线性代数附录答案习题1和习题2

第一篇：线性代数附录答案习题1和习题2

习题一

1.计算下列排列的逆序数

1）9级排列 134782695；

2）n级排列

n(n1)2。1

解：（1）(134782695)04004200010 ；

（2）[n(n1)21](n1)(n2)102.选择i和k，使得：

1）1274i56k9成奇排列；

2）1i25k4897为偶排列。

解：（1）令i3,k8，则排列的逆序数为：(127435689)5，排列为奇排列。从而i3,k8。

（2）令i3,k6，则排列的逆序数为：(132564897)5，排列为奇排列。与题意不符，从而i6,k3。3.由定义计算行列式

n(n1)。2a11a21 a31a41a51 aaaaa1222324252000aa000a53a43000。a5a4444555解：行列式＝j1j2j3j4j5(1)(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，因为j1,j2,j3至少有一个大于3，所以a1j1a2j2a3j3中至少有一数为0，从而a1j1a2j2a3j3a4j4a5j50（任意j1,j2,j3,j4,j5），于是j1j2j3j4j5(1)(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j50。

4.计算行列式： 40211）131； 2）

12241141111； 3）

1111011***； 07a213279b24）；5）21284c1512525d2146416(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)2。2(c3)(d3)2解：（1）－40 ；（2）－16 ；（3）0 ；（4）－1008 ；（5）0。

5.计算n阶行列式：

xy0001230xy0011000x00022 1）； 2）000xy000y000x000n1n0000；

2n0n11n1a1111a2 3）11xy1222122221（ai0）； 4）2232。1an222n00y0000x00xy00解：（1）原式=x(1)n1y0x00（按第一列展00xy000x00xy开）

=xn(1)n1yn。n(n1)232010002（2）行列式=000000n1n0000（后n1列和加到第一列，2n001n再按第一列展开）

n(n1)(1)(2)(1n)

=2(n1)!

=(1)n1。

2111101a11111a21（第一行第一列为添加的部分，注意（3）行列式=00111an此时为n1级行列式）

11101c11c2100a11c1c3a

2r2r1r3r11a111011a1an0001a100101000a2rn1r11c1cn1ana20

0anan

=(111)a1a2an。a1an1222000r2r11r3r10（4）行列式101rnr1100n222210210=1(1)（按第二行展开）00n22(n2)!。提高题

1.已知n级排列j1j2jn1jn的逆序数为k，求排列jnjn1j2j1的逆序数。解：设原排列j1j2jn1jn中1前面比1大的数的个数为k1，则1后面比1大的数的个数为(n1)k1，于是新排列jnjn1j2j1中1前比1大的个数为(n1)k1个；依此类推，原排列j1j2jn1jn中数i前面比i大的数的个数为ki，则新排列jnjn1j2j1中n)1i前比in大的个数为

(ni)ki个记(j1j2njkj1k2k1，k故新排列的逆序数为

n(n1)k。2[(n1)k1][(n2)k2][(n(n1)kn1]12(n1)k2.由行列式定义计算

2xx121x114 f(x)中x与x3的系数，并说明理由。

32x1111x解： 由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的n个元素的乘积。而该行列式中每个元素最高含x的一次项，因此x4的项只能由对角线上的元素乘积所得到x4，故x4的系数为(1)(1234)2＝2。

同样的考虑可得x3的系数为(1)(2134)＝－1。

1xx21a1a1223.设P(x)1a2a221an1an1xn1a1n1n1，其中ai互不相同。a2n1an

11）说明P(x)是一个n1次多项式；

2）求P(x)0的根。

解：1)把P(x)按第一行展开得：P(x)A111A12xA1nxn1。11而A1n1a1a2a1n2n2a20，所以P(x)是一个n1次多项式。

n2an1an1根据范德蒙行列式

P(x)(xa1)(xa2)(xan1)(a1a2)(a1an)(a2a3)(a2an1)(an2an1)

2)因为xai（i1,2,,n1）代入P(x)中有两行元素相同，所以行列式为零，从而P(x)0的根为a1,a2,,an1。

习题二解答

1.计算 1）x1x2a11x3a21a31a12a22a32a13x1a23x2 ；

a33x3010；求 A2、A3、A4。2）已知A1010222解：1）a11x1 ； (a12a21)x1x2(a13a31)x1x3a22x2(a23a32)x2x3a33x3000000000 ；A3 ；A4。

2）A2100000000100100000003111112.设 1）A212，B210，求 ABBA。

101123abc1ac

2）Acba，B1bb，求 AB。

1111caabca2b2c22222解：1）20 ；2）abc0b2ac4423abc3.设A是n阶实方阵，且AA0。证明A0。

b22ac222abc。abca11a12a21a22证明：设Aan1an2a1na11a21a2na12a22，则Aanna1na2nan1an2。从而。ann2a121a221an1222aaa1222n2AA0。

222a1na2nann222222222所以a11a21an1a12a22an2a1na2nann0。因为aij为实数，故aij0（i,j1,2,,n）。即A0。

a1a2，a,a,,a互不相同。证明与A可交换的矩阵只4.设An12an能为对角矩阵。

b11b12b21b22证明：设与A可交换的矩阵为Bbn1bn2a1b11a1b12a2b21a2b22 anbn1anbn2b1nb2n，由ABBA得： bnnanb1nanb2n。anbnna1b1na1b11a2b12a2b2na1b21a2b22anbnna1bn1a2bn2即 aibijajbij（i,j1,2,,n）。由于a1,a2,,an互不相同，所以ij时，b1100b22bij0。故B0bn200。即B为对角矩阵。05.证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。证明：设A为方阵，记B(AA)2，C(AA)2，则可知B为对称矩阵，C为反对称矩阵。且ABC。

6.设f()amma1a0，定义f(A)amAma1Aa0E，其中A211是n阶方阵。已知f()21，A312，计算f(A)。110513解：f(A)A2AE803。2127.已知方阵A满足A2A7E0。证明A及A2E可逆，并求它们的逆矩阵。

证明：由A2A7E0，可得：A(AE)7E。所以A可逆，且A1(AE)。7同理由A2A7E0，可得：(A3E)(A2E)E。所以A2E可逆，且(A2E)1A3E。

8.求下列矩阵的逆阵：

21122313 ；3）110 ； 1） ；2）12121121112111121111121 ；5）。4）1111211111215解：1）2533111435 ；2）1131 ；3）153 ； 41113164511118421842111111。4）；5）

844111116111184229.已知A120，且ABA2B，求B。12301011121，解：由ABA2B，可得B(A2E)A。又(A2E)2131120所以B(A2E)1A152。26110.设A是n阶方阵，如果对任意n1矩阵X均有AX0。证明A0。

a11a12a21a22证明：记Aan1an2a1n1a2n0，取X，由AX0，可得ai10

0ann0（i1,2,,n）。同理可得aij0（i,j1,2,,n）。从而A0。11.已知4阶方阵A的行列式A5，求A*。

解：因为 AAAE，两边取行列式有 AAA。所以 A*53125。

4A12.设A，B分别为m，n阶可逆方阵，证明分块矩阵C证明：因为 A，B可逆，所以 A0，B0。故

0 可逆，并求逆。

BA0AB0，从而CBAC0X11可逆。记BX21X12A是CX220A的逆，则BC0X11BX21X12E，X22AX11EX11A1AX120A0X120于是，解得。故矩阵的逆为11CBX21BCACX11BX2101CX12BX22EX22BA111BCA0。1BA111，其中A，C存在，求X。0013.设XC0解：因为 CA0C10XE，所以0A10CA0C1。的逆为100A14.求下列矩阵的秩：

2241143213113021 ；

1）213 ；2）112111370513122111aa2

3）1bb21cc2a3b3。c3解：1）2。2）4。3）当abc时，秩为1；当a,b,c有某两个相等时，秩为2；当a,b,c互不相等时，秩为3。

提高题

1.秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和。

证明：设矩阵A的秩r，由推论1结果可知：存在可逆矩阵P和Q使得EPAQr001Er，即 AP00010Ir1I1 QP[000001其中 ]Q，0Ik（k1,2,,r）表示第k行k列元素为

1、其余元素为0的r阶方阵。记A1[Ik01kP00 ]Q（k1,2,,r），则Ak的秩为1，且AA1Ak。2.设mn矩阵A的秩为1，证明：

a11）A可表示成b1bn； am2）A2kA(k是一个数)。

证明：1）因为A的秩为1，所以存在某元素aij0。记A的第i行元素为b1,,bn，则A的任一行向量可由第i行线性表示（否则与i行向量线性无关，与A的秩为1矛盾）。记a1,,an依次为第1行、、第n行的表示系数，则有Aa1b1bn。

ama12）由1）Ab1bn，所以

amA2[a1ba1](ba11bn][b1bn1a1bnan)b1amamama1

kbb1n（其中kb1a1bnan）。

am1 设A是n阶方阵，X是n1矩阵13.，证明：

1

1）AX的第i个元素等于A的第i行元素之和；

2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常数a，则A1的每一行元素之和也相等。

bna11a12a21a22证明：1）记Aan1an2a1na11a12a1na2naaa21222n，则AX。

annaaannn1n2aa

2）若A的每一行元素之和等于常数a，由1）AXaX，由于Aa可逆，所以a0。从而A1X11X，即A1的每一行元素之和等于常数。aa4.证明：

1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；

2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。证明：1）记Aaijnn，Bbjknn为上三角矩阵，CAB。则ijk时，aij0，bjk0。对任意s，当is时，ais0，当kis时bsk0，即任意s，aisbsk0。从而ik时，cikai1b1jaisbskainbnk0。故上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。

a11a120a22

2）对可逆的上三角矩阵A00a11a120a22对于AE00变换

a1na2n，aii0（i1,2,,n），anna1na2nann100010，先进行第二类初等行

0011，再作第三类初等行变换把左边变成单位矩阵时，右边ri（i1,2,,n）aii即为上三角矩阵。亦即可逆的上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵。5.已知实三阶方阵A满足：1）aijAij；2）a331。求A。解：因为AAAE，所以AAA。由于aijAij，从而有AAA。于是A0或A1。

若A0，则AAAA0，由于A为实三阶方阵，由习题3可得A0。此与a331矛盾。从而A1。

6.设AE，其中是n1非零矩阵。证明：

1）A2A的充分必要条件是1； 2）当1时，A是不可逆矩阵。

证明：1）若A2A，即有E(2)E。又是n1非零矩阵，所以是nn非零矩阵，从而21，即1。以上每步可逆，故命题成立。

2）当1时，由1），A2A。若A可逆，则可得A0，矛盾。故A是不可逆矩阵。

7.设A，B分别是nm、mn矩阵，证明：3EmABEnABEmBA。EnBEnAB；EnEm0Em证明：因为AAEnEm又ABEmEn0BEm，所以EnABABEm0EmBABEm，所以AEnAE0EnnBEmBA。从而命En题成立。

8.A，B如上题，0。证明：EnABnmEmBA。

0EmEm证明：由于0，可得1AAEnEmBEn0B，所以 1EnABEmABEnEm0BmnEnAB； 1EnABEm又ABEm0EmBABEm，故AEnAE0EnnBEmBA。从而EnEnABnmEmBA。

第二篇：线性代数习题2

第2章

线性方程组

练习题

1、已知 1 =(1 , 1 , 0 , 1)T，2 =(2 , 1 , 3 , 1)T，3 =(1 , 1 , 0 , 0)T，4 =(0 , 1 , 1 , 1)T， =(0 , 0 , 0 , 1)T，（1）求向量组 1，2，3，4 的秩，（2）判定  是否可以表为 1，2，3，4 的线性组合，说明理由。（4，可以）

2、设向量组 1 =(1 , 1 , 1)T，2 =(1 , 2 , 3)T，3 =(1 , 3 , t)T，求（1）当 t 为何值时，1，2，3 线性无关？（2）当 t 为何值时，1，2，3 线性相关？此时将 3 表为 1 与2 的线性组合。

（t  5 时，1，2，3 线性无关；t = 5时，1，2，3 线性相关，且 3 = 1 + 2

2）

3、确定  为何值时，向量  =(0 , 1 , )T 可以表为向量组 1 =(1 , 2 , 3)T，2 =(2 , 1 , 1)T，3 =(1 , 1 , 2)T，4 =(2 , 1 , 1)T 的线性组合，并求出一个具体表达式。

（ =1； = 1 + 2 + 3 + ）

k11k3

4、设 11，2k，31，2，讨论 k 为何值时，（1） 不能由 1，1k122，3 线性表出；（2） 能由 1，2，3 线性表出，且表示法唯一；（3） 能由 1，2，3 线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。

（（1） 2；（2）k  1且 k  2 ；（3）1， = 2 ）

5、已知向量组 1 =(1 , 0 , 2 , 3)T，2 =(1 , 1 , 3 , 5)T，3 =(1 , 1 , a+2 , 1)T，4 =(1 , 2 , 4 , a+8)T 及  =(1 , 1 , b+3 , 5)T，求（1）a、b 为何值时， 不能表示成 1，2，3，4 的线性组合；（2）a、b 为何值时， 有 1，2，3，4 的唯一线性表示式，写出该表示式。

（当 a = 1 且 b  0 时，不可以；当 a  1 时，有唯一的线性表示式

2bab1b1230

4）a1a1a1

6、已知 1 =(1 , 2 , 3 , 1)T，2 =(5 , 5 , a , 11)T，3 =(1 , 3 , 6 , 3)T， =(2 , 1 , 3 , b)T，问（1）a、b 取何值时， 不能由 1，2，3 线性表示？（2）a、b 取何值时， 可以由 1，2，3 线性表示？并写出表示式。

（b  4 时，不能；b = 4 且 a  12 时，唯一表示： = 1 + 0  2 + 3 ； b = 4 且 a = 12 时，表示不唯一： =(12c)1 + c 2 +(13c)3（c 为任意常数））

7、设向量组 1 =(2 , k , 1)T，2 =(k1 , 1 , 2)T，3 =(4 , 1 , 4)T 线性相关，求k 值。（k = 1 或 k = 9 / 4）

8、设 n 维（n > 1）向量组

1 =(0 , 1 , 1 , … , 1 , 1)T，2 =(1 , 0 , 1 , … , 1 , 1)T，…，n =(1 , 1 , 1 , … , 1 , 0)T，试判断该向量组是否线性相关。（线性无关）

9、已知向量组 1，2，…，s（s  2）线性无关，设 1 = 1 + 2，2 = 2 + 3，…，s1 = s1 + s，s = s + 1，讨论向量组 1，2，…，s 的线性相关性。

（s 为奇数时，线性无关；s 为偶数时，线性相关）

10、设向量组 1，2，3 线性无关，问常数l，m满足什么条件时，向量组 l2  1，m 3  2，1  3 线性无关。（l m  1）

11、设向量组 1 =(1 , 2 , 1 , 1)T，2 =(2 , 0 , t , 0)T，3 =(0 , 4 , 5 , 2)T 的秩为 2，求 t 的值。（t = 3）

12、设向量组 1，2，3，4，5，其中 1 =(1, 1, 2, 4)T，2 =(0, 3, 1, 2)T，3 =(3, 0, 7, 14)T，4 =(1, 2, 2, 0)T，5 =(2, 1, 5, 10)T。求（1）向量组 1，2，3，4，

5的秩；

（2）找出向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。

（3；1，2，4 为其一个极大无关组，3 = 31 + 2 + 0  4，5 = 21 + 2 + 0  4）

13、已知向量组 1 =(1 , 1 , 1 , 3)T，2 =(1 , 3 , 5 , 1)T，3 =(3 , 2 , 1 , p+2)T，4 =(2 , 6 , 10 , p)T，问：

（1）p 取何值时，向量组 1，2，3，4 线性无关？试将向量  =(4 , 1 , 6 , 10)T 用 1，2，3，4 线性表出。

（2）p 取何值时，向量组 1，2，3，4 线性相关？求出 1，2，3，4 的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。

（p  2时，线性无关，213p41p234；P = 2 时，线性相关，极大无关p2p2组：1，2，3，且 4 = 0 1 + 22 + 0  

3）

kx12x2x30

14、已知齐次线性方程组 x1x2x30 有非零解，求 k 的值。（2 或 3）

2xkx021

15、设 3  4 矩阵 A 为一齐次线性方程组的系数矩阵，且 r(A)= 2，又已知 1 =(1 , 1 , 3 , 1)T，2 =(1 , 1 , 1 , 3)T，3 =(5 , 2 , 8 , 9)T，4 =(1 , 3 , 1 , 7)T 均为该齐次线性方程组的解。试求它的一个基础解系，并将其余解表为该基础解系的线性组合。

37（基础解系：1，2 ；且 312，4 = 1 + 2 ）

16、已知向量组 1 =(1 , 2 , 1 , 0 , 0)T，2 =(1 , 2 , 0 , 1 , 0)T，3 =(0 , 0 , 1 , 1 , 0)T，x1x2x3x4x503x2xxx3x0123454 =(1 , 2 , 3 , 2 , 0)T 都是下面齐次线性方程组的解：，判断

x2x2x6x023455x14x23x33x4x501，2，3，4 是否为该方程组得一个基础解系？若是，说明理由；若不是，在此向量组的基础上进行适当增减后，构成一个基础解系。

（不是。基础解系为：1，2，，其中  =(5 , 6 , 0 , 0 , 1)T）

x412x1x2

17、用基础解系表示下列方程组的全部解 x13x27x34x43。

3x2xxx22341011121（c1c2，c1、c2 为任意常数）

010001 11x111A2a2b2B3X

18、设 x2，试就 a、b 的各种取值情况，讨论线，，x03aa2b33性方程组AX = B 的解，如果有解，求出其解。

（当 a = 0 时，无解；当 a  0 且 a  b 时，有唯一解：x11且 a = b 时，有无穷多解：x11

19、已知非齐次线性方程组 AX = B 的增广矩阵A 经初等行变换化为如下形式：

11,x2,x30 ；当 a  0 aa11,x2c,x3c，c 为任意常数）aa10AA,B00写出它的全部解。04120k800120011，讨论 k、t 取何值时方程组无解，有解；当有解时，0t2141122（当 t  2 时，无解；当 t = 2 且k = 8 时，全部解为 c1c2，c1、0100011112c2 为任意常数；当 t = 2 且k  8 时，全部解为 c，c 为任意常数）

0001

x3x40x1x2x22x32x4120、当 a、b 为何值时，线性方程组  无解，有唯一解和无穷多

x(a3)x2xb234x3ax413x12x2解？在方程组有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示出线性方程组的全部解。

（a = 1 且 b  1 时，无解；a  1 时，唯一解；a = 1 且 b = 1 时，无穷多解：111122c1c2，c1、c2 为任意常数）

010001

x1x2kx34

21、讨论k为何值时线性方程组x1kx2x3k2 无解，有唯一解，有无穷多解？在有无

xx2x4231穷多解的情况下，用基础解系表示其全部解。

03（当k = 1时，无解；当k  1且 k  4时，唯一解；当k = 4时，无穷多解：4c1，01c为任意常数）

22、设四元非齐次线性方程组 AX = B 的系数矩阵的秩为 3，已知 1，2，3 为它的三个解向量，其中 1 =(2 , 0 , 5 , 1)T，2 + 3 =(2, 0, 2 , 6)T，试求该方程组的全部解。

2200（c，c为任意常数）

51218

23、已知矩阵 A 是元非齐次方程组的系数矩阵，且 r(A)= 3，1，2，

3是该方程组的三个不同解向量，其中 1 + 22 + 3

=(2 , 4 , 6 , 8)T，1 + 23 =(1 , 3 , 5 , 7)T，试求 4 元非齐次方程组的全部解。（（24、设 A 为 3  4 矩阵，r(A)= 2，且已知非齐次线性方程组 AX = b 的三个解为 1 =(1 , 1 , 0 , 2)T，2 =(2 , 1 , 1 , 4)T，3 =(4 , 5 , 3 , 11)T，求：（1）齐次线性方程组 AX = 0 的通解；（2）用基础解系表示出 4 元非齐次线性方程组 AX = b 的全部解。

（ = c1(2  1)+ c2(3  2)= c1(1 , 2 , 1 , 2)T + c2(2 , 4 , 2 , 7)T，c1、c2 为任意常数； = 1 +  =(1 , 1 , 0 , 2)T + c1(1 , 2 , 1 , 2)T + c2(2 , 4 , 2 , 7)T，c1、c2 为任意常数）

25、已知 1 =(1 , 2 , 0)T，2 =(1 , a+2 , 3a)T，3 =(1 , b+2 , a+2b)T， =(1 , 3 , 3)T，当 a、b 为何值时，1，2，3 是 R3 的一组基？并求  在这组基下的坐标。

a11（a  0 且 a + 5b + 12  0；，0）

aa13，1，2)Tc(2,0,2,4)T，c 为任意常数。）22

26、在 R3 中给定两组基：1 =(1 , 1 , 0)T，2 =(0 , 1 , 1)T，3 =(1 , 1 , 2)T ；1 =(1 , 0 , 1)T，2 =(0 , 1 , 1)T，3 =(1 , 1 , 4)T，求非零向量 ，使它在上述两组基下有相同的坐标。

（ = c(0 , 1 , 1)T，c 为任意非零常数）

x4x50x1x2x32x50，求其解空间的一组正交基。

27、设齐次线性方程组 x1x2x3x4x50121，1，0)T，(1 , 0 , 1 , 0 , 1)T）（(1 , 1 , 1 , 0 , 0)T，(，333

28、设 1 =(1 , 2 , 2)T，2 =(2 , 4 , 4)T，3 =(1 , 0 , 1)T，4 =(2 , 2 , 3)T，5 =(5 , 3 , 7)T

 R3，求（1）R3 的子空间 L(1，2，3，4，5)的维数和一组标准正交基。（2）1，2，3，4，5 在这组标准正交基下的坐标。

222112（dim L(1，2，3，4，5)= 3，,,，,,，333333122,,；(3 , 0 , 0)，(6 , 0 , 0)，(1 , 1 , 0)，(4 , 1 , 0)，(1 , 1 , 9)）

333

29、设向量组 1，2，3，其中

1 =(1 , 1 , 0)T，2 =(1 , 0 , 1)T，3 =(1 , 1 , 1)T，并且 1 与 2 线性无关，3 与 1，2 相互正交，（1）试判断 1，2，3 是否为 R3 上的一组基；（2）如果是，将其化为 R3 上的一组标准正交基。

1,（是；21TTT11,0，,,266T12,，63T13,1）3T

30、证明题

x12x22x30（1）设方程组 2x1x2x30 的系数矩阵为 A，三阶矩阵 B  0，且满足 A B = 0，求3xxx0231① 参数  ；② 该方程组的全部解；③ 证明行列式  B  =0。

（1； = c(0 , 1 , 1)T，c 为任意常数）

（2）设实矩阵 Amn（n < m），且线性方程组 A X = B 有唯一解，证明：AT A 是可逆矩阵，并求其解矩阵 X 的表达式。（X =(AT A)1 AT B）

（3）设 A 为 n 阶非零矩阵，求证：若存在一个 n 阶非零矩阵 B，使 A B = 0，则  A  = 0。

（4）设 A 为 m  n 矩阵，B 为 n  m 矩阵（m < n），E 是 m 阶单位矩阵，若 A B= E，求证： A 的行向量组线性无关。

（5）设向量组 1，2，3 线性无关，证明：向量组 1 + 2，32 + 23，1  22 + 3 线性无关。

（6）求证：n 维向量组 1，2，…，n 线性无关的充要条件是 n 维标准向量组 1，2，…，n 可以由 1，2，…，n 线性表示。

（7）设 1，2，…，s 为一组 n 维向量（s  2），且向量组

123s213s，求

s12s1证：向量组 1，2，…，s 线性无关的充分必要条件是 1，2，…，s 线性无关。

（8）设 1，2，…，m 为一个 n维向量组，已知 r(1，2，…，s)= r(1，2，…，s，s+1，…，m)，求证：{ 1，2，…，s } { 1，2，…，s，s+1，…，m }。

（9）已知向量组 1，2，…，m+1（m  1）线性无关，向量组 1，2，…，m 可表为 i = i + t i m+1（i = 1，2，…，m），其中 t i（i = 1，2，…，m）是数。证明：向量组 1，2，…，m 线性无关。

（10）设向量组 1，2，3，…，n 的前 n  1 个向量线性相关，后 n  1 个向量线性无关，证明：① 1 能由 2，3，…， n1 线性表示；② n 不能由 1，2，…， n1 线性表出。

（11）设向量  可由向量组 1，2，…， r  1， r 线性表示，但向量  不可由向量组 1，2，…， r  1 线性表示。试证：向量组 1，2，…， r  1， r 与 1，2，…， r  1， 有相同的秩。

（12）设 1，2，3 是某个向量组的极大无关组，1，2，3 是此向量组的部分组，并且 1 = 1 + 2 + 3，2 = 1 + 2 + 23，3 = 1 + 22 + 33。证明：1，2，3 也是此向量组的极大无关组。

（13）设向量组 1，2，…，m 线性无关，向量 1 可由该向量组线性表示，而向量

2 不能由该向量组线性表示，证明：m + 1 个向量 1，2，…，m，l 1 + 2

（l 为常数）线性无关。

x1x2xx4（14）在线性方程组3x1x3x2x4a1a2中，a1a2b1b2。求证：方程组有解，并用其导出组b1b2的基础解系表示其全部解。（ =(a1  b2 , b2 , a 2 , 0)T + c(1 , 1 , 1 , 1)T，c 为任意常数）

（15）设 1，2，3 是齐次线性方程组 AX = 0 的一个基础解系，证明：1 + 2，2 + 3，3 + 1 也是该齐次线性方程组的一个基础解系。

（16）设  是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，1，2，… ,  n  r 是其导出组 AX = 0 的一个基础解系，证明：1，2，… ,  n  r， 线性无关。

（17）设  是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，1，2，… ,  n  r 是其导出组 AX = 0 的一个基础解系，且 1，2，… ,  n  r， 线性无关，证明： + 1， + 2，… ,  +  n  r， 线性无关。

（18）证明：正交向量组是线性无关的。

AO（19）如果 A 与 B 分别是两个 n 阶正交矩阵，证明：分块矩阵C OB 是正交矩阵。



第三篇：线性代数习题答案

习题 三（A类）

1.设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)

2.设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)

=(1,2,3,4)3.（1）×

（2）×

（3）√

（4）×

（5）×

4.判别下列向量组的线性相关性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.5.设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关.证明：设

k11k2(12)k3(123)0，即

(k1k2k3)1(k2k3)2k330.由1,2,3线性无关，有

k1k2k30, k2k30,k0.3所以k1k2k30,即1,12,123线性无关.6.问a为何值时，向量组

1(1,2,3),2(3,1,2),3(2,3,a)

'''线性相关，并将3用1,2线性表示.1312237(5a),当a=5时，3a117解：A231172.7.作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵.解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关, 所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，110）线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为110100100000.01

8.设1,2,,s的秩为r且其中每个向量都可经1,2,,r线性表出.证明：1,2,,r为1,2,,s的一个极大线性无关组.【证明】若

1,2,,r

(1)线性相关，且不妨设

1,2,,t(t

(2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是1,2,,s的一个极大无关组，这与1,2,,s的秩为r矛盾，故1,2,,r必线性无关且为1,2,,s的一个极大无关组.9.求向量组1=(1,1,1,k),2=(1,1,k,1),3=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把1,2,3按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.11A1k11k111200110110100k101k1k01110100k1001k011k10010 10当k=1时，1,2,3的秩为2,1,3为其一极大无关组.当k≠1时，1,2,3线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.10.确定向量3(2,a,b),使向量组1(1,1,0),2(1,1,1),3与向量组1=(0,1,1), 2=(1,2,1),3=(1,0,1)的秩相同，且3可由1,2,3线性表出.【解】由于

0A(1,2,3)111B(1,2,3)1012111111001021a0b011021001;02,ba2

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a2=0,即a=2,又

0c(1,2,3,3)1112110121a0b0210010 ,2ba2a要使3可由1,2,3线性表出，需ba+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即3=(2,2,0).11.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；

(3)α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α＝(2，1，5，6).解：（1）把向量组作为列向量组成矩阵Α，应用初等行变换将Α化为最简形矩阵B，则 111 0 1 4 11 4 11 4 1950 1 2 1 30 9 55A90 1 B

1 5 40 9 590 0 00 0 00 0 03 6 70 18 100 0 05可知：R（Α）=R（B）=2，B的第1，2列线性无关，由于Α的列向量组与B的对应的列向量有相同的线性组合关系，故与B对应的Α的第1，2列线性无关，即α1,α2是该向量组的一个极大无关组.（2）同理， 6 1 1 70-11 55 71 2-9 0 4 0 4 10 8 40 10-11 55 7 1 2-9 01 2-9 00-8 40 11 3-6 10 5-15-10 5-15-1 2 4 22 30 8 40 10 0 0 01 2-9 070 1-5-11450 0 0-11240 0 10 110 0 0 01 2-9 01 0 0 00 1-5 00 1 0 00 0 10 00 0 1 0B0 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0

可知R(Α)=R(B)=4,Α的4个列向量线性无关,即α1,α2,α3,α4是该向量组的极大无关组.(3)同理，1 0 3 1 21 0 3 1 21 0 3 1 21 0 3 1 2-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1, A2 1 7 2 50 1 1 0 10 0 0-4-40 0 0 1 14 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0可知R(Α)=R(B)=3,取线性无关组α1,α3,α5为该向量组的一个极大无关组.12.求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量组为列向量组成Α,应用初等行变换化为最简形式.31 0 11-1 5-11-1 5-11-1 5-1271 1-2 30 2-7 470 1-2 20 1-2B, A3-1 8 10 2-7 420 0 0 00 0 0 00 0 0 01 3-9 70 4-14 8 0 0 0 0可知,α1,α2为向量组的一个极大无关组.x1x2537x1x22设α3=x1α1+x2α2,即解得,x1,x2

223x1x28x3x912x1x21x1x23设α4=x3α1+x4α2,即解得,x11,x22

3x1x21x3x712所以a332a172a2,a4a12a2.1 1 1 4-31 1 1 4-31 0 2 1-21-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1B(2)同理, A2 1 3 5-50-1 1-3 10 0 0 0 03 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0可知, α

1、α2可作为Α的一个极大线性无关组，令α3=x1α1+x2αx1x21可得：即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, xx312x1x24可得：即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, x1x22x1x23可得：即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αxx1122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.设向量组1,2,,m与1,2,,s秩相同且1,2,,m能经1,2,,s线性表出.证明1,2,,m与1,2,,s等价.【解】设向量组

1,2,,m

(1)与向量组

1,2,,s

(2)的极大线性无关组分别为

1,2,,r

(3)和

1,2,,r

(4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即

riaj1ijj(i1,2,,r).因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出j(j1,2,,r),即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.14.设向量组α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组β1,β2,…,βt的秩为r2,向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩为r3,试证:

max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.证明：设αs1,…，Sr1为α1,α2,…，αs的一个极大线性无关组, βt1,βt2,…,t为β1，r2β2,…,βt的一个极大线性无关组.μ1，…，r为α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一

3个极大线性无关组，则α

s1，…，S和βt1，…，β

r1tr2

可分别由μ1，…，r线性表示，所

3以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，r可由α

3s1, …，αsr1，βt1，…，βtr2线性表示及线性无关性可知：r3≤r1+r2.15.已知向量组α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩为3,试确定a的值.解：以向量组为列向量，组成矩阵A，用行初等变换化为最简形式： 1 a a a1 a a a13a a a aa 1 a aa-1 1a 0 00 1-a 0 0 a a 1 aa-1 0 1-a 00 0 1-a 0a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a由秩A=3.可知a≠1,从而1+3a=0，即a=-

13.16.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.2575(1)75***4204311320；

(2)213448112012130251411.3112【解】(1)矩阵的行向量组的一个极大无关组为1,2,3;

3412(2)矩阵的行向量组的一个极大无关组为1,2,4.3417.集合V1＝{(x1,x2,,xn)｜x1,x2,,xn∈R且x1x2xn＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设(x1,x2,,xn)V1,(y1,y2,,yn)V2,kR)则

(x1y1,x2y2,,xnyn)k(kx1,kx2,,kxn).因为

(x1y1)(x2y2)(xnyn)(x1x2xn)(y1y2yn)0, kx1kx2kxnk(x1x2xn)0,所以V1,kV1,故V1是向量空间.18.试证：由1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1),生成的向量空间恰为R3.【证明】把1,2,3排成矩阵A=(1,2,3),则

1A101010120, 1所以1,2,3线性无关，故1,2,3是R3的一个基，因而1,2,3生成的向量空间恰为R3.19.求由向量1(1,2,1,0),2(1,1,1,2),3(3,4,3,4),4(1,1,2,1),5(4,5,6,4)所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵

A(1,2,3,4,5)1210111234341121415006401102320411114130024011003200111043 ,20∴1,2,4是一组基，其维数是3维的.20.设1(1,1,0,0),2(1,0,1,1),1(2,1,3,3),2(0,1,1,1),证明: L(1,2)L(1,2).【解】因为矩阵

A(1,2,1,2)110010112133011001101100230001 ,00由此知向量组1,2与向量组1,2的秩都是2，并且向量组1,2可由向量组1,2线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而1,2也可由1,2线性表出.所以

L(1,2)L(1,2).21.在R3中求一个向量，使它在下面两个基

(1)1(1,0,1),(2)1(0,1,1),2(1,0,0)2(1,1,0)3(0,1,1)3(1,0,1)

下有相同的坐标.【解】设在两组基下的坐标均为(x1,x2,x3)，即

x1x1(1,2,3)x2(1,2,3)x2,x3x31011000x101x2111x31101x10x21x3

即

1102101x1x0, 120x3求该齐次线性方程组得通解

x1k,x22k,x33k

(k为任意实数)故

x11x22x33(k,2k,3k).22.验证1(1,1,0),2(2,1,3),3(3,1,2)为R3的一个基，并把1(5,0,7), 2(9,8,13)用这个基线性表示.【解】设

A(1,2,3),B(1,2)，又设

1x111x212x313,2x121x222x323, 即

x11(1,2)(1,2,3)x21x31x12x22, x32记作

B=AX.则

1(AB)1010***25079r2r18131002331003420105570019r2r317r2r3132313329作初等行变换134

因有AE,故1,2,3为R3的一个基，且

2(1,2)(1,2,3)3133, 2即

121323,2313223.（B类）

1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2，b=4 6.abc≠0

7.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:(1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论.(2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.解：(1)由向量组α1，α2，α3线性相关，知向量组α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4线性无关，所以α2, α3线性无关，故α2, α3是α1, α2, α3的极大线性无关组，所以α1能由α2, α3线性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3线性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的极大线性无关组,所以α4可由α2，α3线性表示.与α2，α3，α4线性无关矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1线性相关,但其中任意

n个向量都线性无关,证明:必存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使

k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.证明:因为α1，α2，…，αn，αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0

n+1=0，由任意

n+1线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，…，kn，kn+1使若k1=0，则k2α2+…+kn+1αn个向量都性线无关，则k2=…=kn+1=0,矛盾.从k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n＜m,E为n阶单位矩阵.若AB=E,证明:B的列向量组线性无关.证明：由第2章知识知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小结所给矩阵秩的性质，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩为n，即线性无关.

第四篇：线性代数习题答案

综合练习一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er2,s5,t8或r5,s8,t2或r8,s2,t5.01Fi2,j1.01G12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序数为k2;当k为偶数时,排列为偶排列,当k为奇数时,排列为奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)(aa1222a13a1411a22a33a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x18.01Nf(x)g(x)s(x).01O1.f(x)g(x)s(x)02AB、D.02B3.02C6.02Dx0,1,2.02E(1)n1(n1)xn.02F(12131)n!.02G(1)n(n1)2nn1(n1)n.2.02H(1)n1(nax)xn1.02I(1)n[(1)nn].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa0,b0.4403G1,3.03Habii03If(x)2x23x1.i1i1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1aa2)(1a)3.04Bn1.04Cx1x2...xn1(1a1x1a2x2...anxn).04Dx1x2...xn[1a(1x1...1.1x2xn)]04E(x1)n..49.04F1(1)a1(1)2a2an1...(1)anan1...a2a1n04G(n1)当a,n1n1当a.05A0.05B1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H9,18.06An!(n1)!(n2)!...2!1!.06B(cos).4ij1icosj07A(1x)2(10x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E2.08Fa0且bb/4.08Gf(x)2x23x1.08H甲、乙、丙三种化肥各需3千克,5千克,15千克.综合练习二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a2n).01N(AB)(AB).01S(2)A249(A2E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(1)n1n1k2(n1)!.(2)(1)n1n!(k1,2,,n).01V两年后在岗职工668人,培训人员334人.01W即晴天概率为146256,阴天的概率为6248256,下雨天的概率为256.xnx426001X1y023/21/200xn.yn1nyzn101/40zn4236z224012102A4982242.02B2n102420121.02C2220242222.1nn(n1)2.4n14n0002D201n.02En1n142.400001002nn.2n1.0002n.50.10002FA20061.由于A5A.1100003A(1)(1)n11(2)1200n!A.0230.0034(3)A6E.(4)12(EB).(5)B(E2A)1.10103BB510E.03D1211.03C(2)A2A5(A2E).03EA11(A3E).(A4E)11106(AE).03FB1114(5A23AE).03G(EABA)1B(EAB)1B1.03HB1110(A23A4E).03I(EAB)1EA(EBA)1B.10001/21/20003NA1003O1122212.1/21/61/391/85/241/121/422100201003403P000123310005200003Q(A1A2A41A3)1A11A2(A4A3A11A2)1A111(A4A3(A1A2A4A3)4A3A11A2)1.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)1/3;(6)576;(7)3.04B10804F521220101.04GA0A(bTA1),05AD.05C2.05D当a1且b2,r(A)4;当a1且b2时,r(A)2;.51.当a1,b2或a1,b2时,r(A)3.05E当c1,并且a1或b0时,r(A)1;当c1,a1且b0时,r(A)3;当c1,但a1或b0时,r(A)3;当c1,a1且b0时,r(A)2.05F当ab0时,r(A)0;当ab0时,r(A)1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n.05G11n.05Hr[(A*)*]n,如果r(A)n,0,如果r(A)n.1111101005K111105L01041111.11110010.00022400110005M220005N12200022.00120233.003405OA.0211106A1321.06B202.03052231106C43206D22.319/213/2.21112300106E020.06F21001.121012103006G003300..52.综合训练三01AC.01BB.01CB.01Dt1.01Ea2b.01F(1)当t5时,1,2,3线性相关;(2)当t5时,1,2,3线性无关;(3)3122.01G(1)当a1时,1,2,3线性相关;(2)当b2且a1时,可由i唯一的表出:122;当b2且a1时,可由i线性表出:(2t1)1(t2)2t3,其中t是任意常数.02AB.02BC.02C B.02D D.02E t5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)当a2时,不能用1,2,3线性表出;(2)当a2且a1时,有唯一的表达式:a11(a1a2a2)212a23;当a1时,(1kl)1k2l3,k,l.02J(1)若0且3,可由1,2,3唯一线性表示;(2)若0,可由1,2,3线性表示,但不唯一;(3)若3,不能由1,2,3线性表示.02K(1)当b2时,不能由1,2,3线性表出;(2)当b2,a1时,可唯一表示为122;当b2,a1时,可表示为(2k1)1(k2)2k3()k为任意常数.02L(1)当a1,b0时,不能表示成1,2,3,4的线性组合;(2)当a1时,有唯一表示式:2ba1ab1b1a12a130.402M(1)当a4时,可由1,2,3唯一线性表出..53.(2)当a4时,不能由1,2,3线性表示.(3)当a4且3bc1时,可由1,2,3线性表出,但不唯一:t1(2tb1)2(2b1)3(t为任意常数).02N不等价.03AD.03B1.03Cn.03D(1)R(1,2,3,4)2;向量组的一个极大无关组为2,4;12(24),3234;(2)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,3,5;2135,4135;(3)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,2,3;4123,5120.3.03ER(1,2,3,4,5)3.03Fa15,b5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct1.x1y1104D4.04E矩阵xy221的秩小于3.xnyn111422204F(1)C3,(CR);(2)k170k012,(k1,k2R);201523/23/4(3)C13/2C217/40,(C1,C2R).0104G(1)无解;(2)(1/2,2,1/2,0)Tk(1/2,0,1/2,1)T,其中k为任意常数;(3)(514,3314,0,7)Tk(1,1,2,0)T.(k为任意常数);.54.(4)C131(7,177,1,0,0)TC(101911127,7,0,1,0)TC3(7,7,0,0,1)T(2,3,0,0,0)T,(C1,C2,C3R).04H(1)1,2,3是所给方程组的基础解系.(2)1,2,3不是所给方程组的基础解系.104I当1时,有解,解为1k12,其中k为任意常数.0104J(1)当1且45时,方程组有唯一解;1当1时,其通解为1k01,其中k0为任意实数;1当45时,原方程组无解;(2)当2且1时,方程组唯一解;当2时,方程组无解;当1时,方程组有无穷多组解.全部解为21k110k012001,其中k1,k2是任意常数.04K(1)当a0时,方程组无解;x12/a,当a0,b3时,方程组有唯一解:x21,x30;x12/a,当a0,b3时,方程组有无穷多解:x213t,(tR).2x3t.(2)当a0或a0时b4,方程组无解;方程组不可能有唯一解;当a0且b4时,方程组有无穷多解.通解是.55.(6,4,0,0,0)Tk1(2,1,1,0,0)Tk2(2,1,0,1,0)Tk3(6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意实数.(3)当a1,b36时,方程组无解;当a1,a6时,方程组有唯一解,x(b36)a1,x12(a4)(b36)162a1,xb36230,x4a1;当a1,b36时,方程组有无穷多解,通解为(6,12,0,0)Tk(2,5,0,1)T.k为任意常数;当a6时,方程组有无穷多解,通解是(1(1142b),1(122b),0,1(bT77736))k(2,1,1,0)T.04L(1)当ab,bc,ca时,方程组仅有零解x1x2x30.(2)当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k1(1,1,0)T(k1为任意常数).当acb时,方程组有无穷多组解,全部解为k2(1,0,1)T(k2为任意常数).当bca时,方程组有无穷多组解,全部解为k3(0,1,1)T(k3为任意常数).当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k4(1,1,0)Tk5(1,0,1)T(k4,k5为任意常数).2104M(1)方程组有无穷多组解,通解为41k(k为任意常数502).1(2)当m2,n4,t6时,方程组(I),(II)同解.04Na2,t4.04O非零公共解为t(1,1,1,1)T.(t为任意常数)04P原来至少要有3121个桃子,最后还剩下1020个桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G1.05H1..56.05I(1,2,3,4)Tk(1,1,1,1)T,其中k是任意实数.05J(3,2,0)Tk(1,1,1)T.(k为任意常数)05K通解为(9,1,2,11)Tk1(10,6,11,11)Tk2(8,4,11,11)T05L3m2n.05M2.1/2005N通解为1/21k,其中k为任意常数.011105O(1)1可由2,3,4线性表出.(2)4不能用1,2,3线性表出.x1k2t,06A(2)通解是x2k2,其中t是任意实数.x3t,06B通解是(a8,4,2,1)T12a24a3,a22a3,a3,0)Tk(,其中k是任意实数.06E方程组的唯一解为(ATA)1ATb.06L(II)的通解为c1(a11,a12,...,a1,2n)Tc2(a21,a22,...,a2,2n)T...cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn为任意常数.综合练习四1/21/61/(23)01A45.01B11/221/6;31/(23).0;02/601/(23)3/202A(1)10,22,33,1/2k10对应特征向量为11/2,1.57.1122对应特征向量为k2,013对应特征向量为k331.1(2)18,231,218对应特向量为k11,其中k1为任意非零常数.21231对应特征向量为k201k32,其中k2,k3是不全为10零的实数.(3)101232全部特征向量为k12k20,(k1,k2不全为零).0102BA的特征值是1,2,2a1,a221对应的特征向量依次是k13,k22,k31.(k1,k2,k3全不为0).01a102CA的特征值2(二重)及0,2对应特征向量为k1(0,1,0)Tk2(1,0,1)T.0对应特征向量为k3(1,0,1)T.02D(1)当b0时,A的特征值为12na,则任一非零向量均为其特征向量.(2)当b0时,A的特征值为12n1ab,na(n1)b当1n1ab对应特征向量为1111k1000k21kn100,01.58.1a(n1)b对应特征向量为k1nn,(kn0).102Ea2,b3,c2,01.2n21102F112n212n23n1.112n202GA与B特征值相同但不相似.02Ha7,b2,P15112202I1102.0.101302Ja1,b8,c10.02K(1)|EA|4a34a23a2a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k(2)2i(i1,2,,n);i(i1,2,,n);(3)kii(i1,2,,n);(4)i(i1,2,,n);(5)1(i1,2,,n);(6)|A|1,2,,n);i(ii(7)f(i),(i1,2,,n).03E|A|21.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全为零.0对应特征向量为k11k11...kn1n1(k1,k2,...,k3不全为零的任意常数).03L3,2,2.03M(1)P1AP全部特征值是1,12,,n.Pi是P1AP的属于i的特征向量..59.(2)(P1AP)T全部特征值是11,2,,n.PTi是(PAP)T的属于i的特征向量.03P1(n1重),3,1对应特征向量为k1(y2,y1,0,,0)Tk2(y3,0,y1,,0)Tkn1(yn,0,0,,y1)T,k1,k2,,kn1不全为0,3对应特征向量为kn(x1,x2,,xn)T,kn0.04AD.04B546333.76804C(1)a3,b0,1.(2)A不能相似于对角阵.404D当a1时,A1116114.442当a111410222时,A301055.22519132504E(1)3k(1,0,1)T(2)A162102.(k);为任意非零常数521301104F1/201/200004G.1011/201/2.11011104H111.04IAPP1P(2E)P12E.1115404J6333.76804OA的特征值是2与1(n1重)..60.X1(1,1,,1)T是A属于2的特征向量,X2(1,1,0,,0)T,X3(1,0,1,,0)T,,Xn(1,0,0,,1)TA属于1的特征向量.11112n2n2nA111112n2n2n.12n112n12n05A0.05BA能对角化.05CA能对角化.1105D(1)12(2);1;(3)311;21(4)1(5)A2.;不能对角化;(6)20405E令P212100,则11.011021005F(1)T12403212,T1AT010122002.111263(2)T111133263,TAT.01166311123605GP120036,P1AP1.1114236.61.221535305HQ1425353,QTAQ22.705235305Ia1,b3.A能对角化.05J01,a3,b0.A不能相似于对角阵.1105Kxy0.05L111111.05MA~1111.0905N105PA~B.0.00105Q(1)x0,y2;(2)P210.11106An!.06B6.06C(2n3)！.06Dk(k2)2.06FO.06EE.3n13n106G(1)(2)6n13123n123n1;93;(3)10013n123n13n.13n223n23n06Hx10051001.06Ix51003210013.n06Ja1n563,nliman5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是综合练习五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.00101F010.01Gy21y22y23.10001H(1)fz21z22,相应的线性变换为zPy(P1112P1)x.P1010,P1002013,001001x1(2)z2z22111/2z112z3.相应的线性变换x2x3112z2.001/2z3100(3)f12y2222y3相应的线性变换x1101/21/21y,x101Ix1212y1201Jc3,4y219y22.3122y2x3221y311126301Ka2,b3.xCy,C111263,2106301Lf(x)x2221,x2,x312x2x32x1x22x2x34x1x3.切平面方程为2x1x2x31.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)2;(2)1.1012241102I0,P01002NB1314111.114.022.63.综合练习六01A(1)V1是向量空间.(2)V2是向量空间.01B(1)W1不是子空间.(2)W2是子空间.dimW22.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一组基.(3)W3是子空间,dimW32.(1,1,0),(2,0,1)是W3的一组基.(4)W4不是子空间.(5)W5不是子空间.01CW1W2是V的子空间,W1W2不一定是V的子空间.T02B5114,14,4,4.02C坐标变换公式为x1111x1x1212x1x2102x2或x32001x2x010x3x3111x3在所给定的两组基下具有相同坐标的全部向量为k32,k3为任意实数.T02D(1)(3,4,4)T;(2)112,5,132.02E(5/21/21,2)(1,2,3)3/23/2.5/25/202F(1,2,2)T时,坐标乘积的极大值是18.002G(1)A110011000110.1011(2)所求非零向量010203k4k4(k为非零任意常数).02H(1)111011;(2)0011(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0,0,1)T;(3)A11.02I(1,1,,1).3.64.a11a1203Aa21a22a11a12a31a32a2203C(1)a12a32a21a11a31a23a13;a33a12a22a12a32a13a23a13.a3301103B020.210a11a21(2)ka31ka12a22ka32a13a23;ka33a11a21a11a12a21a22(3)a21a31a21a22a31a32aa31a3231a11a12a13a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31a32a33.65.

第五篇：线性代数二次型习题及答案

第六章

二次型

B1与合同.AB22

证：因为A1与B1合同，所以存在可逆矩C1，使B1C1TAC11，1．设方阵A1与B1合同，A2与B2合同，证明T

因为A2与B2合同，所以存在可逆矩C2，使B2C2A2C2.A

1令

CC1，则C可逆，于是有 C2T1C1B1C1TACA1C11

TBC2A2CAC2222A1B1即

与合同.AB22

2．设A对称，B与A合同，则B对称

证：由A对称，故AA.因B与A合同，所以存在可逆矩阵C，使BCAC，于是

TTAT1CC2CA2BT(CTAC)TCTATCCTACB

即B为对称矩阵.3．设A是n阶正定矩阵，B为n阶实对称矩阵，证明：存在n阶可逆矩阵P，使PTAP与PTBP均为对角阵.证：因为A是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M，使

MTAME

记B1MBM，则显然B1是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q，使 TQTB1QDdiag(1,,n)

其中1,,n为B1MTBM的特征值.令P=MQ，则有

PTAPE,PTBPD

A,B同时合同对角阵.4．设二次型f(ai1mi11令A(aij)mn，则二次型f的秩等于r(A).xainxn)2，证：方法一

将二次型f写成如下形式：

f(ai1x1aijxjainxn)2

i1m设Ai=(ai1,,aij,,ain)

(i1,,m)

·107· a11a1ja1nA1则

Aai1aijainAi

am1amjamjAmA1mTTTT于是

AA(A1,,Ai,,Am)AiAiTAi

i1Amai1mm22故

f(ai1x1aijxjainxn)=[(x1,xj,xn)aij]

i1i1ainai1x1x1mmT

=[(x1,xj,xn)aij(ai1,aij,ain)xj]=(x1,xj,xn)(AiAi)xj

i1i1axxinnn

=X(AA)X

因为AA为对称矩阵，所以AA就是所求的二次型f的表示矩阵． 显然TTTTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩为r(A)．

T方法二

设yiai1x1ainxn,i1,,n.记Y(y1,,ym)，于是

YAX，其中X(x1,,xn)T，则

2fyi2y12ymYTYXT(ATA)X.i1m

因为AA为对称矩阵，所以AA就是所求的二次型f的表示矩阵． 显然TTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩为r(A)．

T

5．设A为实对称可逆阵，fxAx为实二次型，则A为正交阵可用正交变换将f化成规范形.证：设i是A的任意的特征值，因为A是实对称可逆矩阵，所以i是实数，且i0,i1,,n.因为A是实对称矩阵，故存在正交矩阵P，在正交变换XPY下，f化为标准形，· ·108即

fXTAXYT(PTAP)YYTDYYTdiag(1,,i,,n)Y

21y1

（*）iyi2nyn

因为A是正交矩阵，显然DPTAPdiag(1,,i,,n)也是正交矩阵，由D为对角实矩阵，故i21即知i只能是1或1，这表明（*）恰为规范形.因为A为实对称可逆矩阵，故二次型f的秩为n.设在正交变换XQY下二次型f化成规范形，于是

22YDY

fXTAXY(QTAQ)Yy1yr2yr21ynT其中r为f的正惯性指数，Ddiag(1,,1,1,,1).TT

显然D是正交矩阵，由DQAQ，故AQDQ，且有AAAAE，故ATT是正交矩阵.6．设A为实对称阵，|A|0，则存在非零列向量ξ，使ξTAξ0.证：方法一

因为A为实对称阵，所以可逆矩阵P，使

PTAPDdiag(1,,i,,n)

其中i(i1,,n)是A的特征值，由|A|0，故至少存在一个特征值k，使k0，0取ξP1，则有

0100TT1k0 ，1,0,0)k

ξAξ(0,,1,,0)PAP1(00n0

方法二（反证法）

T

若X0，都有XAX0，由A为实对称阵，则A为半正定矩阵，故|A|0与|A|0矛盾.222

7．设n元实二次型fXAX，证明f在条件x1x2xn1下的最大值恰T为方阵A的最大特征值．

解：设1,2,,n是f的特征值，则存在正交变换XPY，使 fXTAXYT(PTAP)Y1y122y2nyn设k是1,2,,n中最大者，当XXx1x2xn1时，有

·109·

T22222XTXYTPTPYYTYy12y2yn1

因此

2222f1y122y2nyn k(y12y2yn)k

222这说明在x1=1的条件下f的最大值不超过k． x2xn

设

Y0(y1,,yk,,yn)T(0,,0,1,0,.0)T 则

Y0TY01

222f1y122y2kyknynk

令X0PY0，则

TX0X0Y0TY1

并且

Tf(X0)X0AX0Y0T(PTAP)Y0k

222这说明f在X0达到k，即f在x1x2xn1条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值．

8．设A正定，P可逆，则PAP正定.证：因为A正定，所以存在可逆矩阵Q，使AQTQ，于是

PAPPQQP(QP)QP，显然QP为可逆矩阵，且 TTTTT(PTAP)T(QP)TQPPTAP，即PTAP是实对称阵，故PTAP正定.9．设A为实对称矩阵，则A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使AB+BA正定．

证：先证必要性

取BA，因为A为实对称矩阵，则 1TABBTAE(A1)TA2E

当然ABBA是正定矩阵． 再证充分性，用反证法．

若A不是可逆阵，则r（A）

因为A是实对称矩阵，B是实矩阵，于是有

TTTX0(ABBTA)X0(AX0)TBX0X0B(AX0)0

这与ABABBA是正定矩阵矛盾．

10．设A为正定阵，则AA3A仍为正定阵.证：因为A是正定阵，故A为实对称阵，且A的特征值全大于零，易见A,A,A2*1AA3A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故A,A,A全是正定矩阵，2*T2*12*11为实对称阵.对X0，有

XT(A2A*3A1)XXTA2XXTA*XXTA1X0

· ·110

即

AA3A的正定矩阵.11．设A正定，B为半正定，则AB正定.T

证：显然A,B为实对称阵，故AB为实对称阵.对X0，XAX0，2*1XTBX0，因XT(AB)X0，故AB为正定矩阵.12．设n阶实对称阵A,B的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，则AB正定.证：设A,B的特征值分别为i,i(i1,,n).由题设知i0,i0,i1,,n.PTAPdiag(1,,i,,n)

为PiA的特征向量，i1,,n.因为A是实对称矩阵，所以存在正交矩阵P(P1,,Pi,,Pn)，使 即

AP,iiiP

由已知条件Pi也是B的特征向量，故

BPiiPii1,i,,n

因此

ABPiAiPi(ii)Pi，这说明ii是AB的特征值，且ii0，i1,,n.又因为

ABPPdiag(11,,ii,,nn),PTP1.故

ABPdiag(11,,ii,,nn)P，显然AB为实对称阵，因此AB为正定矩阵.13．设A(aij)nn为正定矩阵，b1,b2,,bn为非零实数，记

B(aijbbij)nn

则方阵B为正定矩阵．

证：方法一

因为A是正定矩阵，故A为对称矩阵，即aijaji，所以aijbibjajibjbi，这说明B是对称矩阵，显然

a11b21abb1anbb1221n1b10a11a1nb102abbababb2121222n2n2

B= 0baa0bnn1nnnabbabbabbnnnnn1n1n2n1

对任给的n维向量X(x1,,xn)0，因b1,b2,,bn为非零实数，所以

T(b1x1,,bnxn)T0，又因为A是正定矩阵，因此有

b10a11a1nb10TT

XBXXX

0baa0bnn1nnna11a1nb1x1

=(b1x1,,bnxn)0

aabxnnnnn1即B是正定矩阵．

·111·

方法二

记

a11b12a12b1b2a1nb1bnabbab2abb2n2n B2121222abbabbabbnnnnn1n1n2n1则因为A是实对称矩阵，显然B是实对称矩阵，b10

B的k阶顺序主子阵Bk可由A的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵而

0bn得到，即

b10a11a1kb10Bk

0baa0bkk1kkk计算Bk的行列式，有

Bkbi2Ak0

i1n故由正定矩阵的等价命题知结论正确．

14．设A为正定矩阵，B为实反对称矩阵，则AB0.证：因为M是n阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n阶实矩阵M，如果对任意非零列向量X，均有

XTMX0

可推出M的特征值(或者其实部)大于零． 由于M的行列式等于它的特征值之积，故必有M0 ．

因为A是正定矩阵，B是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X，均有

XT(AB)X0,而A+B显然是实矩阵，故AB0.T

15．设A是n阶正定矩阵，B为nm矩阵，则r(BAB)=r(B)．

T

证：考虑线性方程组BX0与BABX0，显然线性方程组BX0 的解一定是BTABX0的解．

TT

考虑线性方程组BABX0，若X0是线性方程组BABX0的任一解，因此有BTABX00．

上式两端左乘X0有 T(BX0)TA(BX0)0

· ·112

T

因为A是正定矩阵，因此必有BX00，故线性方程组BX0与 BABX0是同解方程组，所以必有r(BAB)= r(B).16．设A为实对称阵，则存在实数k，使|AkE|0.证：因为A为实对称阵，则存在正交矩阵P，使 TP1APdiag(1,,i,,i).其中i为A的特征值，且为实数，i1,,2.于是

APdiag(1,,i,,n)P1

1k

|AkE||P|ik|P|(ik)

1i1nnk取kmax{|i|1}，则1in|(k)0，故

|AkEii1n0.17．设A为n阶正定阵，则对任意实数k0，均有|AkE|kn.证：因为A为正定矩阵，故A为实对称阵，且A的特征值i0,i1,,n.则存在正交矩阵P，使

11,PAPin于是对任意k0，有

1k|P|

|AkE|1P1 APinikP|1|(ik)kkn.i1i1nnnk

18．设A为半正定阵，则对任意实数k0，均有|AkE|0.证：因为A为半正定矩阵，故A为实对称矩阵，且A的特征值i0，i1,,n.则存在正交矩阵P，使

PAPdiag1(,于是对任意k0，有

|AkE|P||dia1g(k,ik, 1i,,n,，A)Pdiag(1,,i,,n)P1

n,k,P1|(|ik)kn0.)i1n·113·

19．A为n阶实矩阵，为正实数，记BEAA，则B正定.T

证：BT(EATA)TEAAB，故B是实对称矩阵.T

对X0，有(X,X)0,(AX,AX)0，因此有

AX(X,X)AX(AX,)0

XTBXXT(EATA)XXTXXTAT故

BEAA为正定矩阵.20．A是mn实矩阵，若AA是正定矩阵的充分必要条件为A是列满秩矩阵．

证：先证必要性

方法一

设AA 是正定矩阵，故X00，有

TX0(ATA)X0(AX0)T(AX0)0

由此AX00，即线性方程组AX0仅有零解，所以r(A)=n，即A是列满秩矩阵． TTT方法二

因为AA 是正定矩阵，故r(AA)=n，由于 TTnr(ATA)r(A)n

所以r(A)=n． 即A是列满秩矩阵．

再证充分性：因A是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，X0，X为实向量，有AX0．因此

XT(ATA)X(AX)T(AX)(AX,AX)0

显然AA 是实对称矩阵，所以AA 是正定矩阵．

21．设A为n阶实对称阵，且满足A6A4E0，则A为正定阵.证：设为A的任意特征值，ξ为A的属于特征值的特征向量，故ξ0，则

2TTAξξ,2A2ξ2ξ

由

A6A4E0

有

Aξ6Aξ4ξ0

2(264)ξ0 2由

ξ0，故

640.350.因为A为实对称矩阵，故A为正定阵.22．设三阶实对称阵A的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为ξ1(1,0,0)T,ξ2(0,1,1)T，求一正交变换XPY，将二次型fXTAX化成标准形.解：设ξ3(x1,x2,x3)T为A的属于特征值3的特征向量，由于A是实对称矩阵，故ξ1,ξ2,ξ3满足正交条件

1x10x20x30 0x1x1x0231

解之可取ξ3(0,1,1)，将其单位化有

· ·11

411T11T,),P3(0，)222210011

令

P(P1,P2,P3)0.2211022则在正交变换XPY下，将f化成标准形为 P1(1,0,0)T,P2(0,22 fXTAXYT(PTAP)Yy122y23y

323．设

122A24a

2a42二次型fXTAX经正交变换XPY化成标准形f9y3，求所作的正交变换.2解：由f的标准形为f9y3，故A的特征值为120,39.1故

|EA|22a2(9)

422214a2

令0，则

2解之

a4.4a0 2a4122由此

A244

244

对于120有

122122

0EA244000

244000可得A的两个正交的特征向量

22ξ12,ξ21

12

·115·

1对于39，可得A的特征向量为2

2将特征向量单位化得

221111P12,P21,P32

3331222211则P(P1,P2,P3)212为正交矩阵，31222211正交变换XPY为X212Y.3122

注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P不惟一.222

24．已知二次型fx12x2(1k)x32kx1x22x1x3正定，求k.解：二次型的表示矩阵

11kAk20

101k1k20k20由A正定，应有A的各阶顺序主子式全大于0.故 k2，即.2|A|0k(kk2)0解之

1k0.222

25．试问：三元方程3x13x23x32x1x22x1x32x2x3x1x2x30，在三维空间中代表何种几何曲面.222

解：记f3x13x23x32x1x22x1x32x2x3x1x2x3

311x1x1则

f(x1,x2,x3)131x2(1,1,1)x2

113xx33311

设

A131.1132则|EA|(2)(5).故A的特征值为122,35.· ·116

对于122，求得特征向量为

1ξ11,0由Schmidt正交化得

1ξ20.11β11,0121β2.211对于35得特征向量ξ31，标准化得

1111632111P1,P,P23 26321063111263111

令

P(P1,P2,P3)

63221063则在正交变换XPY下

22f2y122y25y33y3

于是f0为

22y122y25(y3323) 102022为椭球面.26．求出二次型f(2x1x2x3)(x12x2x3)(x1x22x3)的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有

·117·

222222

f4x1x2x34x1x24x1x32x2x3x124x2x34x1x22x1x34 2x3x222

x1x24x32x1x24x1x34x2x3

22222

6x16x26x36x1x26x1x36x2x36(x12x2x3x1x2x1x3x2x3)

1132323119x2x3)2x2x3x2x3]6(x1x2x3)2(x2x3)2 2244222211yxx11222x3

令

y2x2x3

yx33111y122x111即

y20x2 y001x33

6[(x1则可逆变换为

1x1x20x03在此可逆线性变换下f的标准形为

112y111y2 01y392y2.2f6y12

27．用初等变换和配方法分别将二次型

222

（1）f1x13x22x44x1x24x1x42x2x4

（2）f22x1x26x2x32x1x3

化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换.解：先用配方法求解

（1）f1(x14x1x24x1x4)3x22x42x2x4

(x12x22x4)x26x46x2x4(x12x22x4)(x23x4)3x4 222222222y1x12x22x4yx3x224

令



即

yx33y4x4x1y12y24y4xy3y224 xy33x4y4 · ·118

12040103

令

P00100001

则二次型f经可逆线性变换xPy化成标准形 f1y12y23y4y1z1z1y1yzzy2222

若再令 

即 y3z3 zy33y3zz3y4444311

令

Q133222则原二次型f1经可逆线性变换xPQz化成规范形f1y1.y2y4x1y1y2

（2）先线性变换x2y1y2

xy33原二次型化成

2222

f22(y1y2)6y1y36y2y32y1y32y2y32y12y24y1y38y2y3

222

2(y1y3)22y2 2(y1y3)22(y22y3)26y38y2y32y3z1y1y3y1z1z3110101

令z2y22y3，即y2z22z3.令P1110，P2012

zyyz0010013333则原二次型f2经可逆线性变换xP1P2z化成标准形 f22z122z26z3z1w12z1

若再令w22z2

即 z2w6z33z3

2w122w2 26w36·119·

222

令

Q

266则原二次型f2经可逆线性变换xP1P2Qw化成规范形

22.f2w12w2w3

用初等变换法求解

1223

（1）设A00211223

(AE4)00210201

0002***02010002000***0010r22r100c22c1021010r43r20c43c20001000100 01033030103010002100***000***1000 0100 0110r4(2)r101

c4(2)c1000310101r3300

1c3300120200001T4330001010021002100

令

P1，P20010

001034304313033222则原二次型f1经过可逆线性变换xP1y化成标准形f1y1y23y3.二次型经过可逆线性变换xP2z化成规范形f1z1z2z4.· ·120

222T011

（2）设A103

1301100010r3(1)r203010c3(1)c21

(AE3)113000101003360010 0111001

r33r1c33c101010010001021r1r2c1c210000063110063200110

r12(2)r1111c1002(2)c12220 00631110011201

2r121,2c112r2,2c010162220 6r23,6c300162666611T0110T

令 P112210，P11202222311662666则原二次型f2经过可逆线性变换xP1y化成标准形

f2y2122212y26y3

二次型经过可逆线性变换xP2z化成规范形

f2222z1z2z3

28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）f22212x13x24x2x33x3

（2）f22222x1x2x3x42x1x22x1x42x2x32x3x4

解：先用配方法求解

001011 121· · 42522x2x3)3x32x123(x2x3)2x3 333y1x1x1y122

令 y2x2x3

即 x2y2y3

33y3x3x3y31002

令

P01

3001

（1）f12x13(x222则二次型f1经可逆线性变换xPy化成标准形

2f12y123y252y3 32z1y12z12y13z2

若再令 z23y2

即 y2315z15y33yz3335223

令

Q

3155原二次型f1经可逆线性变换xPQz化成规范形

22.f1z12z2z3

（2）f2(x12x1x22x1x4)x2x3x42x2x32x3x4

(x1x2x4)2x32x2x32x3x42x2x4 2

(x1x2x4)2(x3x2x4)2(x22x4)23x4 2222y1x1x2x4yx2x224

令



即

y3x2x3x4y4x4 · ·122

x1y1y2y4xy2y224 x3y2y3y4x4y411010102

令

P0111

0001则二次型f2经可逆线性变换xPy化成标准形

f2y223y22y12y34 z1y1y1z1

若再令 z2y2

即 y2z2zy 3y

33z3z43y4y433z411

令

Q1 33

原二次型fPQz化成规范形f22222经可逆线性变换x2z1z2z3z4.用初等变换法求解

20

（1）设A0032

02320010200100

(AE03)032010r(233)r2c(203001030230013)c25200303110010012

12r112c10100103r1 23c21535r1535c3215150010155 123· · 101

令 P1020300,1TP212000132151500 15522T则原二次型f1经过可逆线性变换xP1y化成标准形f12y13y2222可逆线性变换xP2z化成规范形f1z1.z2z352y3.二次型经过311011110

（2）设A011110111011000111100100

(AE4) 011100101011000110011000100010011110000111r2(1)r1r4r1

c2(1)c101110010c4c101110111100010110110001000100010011110000011r3r2r3r4

c3c201121110c3c400320012010010120110001000100010001110002010r3(2)r2r2r4

c3(2)c200302111c2c400302010010010100110001000020001011r4()r22

00302111 1c4()c2211110000222 · ·124

000100

010001000100

111001000101

1110011011r2c222

110r3c3332r42c40***01233220033000101120

令 P12333

33312202212222fy2y3yy4.f2可则原二次型f2可经可逆线性变换xP化成标准形y212312经可逆线性变换xP2z化成规范形

222 f2z12z2z3z41T0000101

P22311131102220123 32200102T用正交变换法求解

200

（1）f1的矩阵为A032，023200由

|EA|知A的特征值为1,2,5.00322(1)(2)(5)，3100x10x100对11，解022x20，得x2k1，取T11，单位化

1022x0x1330000x10x1112P0xk0P1，对22，解012x，得，取220，220x002013x322

·125· 0x1030对35解022x20，得022x03x100xk1T 取321，单位化得1x13P30022，令 P22222210002，则P为正交阵，经正交变换XPY，222222原二次型f化为fXTAXy1.2y25y311011110

（2）f2的矩阵为

A0111101111011110由

|EA|(1)(3)(1)2

01111011知A的特征值为1,3,1,1.x12101x1011xx12100122, 得

k，取T1对11，解1x3011121x301x1x1012044122112单位化得P1对23，解，01211210210x1010x2021x3012x401, 得 x11x2k1.x311x4 · ·126

121

取

T1122

1单位化得 P21.1212

对341，解

0101x1x1101001x0x0202,得

01011010x3x0xk1k1 312040x4011

取

T300,T41，1001202

再令

P023,P2240 22021122220112

令 P2202112，则P为正交阵，经正交变换XPY，02221122022原二次型f化为

fXTAXy222213y2y3y4.29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）f22212x26x24x32x1x22x1x3

127· ·

解：二次型f1的矩阵为

121A160

104A的各阶顺序全子式

20,21162110,111160380.04所以二次型f1是负定二次型.2222

（2）f2x13x29x319x42x1x24x1x32x1x46x2x412x3x4

解：二次型f2的矩阵为

11211303 A209613619A的各阶顺序主子式

112111211130310,20，13060，240

13209620913619所以二次型f2是正定二次型.2222

（3）f3x1x214x37x46x1x34x1x44x2x3

解：二次型f3的矩阵为

103012A3214200A的各阶顺序主子式

20 0720330.0710,1031001210，01210，0132143214200103所以二次型f3是不定二次型.222

30．求一可逆线性变换XCY，把二次型f12x15x24x32x1x24x1x3化成 · ·128规范形fy22y211y23，同时也把二次型 f322x222x213x232x1x32x1x34x2x3 化成标准形f2222k1y1k2y2k3y3.解：记f1XTAX，其中

A212150204

200212150091rA2043r1r1r12012E10022 c3c1c12c11112010001201000120000911000r11022162001025r2039r29r2331c23669c21110r34c112229212c2230c301343690010304125266取 P02136，则PTAPE 004记

fT2XBX，其中

129· ·

3012B032

12210021253120266则 BT22032211PBP063 01223651336640043111220212526634422

25242021132636444 1112300341212242312

141321B2 2224其中

B3122132 222显然B都是实对称矩阵，它们的特征值为11,B24倍的关系，特征向量相同.3120(33)12(4)

|EB2|1321(3)2(42)22202(4)4则B2的特征值为0,234，故B1的特征值为0,1,1.以下求B2的特征向量.·130 ·

0112211

对于10，求得α1，单位化后122 1122

对于1α234，求得α21,300

1

由Schmidt标准正交化后得

121212132,

0212111222

令

Q(111,2,3)2122.11202

则Q为正交矩阵，且有

0QTB(PTBP)Q11QQT

112511266121222

令 CPQ121023161222312213004102242于是

QTPTAPQQTEQE

27362131620342131· · 即

CACE

T0CTBC1

1在可逆线性变换XCY下 f1y12y2y322.f2y2y3（注：经验算本题所得C是正确的，需要注意的是C并不惟一）

31．求一可逆线性变换XPY，将二次型f化成二次型g.22f2x129x23x38x1x24x1x310x2x3

22g2y123y26y34y1y24y1y38y2y3

42222295，gYTBY，B234

解：fXTAX，A4253246 将A,B分别作合同变换如下：

24220020049501101022r1011rr000A253rr3r132

c22c1 c3c2E100c3c1121121010010011001001001

在可逆线性变换XC1Z下 f2z12z2121C1011

0012204012r1026rr3r12c10cc3c111010001

其中

2223B24E10010022在可逆线性变换YC2Z下g2z1z2.· ·132

02204r3r201c3c210001010110000 121111其中

C2012

0011由

ZC2Y得

1XC1ZC1C2Y

12111113611012003令

PC1C201

00100100122在可逆线性变换XPY下fg2z1.z2

32．A是正定矩阵，AB是实对称矩阵，则AB是正定矩阵的充分必要条件是B的特征值全大于零．

证：先证必要性．

设 为B的任一特征值，对应的特征向量为X,则X0, 且有

1BXX

用XA左乘上式有 TXT(AB)XXTAX

因为AB，A都是正定矩阵，故

XT(AB)X0,于是0，即B的特征值全大于零．

再证充分性．

XTAX0

因为A是正定矩阵，所以A合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P，使

PTAPE

（1）

由AB是对称矩阵，知P(AB)P也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q，使 TQT[PT(AB)P]QDdiag(1,,i,,n)

（2）

即有

(QPA)B(PQ)Ddiag(1,,i,,n)

（3）

其中1,,i,,n是P(AB)P的特征值．

在（1）的两端左乘Q，右乘Q有 TTTTQT(PTAP)QE即(QTPTA)(PQ)E

TT这说明(QPA)与(PQ)互逆，也就是说

(QTPTA)(PQ)1

将上式代入（3），说明矩阵B与对角阵D相似，故它们的特征值相等；由条件知B的特征值全大于零，因此对角阵D的特征值也全大于零． 由（2）知AB与D合同，因此AB的特征值全大于零．

·133·

T

33．设A,B为n阶实正定阵，证明：存在可逆阵P，使PAPE且PTBPdiag(1,2,,n)，其中12n0为|AB|0的n个实根.证：因A正定，故存在可逆矩阵P1，使

TP1AP1E

因B正定，故存在可逆矩阵P2，使

BP2TP2

于是

TTTTP1BP1P1P2P2P1(P2P1)(P2P1)

易见P1BP1为正定矩阵，不妨设它的特征值为 T12n0.TTTT则

|EPBP||PAPPBP||P|111111|AB||P1|

T故

|EP1BP1|0|AB|0 即

12n0为|AB|0的几个实根.由

P1BP1为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使

TQT(P1BP1)Qdiag(1,2,,n)T

令

PP，则 1Q

PTAPE,PTBPdiag(1,2,,n)

34．设A为n阶实正定阵，B为n阶实半正定阵，则|AB||A|.证：因为A是n阶正定矩阵，所以存在n阶可逆矩阵C，使得

CTACE.T

因为B是n阶半正定阵，则CBC仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q，使得

Q1(CTBC)QQT(CTBC)QDdiag(1,,i,,n)

其中 i0,i1,n,为CTBC的特征值，且有

QT(CTAC)QE

令PCQ，则P为可逆矩阵，于是

PTAPE,PTBPD

PT(AB)PPTAPPTBPED

上式两端取行列式，得

|P||AB||P||ED|(1i)1|PT||A||P| Ti1n因

|P||P|0，故

|AB||A|.35．设A,B均为实正定阵，证明：方程|AB|0的根全大于0.证：由33题知|EP1BP1|0|AB|0.其中P1BP1为正交矩阵，它的特征值i0，i1,,n，故|AB|0的根全大于0.· ·134TTT

36．设A为n阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B，使AB．

证：因为A是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P，使

212P-1APPTAPD

n其中1,2,,n

令i为A的n个特征值，它们全大于零．

i(i1,2,,n), 则

2111122222D 2nnnn1122TPT

而

APDPPnn1122PTPPT

Pnn12T

令

B=PP

n2显然B为正定矩阵，且AB．

37．设A为n阶可逆实方阵，证明：A可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．

T

证：因为A是n阶可逆实方阵，故AA是正定矩阵，所以存在n阶正定矩阵B，使

ATAB2.于是有

(AB1)T(AB1)(B1)TATAB1(B1)TB2B1E

这说明AB是正交阵.令

ABQ

则

AQB，其中Q是正交矩阵，B是正定矩阵.38．A、B 为n阶正定矩阵，则AB也为n阶正定矩阵的充分必要条件是： AB=BA，即A与B可交换．

·135· 11证：方法一

先证必要性．

由于A、B、AB都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有

ATA,BTB,(AB)TAB

于是

AB(AB)TBTATBA

即A与B可交换．

再证充分性．

由条件AB=BA得

(AB)T(BA)TATBTAB

因此AB是对称矩阵．

因为A,B是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P、Q，使

APTP,BQTQ

于是

ABPTPQTQ

上式左乘Q，右乘Q1得

Q(AB)Q1QPTPQT(PQT)T(PQT)

这说明AB与对称矩阵(PQT)T(PQT)相似；因为PQT是可逆矩阵，故矩阵(PQT)T(PQT)是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零．

综合上述知AB正定．

方法二

必要性同方法一，以下证明充分性．

由条件AB=BA得

(AB)T(BA)TATBTAB

因此AB是对称矩阵．

由于A正定，所以存在可逆矩阵Q，使

A=QQ 于是

TTTT EABEQQBEQQBQ(Q)

T

QTE(QT)1QT(QBQT)(QT)1QTEQBQT(QT)1EQBQTT

EAB0EQBQT0

这说明AB与QBQ有相同的特征值．

因为B是正定矩阵，易见QBQ也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零．

· ·136

T综合上述知AB正定．

39．设A、B为实对称矩阵，且A为正定矩阵，证明：AB的特征值全是实数．

证：因为A是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q，使AQTQ，于是有

EABEQTQBEQT(QBQT)(QT)1QEQBQ(Q)即|EAB|0|EQBQT|0.TTTT1EQBQT

因为B是实对称矩阵，所以QBQ也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB的特征值也都是实数．

40．设A是正定矩阵，B是实反对称矩阵，则AB的特征值的实部为零．

证：因为A是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q，使AQTQ

EABEQTQBEQT(QBQT)(QT)1QEQBQ(Q)AB的特征值实部也为零．

TTT1EQBQT

因为B是实反对称矩阵，所以QBQT也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故

41．设A是正定矩阵，B是半正定的实对称矩阵，则AB的特征值是非负的实数．

证：由于A是正定的，所以A也是正定的，于是存在可逆矩阵P，使得A因此

11PTP，EABAA1BAPTPBAPTE(PT)1BP1P APTPE(PT)1BP1AA1E(PT)1BP1E(PT)1BP1E(P1)TBP1

1T1即EAB0E(P)BP0.由于B是半正定的实对称矩阵，故(P)BP1T1是半正定的实对称矩阵，因此E(P1)TBP10的根是非负实数．于是EAB0的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．

42．求证实二次型f(x1,,xn)

证：二次型的矩阵为

(krsrs)xx的秩和符号差与k无关．

rsr1s1nn2k33k4k22k34k46k56k59k6A3k4nk(n1)2nk(n2)3nk(n3)

nk(n1)2nk(n2)3nk(n3)

2nk2n·137·

对矩阵A作合同变换，即把A的第1行的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n行上；同时把A的第1列的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n列上，得到与矩阵A合同的矩阵B为

2(n1)0000

00k2,2,(n1)倍依次加到第1，3，对矩阵B作合同变换，即把B的第2行的2k2,2,(n1)倍依次加到第1，3，4，…，n4，…，n行上；同时把B的第2列的2列上，得到与矩阵B合同的矩阵C为 k21B2(n1)100001C0010000000000

0由合同变换的传递性，故A与C合同，于是原二次型可经可逆线性变换化简成

f(x1,,xn)2y1y2

y1z1z2再作可逆线性变换

y2z1z2yzii于是二次型f化成规范形

(i3,,n)2 f(x1,,xn)2z122z

2显然二次型f(x1,,xn)的秩为2，符号差为0，它们的值均与k无关．

43．设二次型fa时，二次型f正定．

证：二次型 f的矩阵A的各阶顺序主子式的值与它的阶数n的奇偶性有关：

（1）当n=2m+1时，二次型f的矩阵为 xi1n2ibini1xxinni1，其中a、b为实数，问a、b满足什么条件

baabAa

baba · ·138它的各阶顺序主子式为

a,,am1,am(a2b2),am1(a2b2)2,,a(a2b2)m

（2）当n=2m时，二次型f的矩阵为

baab Ababa它的各阶顺序主子式为

a,,am,am1(a2b2),am2(a2b2)2,,(a2b2)m

综合（1），（2）可知：当a0且a2b2时，二次型f是正定的．

44．设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n,Aij是A(aij)nn中元素aij的代数余子式

nnAijxixj(i,j1,2,,n)，二次型f(x1,x2,,xn)i1j1A1

（1）记X(x1,x2,,xn)T，把f(x1,x2,,xn)写成矩阵形式，并证明二次型f（X）的矩阵为A．

（2）二次型g(X)XAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由．

证：方法一

（1）因为A是实对称矩阵，故AijTAji．由r(A)=n, 故A可逆，且

A11*A A二次型f(x1,x2,,xn)的矩阵形式为

A11A21An1x11AAAn2x2f(X)(x1,x2,,xn)1222

AAAAxnnn1n2n111TT11从而(A)(A)A.故A也是实对称矩阵，因此二次型f(X)的矩阵为A．

11T1T11

（2）因为(A)AA(A)EA，所以A与A合同，于是二次型g(X)XTAX与f(X)有相同的规范形．

方法二

（1）同证法１

（2）对二次型g(X)XAX作可逆线性变换，XAY, 其中

T1Y(y1,y2,,yn)T,则

T1T1T11TT11

g(X)XAX(AY)A(AY)=Y(A)AAY=Y(A)AAY=YAY

T1由此可知A与A合同，二次型g(X)XAX与f(X)有相同的规范形．

·139· 1T

45．试说明二次型

f(x1,x2,x3)(x1x2x3)2[ax1(ad1)x2(a2d1)x3]2

+n[(ad)xii22 (a2d)x(a3d)x]1i2i3当d10时，无论n为何值，f(x1,x2,x3)的秩均为2．

解：fXT(ATA)X，其中

1aAad2adn1ad1a2d2a2dn1a2d1a3d2

a3dn1110d12d1行对矩阵A作行的初等变换，可得A000.000

所以当d10时，A的秩为2，这与n的取值无关，因此二次型f的秩为2．

46．已知A是n阶正定矩阵，令二次型f(x1,x2,,xn)XTAXxn的矩阵为B，求证：（1）B是正定矩阵；（2）BA．

证：（1）设

a11aA21an1a11a21则

Ban1a12a1na22a2n，aijaji an2anna12a1na22a2n

an2ann1

显然B为实对称矩阵，且B与A的前n-1阶顺序主子式完全相同，由于A是正定矩阵，故它的各阶顺序主子式全大于零，因此B的前n-1阶顺序主子式也全大于零． 现考虑B的第n阶顺序主子式即它的行列式，有

a11a

B21an1可见B是正定矩阵．

· ·140a12a1na11a1n1a22a2n+

an11an1n1an2annan1ann10=AAn10

（*）01

（2）由（*）即知BA．

47．设n元实二次型fXTAX，1,2,,n 是A的特征值，且12n． 证明：对于任一实维列向量X有1XTXXTAXnXTX.证：设1,2,,n是f的特征值，则存在正交变换X=PY，使 fXTAXYT(PTAP)Y1y122y2nyn

由已知条件12n，有

1YTYfXTAXnYTY

（1）

又因为P是正交矩阵，于是有

XTXYTPTPYYTY

将此结果代入（1）即为

1XTXXTAXnXTX

48．证明：若二次型ai1i1nnijxixjXTAX是正定二次型，则

a11a21f(y1,y2,,yn)an1y1是负定二次型．

a12a22an2y2a1na2nannyny1y2 yn0

证：因为f 是正定二次型，故它的表示矩阵A是正定矩阵，因此A是可逆矩阵，作可逆线性变换Y=AZ．对上述行列式的列作消法变换，将第j列的-zj(j1,2,,n)倍加入第n+1列，其中Z(z1,z2,,zn)T,则

a11a21

f(y1,y2,,yn)an1y1a12a22an2y2a1na2nannyny1a11y2a21ynan10y1a12a22an2y2a1n0a2n0 ann0yn(y1z1y2z2ynzn)TTTT

A(y1z1y2z2ynzn)=AYZ=AZAZ=AZAZ 因为A是正定矩阵，所以A<0，可见f(y1,y2,,yn)是负定二次型．

49．设A是正定矩阵，则

（1）AannAn1，其中An1是A的n-1阶顺序主子式；

（2）Aa11a22ann．

解：（1）因为A是正定矩阵，故

·141·

a11a12a1n1a21a22a2n1An1

aaan1n1n11n12也是正定矩阵，于是由48题知

a11a1n1y1 fn1(y1,y2,,yn1)=

an11an1n1yn1y1yn10是负定二次型，因此由行列式的加法运算有

a11a1n1a1na11a1n1Aan11an1n1an1nan11an1n1an1ann10an1ann1其中An1为A的顺序主子式．

0fn1(a1n,a2n,,an1n)annAn1 0ann当a1n,a2n,,an1n中至少有一个不为零时，fn1(a1n,a2n,,an1n)<0

A

50．设P(pij)nn是n阶可逆矩阵，求证：P222(p12jp2jpnj).j1np11p21pn1pppp1222n2p

证：PTPppp2nnnpn1nTpp211pn11pnpn22p2nn12n2pi1i112*pi1n2i*2

n2pini1

因为P是可逆矩阵，故PP是正定矩阵，由49题的结论（2），有

22PP(p)(p12jp2jpnj)T2ijj1i1j12nnn显然 PPP，所以有PT222(p12jp2jpnj).j1n · ·142