经过正交

222y2y5yXQY123变换,化为标准形,求实参数及正交矩阵Q

x1x2x33x402xx3x5x112343x12x2ax37x41x1x23x3x4b，问a,b各取何值时，线性

2225.设线性方程组为

方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解

446.在四元实向量构成的线性空间R中,求a使1,2,3,4为R的基,并求由基1,2,3,4到1,2,3,4的过渡矩阵P,其中

四、证明题(每题8分,共16分)1.设 1,2,3 是欧氏空间V的标准正交基,证明: 13也是V的标准正交基

11110111123400110001    111111101234a2a001100   

1(21223)2(21223)3(12223)1313

T2.设fXAX是n元实二次型,有n维实列向量X1,X2,使X1AX10，TTX2AX20, 证明:存在n维列实向量X00,使X0AX0=0

T