线性代数习题册

第一篇：线性代数习题册

线 性 代 数

习

题

册

江苏师范大学科文学院

第一章矩阵

重点掌握：矩阵的运算；行列式的计算；元素的代数余子式和伴随矩阵的定义；可逆矩阵的性质和逆矩阵的求法；矩阵秩的求法等。

一、逆矩阵

对于记作，若有． 为可逆矩阵

；

满足，则称

为可逆矩阵，且

为的逆矩阵，运算律：（1）对于可逆为可逆矩阵．

可逆, 且，有

．

．，取（2）可逆，可逆，且．

对于（3）对于，取与，取都可逆，有

可逆，且，有

． ．

．

（4）对于可逆，取

可逆, 且，有

．

．

（5）（6）可逆与都可逆

．

．

二、矩阵的初等变换

初等变换 行变换 列变换 ① 对调 ② 数乘

, 记作

③ 倍加

经过初等变换得到初等矩阵：

．

（1）

（2）

（3）定理

设（1）对（2）对是

矩阵，则

进行一次行初等变换，相当于用一个阶的初等矩阵左乘；.进行一次列初等变换，相当于用一个阶的初等矩阵右乘求逆矩阵的初等变换法：

（都是初等矩阵）

由此可得：对（矩阵的位置）成为

施行“初等行变换”，当前列 时，则后

列（的位置）为

．

三、矩阵的秩

1、子式：在中, 选取行与

列, 位于交叉处的 个数按照原来的 的一个阶子式, 记作

个．

． 相对位置构成阶行列式, 称为 对于给定的, 不同的2、矩阵的秩：在中，若

；

阶子式总共有(1)有某个阶子式(2)所有的 称

阶子式

（如果有，或者

阶子式的话）． ．

阶梯矩阵.的秩为，记作定理 任意一个矩阵，均可以经过一系列行初等变换化为定理 初等变换不改变矩阵的秩.定理 阶矩阵可逆

.典型习题练习

＊1设是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与

等价的矩阵是（）

A． B．

C． D．

2．设3阶阵A．0 B．1 C．

2＊3如果A 4设阶方阵D．3，则的秩为（）

可逆，则下列结论正确的是（）

； C

； D 的行向量线性相关。； B 是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与等价的矩阵是____________。＊5设为三阶方阵，且，则____________。

＊6设为三阶方阵，的行列式

____________。，则

___________。＊7．已知三阶方阵8．设矩设矩阵，矩阵，则矩阵的秩=____________。

9．设矩阵＊10设n阶可逆矩阵，矩阵

满足，则矩阵，则的秩=____________。

=____________。

11．3阶矩阵，则的秩为____________。

12矩阵，则行列式=____________。

13＊14已知三阶方阵

。的行列式，则。

15已知矩阵，则=____________。

＊16设矩阵，则的特征值为____________。

17计算行列式

＊18计算行列式

＊19计算行列式。

20计算行列式

＊21设

，求。

＊22设，求。

＊23设，求。

＊24设，求。

＊25设

26已知

＊27证明：如果矩阵

阶矩阵满足，求 ,求证：可逆，并求的逆。

是可逆对称矩阵，则也是对称矩阵。

第二章线性方程组

重点掌握：向量组间的线性关系：线性相关和线性无关；向量组极大无关组和秩的求法，线性方程组基础解系的求法等。

一、线性方程组

一、克拉姆（Cramer）法则

定理（克拉姆法则）如果含有个方程的元线性方程组

（1）的系数行列式

则方程组（1）有唯一解，并且

其中是将系数行列式的第列元

元线性方程组

换成常数项

后得到的行列式.定理 如果如果含有个方程的的系数行列式，则方程组（2）仅有零解.二、解线性方程组的消元法

定理（1）（2）若, 有解有解时，若

；，则有唯一解；

个自由未知量．，则有无穷多组解，此时，一般解中有定理(1)

仅有零解

；

(2)

由于对推论 如果矩阵

有非零解[即有无穷多个解]有，由此得到

．

元齐次线性方程组

必有非零解.中，方程的个数少于未知量的个数，即，则方程组特别地，对于含有个方程的元齐次线性方程组

由定理2.2和定理2.4可以得到

定理 齐次线性方程组

有非零解

．

三、向量及其线性运算

1．向量的线性组合 设维向量，及（为正整数），若有数组，称为的线性组合，或称

可由向量组

线性表示．

使得

2．线性相关与线性无关 对维向量组，若有数组

则称向量组

线性相关，否则称为线性无关．，仅当数组

称向量组向量组线性无关，否则称为线性相关． 线性相关

元齐次线性方程组

全为0时，才有

不全为0，使得

线性无关：对维向量组

（1）

有非零解.向量组特别地，当向量组

线性无关

元齐次线性方程组（1）仅有零解.时，由定理2.5可推出： 线性相关

方程组（1）的系数行列式

向量组

线性无关

方程组（1）的系数行列式

四、向量组的秩

极大线性无关组：设向量组为（1）在（2）在都可以表为则称的秩，记作：秩中有个向量中有，若

线性无关；

个向量的话）．[即

中每一个向量

个向量线性相关（如果有的线性组合] 为向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组，称为向量组

．[即极大无关组所含的向量个数] 向量组的秩与矩阵的秩的关系 设

(1)(2)当（1）（2）时，有

线性相关线性无关线性相关线性无关

； ．

； ．

五、线性方程组解的结构

1、齐次线性方程组 不妨设的基础解系 的一般解为

()

依次令

可求得 因为（1）（2）所以，„，线性无关，是解空间的一个基，称为齐次方程组

解的结构 的一个基础解系．

2、非齐次线性方程组设 的一个基础解系为 的特解为，一般解为，则有

()

六、若标准正交基

为向量空间，的一个基，（1）正交化：取，，为正交向量组（两两正交），且与向量组（2）单位化，取

等价．

则向量组为的一个标准正交基．

典型习题练习

＊1．设向量组

线性相关，则向量组中（）

A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 ＊2．下列结论不正确的是（）A 如果B 如果，„，„，则，„，线性相关；

线性相关，则其中某个向量是其它向量的线性组合；

C 向量组的任何一个向量可由它的极大无关组线性表示；

D 如果一个向量组线性无关，则它的任何一个部分向量组也线性无关。

＊3．设向量组

线性无关，则向量组（）A．均不为零向量 B．任意两个向量不成比例

C．任意s-1个向量线性无关 D．任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 ＊4.设向量，则下列向量是单位向量的是（）

A． B．

C．

D．

5．设为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组：的解为_________________.＊6．设是一个4维向量组，若已知

可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为____________。

5．如果＊7．若有非零解，则=____________。

元齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则它的基础解系含解向量的个数为____________。

8.已知向量组

＊9．已知向量组，的秩为2，则数____________.，,（1）求向量组的秩；（2）求向量组的一个极大无关组。

＊10已知向量组，,（1）求向量组的秩；（2）求向量组的一个极大无关组。

＊11试确定

的值，使齐次方程组有非零解，并求方程组的解。

＊12已知向量组 ,判断，是否可以表示为其余向量的线性组合。若可以，求其表示式。

＊13已知向量组 ,14．证明：包含零向量的向量组一定线性相关。，判别向量组是否线性相关。如果现行相关，将其中一个向量表为其余向量的线性组合。

第四章 矩阵的特征值和特征向量

重点掌握：矩阵的特征值和特征向量的计算；矩阵的特征值和特征向量的性质；相似矩阵矩阵对角化问题等。

一、特征值与特征向量

对阶矩阵称为，若有数

和

维列向量

满足，则称数

为的特征值，非零向量的属于特征值的特征向量．

说明：

1、特征向量

2、阶方阵值，即满足方程，特征值问题是对方阵而言的． 的特征值，就是使齐次线性方程组的都是矩阵的特征值．

有非零解的

3、称以记

4、设（1）（2）特征方程：

有非零解

．

或者

为未知数的一元次方程，它是阶方阵的为的特征方程． 的特征多项式．

次多项式，称其为方阵的特征值为，则有

；

特征矩阵：

或者 特征多项式：特征值和特征向量的性质

定理 设是阶矩阵，则

与

有相同的特征值．

定理 阶矩阵定理

设可逆的充分必要条件是它的任一特征值不等于零． 的互异特征值为

线性无关．，与之对应的特征向量依次为，则向量组注意：

1、属于不同特征值的特征向量是线性无关的．

2、属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．

3、矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．

定理

设无关的特征向量为的互异特征值为，重数依次为，则向量组

线性无关．

定理

设（1）（2）

． 0是的特征值． , 则 ；

． 的特征值

；，则，对应的线性推论

一元多项式：矩阵多项式：定理 设(1)(2)[注] 一般结论：若 为的全体特征值为

． ,则的全体特征值

二、相似矩阵及其性质

对于或称是阶方阵和，若有可逆矩阵

．，使得，则称矩阵

与

相似，的相似矩阵，记作相似矩阵的性质 性质1

与

[

与

有相同的特征多项式]； 的特征值相同．

推论 若阶方阵与对角形矩阵

相似，则性质2 即是的个特征值．

（．

为正整数）．

性质3

[相似矩阵一定等价，显然有相等的秩；反之不然] 性质4 单位矩阵的相似矩阵就是其本身．

性质5 性质6 性质7 若，且

与

可逆

．

即相似矩阵或都可逆或都不可逆．当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似．

相似对角化

若方阵对能够与一个对角矩阵相似，称，若可找到可逆矩阵，使

可对角化．

为对角矩阵，这就称为把方阵阶方阵对角化． 定理 阶方阵推论 如果似．[其中[注] 可对角化的有个线性无关的特征向量．

]互不相等，则

．] 的特征值． 可对角化．，重数依次为，有个线性无关的特征向量． 的每一个

重特征值，则

可对

与对角阵

相阶矩阵个特征值[的主对角线的元依次为的主对角元素为有个互异特征值的全体互异特征值为推论1 推论2 设角化的充要条件是，对应于每个特征值定理 阶矩阵特征矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于

． 的秩为定理 也可以叙述为：阶矩阵重特征值，齐次线性方程组

与对角矩阵相似的充分必要条件是对于的基础解系中恰含有的每一个

个向量．

三、实对称矩阵的特征值和特征向量

1．实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理

实对称矩阵的特征值都是实数．[即

] 定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交．

2、正交矩阵 实矩阵（1）（2）满足是正交矩阵是正交矩阵

时，称为正交矩阵．

． ．

（3）即

是正交矩阵，的列向量组是两两正交的单位向量．

（4）是正交矩阵，即的行向量组是两两正交的单位向量． 定理 [设为阶实对称矩阵]是以的存在正交矩阵，使得

[即]．其中即，设为

个特征值为对角元素的对角矩阵．，使得

成为对角矩阵． 一定有个线性无关的阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，若

是推论 设特征向量． 的重特征值, 则对应于特征值

3、实对称矩阵对角化方法——利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为： ① 求② 由的特征值；，求出的特征向量；

③ 将特征向量正交化；

④ 将特征向量单位化．

典型习题练习

1.已知矩阵A．C．2．设 B． D．与对角矩阵，则

相似，则（）

为3阶矩阵，且必有一个特征值为（）

A． B．

C． D． ＊3．设矩阵A．1 C．3 B．2 D．4，则的线性无关的特征向量的个数是（）

＊4.设3阶实对称矩阵的特征值为，则 __________。

5．已知为矩阵的重特征值，则的另一特征值为____________。

＊6．已知三阶方阵7．已知3阶矩阵的特征值为的特征值为，则且矩阵

与

________。相似，则

_________.＊8求矩阵的全部特征值及对应的全部特征向量。

＊9．求矩阵的全部特征值及对应的全部特征向量。

＊10设矩阵

＊11设矩阵，求可逆矩阵，使为对角矩阵。，求可逆矩阵，使为对角矩阵。

＊12矩阵

13证明：如果矩阵

与，求可逆矩阵，使为对角矩阵。

相似，则 与相似 14：证明：如果矩阵

与相似，则 =。

第四章 二次型

重点掌握：二次型及其矩阵；矩阵的合同的性质；二次型标准型与规范型的求法；二次型正，负惯性指数和秩的计算等。一、二次型的矩阵表示

含有个变量

称为元二次型，简称为二次型．

：称：称只含有平方项的二次型

称为二次型的标准形（或法式）．

1．矩阵表示：令，则，于是

为实二次型（本章只讨论实二次型）为复二次型 的二次齐次多项式

其中，．即，（2）

其中为对称矩阵，因为（）．

2、标准形：

对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 二次型的标准形的矩阵为

3、合同矩阵： 对于同于．记为定理 ∽∽为对称矩阵，若有可逆矩阵．

． 为可逆矩阵，若，即

与

合同，则

亦为

使得, 则称矩阵

与

合同，或

合定理 设对称矩阵．

二、化二次型为标准形

1．正交变换法 说明：

1、二次型经可逆变换

2、要使二次型经可逆变换

后，其秩不变，但的矩阵由

变为

；

变成标准形，就是要使

也就是要使称为对角矩阵．，总有正交矩阵，使

由于对任意的实对称矩阵此结论应用于二次型，有，即．把定理

任给二次型准形

（），总有正交变换，使化为标

其中是的矩阵的特征值．

用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：、将二次型表成矩阵形式、求出 的所有特征值，求出；

；，记

；、求出对应于特征值的特征向量、将特征向量；

正交化，单位化，得、作正交变换

2、配方法，则得的标准形．

用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变． 问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？

问题的回答是肯定的．下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法． 拉格朗日配方法的步骤：、若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形；、若二次型中不含有平方项，但是，则先作可逆线性变换

（且化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方．

定理 对于实二次型

定理 对于实对称矩阵, 存在可逆矩阵, 使得 , 存在可逆变换）, 使得

3、初等变换法

求可逆矩阵 可逆, 使得

：（是初等矩阵）

典型习题练习

1设2元二次型

正定，则矩阵

可取为（）

A． B．

C．2 二次型A．1 B．2 C．3 D．4 D． 的秩为（）若3阶实对称矩阵 是正定矩阵，则的正惯性指数为__________。＊4实二次型的正惯性指数=__________。

＊5矩阵

对应的二次型 __________。

第二篇：线性代数习题答案

习题 三（A类）

1.设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)

2.设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)

=(1,2,3,4)3.（1）×

（2）×

（3）√

（4）×

（5）×

4.判别下列向量组的线性相关性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.5.设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关.证明：设

k11k2(12)k3(123)0，即

(k1k2k3)1(k2k3)2k330.由1,2,3线性无关，有

k1k2k30, k2k30,k0.3所以k1k2k30,即1,12,123线性无关.6.问a为何值时，向量组

1(1,2,3),2(3,1,2),3(2,3,a)

'''线性相关，并将3用1,2线性表示.1312237(5a),当a=5时，3a117解：A231172.7.作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵.解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关, 所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，110）线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为110100100000.01

8.设1,2,,s的秩为r且其中每个向量都可经1,2,,r线性表出.证明：1,2,,r为1,2,,s的一个极大线性无关组.【证明】若

1,2,,r

(1)线性相关，且不妨设

1,2,,t(t

(2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是1,2,,s的一个极大无关组，这与1,2,,s的秩为r矛盾，故1,2,,r必线性无关且为1,2,,s的一个极大无关组.9.求向量组1=(1,1,1,k),2=(1,1,k,1),3=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把1,2,3按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.11A1k11k111200110110100k101k1k01110100k1001k011k10010 10当k=1时，1,2,3的秩为2,1,3为其一极大无关组.当k≠1时，1,2,3线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.10.确定向量3(2,a,b),使向量组1(1,1,0),2(1,1,1),3与向量组1=(0,1,1), 2=(1,2,1),3=(1,0,1)的秩相同，且3可由1,2,3线性表出.【解】由于

0A(1,2,3)111B(1,2,3)1012111111001021a0b011021001;02,ba2

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a2=0,即a=2,又

0c(1,2,3,3)1112110121a0b0210010 ,2ba2a要使3可由1,2,3线性表出，需ba+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即3=(2,2,0).11.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；

(3)α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α＝(2，1，5，6).解：（1）把向量组作为列向量组成矩阵Α，应用初等行变换将Α化为最简形矩阵B，则 111 0 1 4 11 4 11 4 1950 1 2 1 30 9 55A90 1 B

1 5 40 9 590 0 00 0 00 0 03 6 70 18 100 0 05可知：R（Α）=R（B）=2，B的第1，2列线性无关，由于Α的列向量组与B的对应的列向量有相同的线性组合关系，故与B对应的Α的第1，2列线性无关，即α1,α2是该向量组的一个极大无关组.（2）同理， 6 1 1 70-11 55 71 2-9 0 4 0 4 10 8 40 10-11 55 7 1 2-9 01 2-9 00-8 40 11 3-6 10 5-15-10 5-15-1 2 4 22 30 8 40 10 0 0 01 2-9 070 1-5-11450 0 0-11240 0 10 110 0 0 01 2-9 01 0 0 00 1-5 00 1 0 00 0 10 00 0 1 0B0 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0

可知R(Α)=R(B)=4,Α的4个列向量线性无关,即α1,α2,α3,α4是该向量组的极大无关组.(3)同理，1 0 3 1 21 0 3 1 21 0 3 1 21 0 3 1 2-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1, A2 1 7 2 50 1 1 0 10 0 0-4-40 0 0 1 14 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0可知R(Α)=R(B)=3,取线性无关组α1,α3,α5为该向量组的一个极大无关组.12.求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量组为列向量组成Α,应用初等行变换化为最简形式.31 0 11-1 5-11-1 5-11-1 5-1271 1-2 30 2-7 470 1-2 20 1-2B, A3-1 8 10 2-7 420 0 0 00 0 0 00 0 0 01 3-9 70 4-14 8 0 0 0 0可知,α1,α2为向量组的一个极大无关组.x1x2537x1x22设α3=x1α1+x2α2,即解得,x1,x2

223x1x28x3x912x1x21x1x23设α4=x3α1+x4α2,即解得,x11,x22

3x1x21x3x712所以a332a172a2,a4a12a2.1 1 1 4-31 1 1 4-31 0 2 1-21-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1B(2)同理, A2 1 3 5-50-1 1-3 10 0 0 0 03 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0可知, α

1、α2可作为Α的一个极大线性无关组，令α3=x1α1+x2αx1x21可得：即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, xx312x1x24可得：即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, x1x22x1x23可得：即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αxx1122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.设向量组1,2,,m与1,2,,s秩相同且1,2,,m能经1,2,,s线性表出.证明1,2,,m与1,2,,s等价.【解】设向量组

1,2,,m

(1)与向量组

1,2,,s

(2)的极大线性无关组分别为

1,2,,r

(3)和

1,2,,r

(4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即

riaj1ijj(i1,2,,r).因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出j(j1,2,,r),即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.14.设向量组α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组β1,β2,…,βt的秩为r2,向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩为r3,试证:

max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.证明：设αs1,…，Sr1为α1,α2,…，αs的一个极大线性无关组, βt1,βt2,…,t为β1，r2β2,…,βt的一个极大线性无关组.μ1，…，r为α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一

3个极大线性无关组，则α

s1，…，S和βt1，…，β

r1tr2

可分别由μ1，…，r线性表示，所

3以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，r可由α

3s1, …，αsr1，βt1，…，βtr2线性表示及线性无关性可知：r3≤r1+r2.15.已知向量组α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩为3,试确定a的值.解：以向量组为列向量，组成矩阵A，用行初等变换化为最简形式： 1 a a a1 a a a13a a a aa 1 a aa-1 1a 0 00 1-a 0 0 a a 1 aa-1 0 1-a 00 0 1-a 0a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a由秩A=3.可知a≠1,从而1+3a=0，即a=-

13.16.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.2575(1)75***4204311320；

(2)213448112012130251411.3112【解】(1)矩阵的行向量组的一个极大无关组为1,2,3;

3412(2)矩阵的行向量组的一个极大无关组为1,2,4.3417.集合V1＝{(x1,x2,,xn)｜x1,x2,,xn∈R且x1x2xn＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设(x1,x2,,xn)V1,(y1,y2,,yn)V2,kR)则

(x1y1,x2y2,,xnyn)k(kx1,kx2,,kxn).因为

(x1y1)(x2y2)(xnyn)(x1x2xn)(y1y2yn)0, kx1kx2kxnk(x1x2xn)0,所以V1,kV1,故V1是向量空间.18.试证：由1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1),生成的向量空间恰为R3.【证明】把1,2,3排成矩阵A=(1,2,3),则

1A101010120, 1所以1,2,3线性无关，故1,2,3是R3的一个基，因而1,2,3生成的向量空间恰为R3.19.求由向量1(1,2,1,0),2(1,1,1,2),3(3,4,3,4),4(1,1,2,1),5(4,5,6,4)所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵

A(1,2,3,4,5)1210111234341121415006401102320411114130024011003200111043 ,20∴1,2,4是一组基，其维数是3维的.20.设1(1,1,0,0),2(1,0,1,1),1(2,1,3,3),2(0,1,1,1),证明: L(1,2)L(1,2).【解】因为矩阵

A(1,2,1,2)110010112133011001101100230001 ,00由此知向量组1,2与向量组1,2的秩都是2，并且向量组1,2可由向量组1,2线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而1,2也可由1,2线性表出.所以

L(1,2)L(1,2).21.在R3中求一个向量，使它在下面两个基

(1)1(1,0,1),(2)1(0,1,1),2(1,0,0)2(1,1,0)3(0,1,1)3(1,0,1)

下有相同的坐标.【解】设在两组基下的坐标均为(x1,x2,x3)，即

x1x1(1,2,3)x2(1,2,3)x2,x3x31011000x101x2111x31101x10x21x3

即

1102101x1x0, 120x3求该齐次线性方程组得通解

x1k,x22k,x33k

(k为任意实数)故

x11x22x33(k,2k,3k).22.验证1(1,1,0),2(2,1,3),3(3,1,2)为R3的一个基，并把1(5,0,7), 2(9,8,13)用这个基线性表示.【解】设

A(1,2,3),B(1,2)，又设

1x111x212x313,2x121x222x323, 即

x11(1,2)(1,2,3)x21x31x12x22, x32记作

B=AX.则

1(AB)1010***25079r2r18131002331003420105570019r2r317r2r3132313329作初等行变换134

因有AE,故1,2,3为R3的一个基，且

2(1,2)(1,2,3)3133, 2即

121323,2313223.（B类）

1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2，b=4 6.abc≠0

7.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:(1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论.(2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.解：(1)由向量组α1，α2，α3线性相关，知向量组α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4线性无关，所以α2, α3线性无关，故α2, α3是α1, α2, α3的极大线性无关组，所以α1能由α2, α3线性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3线性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的极大线性无关组,所以α4可由α2，α3线性表示.与α2，α3，α4线性无关矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1线性相关,但其中任意

n个向量都线性无关,证明:必存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使

k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.证明:因为α1，α2，…，αn，αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0

n+1=0，由任意

n+1线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，…，kn，kn+1使若k1=0，则k2α2+…+kn+1αn个向量都性线无关，则k2=…=kn+1=0,矛盾.从k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n＜m,E为n阶单位矩阵.若AB=E,证明:B的列向量组线性无关.证明：由第2章知识知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小结所给矩阵秩的性质，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩为n，即线性无关.

第三篇：线性代数习题答案

综合练习一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er2,s5,t8或r5,s8,t2或r8,s2,t5.01Fi2,j1.01G12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序数为k2;当k为偶数时,排列为偶排列,当k为奇数时,排列为奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)(aa1222a13a1411a22a33a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x18.01Nf(x)g(x)s(x).01O1.f(x)g(x)s(x)02AB、D.02B3.02C6.02Dx0,1,2.02E(1)n1(n1)xn.02F(12131)n!.02G(1)n(n1)2nn1(n1)n.2.02H(1)n1(nax)xn1.02I(1)n[(1)nn].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa0,b0.4403G1,3.03Habii03If(x)2x23x1.i1i1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1aa2)(1a)3.04Bn1.04Cx1x2...xn1(1a1x1a2x2...anxn).04Dx1x2...xn[1a(1x1...1.1x2xn)]04E(x1)n..49.04F1(1)a1(1)2a2an1...(1)anan1...a2a1n04G(n1)当a,n1n1当a.05A0.05B1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H9,18.06An!(n1)!(n2)!...2!1!.06B(cos).4ij1icosj07A(1x)2(10x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E2.08Fa0且bb/4.08Gf(x)2x23x1.08H甲、乙、丙三种化肥各需3千克,5千克,15千克.综合练习二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a2n).01N(AB)(AB).01S(2)A249(A2E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(1)n1n1k2(n1)!.(2)(1)n1n!(k1,2,,n).01V两年后在岗职工668人,培训人员334人.01W即晴天概率为146256,阴天的概率为6248256,下雨天的概率为256.xnx426001X1y023/21/200xn.yn1nyzn101/40zn4236z224012102A4982242.02B2n102420121.02C2220242222.1nn(n1)2.4n14n0002D201n.02En1n142.400001002nn.2n1.0002n.50.10002FA20061.由于A5A.1100003A(1)(1)n11(2)1200n!A.0230.0034(3)A6E.(4)12(EB).(5)B(E2A)1.10103BB510E.03D1211.03C(2)A2A5(A2E).03EA11(A3E).(A4E)11106(AE).03FB1114(5A23AE).03G(EABA)1B(EAB)1B1.03HB1110(A23A4E).03I(EAB)1EA(EBA)1B.10001/21/20003NA1003O1122212.1/21/61/391/85/241/121/422100201003403P000123310005200003Q(A1A2A41A3)1A11A2(A4A3A11A2)1A111(A4A3(A1A2A4A3)4A3A11A2)1.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)1/3;(6)576;(7)3.04B10804F521220101.04GA0A(bTA1),05AD.05C2.05D当a1且b2,r(A)4;当a1且b2时,r(A)2;.51.当a1,b2或a1,b2时,r(A)3.05E当c1,并且a1或b0时,r(A)1;当c1,a1且b0时,r(A)3;当c1,但a1或b0时,r(A)3;当c1,a1且b0时,r(A)2.05F当ab0时,r(A)0;当ab0时,r(A)1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n.05G11n.05Hr[(A*)*]n,如果r(A)n,0,如果r(A)n.1111101005K111105L01041111.11110010.00022400110005M220005N12200022.00120233.003405OA.0211106A1321.06B202.03052231106C43206D22.319/213/2.21112300106E020.06F21001.121012103006G003300..52.综合训练三01AC.01BB.01CB.01Dt1.01Ea2b.01F(1)当t5时,1,2,3线性相关;(2)当t5时,1,2,3线性无关;(3)3122.01G(1)当a1时,1,2,3线性相关;(2)当b2且a1时,可由i唯一的表出:122;当b2且a1时,可由i线性表出:(2t1)1(t2)2t3,其中t是任意常数.02AB.02BC.02C B.02D D.02E t5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)当a2时,不能用1,2,3线性表出;(2)当a2且a1时,有唯一的表达式:a11(a1a2a2)212a23;当a1时,(1kl)1k2l3,k,l.02J(1)若0且3,可由1,2,3唯一线性表示;(2)若0,可由1,2,3线性表示,但不唯一;(3)若3,不能由1,2,3线性表示.02K(1)当b2时,不能由1,2,3线性表出;(2)当b2,a1时,可唯一表示为122;当b2,a1时,可表示为(2k1)1(k2)2k3()k为任意常数.02L(1)当a1,b0时,不能表示成1,2,3,4的线性组合;(2)当a1时,有唯一表示式:2ba1ab1b1a12a130.402M(1)当a4时,可由1,2,3唯一线性表出..53.(2)当a4时,不能由1,2,3线性表示.(3)当a4且3bc1时,可由1,2,3线性表出,但不唯一:t1(2tb1)2(2b1)3(t为任意常数).02N不等价.03AD.03B1.03Cn.03D(1)R(1,2,3,4)2;向量组的一个极大无关组为2,4;12(24),3234;(2)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,3,5;2135,4135;(3)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,2,3;4123,5120.3.03ER(1,2,3,4,5)3.03Fa15,b5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct1.x1y1104D4.04E矩阵xy221的秩小于3.xnyn111422204F(1)C3,(CR);(2)k170k012,(k1,k2R);201523/23/4(3)C13/2C217/40,(C1,C2R).0104G(1)无解;(2)(1/2,2,1/2,0)Tk(1/2,0,1/2,1)T,其中k为任意常数;(3)(514,3314,0,7)Tk(1,1,2,0)T.(k为任意常数);.54.(4)C131(7,177,1,0,0)TC(101911127,7,0,1,0)TC3(7,7,0,0,1)T(2,3,0,0,0)T,(C1,C2,C3R).04H(1)1,2,3是所给方程组的基础解系.(2)1,2,3不是所给方程组的基础解系.104I当1时,有解,解为1k12,其中k为任意常数.0104J(1)当1且45时,方程组有唯一解;1当1时,其通解为1k01,其中k0为任意实数;1当45时,原方程组无解;(2)当2且1时,方程组唯一解;当2时,方程组无解;当1时,方程组有无穷多组解.全部解为21k110k012001,其中k1,k2是任意常数.04K(1)当a0时,方程组无解;x12/a,当a0,b3时,方程组有唯一解:x21,x30;x12/a,当a0,b3时,方程组有无穷多解:x213t,(tR).2x3t.(2)当a0或a0时b4,方程组无解;方程组不可能有唯一解;当a0且b4时,方程组有无穷多解.通解是.55.(6,4,0,0,0)Tk1(2,1,1,0,0)Tk2(2,1,0,1,0)Tk3(6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意实数.(3)当a1,b36时,方程组无解;当a1,a6时,方程组有唯一解,x(b36)a1,x12(a4)(b36)162a1,xb36230,x4a1;当a1,b36时,方程组有无穷多解,通解为(6,12,0,0)Tk(2,5,0,1)T.k为任意常数;当a6时,方程组有无穷多解,通解是(1(1142b),1(122b),0,1(bT77736))k(2,1,1,0)T.04L(1)当ab,bc,ca时,方程组仅有零解x1x2x30.(2)当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k1(1,1,0)T(k1为任意常数).当acb时,方程组有无穷多组解,全部解为k2(1,0,1)T(k2为任意常数).当bca时,方程组有无穷多组解,全部解为k3(0,1,1)T(k3为任意常数).当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k4(1,1,0)Tk5(1,0,1)T(k4,k5为任意常数).2104M(1)方程组有无穷多组解,通解为41k(k为任意常数502).1(2)当m2,n4,t6时,方程组(I),(II)同解.04Na2,t4.04O非零公共解为t(1,1,1,1)T.(t为任意常数)04P原来至少要有3121个桃子,最后还剩下1020个桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G1.05H1..56.05I(1,2,3,4)Tk(1,1,1,1)T,其中k是任意实数.05J(3,2,0)Tk(1,1,1)T.(k为任意常数)05K通解为(9,1,2,11)Tk1(10,6,11,11)Tk2(8,4,11,11)T05L3m2n.05M2.1/2005N通解为1/21k,其中k为任意常数.011105O(1)1可由2,3,4线性表出.(2)4不能用1,2,3线性表出.x1k2t,06A(2)通解是x2k2,其中t是任意实数.x3t,06B通解是(a8,4,2,1)T12a24a3,a22a3,a3,0)Tk(,其中k是任意实数.06E方程组的唯一解为(ATA)1ATb.06L(II)的通解为c1(a11,a12,...,a1,2n)Tc2(a21,a22,...,a2,2n)T...cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn为任意常数.综合练习四1/21/61/(23)01A45.01B11/221/6;31/(23).0;02/601/(23)3/202A(1)10,22,33,1/2k10对应特征向量为11/2,1.57.1122对应特征向量为k2,013对应特征向量为k331.1(2)18,231,218对应特向量为k11,其中k1为任意非零常数.21231对应特征向量为k201k32,其中k2,k3是不全为10零的实数.(3)101232全部特征向量为k12k20,(k1,k2不全为零).0102BA的特征值是1,2,2a1,a221对应的特征向量依次是k13,k22,k31.(k1,k2,k3全不为0).01a102CA的特征值2(二重)及0,2对应特征向量为k1(0,1,0)Tk2(1,0,1)T.0对应特征向量为k3(1,0,1)T.02D(1)当b0时,A的特征值为12na,则任一非零向量均为其特征向量.(2)当b0时,A的特征值为12n1ab,na(n1)b当1n1ab对应特征向量为1111k1000k21kn100,01.58.1a(n1)b对应特征向量为k1nn,(kn0).102Ea2,b3,c2,01.2n21102F112n212n23n1.112n202GA与B特征值相同但不相似.02Ha7,b2,P15112202I1102.0.101302Ja1,b8,c10.02K(1)|EA|4a34a23a2a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k(2)2i(i1,2,,n);i(i1,2,,n);(3)kii(i1,2,,n);(4)i(i1,2,,n);(5)1(i1,2,,n);(6)|A|1,2,,n);i(ii(7)f(i),(i1,2,,n).03E|A|21.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全为零.0对应特征向量为k11k11...kn1n1(k1,k2,...,k3不全为零的任意常数).03L3,2,2.03M(1)P1AP全部特征值是1,12,,n.Pi是P1AP的属于i的特征向量..59.(2)(P1AP)T全部特征值是11,2,,n.PTi是(PAP)T的属于i的特征向量.03P1(n1重),3,1对应特征向量为k1(y2,y1,0,,0)Tk2(y3,0,y1,,0)Tkn1(yn,0,0,,y1)T,k1,k2,,kn1不全为0,3对应特征向量为kn(x1,x2,,xn)T,kn0.04AD.04B546333.76804C(1)a3,b0,1.(2)A不能相似于对角阵.404D当a1时,A1116114.442当a111410222时,A301055.22519132504E(1)3k(1,0,1)T(2)A162102.(k);为任意非零常数521301104F1/201/200004G.1011/201/2.11011104H111.04IAPP1P(2E)P12E.1115404J6333.76804OA的特征值是2与1(n1重)..60.X1(1,1,,1)T是A属于2的特征向量,X2(1,1,0,,0)T,X3(1,0,1,,0)T,,Xn(1,0,0,,1)TA属于1的特征向量.11112n2n2nA111112n2n2n.12n112n12n05A0.05BA能对角化.05CA能对角化.1105D(1)12(2);1;(3)311;21(4)1(5)A2.;不能对角化;(6)20405E令P212100,则11.011021005F(1)T12403212,T1AT010122002.111263(2)T111133263,TAT.01166311123605GP120036,P1AP1.1114236.61.221535305HQ1425353,QTAQ22.705235305Ia1,b3.A能对角化.05J01,a3,b0.A不能相似于对角阵.1105Kxy0.05L111111.05MA~1111.0905N105PA~B.0.00105Q(1)x0,y2;(2)P210.11106An!.06B6.06C(2n3)！.06Dk(k2)2.06FO.06EE.3n13n106G(1)(2)6n13123n123n1;93;(3)10013n123n13n.13n223n23n06Hx10051001.06Ix51003210013.n06Ja1n563,nliman5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是综合练习五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.00101F010.01Gy21y22y23.10001H(1)fz21z22,相应的线性变换为zPy(P1112P1)x.P1010,P1002013,001001x1(2)z2z22111/2z112z3.相应的线性变换x2x3112z2.001/2z3100(3)f12y2222y3相应的线性变换x1101/21/21y,x101Ix1212y1201Jc3,4y219y22.3122y2x3221y311126301Ka2,b3.xCy,C111263,2106301Lf(x)x2221,x2,x312x2x32x1x22x2x34x1x3.切平面方程为2x1x2x31.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)2;(2)1.1012241102I0,P01002NB1314111.114.022.63.综合练习六01A(1)V1是向量空间.(2)V2是向量空间.01B(1)W1不是子空间.(2)W2是子空间.dimW22.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一组基.(3)W3是子空间,dimW32.(1,1,0),(2,0,1)是W3的一组基.(4)W4不是子空间.(5)W5不是子空间.01CW1W2是V的子空间,W1W2不一定是V的子空间.T02B5114,14,4,4.02C坐标变换公式为x1111x1x1212x1x2102x2或x32001x2x010x3x3111x3在所给定的两组基下具有相同坐标的全部向量为k32,k3为任意实数.T02D(1)(3,4,4)T;(2)112,5,132.02E(5/21/21,2)(1,2,3)3/23/2.5/25/202F(1,2,2)T时,坐标乘积的极大值是18.002G(1)A110011000110.1011(2)所求非零向量010203k4k4(k为非零任意常数).02H(1)111011;(2)0011(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0,0,1)T;(3)A11.02I(1,1,,1).3.64.a11a1203Aa21a22a11a12a31a32a2203C(1)a12a32a21a11a31a23a13;a33a12a22a12a32a13a23a13.a3301103B020.210a11a21(2)ka31ka12a22ka32a13a23;ka33a11a21a11a12a21a22(3)a21a31a21a22a31a32aa31a3231a11a12a13a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31a32a33.65.

第四篇：线性代数习题2

第2章

线性方程组

练习题

1、已知 1 =(1 , 1 , 0 , 1)T，2 =(2 , 1 , 3 , 1)T，3 =(1 , 1 , 0 , 0)T，4 =(0 , 1 , 1 , 1)T， =(0 , 0 , 0 , 1)T，（1）求向量组 1，2，3，4 的秩，（2）判定  是否可以表为 1，2，3，4 的线性组合，说明理由。（4，可以）

2、设向量组 1 =(1 , 1 , 1)T，2 =(1 , 2 , 3)T，3 =(1 , 3 , t)T，求（1）当 t 为何值时，1，2，3 线性无关？（2）当 t 为何值时，1，2，3 线性相关？此时将 3 表为 1 与2 的线性组合。

（t  5 时，1，2，3 线性无关；t = 5时，1，2，3 线性相关，且 3 = 1 + 2

2）

3、确定  为何值时，向量  =(0 , 1 , )T 可以表为向量组 1 =(1 , 2 , 3)T，2 =(2 , 1 , 1)T，3 =(1 , 1 , 2)T，4 =(2 , 1 , 1)T 的线性组合，并求出一个具体表达式。

（ =1； = 1 + 2 + 3 + ）

k11k3

4、设 11，2k，31，2，讨论 k 为何值时，（1） 不能由 1，1k122，3 线性表出；（2） 能由 1，2，3 线性表出，且表示法唯一；（3） 能由 1，2，3 线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。

（（1） 2；（2）k  1且 k  2 ；（3）1， = 2 ）

5、已知向量组 1 =(1 , 0 , 2 , 3)T，2 =(1 , 1 , 3 , 5)T，3 =(1 , 1 , a+2 , 1)T，4 =(1 , 2 , 4 , a+8)T 及  =(1 , 1 , b+3 , 5)T，求（1）a、b 为何值时， 不能表示成 1，2，3，4 的线性组合；（2）a、b 为何值时， 有 1，2，3，4 的唯一线性表示式，写出该表示式。

（当 a = 1 且 b  0 时，不可以；当 a  1 时，有唯一的线性表示式

2bab1b1230

4）a1a1a1

6、已知 1 =(1 , 2 , 3 , 1)T，2 =(5 , 5 , a , 11)T，3 =(1 , 3 , 6 , 3)T， =(2 , 1 , 3 , b)T，问（1）a、b 取何值时， 不能由 1，2，3 线性表示？（2）a、b 取何值时， 可以由 1，2，3 线性表示？并写出表示式。

（b  4 时，不能；b = 4 且 a  12 时，唯一表示： = 1 + 0  2 + 3 ； b = 4 且 a = 12 时，表示不唯一： =(12c)1 + c 2 +(13c)3（c 为任意常数））

7、设向量组 1 =(2 , k , 1)T，2 =(k1 , 1 , 2)T，3 =(4 , 1 , 4)T 线性相关，求k 值。（k = 1 或 k = 9 / 4）

8、设 n 维（n > 1）向量组

1 =(0 , 1 , 1 , … , 1 , 1)T，2 =(1 , 0 , 1 , … , 1 , 1)T，…，n =(1 , 1 , 1 , … , 1 , 0)T，试判断该向量组是否线性相关。（线性无关）

9、已知向量组 1，2，…，s（s  2）线性无关，设 1 = 1 + 2，2 = 2 + 3，…，s1 = s1 + s，s = s + 1，讨论向量组 1，2，…，s 的线性相关性。

（s 为奇数时，线性无关；s 为偶数时，线性相关）

10、设向量组 1，2，3 线性无关，问常数l，m满足什么条件时，向量组 l2  1，m 3  2，1  3 线性无关。（l m  1）

11、设向量组 1 =(1 , 2 , 1 , 1)T，2 =(2 , 0 , t , 0)T，3 =(0 , 4 , 5 , 2)T 的秩为 2，求 t 的值。（t = 3）

12、设向量组 1，2，3，4，5，其中 1 =(1, 1, 2, 4)T，2 =(0, 3, 1, 2)T，3 =(3, 0, 7, 14)T，4 =(1, 2, 2, 0)T，5 =(2, 1, 5, 10)T。求（1）向量组 1，2，3，4，

5的秩；

（2）找出向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。

（3；1，2，4 为其一个极大无关组，3 = 31 + 2 + 0  4，5 = 21 + 2 + 0  4）

13、已知向量组 1 =(1 , 1 , 1 , 3)T，2 =(1 , 3 , 5 , 1)T，3 =(3 , 2 , 1 , p+2)T，4 =(2 , 6 , 10 , p)T，问：

（1）p 取何值时，向量组 1，2，3，4 线性无关？试将向量  =(4 , 1 , 6 , 10)T 用 1，2，3，4 线性表出。

（2）p 取何值时，向量组 1，2，3，4 线性相关？求出 1，2，3，4 的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。

（p  2时，线性无关，213p41p234；P = 2 时，线性相关，极大无关p2p2组：1，2，3，且 4 = 0 1 + 22 + 0  

3）

kx12x2x30

14、已知齐次线性方程组 x1x2x30 有非零解，求 k 的值。（2 或 3）

2xkx021

15、设 3  4 矩阵 A 为一齐次线性方程组的系数矩阵，且 r(A)= 2，又已知 1 =(1 , 1 , 3 , 1)T，2 =(1 , 1 , 1 , 3)T，3 =(5 , 2 , 8 , 9)T，4 =(1 , 3 , 1 , 7)T 均为该齐次线性方程组的解。试求它的一个基础解系，并将其余解表为该基础解系的线性组合。

37（基础解系：1，2 ；且 312，4 = 1 + 2 ）

16、已知向量组 1 =(1 , 2 , 1 , 0 , 0)T，2 =(1 , 2 , 0 , 1 , 0)T，3 =(0 , 0 , 1 , 1 , 0)T，x1x2x3x4x503x2xxx3x0123454 =(1 , 2 , 3 , 2 , 0)T 都是下面齐次线性方程组的解：，判断

x2x2x6x023455x14x23x33x4x501，2，3，4 是否为该方程组得一个基础解系？若是，说明理由；若不是，在此向量组的基础上进行适当增减后，构成一个基础解系。

（不是。基础解系为：1，2，，其中  =(5 , 6 , 0 , 0 , 1)T）

x412x1x2

17、用基础解系表示下列方程组的全部解 x13x27x34x43。

3x2xxx22341011121（c1c2，c1、c2 为任意常数）

010001 11x111A2a2b2B3X

18、设 x2，试就 a、b 的各种取值情况，讨论线，，x03aa2b33性方程组AX = B 的解，如果有解，求出其解。

（当 a = 0 时，无解；当 a  0 且 a  b 时，有唯一解：x11且 a = b 时，有无穷多解：x11

19、已知非齐次线性方程组 AX = B 的增广矩阵A 经初等行变换化为如下形式：

11,x2,x30 ；当 a  0 aa11,x2c,x3c，c 为任意常数）aa10AA,B00写出它的全部解。04120k800120011，讨论 k、t 取何值时方程组无解，有解；当有解时，0t2141122（当 t  2 时，无解；当 t = 2 且k = 8 时，全部解为 c1c2，c1、0100011112c2 为任意常数；当 t = 2 且k  8 时，全部解为 c，c 为任意常数）

0001

x3x40x1x2x22x32x4120、当 a、b 为何值时，线性方程组  无解，有唯一解和无穷多

x(a3)x2xb234x3ax413x12x2解？在方程组有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示出线性方程组的全部解。

（a = 1 且 b  1 时，无解；a  1 时，唯一解；a = 1 且 b = 1 时，无穷多解：111122c1c2，c1、c2 为任意常数）

010001

x1x2kx34

21、讨论k为何值时线性方程组x1kx2x3k2 无解，有唯一解，有无穷多解？在有无

xx2x4231穷多解的情况下，用基础解系表示其全部解。

03（当k = 1时，无解；当k  1且 k  4时，唯一解；当k = 4时，无穷多解：4c1，01c为任意常数）

22、设四元非齐次线性方程组 AX = B 的系数矩阵的秩为 3，已知 1，2，3 为它的三个解向量，其中 1 =(2 , 0 , 5 , 1)T，2 + 3 =(2, 0, 2 , 6)T，试求该方程组的全部解。

2200（c，c为任意常数）

51218

23、已知矩阵 A 是元非齐次方程组的系数矩阵，且 r(A)= 3，1，2，

3是该方程组的三个不同解向量，其中 1 + 22 + 3

=(2 , 4 , 6 , 8)T，1 + 23 =(1 , 3 , 5 , 7)T，试求 4 元非齐次方程组的全部解。（（24、设 A 为 3  4 矩阵，r(A)= 2，且已知非齐次线性方程组 AX = b 的三个解为 1 =(1 , 1 , 0 , 2)T，2 =(2 , 1 , 1 , 4)T，3 =(4 , 5 , 3 , 11)T，求：（1）齐次线性方程组 AX = 0 的通解；（2）用基础解系表示出 4 元非齐次线性方程组 AX = b 的全部解。

（ = c1(2  1)+ c2(3  2)= c1(1 , 2 , 1 , 2)T + c2(2 , 4 , 2 , 7)T，c1、c2 为任意常数； = 1 +  =(1 , 1 , 0 , 2)T + c1(1 , 2 , 1 , 2)T + c2(2 , 4 , 2 , 7)T，c1、c2 为任意常数）

25、已知 1 =(1 , 2 , 0)T，2 =(1 , a+2 , 3a)T，3 =(1 , b+2 , a+2b)T， =(1 , 3 , 3)T，当 a、b 为何值时，1，2，3 是 R3 的一组基？并求  在这组基下的坐标。

a11（a  0 且 a + 5b + 12  0；，0）

aa13，1，2)Tc(2,0,2,4)T，c 为任意常数。）22

26、在 R3 中给定两组基：1 =(1 , 1 , 0)T，2 =(0 , 1 , 1)T，3 =(1 , 1 , 2)T ；1 =(1 , 0 , 1)T，2 =(0 , 1 , 1)T，3 =(1 , 1 , 4)T，求非零向量 ，使它在上述两组基下有相同的坐标。

（ = c(0 , 1 , 1)T，c 为任意非零常数）

x4x50x1x2x32x50，求其解空间的一组正交基。

27、设齐次线性方程组 x1x2x3x4x50121，1，0)T，(1 , 0 , 1 , 0 , 1)T）（(1 , 1 , 1 , 0 , 0)T，(，333

28、设 1 =(1 , 2 , 2)T，2 =(2 , 4 , 4)T，3 =(1 , 0 , 1)T，4 =(2 , 2 , 3)T，5 =(5 , 3 , 7)T

 R3，求（1）R3 的子空间 L(1，2，3，4，5)的维数和一组标准正交基。（2）1，2，3，4，5 在这组标准正交基下的坐标。

222112（dim L(1，2，3，4，5)= 3，,,，,,，333333122,,；(3 , 0 , 0)，(6 , 0 , 0)，(1 , 1 , 0)，(4 , 1 , 0)，(1 , 1 , 9)）

333

29、设向量组 1，2，3，其中

1 =(1 , 1 , 0)T，2 =(1 , 0 , 1)T，3 =(1 , 1 , 1)T，并且 1 与 2 线性无关，3 与 1，2 相互正交，（1）试判断 1，2，3 是否为 R3 上的一组基；（2）如果是，将其化为 R3 上的一组标准正交基。

1,（是；21TTT11,0，,,266T12,，63T13,1）3T

30、证明题

x12x22x30（1）设方程组 2x1x2x30 的系数矩阵为 A，三阶矩阵 B  0，且满足 A B = 0，求3xxx0231① 参数  ；② 该方程组的全部解；③ 证明行列式  B  =0。

（1； = c(0 , 1 , 1)T，c 为任意常数）

（2）设实矩阵 Amn（n < m），且线性方程组 A X = B 有唯一解，证明：AT A 是可逆矩阵，并求其解矩阵 X 的表达式。（X =(AT A)1 AT B）

（3）设 A 为 n 阶非零矩阵，求证：若存在一个 n 阶非零矩阵 B，使 A B = 0，则  A  = 0。

（4）设 A 为 m  n 矩阵，B 为 n  m 矩阵（m < n），E 是 m 阶单位矩阵，若 A B= E，求证： A 的行向量组线性无关。

（5）设向量组 1，2，3 线性无关，证明：向量组 1 + 2，32 + 23，1  22 + 3 线性无关。

（6）求证：n 维向量组 1，2，…，n 线性无关的充要条件是 n 维标准向量组 1，2，…，n 可以由 1，2，…，n 线性表示。

（7）设 1，2，…，s 为一组 n 维向量（s  2），且向量组

123s213s，求

s12s1证：向量组 1，2，…，s 线性无关的充分必要条件是 1，2，…，s 线性无关。

（8）设 1，2，…，m 为一个 n维向量组，已知 r(1，2，…，s)= r(1，2，…，s，s+1，…，m)，求证：{ 1，2，…，s } { 1，2，…，s，s+1，…，m }。

（9）已知向量组 1，2，…，m+1（m  1）线性无关，向量组 1，2，…，m 可表为 i = i + t i m+1（i = 1，2，…，m），其中 t i（i = 1，2，…，m）是数。证明：向量组 1，2，…，m 线性无关。

（10）设向量组 1，2，3，…，n 的前 n  1 个向量线性相关，后 n  1 个向量线性无关，证明：① 1 能由 2，3，…， n1 线性表示；② n 不能由 1，2，…， n1 线性表出。

（11）设向量  可由向量组 1，2，…， r  1， r 线性表示，但向量  不可由向量组 1，2，…， r  1 线性表示。试证：向量组 1，2，…， r  1， r 与 1，2，…， r  1， 有相同的秩。

（12）设 1，2，3 是某个向量组的极大无关组，1，2，3 是此向量组的部分组，并且 1 = 1 + 2 + 3，2 = 1 + 2 + 23，3 = 1 + 22 + 33。证明：1，2，3 也是此向量组的极大无关组。

（13）设向量组 1，2，…，m 线性无关，向量 1 可由该向量组线性表示，而向量

2 不能由该向量组线性表示，证明：m + 1 个向量 1，2，…，m，l 1 + 2

（l 为常数）线性无关。

x1x2xx4（14）在线性方程组3x1x3x2x4a1a2中，a1a2b1b2。求证：方程组有解，并用其导出组b1b2的基础解系表示其全部解。（ =(a1  b2 , b2 , a 2 , 0)T + c(1 , 1 , 1 , 1)T，c 为任意常数）

（15）设 1，2，3 是齐次线性方程组 AX = 0 的一个基础解系，证明：1 + 2，2 + 3，3 + 1 也是该齐次线性方程组的一个基础解系。

（16）设  是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，1，2，… ,  n  r 是其导出组 AX = 0 的一个基础解系，证明：1，2，… ,  n  r， 线性无关。

（17）设  是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，1，2，… ,  n  r 是其导出组 AX = 0 的一个基础解系，且 1，2，… ,  n  r， 线性无关，证明： + 1， + 2，… ,  +  n  r， 线性无关。

（18）证明：正交向量组是线性无关的。

AO（19）如果 A 与 B 分别是两个 n 阶正交矩阵，证明：分块矩阵C OB 是正交矩阵。



第五篇：线性代数习题及解答

线性代数习题一

说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

a11a12a133a113a123a131．设行列式a21a22a23=2，则a31a32a33=（）

a31a32a33a21a31a22a32a23a33A．-6 B．-3 C．3

D．6 2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（）A．E+A-1 B．E-A C．E+A

D．E-A-

13．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）

A．AA-1B可逆，且其逆为B-1 B．AB不可逆 C．AB-1D．B可逆，且其逆为A-1 AA-1B可逆，且其逆为B-1 4．设1，2，…，k是n维列向量，则1，2，…，k线性无关的充分必要条件是A．向量组1，2，…，k中任意两个向量线性无关

B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0 C．向量组1，2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D．向量组1，2，…，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5．已知向量2(1,2,2,1)T,32(1,4,3,0)T,则=（）A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T C．（1，-1，-2，0）T

D．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（）A．1

B．2）

（C．3 D．4 7．设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

（）

A．+是Ax=0的解 C．-是Ax=b的解 8．设三阶方阵A的特征值分别为A．2,4,C．

B．+是Ax=b的解 D．-是Ax=0的解

11，3，则A-1的特征值为（）24B．1 3111， 24311，3 241D．2,4,3 9．设矩阵A=21，则与矩阵A相似的矩阵是（）

1A．1123

01B．102

2C．

D．

21

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（）A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 C．正定矩阵的行列式一定大于零

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det(A)=-1，det(B)=2，且A，B为同阶方阵，则det((AB))=__________．

3B．正定矩阵的行列式一定小于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵

112．设3阶矩阵A=42t23，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________． 1-131k13．设方阵A满足A=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A=__________． 14．实向量空间R的维数是__________．

15．设A是m×n矩阵，r(A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________． n17．设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则A(32)=__________． 18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．

19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．

20．二次型f(x1,x2,x3)x15x26x34x1x22x1x32x2x3的正惯性指数是__________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

222121．计算行列式142126142． 114121222．设矩阵A=35，且矩阵B满足ABA=4A+BA，求矩阵B．

-1-1-123．设向量组1(3,1,2,0),2(0,7,1,3),3(1,2,0,1),4(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．

124．设三阶矩阵A=24533，求矩阵A的特征值和特征向量． 4225．求下列齐次线性方程组的通解．

x1x35x40 2x1x23x40xxx2x023412242026．求矩阵A=3010360110110的秩．

1

2四、证明题（本大题共1小题，6分）

a1127．设三阶矩阵A=a21a12a22a32a13a23的行列式不等于0，证明： a33a31a13a11a121a21,2a22,3a23线性无关．

aaa313233

线性代数习题二

说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或T

*

A表示方阵A未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则

12A()A.-1 B.14 C.14 D.1 x2x1x22.设f(x)2x22x12x2,则方程f(x)0的根的个数为（）

3x23x23x5A.0 B.1 C.2

D.3 3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若AB,则必有（A.A0 B.AB0

C.A0

D.AB0

4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（）A.(AB)2A22ABB2

B.(AB)(AB)A2B2

C.(AE)(AE)(AE)(AE)D.(AB)2A2B2

a1ba1b2a1b35.设A1a2b1aa0,b2b22b3,其中aii0,i1,2,3,则矩阵A的秩为（a3b1a3b2a3b3A.0 B.1 C.2

D.3 6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（）A.0

B.2））C.3 D.4 7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（）A.-10 C.3

B.-4 D.10 x1x2x348.已知线性方程组x1ax2x33无解，则数a=()2x2ax421A.C.1 2B.0 D.1 1 29.设3阶方阵A的特征多项式为A.-18 C.6

EA(2)(3)2,则A()

B.-6 D.18 10.若3阶实对称矩阵A(aij)是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（）A.-1，-2，-3 C.-1，2，3

B.-1，-2，3 D.1，2，3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

3011.设行列式D42,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2253212.设Aaabb,B,则AB__________.aabb1032013.设A是4×3矩阵且r(A)2,B0,则r(AB)__________.10314.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.x1x2x3016.设方程组x1x2x30有非零解，且数0,则__________.xxx031217.设4元线性方程组Axb的三个解α1，α2，α3，已知1(1,2,3,4)T,23(3,5,7,9)T,r(A)3.则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A的秩为2，且A25A0,则A的全部特征值为__________.2111a019.设矩阵A0有一个特征值2,对应的特征向量为x2,则数a=__________.413220.设实二次型f(x1,x2,x3)xTAx,已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设矩阵A(,22,33),B求

(,2,3),其中,,2,3均为3维列向量，且A18,B2.AB.111011122X101122.解矩阵方程0.110432123.设向量组α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，p+2），α4=（3，2，-1，p+2）问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.T

T

T

T2x1x2x3124.设3元线性方程组x1x2x32, 4x5x5x1231（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.25.已知2阶方阵A的特征值为1（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.26.用配方法化二次型性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明

22f(x1,x2,x3)x122x22x34x1x212x2x3为标准形，并写出所作的可逆线

11及2,方阵BA2.3A0.习题一答案

习题二答案

线性代数习题三

说明:在本卷中,A表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A|=()A.-8 B.-2 C.2 D.8

TT

*12.设矩阵A=1,B=(1,1),则AB=()111A.0 B.(1,-1)C. D.111 3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是()A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA

12*-14.设矩阵A的伴随矩阵A=34,则A=()

A.143112112142  B.C.D.3431 342122225.下列矩阵中不是初等矩阵的是()．．101001100A.010 B.010 C.030 0001000016.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有()

100 D.010

201A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则()A.α1, α2,β线性无关 B.β不能由α1, α2线性表示

C.β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D.β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一 8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为()A.0 B.1 C.2

D.3 2x1x2x309.设齐次线性方程组x1x2x30有非零解,则为()xxx0231A.-1 B.0 C.1 D.2 10.设二次型f(x)=xAx正定,则下列结论中正确的是()A.对任意n维列向量x,xAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式

TT0112的值为_________.1212.已知A=23,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.1113

313.设矩阵A=,P=,则AP=_________.012414.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|AB|=_________.15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且

-113251,13,则该线性方程组的通解是_________.37491117.已知P是3阶正交矩,向量3,0,则内积(P,P)_________.2218.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.1219.与矩阵A=03相似的对角矩阵为_________.12T

20.设矩阵A=,若二次型f=xAx正定,则实数k的取值范围是_________.2k

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)012021.求行列式D=101221010210的值.01012022.设矩阵A=100,B210,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.001000112223.若向量组11,21,36,40的秩为2,求k的值.13k2k232224.设矩阵A110,b1.1210(1)求A;(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩.(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.2-

1x12y12y2y326.求二次型f(x1,x2,x3)=-4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换x22y12y2y3所得的标准形.x2y3

3四、证明题(本题6分)27.设n阶矩阵A满足A=E,证明A的特征值只能是1.2线性代数习题三答案