袁晖坪线性代数教材习题答案提示

第一篇：袁晖坪线性代数教材习题答案提示

第一章 行列式与Cramer法则

第一章知识清单 1.行列式定义：

a11a21an1a12a21an2a1na2nannnn12nk1i,ji1i2inj1j2jnaijai112j2ainjn

说明1）iiitktiikk1, ti：在ikk左边比i打的数的个数.k

说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成

2.计算方法

n基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：aikAjkk1D0ijij

常用方法：

利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。

3.行列式性质（5条）

行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。

4.克莱姆法则

/ 14 a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nx2b2axaxaxbn22nnnnn11DnD1D2x，, 即：Anxb.解：，DAn.DDDT推论：Anxo有非零解An0.基本作业建议 A组：1，4，6（1），7（1），8, 10(1)； B组：一（1），（6）；二（3），（4）

一（A）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否;(2): 一（A）5：1234112453145213.a12a23a34a41,1a22143a12a21a34a43.2r32r2r43r2b2c2da2b2c2d2rir1一（A）6(5)：Di2,3,42a14a46a92b14b46b92c14c46c92d14d46d92a1262b1262c1262d1260

一（A）7(1)，(2)：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法：

ncii1方法一：DD1上三角式；

提公因式rir1rir1i2,3,,n方法二：D箭形行列式

i2,3,,n10方法三：D加边a1a1ba1a1a1a2a2a2ba2a2a3a3a3a3ba3anananananb1a1b000a20b00a300b0an000brir1,i2,3n0001111



a1拆解a2a2ca2a2a3a3a3ca3anananancc000a2a2ca2a2a3a3a3ca3ananananca1a1方法四：Da1略.2 / 14 一（A）7（3，5，6，7）同类型，见课件与课本例题1.9：。

ncii1c1（3）：方法一：DD1下三角式cjcj1，方法二：Dnb1Dn1+下三角式递推式c1，方法三：Dn下三角式

j2,3,,ncjc1ajbj1cj1（5）：方法一：Dnb1Dn1+下三角式递推式，方法二：Dn下三角式

j2,3,,n（6）：方法一：DnA+对角式，A对角式.方法二：Dn次下三角式

j2,3,,nc1rn1c1cnba（7）：课本例题1.12 一（A）7（4）：拆解。

一（A）7（8）：见课本例题1.15.一（A）10：系数行列式=0.要求：耐心，细致！

4cii1rir1i2,3,4r2r3一（B）1（3）：DD1D2上三角式

4ci，i1D1三角式 一（B）1（4）：D1rrxc1412r131r,rr一（B）1（5），类一（A）5：

r12r4r2r4r3r4c1定义DD1D21其中:1132132x2x12x+=2x3

132x2x12x1a11a23a32.一（B）1（6）（7）（10）同课本例题1.15： 一（B）1（11）类同 一A(10)

1一（B）2（1）特例法：取aijij,即aij0一（B）2（2）类一（B）1（5），由定义：

ijijm0,

324113142112211221

一（B）2（3）：排除法。请记忆结论（D）一（B）2（4），同一（A）10 3 / 14 一（B）3（1），参见课件例1.18。类一（A）7（1），（2）：方法一：D箭形行列式；

各列提公因式rir1,i2,3,,n方法二：加边；方法三：拆解.cjcj1一（B）3（2）：

DnAnBn1Cn1对角式jn,n1,,2,1i2,3,,nc1rir1cn1。

第二章 矩阵

第二章知识清单

1.矩阵的线性运算（加法与数乘）与矩阵的乘法

注意：矩阵乘法无交换律与消去律.2.矩阵的逆与线性方程组的矩阵解法

1）有关公式：

AAAEA*1A；(AB)1B1A1;(kA)A1*11kA1

AAA1mnmn,AmZmnnAkmnm,nZ，由此得：

1APP,f(A)kmakA,f(A)Pf()Pkkk.diag(1,2,,n)f(A)Pf()P1diag(1,2,,n),kZ

kdiag(f1,f2,,fn).2）有关方法：

求逆矩阵：直接用定义（例：待定系数法）；伴随阵法；初等变换法。

/ 14 解矩阵方程：

逆矩阵法:AnXBXAB.初等变换法：1）A2）AXBn1XB1E,AB,XAn,BrAB.BEXA.11行最简形,选择自由未知量，给出方程的解（最佳形式）.A,Br3.转置阵的性质

基本作业建议 A组：4，6，9，10（4），14，15，17，18，19，24，28，29（4），（5）；B组：一（2），（6），（7）；二（1）——（9）

a二（A）7：Bcba,ABBABdc0,a,c可任取.a二（A）10 ：方法一，归纳；方法二，二项式定理.10例：10（4）0310002n100010000020300000nABn2BO

二（A）16 ：akbkabak1ak2bak3b2abk2bk1

EAEAEAkk1Ak2AE

二（A）17：问：A？EAA2EE4E.二（A）18：AAAE**A*11AA

二（A）19：AA5A13A1111*1*AA3AAA3AA AA5531AA311282E3AE5E5E.A55255二（A）20：AB2ABAEB2A2AE2EAEB2E2E(略）.5 / 14 c2c3c1c2c1二（A）23(1): 原式3A13c132c22c1c23.(2):

原式2A12c1.c1c2c3c3c1(3):原式25c1A1,A23A3,2A3A1A.3c22c31二（A）26:AXA2XXA2EA,XA2E二（A）28:A1BA6ABAE,A2EA2E,ArE,A2EA,A2E,Ar11A.1A1EBA6AB6AA,A1E可逆E1，A.3二（A）30:由一（A）7（1）:Ak3k1，检验知：k3M140，合题意.1r2r1A0二（A）31:类30：r3kr1022k22k2r3r23k3233k3k100r22k202003k3.233k3k330rA1;03k12233k3k33kk23k2k1k1A~001k2A~00r260r69rA2;01k1且k2A~00二（B）1（1）：B二（B）1（2）：122k20；

T3k3rA3.233k3k33kB1T2TTT3T3T Tn3n1.T二（B）1（3）：分块对角阵。

二（B）1（4）：BAE2E.6 / 14

30203a101210.1二（B）1（5）：A可逆,0100110二（B）1（6）：B可逆，于是：rBArA.二（B）1（7）：AAAE*A*11A1AA

二（B）1（7）：AAAE二（B）1（8）：方法一，归纳； *A*1A

方法二：，AEE1,3A2E22EE1,3E1,32EE1,32A

即A22A，An2n1A，An2An1An2A22AAn2OO。二（B）1（9）：类二（B）（2）： Aa2aEAnn122T322T2AA2nn1A，0a02n120n10a2n1aa2.n二（B）1（10）：设a,b,cT二（B）2（1）：排除法 二（B）2（2）：方法与答案同上 二（B）2（3）：利用对称阵的定义与性质 二（B）2（4）：排除法 二（B）2（5）：ABC.二（B）2（6）: AB1Ta2bacaabb2cbac1bc12c11111T2221，abc3 11A1B1?

*二（B）2（7）: rA3Aij0又rA3AAAE0

rArA4,综上得：rA1, **二（B）2（8）: A*A**AEA*n1***EAAAAn1A.二（B）2（9）: 初等变换不改变矩阵的秩A0B0.二（B）2（10）: EAEAE矩阵多项式EA不可逆.33 7 / 14

O二（B）2（11）: CBA11**1CCCCC.OCC1行,列交换各n次2nAOOBAB,C1O1AO1BO1*AA*BB. O1O*CAB1*AA*BBOBA*O1*AB.O二（B）2（12）: PE1,21,P

二（B）3(1): 二（B）3(2): T1E1,21CE1,21AE1,21PAP1.262T

AEBE,BAE1A2EBAE检验知：AE可逆.二（B）3():(略)

二（B）3(4)，第一小题:A1,2,,nTTTT1,2,,n

AAAi2TjOijii0i0AO.二（B）3(4)，第二小题: 二（B）3(4)，第三小题:

XBA2n1TA2n1A2n1A2n1TA2n112n1A2n1A2n10.A1TAT1A.1二（B）3(5)：A1OC11X1CBX1O待定系数法.1C1二（B）3(6)：EABE,CEAABEABCEA1,CAEA

1EA1E.1A.二（B）3(7)：2AB*1AB1A2AB*1A2AB*11A2AB12AnAB.另解：2AB*12nA*2An11B 8 / 14 二（B）3(8)：A1EXA2AX2A1E.二（B）3(9)：AAEA2EEA1?EA二（B）3(10)：第一小题:AEEBE.二（B）3(10)：，第二小题 AEBBABBE.111111AE1?

11111二（B）3(11)：AABBABABAABBBAB二（B）3(12)：EABET1ET1E1T1T2

aaa111T0a1.。aaT二（B）3(13)：CT2EA1B1A1A2EA11B2AB1.c7c312c11二（B）3(14)：2c22c3cc232原式7721,12,223

21,2,23722A.二（B）3(15)：更正：PEOTA*A.证：APQTAEAA*AbTA* AATA.ObTA*AbTA1 AOP可逆，于是:Q可逆PQ可逆AbTA10bTA1.二（B）3(16)：B0rArAB=2A=0a2./ 14 A.第三章 向量与线性方程组

基本作业建议 A组： 5，7（奇数），8，12，14，17，21，22；B组：一（2），（6），（8），9；二（1）——（11），其中（8）题以去掉“不”。

1三（A）2(2)：B1312213a1340r2r1,r33r11b10011112a31210r3r21b10011012a11230 1b11a1B~00r1101201230r1r21b11000101201231 1b111k,k可任取.10b1b2b2x1kk1x11x3x4333x212x32x42b112b12bkx212k,x3x3x333xkb103x4b1b13x433 10 / 14

1a1时，B~00r11012a1123x11x3x40x212x32x4 1xb13x43b1a1a1x4x43kb12aba4x1k1a1a1a1a13a2b82a3kb12k x212,xka1,k可任取.a1a1a1b13b13kx3a1a1a1a101xk4三（A）5(1)方法一（初等变换不改变列向量组的线性相关性）：

11B1,2,3,=1231010213242r1,r3r1rr42r13710003235021326 51110r4r2r3r2r3,r33r200rBrA,3100014021r3,r2r314r1r280100001000010112

03123,表达式是唯一的。

方法二（线性表出的等价命题）：设A1,2,3,xk1,k2,k3,则k11k22k33Ax，11BA,=12310102132140~3070010000101k111xk1，即有：2，得唯一解： 2k130T123,表达式唯一存在。

1B,,,=1三（A）5(2)： 1232 11 / 14

1232352r2r1,r32r13r3r2110011021025 01r1r20001011075,712, rBrA,23,表达式不唯一.01017证明如下：设k11k22k33,则k1k2k3.0115k1解得：k2k37k5k,7k1k2k3,k可任取.k三（A）6（1）： rARA,3，三（A）6（2）： rARA,, 三（A）6（3）： rARA,3，? 三（A）7: RAn(向量的个数）三（A）8(1): B12,23,34,421~A1,2,3,4.CrBrA4,B:12,23,34,421线性无关.1243o,23,34,41, 三（A）8(2): B12,23,34,41ccccrB4B:12,23,34,41线性相关.三（A）9：类同 三（A）8(1)。

三（A）10理解：A:1,2,,s1,s线性相关；B:2,,s,s1线性无关。

三（A）10（1）：由已知，A:1,2,,s1,s线性相关；C:2,,s线性无关，由此得证。

A三（A）10（2）：rs1srB，故不能.三（A）11：A:1,2,,n线性无关rAn.C:B1,B2,,Bn线性无关rCrB1,B2,,Bnn，rBAnrBnB0.rAn方法二：C:B1,B2,,Bn线性无关Cx0只有零解，即BAx0只有零解，12 / 14

由已知Ax0只有零解，yAx,则By0只有零解，即rBn,即B0.三（A）12：依据：初等行变换不改变列向量组的线性相关性.A:1,2,,nA1,2,,n~行最简形，观察立得结论.1r0例如：A1,2,3,4,5~0001001200001032,观察得结论:

10rrA3,最大无关组：1，2，4.3122,531223.三（A）13：化为行阶梯型。

三（A）14：设向量组A与B所含向量个数相同，则：A~BRARBRA,B.操作如下：A,B~行阶梯型，再观察之。

三（A）15：At:1,2,,t是A：1,2,,s中的一个线性无关组，则A中任何一个向量均可由

At线性表出（否则，设A中的不能由At线性表出，于是：At1:1,2,,t，线性无关，这与rrAt矛盾），故At:1,2,,t是A中的一个极大无关组.另证：rAt=rAAt与A等价，即：At是A的一个极大无关组.三（A）16-19: 基本题型.略。

三（A）20: rA3,Ax0的解空间的维数=431，312222331323A0,即Ax0的基础解系

所求xk22312.三（A）21，22：典型习题，务必重视！

三（B）1（1）：对应分量成比例。三（B）1（2）：rA4,即A0.三（B）1（3）：rArA,.三（B）1（4）：rArA,1rA,2.三（B）1（5）：rArA,BrB.13 / 14 B0三（B）1（6）：rABrA2

三（B）1（7）：rArB3,B0rA2A0

三（B）1（8）：AxO有非零解A0,Axb由无穷多个解rArA,3.三（B）1（9）： 类同三（A）20.三（B）1（10）：rA3.三（B）1（11）：设A:1,2,,nA，1,2~A,o,2rA，1,2rA,o,2s1.三（B）1（12）：rA3Mij0rA*0.三（B）1（13）：类同三（B）7.A0，rB2B0

三（B）1（14）：rA2rA*1A*x0解空间的维数为312.由此推出： Ax0*CA11,A21,A31x0，解之即可。

三（B）1（15）：21o,rA2rA=2,基础解系只含有一个自由向量，故通解为：xk211.ATABBTBATTTABTATABBTABT四（A）26：ATABBTABAABBAB,A2

ABAB,1A2AB0,AB0.证毕.14 / 14

第二篇：线性代数习题答案

习题 三（A类）

1.设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)

2.设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)

=(1,2,3,4)3.（1）×

（2）×

（3）√

（4）×

（5）×

4.判别下列向量组的线性相关性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.5.设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关.证明：设

k11k2(12)k3(123)0，即

(k1k2k3)1(k2k3)2k330.由1,2,3线性无关，有

k1k2k30, k2k30,k0.3所以k1k2k30,即1,12,123线性无关.6.问a为何值时，向量组

1(1,2,3),2(3,1,2),3(2,3,a)

'''线性相关，并将3用1,2线性表示.1312237(5a),当a=5时，3a117解：A231172.7.作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵.解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关, 所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，110）线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为110100100000.01

8.设1,2,,s的秩为r且其中每个向量都可经1,2,,r线性表出.证明：1,2,,r为1,2,,s的一个极大线性无关组.【证明】若

1,2,,r

(1)线性相关，且不妨设

1,2,,t(t

(2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是1,2,,s的一个极大无关组，这与1,2,,s的秩为r矛盾，故1,2,,r必线性无关且为1,2,,s的一个极大无关组.9.求向量组1=(1,1,1,k),2=(1,1,k,1),3=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把1,2,3按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.11A1k11k111200110110100k101k1k01110100k1001k011k10010 10当k=1时，1,2,3的秩为2,1,3为其一极大无关组.当k≠1时，1,2,3线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.10.确定向量3(2,a,b),使向量组1(1,1,0),2(1,1,1),3与向量组1=(0,1,1), 2=(1,2,1),3=(1,0,1)的秩相同，且3可由1,2,3线性表出.【解】由于

0A(1,2,3)111B(1,2,3)1012111111001021a0b011021001;02,ba2

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a2=0,即a=2,又

0c(1,2,3,3)1112110121a0b0210010 ,2ba2a要使3可由1,2,3线性表出，需ba+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即3=(2,2,0).11.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；

(3)α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α＝(2，1，5，6).解：（1）把向量组作为列向量组成矩阵Α，应用初等行变换将Α化为最简形矩阵B，则 111 0 1 4 11 4 11 4 1950 1 2 1 30 9 55A90 1 B

1 5 40 9 590 0 00 0 00 0 03 6 70 18 100 0 05可知：R（Α）=R（B）=2，B的第1，2列线性无关，由于Α的列向量组与B的对应的列向量有相同的线性组合关系，故与B对应的Α的第1，2列线性无关，即α1,α2是该向量组的一个极大无关组.（2）同理， 6 1 1 70-11 55 71 2-9 0 4 0 4 10 8 40 10-11 55 7 1 2-9 01 2-9 00-8 40 11 3-6 10 5-15-10 5-15-1 2 4 22 30 8 40 10 0 0 01 2-9 070 1-5-11450 0 0-11240 0 10 110 0 0 01 2-9 01 0 0 00 1-5 00 1 0 00 0 10 00 0 1 0B0 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0

可知R(Α)=R(B)=4,Α的4个列向量线性无关,即α1,α2,α3,α4是该向量组的极大无关组.(3)同理，1 0 3 1 21 0 3 1 21 0 3 1 21 0 3 1 2-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1, A2 1 7 2 50 1 1 0 10 0 0-4-40 0 0 1 14 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0可知R(Α)=R(B)=3,取线性无关组α1,α3,α5为该向量组的一个极大无关组.12.求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量组为列向量组成Α,应用初等行变换化为最简形式.31 0 11-1 5-11-1 5-11-1 5-1271 1-2 30 2-7 470 1-2 20 1-2B, A3-1 8 10 2-7 420 0 0 00 0 0 00 0 0 01 3-9 70 4-14 8 0 0 0 0可知,α1,α2为向量组的一个极大无关组.x1x2537x1x22设α3=x1α1+x2α2,即解得,x1,x2

223x1x28x3x912x1x21x1x23设α4=x3α1+x4α2,即解得,x11,x22

3x1x21x3x712所以a332a172a2,a4a12a2.1 1 1 4-31 1 1 4-31 0 2 1-21-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1B(2)同理, A2 1 3 5-50-1 1-3 10 0 0 0 03 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0可知, α

1、α2可作为Α的一个极大线性无关组，令α3=x1α1+x2αx1x21可得：即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, xx312x1x24可得：即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, x1x22x1x23可得：即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αxx1122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.设向量组1,2,,m与1,2,,s秩相同且1,2,,m能经1,2,,s线性表出.证明1,2,,m与1,2,,s等价.【解】设向量组

1,2,,m

(1)与向量组

1,2,,s

(2)的极大线性无关组分别为

1,2,,r

(3)和

1,2,,r

(4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即

riaj1ijj(i1,2,,r).因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出j(j1,2,,r),即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.14.设向量组α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组β1,β2,…,βt的秩为r2,向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩为r3,试证:

max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.证明：设αs1,…，Sr1为α1,α2,…，αs的一个极大线性无关组, βt1,βt2,…,t为β1，r2β2,…,βt的一个极大线性无关组.μ1，…，r为α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一

3个极大线性无关组，则α

s1，…，S和βt1，…，β

r1tr2

可分别由μ1，…，r线性表示，所

3以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，r可由α

3s1, …，αsr1，βt1，…，βtr2线性表示及线性无关性可知：r3≤r1+r2.15.已知向量组α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩为3,试确定a的值.解：以向量组为列向量，组成矩阵A，用行初等变换化为最简形式： 1 a a a1 a a a13a a a aa 1 a aa-1 1a 0 00 1-a 0 0 a a 1 aa-1 0 1-a 00 0 1-a 0a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a由秩A=3.可知a≠1,从而1+3a=0，即a=-

13.16.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.2575(1)75***4204311320；

(2)213448112012130251411.3112【解】(1)矩阵的行向量组的一个极大无关组为1,2,3;

3412(2)矩阵的行向量组的一个极大无关组为1,2,4.3417.集合V1＝{(x1,x2,,xn)｜x1,x2,,xn∈R且x1x2xn＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设(x1,x2,,xn)V1,(y1,y2,,yn)V2,kR)则

(x1y1,x2y2,,xnyn)k(kx1,kx2,,kxn).因为

(x1y1)(x2y2)(xnyn)(x1x2xn)(y1y2yn)0, kx1kx2kxnk(x1x2xn)0,所以V1,kV1,故V1是向量空间.18.试证：由1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1),生成的向量空间恰为R3.【证明】把1,2,3排成矩阵A=(1,2,3),则

1A101010120, 1所以1,2,3线性无关，故1,2,3是R3的一个基，因而1,2,3生成的向量空间恰为R3.19.求由向量1(1,2,1,0),2(1,1,1,2),3(3,4,3,4),4(1,1,2,1),5(4,5,6,4)所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵

A(1,2,3,4,5)1210111234341121415006401102320411114130024011003200111043 ,20∴1,2,4是一组基，其维数是3维的.20.设1(1,1,0,0),2(1,0,1,1),1(2,1,3,3),2(0,1,1,1),证明: L(1,2)L(1,2).【解】因为矩阵

A(1,2,1,2)110010112133011001101100230001 ,00由此知向量组1,2与向量组1,2的秩都是2，并且向量组1,2可由向量组1,2线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而1,2也可由1,2线性表出.所以

L(1,2)L(1,2).21.在R3中求一个向量，使它在下面两个基

(1)1(1,0,1),(2)1(0,1,1),2(1,0,0)2(1,1,0)3(0,1,1)3(1,0,1)

下有相同的坐标.【解】设在两组基下的坐标均为(x1,x2,x3)，即

x1x1(1,2,3)x2(1,2,3)x2,x3x31011000x101x2111x31101x10x21x3

即

1102101x1x0, 120x3求该齐次线性方程组得通解

x1k,x22k,x33k

(k为任意实数)故

x11x22x33(k,2k,3k).22.验证1(1,1,0),2(2,1,3),3(3,1,2)为R3的一个基，并把1(5,0,7), 2(9,8,13)用这个基线性表示.【解】设

A(1,2,3),B(1,2)，又设

1x111x212x313,2x121x222x323, 即

x11(1,2)(1,2,3)x21x31x12x22, x32记作

B=AX.则

1(AB)1010***25079r2r18131002331003420105570019r2r317r2r3132313329作初等行变换134

因有AE,故1,2,3为R3的一个基，且

2(1,2)(1,2,3)3133, 2即

121323,2313223.（B类）

1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2，b=4 6.abc≠0

7.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:(1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论.(2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.解：(1)由向量组α1，α2，α3线性相关，知向量组α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4线性无关，所以α2, α3线性无关，故α2, α3是α1, α2, α3的极大线性无关组，所以α1能由α2, α3线性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3线性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的极大线性无关组,所以α4可由α2，α3线性表示.与α2，α3，α4线性无关矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1线性相关,但其中任意

n个向量都线性无关,证明:必存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使

k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.证明:因为α1，α2，…，αn，αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0

n+1=0，由任意

n+1线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，…，kn，kn+1使若k1=0，则k2α2+…+kn+1αn个向量都性线无关，则k2=…=kn+1=0,矛盾.从k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n＜m,E为n阶单位矩阵.若AB=E,证明:B的列向量组线性无关.证明：由第2章知识知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小结所给矩阵秩的性质，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩为n，即线性无关.

第三篇：线性代数习题答案

综合练习一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er2,s5,t8或r5,s8,t2或r8,s2,t5.01Fi2,j1.01G12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序数为k2;当k为偶数时,排列为偶排列,当k为奇数时,排列为奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)(aa1222a13a1411a22a33a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x18.01Nf(x)g(x)s(x).01O1.f(x)g(x)s(x)02AB、D.02B3.02C6.02Dx0,1,2.02E(1)n1(n1)xn.02F(12131)n!.02G(1)n(n1)2nn1(n1)n.2.02H(1)n1(nax)xn1.02I(1)n[(1)nn].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa0,b0.4403G1,3.03Habii03If(x)2x23x1.i1i1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1aa2)(1a)3.04Bn1.04Cx1x2...xn1(1a1x1a2x2...anxn).04Dx1x2...xn[1a(1x1...1.1x2xn)]04E(x1)n..49.04F1(1)a1(1)2a2an1...(1)anan1...a2a1n04G(n1)当a,n1n1当a.05A0.05B1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H9,18.06An!(n1)!(n2)!...2!1!.06B(cos).4ij1icosj07A(1x)2(10x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E2.08Fa0且bb/4.08Gf(x)2x23x1.08H甲、乙、丙三种化肥各需3千克,5千克,15千克.综合练习二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a2n).01N(AB)(AB).01S(2)A249(A2E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(1)n1n1k2(n1)!.(2)(1)n1n!(k1,2,,n).01V两年后在岗职工668人,培训人员334人.01W即晴天概率为146256,阴天的概率为6248256,下雨天的概率为256.xnx426001X1y023/21/200xn.yn1nyzn101/40zn4236z224012102A4982242.02B2n102420121.02C2220242222.1nn(n1)2.4n14n0002D201n.02En1n142.400001002nn.2n1.0002n.50.10002FA20061.由于A5A.1100003A(1)(1)n11(2)1200n!A.0230.0034(3)A6E.(4)12(EB).(5)B(E2A)1.10103BB510E.03D1211.03C(2)A2A5(A2E).03EA11(A3E).(A4E)11106(AE).03FB1114(5A23AE).03G(EABA)1B(EAB)1B1.03HB1110(A23A4E).03I(EAB)1EA(EBA)1B.10001/21/20003NA1003O1122212.1/21/61/391/85/241/121/422100201003403P000123310005200003Q(A1A2A41A3)1A11A2(A4A3A11A2)1A111(A4A3(A1A2A4A3)4A3A11A2)1.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)1/3;(6)576;(7)3.04B10804F521220101.04GA0A(bTA1),05AD.05C2.05D当a1且b2,r(A)4;当a1且b2时,r(A)2;.51.当a1,b2或a1,b2时,r(A)3.05E当c1,并且a1或b0时,r(A)1;当c1,a1且b0时,r(A)3;当c1,但a1或b0时,r(A)3;当c1,a1且b0时,r(A)2.05F当ab0时,r(A)0;当ab0时,r(A)1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n.05G11n.05Hr[(A*)*]n,如果r(A)n,0,如果r(A)n.1111101005K111105L01041111.11110010.00022400110005M220005N12200022.00120233.003405OA.0211106A1321.06B202.03052231106C43206D22.319/213/2.21112300106E020.06F21001.121012103006G003300..52.综合训练三01AC.01BB.01CB.01Dt1.01Ea2b.01F(1)当t5时,1,2,3线性相关;(2)当t5时,1,2,3线性无关;(3)3122.01G(1)当a1时,1,2,3线性相关;(2)当b2且a1时,可由i唯一的表出:122;当b2且a1时,可由i线性表出:(2t1)1(t2)2t3,其中t是任意常数.02AB.02BC.02C B.02D D.02E t5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)当a2时,不能用1,2,3线性表出;(2)当a2且a1时,有唯一的表达式:a11(a1a2a2)212a23;当a1时,(1kl)1k2l3,k,l.02J(1)若0且3,可由1,2,3唯一线性表示;(2)若0,可由1,2,3线性表示,但不唯一;(3)若3,不能由1,2,3线性表示.02K(1)当b2时,不能由1,2,3线性表出;(2)当b2,a1时,可唯一表示为122;当b2,a1时,可表示为(2k1)1(k2)2k3()k为任意常数.02L(1)当a1,b0时,不能表示成1,2,3,4的线性组合;(2)当a1时,有唯一表示式:2ba1ab1b1a12a130.402M(1)当a4时,可由1,2,3唯一线性表出..53.(2)当a4时,不能由1,2,3线性表示.(3)当a4且3bc1时,可由1,2,3线性表出,但不唯一:t1(2tb1)2(2b1)3(t为任意常数).02N不等价.03AD.03B1.03Cn.03D(1)R(1,2,3,4)2;向量组的一个极大无关组为2,4;12(24),3234;(2)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,3,5;2135,4135;(3)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,2,3;4123,5120.3.03ER(1,2,3,4,5)3.03Fa15,b5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct1.x1y1104D4.04E矩阵xy221的秩小于3.xnyn111422204F(1)C3,(CR);(2)k170k012,(k1,k2R);201523/23/4(3)C13/2C217/40,(C1,C2R).0104G(1)无解;(2)(1/2,2,1/2,0)Tk(1/2,0,1/2,1)T,其中k为任意常数;(3)(514,3314,0,7)Tk(1,1,2,0)T.(k为任意常数);.54.(4)C131(7,177,1,0,0)TC(101911127,7,0,1,0)TC3(7,7,0,0,1)T(2,3,0,0,0)T,(C1,C2,C3R).04H(1)1,2,3是所给方程组的基础解系.(2)1,2,3不是所给方程组的基础解系.104I当1时,有解,解为1k12,其中k为任意常数.0104J(1)当1且45时,方程组有唯一解;1当1时,其通解为1k01,其中k0为任意实数;1当45时,原方程组无解;(2)当2且1时,方程组唯一解;当2时,方程组无解;当1时,方程组有无穷多组解.全部解为21k110k012001,其中k1,k2是任意常数.04K(1)当a0时,方程组无解;x12/a,当a0,b3时,方程组有唯一解:x21,x30;x12/a,当a0,b3时,方程组有无穷多解:x213t,(tR).2x3t.(2)当a0或a0时b4,方程组无解;方程组不可能有唯一解;当a0且b4时,方程组有无穷多解.通解是.55.(6,4,0,0,0)Tk1(2,1,1,0,0)Tk2(2,1,0,1,0)Tk3(6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意实数.(3)当a1,b36时,方程组无解;当a1,a6时,方程组有唯一解,x(b36)a1,x12(a4)(b36)162a1,xb36230,x4a1;当a1,b36时,方程组有无穷多解,通解为(6,12,0,0)Tk(2,5,0,1)T.k为任意常数;当a6时,方程组有无穷多解,通解是(1(1142b),1(122b),0,1(bT77736))k(2,1,1,0)T.04L(1)当ab,bc,ca时,方程组仅有零解x1x2x30.(2)当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k1(1,1,0)T(k1为任意常数).当acb时,方程组有无穷多组解,全部解为k2(1,0,1)T(k2为任意常数).当bca时,方程组有无穷多组解,全部解为k3(0,1,1)T(k3为任意常数).当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k4(1,1,0)Tk5(1,0,1)T(k4,k5为任意常数).2104M(1)方程组有无穷多组解,通解为41k(k为任意常数502).1(2)当m2,n4,t6时,方程组(I),(II)同解.04Na2,t4.04O非零公共解为t(1,1,1,1)T.(t为任意常数)04P原来至少要有3121个桃子,最后还剩下1020个桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G1.05H1..56.05I(1,2,3,4)Tk(1,1,1,1)T,其中k是任意实数.05J(3,2,0)Tk(1,1,1)T.(k为任意常数)05K通解为(9,1,2,11)Tk1(10,6,11,11)Tk2(8,4,11,11)T05L3m2n.05M2.1/2005N通解为1/21k,其中k为任意常数.011105O(1)1可由2,3,4线性表出.(2)4不能用1,2,3线性表出.x1k2t,06A(2)通解是x2k2,其中t是任意实数.x3t,06B通解是(a8,4,2,1)T12a24a3,a22a3,a3,0)Tk(,其中k是任意实数.06E方程组的唯一解为(ATA)1ATb.06L(II)的通解为c1(a11,a12,...,a1,2n)Tc2(a21,a22,...,a2,2n)T...cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn为任意常数.综合练习四1/21/61/(23)01A45.01B11/221/6;31/(23).0;02/601/(23)3/202A(1)10,22,33,1/2k10对应特征向量为11/2,1.57.1122对应特征向量为k2,013对应特征向量为k331.1(2)18,231,218对应特向量为k11,其中k1为任意非零常数.21231对应特征向量为k201k32,其中k2,k3是不全为10零的实数.(3)101232全部特征向量为k12k20,(k1,k2不全为零).0102BA的特征值是1,2,2a1,a221对应的特征向量依次是k13,k22,k31.(k1,k2,k3全不为0).01a102CA的特征值2(二重)及0,2对应特征向量为k1(0,1,0)Tk2(1,0,1)T.0对应特征向量为k3(1,0,1)T.02D(1)当b0时,A的特征值为12na,则任一非零向量均为其特征向量.(2)当b0时,A的特征值为12n1ab,na(n1)b当1n1ab对应特征向量为1111k1000k21kn100,01.58.1a(n1)b对应特征向量为k1nn,(kn0).102Ea2,b3,c2,01.2n21102F112n212n23n1.112n202GA与B特征值相同但不相似.02Ha7,b2,P15112202I1102.0.101302Ja1,b8,c10.02K(1)|EA|4a34a23a2a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k(2)2i(i1,2,,n);i(i1,2,,n);(3)kii(i1,2,,n);(4)i(i1,2,,n);(5)1(i1,2,,n);(6)|A|1,2,,n);i(ii(7)f(i),(i1,2,,n).03E|A|21.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全为零.0对应特征向量为k11k11...kn1n1(k1,k2,...,k3不全为零的任意常数).03L3,2,2.03M(1)P1AP全部特征值是1,12,,n.Pi是P1AP的属于i的特征向量..59.(2)(P1AP)T全部特征值是11,2,,n.PTi是(PAP)T的属于i的特征向量.03P1(n1重),3,1对应特征向量为k1(y2,y1,0,,0)Tk2(y3,0,y1,,0)Tkn1(yn,0,0,,y1)T,k1,k2,,kn1不全为0,3对应特征向量为kn(x1,x2,,xn)T,kn0.04AD.04B546333.76804C(1)a3,b0,1.(2)A不能相似于对角阵.404D当a1时,A1116114.442当a111410222时,A301055.22519132504E(1)3k(1,0,1)T(2)A162102.(k);为任意非零常数521301104F1/201/200004G.1011/201/2.11011104H111.04IAPP1P(2E)P12E.1115404J6333.76804OA的特征值是2与1(n1重)..60.X1(1,1,,1)T是A属于2的特征向量,X2(1,1,0,,0)T,X3(1,0,1,,0)T,,Xn(1,0,0,,1)TA属于1的特征向量.11112n2n2nA111112n2n2n.12n112n12n05A0.05BA能对角化.05CA能对角化.1105D(1)12(2);1;(3)311;21(4)1(5)A2.;不能对角化;(6)20405E令P212100,则11.011021005F(1)T12403212,T1AT010122002.111263(2)T111133263,TAT.01166311123605GP120036,P1AP1.1114236.61.221535305HQ1425353,QTAQ22.705235305Ia1,b3.A能对角化.05J01,a3,b0.A不能相似于对角阵.1105Kxy0.05L111111.05MA~1111.0905N105PA~B.0.00105Q(1)x0,y2;(2)P210.11106An!.06B6.06C(2n3)！.06Dk(k2)2.06FO.06EE.3n13n106G(1)(2)6n13123n123n1;93;(3)10013n123n13n.13n223n23n06Hx10051001.06Ix51003210013.n06Ja1n563,nliman5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是综合练习五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.00101F010.01Gy21y22y23.10001H(1)fz21z22,相应的线性变换为zPy(P1112P1)x.P1010,P1002013,001001x1(2)z2z22111/2z112z3.相应的线性变换x2x3112z2.001/2z3100(3)f12y2222y3相应的线性变换x1101/21/21y,x101Ix1212y1201Jc3,4y219y22.3122y2x3221y311126301Ka2,b3.xCy,C111263,2106301Lf(x)x2221,x2,x312x2x32x1x22x2x34x1x3.切平面方程为2x1x2x31.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)2;(2)1.1012241102I0,P01002NB1314111.114.022.63.综合练习六01A(1)V1是向量空间.(2)V2是向量空间.01B(1)W1不是子空间.(2)W2是子空间.dimW22.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一组基.(3)W3是子空间,dimW32.(1,1,0),(2,0,1)是W3的一组基.(4)W4不是子空间.(5)W5不是子空间.01CW1W2是V的子空间,W1W2不一定是V的子空间.T02B5114,14,4,4.02C坐标变换公式为x1111x1x1212x1x2102x2或x32001x2x010x3x3111x3在所给定的两组基下具有相同坐标的全部向量为k32,k3为任意实数.T02D(1)(3,4,4)T;(2)112,5,132.02E(5/21/21,2)(1,2,3)3/23/2.5/25/202F(1,2,2)T时,坐标乘积的极大值是18.002G(1)A110011000110.1011(2)所求非零向量010203k4k4(k为非零任意常数).02H(1)111011;(2)0011(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0,0,1)T;(3)A11.02I(1,1,,1).3.64.a11a1203Aa21a22a11a12a31a32a2203C(1)a12a32a21a11a31a23a13;a33a12a22a12a32a13a23a13.a3301103B020.210a11a21(2)ka31ka12a22ka32a13a23;ka33a11a21a11a12a21a22(3)a21a31a21a22a31a32aa31a3231a11a12a13a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31a32a33.65.

第四篇：线性代数二次型习题及答案

第六章

二次型

B1与合同.AB22

证：因为A1与B1合同，所以存在可逆矩C1，使B1C1TAC11，1．设方阵A1与B1合同，A2与B2合同，证明T

因为A2与B2合同，所以存在可逆矩C2，使B2C2A2C2.A

1令

CC1，则C可逆，于是有 C2T1C1B1C1TACA1C11

TBC2A2CAC2222A1B1即

与合同.AB22

2．设A对称，B与A合同，则B对称

证：由A对称，故AA.因B与A合同，所以存在可逆矩阵C，使BCAC，于是

TTAT1CC2CA2BT(CTAC)TCTATCCTACB

即B为对称矩阵.3．设A是n阶正定矩阵，B为n阶实对称矩阵，证明：存在n阶可逆矩阵P，使PTAP与PTBP均为对角阵.证：因为A是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M，使

MTAME

记B1MBM，则显然B1是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q，使 TQTB1QDdiag(1,,n)

其中1,,n为B1MTBM的特征值.令P=MQ，则有

PTAPE,PTBPD

A,B同时合同对角阵.4．设二次型f(ai1mi11令A(aij)mn，则二次型f的秩等于r(A).xainxn)2，证：方法一

将二次型f写成如下形式：

f(ai1x1aijxjainxn)2

i1m设Ai=(ai1,,aij,,ain)

(i1,,m)

·107· a11a1ja1nA1则

Aai1aijainAi

am1amjamjAmA1mTTTT于是

AA(A1,,Ai,,Am)AiAiTAi

i1Amai1mm22故

f(ai1x1aijxjainxn)=[(x1,xj,xn)aij]

i1i1ainai1x1x1mmT

=[(x1,xj,xn)aij(ai1,aij,ain)xj]=(x1,xj,xn)(AiAi)xj

i1i1axxinnn

=X(AA)X

因为AA为对称矩阵，所以AA就是所求的二次型f的表示矩阵． 显然TTTTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩为r(A)．

T方法二

设yiai1x1ainxn,i1,,n.记Y(y1,,ym)，于是

YAX，其中X(x1,,xn)T，则

2fyi2y12ymYTYXT(ATA)X.i1m

因为AA为对称矩阵，所以AA就是所求的二次型f的表示矩阵． 显然TTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩为r(A)．

T

5．设A为实对称可逆阵，fxAx为实二次型，则A为正交阵可用正交变换将f化成规范形.证：设i是A的任意的特征值，因为A是实对称可逆矩阵，所以i是实数，且i0,i1,,n.因为A是实对称矩阵，故存在正交矩阵P，在正交变换XPY下，f化为标准形，· ·108即

fXTAXYT(PTAP)YYTDYYTdiag(1,,i,,n)Y

21y1

（*）iyi2nyn

因为A是正交矩阵，显然DPTAPdiag(1,,i,,n)也是正交矩阵，由D为对角实矩阵，故i21即知i只能是1或1，这表明（*）恰为规范形.因为A为实对称可逆矩阵，故二次型f的秩为n.设在正交变换XQY下二次型f化成规范形，于是

22YDY

fXTAXY(QTAQ)Yy1yr2yr21ynT其中r为f的正惯性指数，Ddiag(1,,1,1,,1).TT

显然D是正交矩阵，由DQAQ，故AQDQ，且有AAAAE，故ATT是正交矩阵.6．设A为实对称阵，|A|0，则存在非零列向量ξ，使ξTAξ0.证：方法一

因为A为实对称阵，所以可逆矩阵P，使

PTAPDdiag(1,,i,,n)

其中i(i1,,n)是A的特征值，由|A|0，故至少存在一个特征值k，使k0，0取ξP1，则有

0100TT1k0 ，1,0,0)k

ξAξ(0,,1,,0)PAP1(00n0

方法二（反证法）

T

若X0，都有XAX0，由A为实对称阵，则A为半正定矩阵，故|A|0与|A|0矛盾.222

7．设n元实二次型fXAX，证明f在条件x1x2xn1下的最大值恰T为方阵A的最大特征值．

解：设1,2,,n是f的特征值，则存在正交变换XPY，使 fXTAXYT(PTAP)Y1y122y2nyn设k是1,2,,n中最大者，当XXx1x2xn1时，有

·109·

T22222XTXYTPTPYYTYy12y2yn1

因此

2222f1y122y2nyn k(y12y2yn)k

222这说明在x1=1的条件下f的最大值不超过k． x2xn

设

Y0(y1,,yk,,yn)T(0,,0,1,0,.0)T 则

Y0TY01

222f1y122y2kyknynk

令X0PY0，则

TX0X0Y0TY1

并且

Tf(X0)X0AX0Y0T(PTAP)Y0k

222这说明f在X0达到k，即f在x1x2xn1条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值．

8．设A正定，P可逆，则PAP正定.证：因为A正定，所以存在可逆矩阵Q，使AQTQ，于是

PAPPQQP(QP)QP，显然QP为可逆矩阵，且 TTTTT(PTAP)T(QP)TQPPTAP，即PTAP是实对称阵，故PTAP正定.9．设A为实对称矩阵，则A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使AB+BA正定．

证：先证必要性

取BA，因为A为实对称矩阵，则 1TABBTAE(A1)TA2E

当然ABBA是正定矩阵． 再证充分性，用反证法．

若A不是可逆阵，则r（A）

因为A是实对称矩阵，B是实矩阵，于是有

TTTX0(ABBTA)X0(AX0)TBX0X0B(AX0)0

这与ABABBA是正定矩阵矛盾．

10．设A为正定阵，则AA3A仍为正定阵.证：因为A是正定阵，故A为实对称阵，且A的特征值全大于零，易见A,A,A2*1AA3A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故A,A,A全是正定矩阵，2*T2*12*11为实对称阵.对X0，有

XT(A2A*3A1)XXTA2XXTA*XXTA1X0

· ·110

即

AA3A的正定矩阵.11．设A正定，B为半正定，则AB正定.T

证：显然A,B为实对称阵，故AB为实对称阵.对X0，XAX0，2*1XTBX0，因XT(AB)X0，故AB为正定矩阵.12．设n阶实对称阵A,B的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，则AB正定.证：设A,B的特征值分别为i,i(i1,,n).由题设知i0,i0,i1,,n.PTAPdiag(1,,i,,n)

为PiA的特征向量，i1,,n.因为A是实对称矩阵，所以存在正交矩阵P(P1,,Pi,,Pn)，使 即

AP,iiiP

由已知条件Pi也是B的特征向量，故

BPiiPii1,i,,n

因此

ABPiAiPi(ii)Pi，这说明ii是AB的特征值，且ii0，i1,,n.又因为

ABPPdiag(11,,ii,,nn),PTP1.故

ABPdiag(11,,ii,,nn)P，显然AB为实对称阵，因此AB为正定矩阵.13．设A(aij)nn为正定矩阵，b1,b2,,bn为非零实数，记

B(aijbbij)nn

则方阵B为正定矩阵．

证：方法一

因为A是正定矩阵，故A为对称矩阵，即aijaji，所以aijbibjajibjbi，这说明B是对称矩阵，显然

a11b21abb1anbb1221n1b10a11a1nb102abbababb2121222n2n2

B= 0baa0bnn1nnnabbabbabbnnnnn1n1n2n1

对任给的n维向量X(x1,,xn)0，因b1,b2,,bn为非零实数，所以

T(b1x1,,bnxn)T0，又因为A是正定矩阵，因此有

b10a11a1nb10TT

XBXXX

0baa0bnn1nnna11a1nb1x1

=(b1x1,,bnxn)0

aabxnnnnn1即B是正定矩阵．

·111·

方法二

记

a11b12a12b1b2a1nb1bnabbab2abb2n2n B2121222abbabbabbnnnnn1n1n2n1则因为A是实对称矩阵，显然B是实对称矩阵，b10

B的k阶顺序主子阵Bk可由A的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵而

0bn得到，即

b10a11a1kb10Bk

0baa0bkk1kkk计算Bk的行列式，有

Bkbi2Ak0

i1n故由正定矩阵的等价命题知结论正确．

14．设A为正定矩阵，B为实反对称矩阵，则AB0.证：因为M是n阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n阶实矩阵M，如果对任意非零列向量X，均有

XTMX0

可推出M的特征值(或者其实部)大于零． 由于M的行列式等于它的特征值之积，故必有M0 ．

因为A是正定矩阵，B是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X，均有

XT(AB)X0,而A+B显然是实矩阵，故AB0.T

15．设A是n阶正定矩阵，B为nm矩阵，则r(BAB)=r(B)．

T

证：考虑线性方程组BX0与BABX0，显然线性方程组BX0 的解一定是BTABX0的解．

TT

考虑线性方程组BABX0，若X0是线性方程组BABX0的任一解，因此有BTABX00．

上式两端左乘X0有 T(BX0)TA(BX0)0

· ·112

T

因为A是正定矩阵，因此必有BX00，故线性方程组BX0与 BABX0是同解方程组，所以必有r(BAB)= r(B).16．设A为实对称阵，则存在实数k，使|AkE|0.证：因为A为实对称阵，则存在正交矩阵P，使 TP1APdiag(1,,i,,i).其中i为A的特征值，且为实数，i1,,2.于是

APdiag(1,,i,,n)P1

1k

|AkE||P|ik|P|(ik)

1i1nnk取kmax{|i|1}，则1in|(k)0，故

|AkEii1n0.17．设A为n阶正定阵，则对任意实数k0，均有|AkE|kn.证：因为A为正定矩阵，故A为实对称阵，且A的特征值i0,i1,,n.则存在正交矩阵P，使

11,PAPin于是对任意k0，有

1k|P|

|AkE|1P1 APinikP|1|(ik)kkn.i1i1nnnk

18．设A为半正定阵，则对任意实数k0，均有|AkE|0.证：因为A为半正定矩阵，故A为实对称矩阵，且A的特征值i0，i1,,n.则存在正交矩阵P，使

PAPdiag1(,于是对任意k0，有

|AkE|P||dia1g(k,ik, 1i,,n,，A)Pdiag(1,,i,,n)P1

n,k,P1|(|ik)kn0.)i1n·113·

19．A为n阶实矩阵，为正实数，记BEAA，则B正定.T

证：BT(EATA)TEAAB，故B是实对称矩阵.T

对X0，有(X,X)0,(AX,AX)0，因此有

AX(X,X)AX(AX,)0

XTBXXT(EATA)XXTXXTAT故

BEAA为正定矩阵.20．A是mn实矩阵，若AA是正定矩阵的充分必要条件为A是列满秩矩阵．

证：先证必要性

方法一

设AA 是正定矩阵，故X00，有

TX0(ATA)X0(AX0)T(AX0)0

由此AX00，即线性方程组AX0仅有零解，所以r(A)=n，即A是列满秩矩阵． TTT方法二

因为AA 是正定矩阵，故r(AA)=n，由于 TTnr(ATA)r(A)n

所以r(A)=n． 即A是列满秩矩阵．

再证充分性：因A是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，X0，X为实向量，有AX0．因此

XT(ATA)X(AX)T(AX)(AX,AX)0

显然AA 是实对称矩阵，所以AA 是正定矩阵．

21．设A为n阶实对称阵，且满足A6A4E0，则A为正定阵.证：设为A的任意特征值，ξ为A的属于特征值的特征向量，故ξ0，则

2TTAξξ,2A2ξ2ξ

由

A6A4E0

有

Aξ6Aξ4ξ0

2(264)ξ0 2由

ξ0，故

640.350.因为A为实对称矩阵，故A为正定阵.22．设三阶实对称阵A的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为ξ1(1,0,0)T,ξ2(0,1,1)T，求一正交变换XPY，将二次型fXTAX化成标准形.解：设ξ3(x1,x2,x3)T为A的属于特征值3的特征向量，由于A是实对称矩阵，故ξ1,ξ2,ξ3满足正交条件

1x10x20x30 0x1x1x0231

解之可取ξ3(0,1,1)，将其单位化有

· ·11

411T11T,),P3(0，)222210011

令

P(P1,P2,P3)0.2211022则在正交变换XPY下，将f化成标准形为 P1(1,0,0)T,P2(0,22 fXTAXYT(PTAP)Yy122y23y

323．设

122A24a

2a42二次型fXTAX经正交变换XPY化成标准形f9y3，求所作的正交变换.2解：由f的标准形为f9y3，故A的特征值为120,39.1故

|EA|22a2(9)

422214a2

令0，则

2解之

a4.4a0 2a4122由此

A244

244

对于120有

122122

0EA244000

244000可得A的两个正交的特征向量

22ξ12,ξ21

12

·115·

1对于39，可得A的特征向量为2

2将特征向量单位化得

221111P12,P21,P32

3331222211则P(P1,P2,P3)212为正交矩阵，31222211正交变换XPY为X212Y.3122

注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P不惟一.222

24．已知二次型fx12x2(1k)x32kx1x22x1x3正定，求k.解：二次型的表示矩阵

11kAk20

101k1k20k20由A正定，应有A的各阶顺序主子式全大于0.故 k2，即.2|A|0k(kk2)0解之

1k0.222

25．试问：三元方程3x13x23x32x1x22x1x32x2x3x1x2x30，在三维空间中代表何种几何曲面.222

解：记f3x13x23x32x1x22x1x32x2x3x1x2x3

311x1x1则

f(x1,x2,x3)131x2(1,1,1)x2

113xx33311

设

A131.1132则|EA|(2)(5).故A的特征值为122,35.· ·116

对于122，求得特征向量为

1ξ11,0由Schmidt正交化得

1ξ20.11β11,0121β2.211对于35得特征向量ξ31，标准化得

1111632111P1,P,P23 26321063111263111

令

P(P1,P2,P3)

63221063则在正交变换XPY下

22f2y122y25y33y3

于是f0为

22y122y25(y3323) 102022为椭球面.26．求出二次型f(2x1x2x3)(x12x2x3)(x1x22x3)的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有

·117·

222222

f4x1x2x34x1x24x1x32x2x3x124x2x34x1x22x1x34 2x3x222

x1x24x32x1x24x1x34x2x3

22222

6x16x26x36x1x26x1x36x2x36(x12x2x3x1x2x1x3x2x3)

1132323119x2x3)2x2x3x2x3]6(x1x2x3)2(x2x3)2 2244222211yxx11222x3

令

y2x2x3

yx33111y122x111即

y20x2 y001x33

6[(x1则可逆变换为

1x1x20x03在此可逆线性变换下f的标准形为

112y111y2 01y392y2.2f6y12

27．用初等变换和配方法分别将二次型

222

（1）f1x13x22x44x1x24x1x42x2x4

（2）f22x1x26x2x32x1x3

化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换.解：先用配方法求解

（1）f1(x14x1x24x1x4)3x22x42x2x4

(x12x22x4)x26x46x2x4(x12x22x4)(x23x4)3x4 222222222y1x12x22x4yx3x224

令



即

yx33y4x4x1y12y24y4xy3y224 xy33x4y4 · ·118

12040103

令

P00100001

则二次型f经可逆线性变换xPy化成标准形 f1y12y23y4y1z1z1y1yzzy2222

若再令 

即 y3z3 zy33y3zz3y4444311

令

Q133222则原二次型f1经可逆线性变换xPQz化成规范形f1y1.y2y4x1y1y2

（2）先线性变换x2y1y2

xy33原二次型化成

2222

f22(y1y2)6y1y36y2y32y1y32y2y32y12y24y1y38y2y3

222

2(y1y3)22y2 2(y1y3)22(y22y3)26y38y2y32y3z1y1y3y1z1z3110101

令z2y22y3，即y2z22z3.令P1110，P2012

zyyz0010013333则原二次型f2经可逆线性变换xP1P2z化成标准形 f22z122z26z3z1w12z1

若再令w22z2

即 z2w6z33z3

2w122w2 26w36·119·

222

令

Q

266则原二次型f2经可逆线性变换xP1P2Qw化成规范形

22.f2w12w2w3

用初等变换法求解

1223

（1）设A00211223

(AE4)00210201

0002***02010002000***0010r22r100c22c1021010r43r20c43c20001000100 01033030103010002100***000***1000 0100 0110r4(2)r101

c4(2)c1000310101r3300

1c3300120200001T4330001010021002100

令

P1，P20010

001034304313033222则原二次型f1经过可逆线性变换xP1y化成标准形f1y1y23y3.二次型经过可逆线性变换xP2z化成规范形f1z1z2z4.· ·120

222T011

（2）设A103

1301100010r3(1)r203010c3(1)c21

(AE3)113000101003360010 0111001

r33r1c33c101010010001021r1r2c1c210000063110063200110

r12(2)r1111c1002(2)c12220 00631110011201

2r121,2c112r2,2c010162220 6r23,6c300162666611T0110T

令 P112210，P11202222311662666则原二次型f2经过可逆线性变换xP1y化成标准形

f2y2122212y26y3

二次型经过可逆线性变换xP2z化成规范形

f2222z1z2z3

28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）f22212x13x24x2x33x3

（2）f22222x1x2x3x42x1x22x1x42x2x32x3x4

解：先用配方法求解

001011 121· · 42522x2x3)3x32x123(x2x3)2x3 333y1x1x1y122

令 y2x2x3

即 x2y2y3

33y3x3x3y31002

令

P01

3001

（1）f12x13(x222则二次型f1经可逆线性变换xPy化成标准形

2f12y123y252y3 32z1y12z12y13z2

若再令 z23y2

即 y2315z15y33yz3335223

令

Q

3155原二次型f1经可逆线性变换xPQz化成规范形

22.f1z12z2z3

（2）f2(x12x1x22x1x4)x2x3x42x2x32x3x4

(x1x2x4)2x32x2x32x3x42x2x4 2

(x1x2x4)2(x3x2x4)2(x22x4)23x4 2222y1x1x2x4yx2x224

令



即

y3x2x3x4y4x4 · ·122

x1y1y2y4xy2y224 x3y2y3y4x4y411010102

令

P0111

0001则二次型f2经可逆线性变换xPy化成标准形

f2y223y22y12y34 z1y1y1z1

若再令 z2y2

即 y2z2zy 3y

33z3z43y4y433z411

令

Q1 33

原二次型fPQz化成规范形f22222经可逆线性变换x2z1z2z3z4.用初等变换法求解

20

（1）设A0032

02320010200100

(AE03)032010r(233)r2c(203001030230013)c25200303110010012

12r112c10100103r1 23c21535r1535c3215150010155 123· · 101

令 P1020300,1TP212000132151500 15522T则原二次型f1经过可逆线性变换xP1y化成标准形f12y13y2222可逆线性变换xP2z化成规范形f1z1.z2z352y3.二次型经过311011110

（2）设A011110111011000111100100

(AE4) 011100101011000110011000100010011110000111r2(1)r1r4r1

c2(1)c101110010c4c101110111100010110110001000100010011110000011r3r2r3r4

c3c201121110c3c400320012010010120110001000100010001110002010r3(2)r2r2r4

c3(2)c200302111c2c400302010010010100110001000020001011r4()r22

00302111 1c4()c2211110000222 · ·124

000100

010001000100

111001000101

1110011011r2c222

110r3c3332r42c40***01233220033000101120

令 P12333

33312202212222fy2y3yy4.f2可则原二次型f2可经可逆线性变换xP化成标准形y212312经可逆线性变换xP2z化成规范形

222 f2z12z2z3z41T0000101

P22311131102220123 32200102T用正交变换法求解

200

（1）f1的矩阵为A032，023200由

|EA|知A的特征值为1,2,5.00322(1)(2)(5)，3100x10x100对11，解022x20，得x2k1，取T11，单位化

1022x0x1330000x10x1112P0xk0P1，对22，解012x，得，取220，220x002013x322

·125· 0x1030对35解022x20，得022x03x100xk1T 取321，单位化得1x13P30022，令 P22222210002，则P为正交阵，经正交变换XPY，222222原二次型f化为fXTAXy1.2y25y311011110

（2）f2的矩阵为

A0111101111011110由

|EA|(1)(3)(1)2

01111011知A的特征值为1,3,1,1.x12101x1011xx12100122, 得

k，取T1对11，解1x3011121x301x1x1012044122112单位化得P1对23，解，01211210210x1010x2021x3012x401, 得 x11x2k1.x311x4 · ·126

121

取

T1122

1单位化得 P21.1212

对341，解

0101x1x1101001x0x0202,得

01011010x3x0xk1k1 312040x4011

取

T300,T41，1001202

再令

P023,P2240 22021122220112

令 P2202112，则P为正交阵，经正交变换XPY，02221122022原二次型f化为

fXTAXy222213y2y3y4.29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）f22212x26x24x32x1x22x1x3

127· ·

解：二次型f1的矩阵为

121A160

104A的各阶顺序全子式

20,21162110,111160380.04所以二次型f1是负定二次型.2222

（2）f2x13x29x319x42x1x24x1x32x1x46x2x412x3x4

解：二次型f2的矩阵为

11211303 A209613619A的各阶顺序主子式

112111211130310,20，13060，240

13209620913619所以二次型f2是正定二次型.2222

（3）f3x1x214x37x46x1x34x1x44x2x3

解：二次型f3的矩阵为

103012A3214200A的各阶顺序主子式

20 0720330.0710,1031001210，01210，0132143214200103所以二次型f3是不定二次型.222

30．求一可逆线性变换XCY，把二次型f12x15x24x32x1x24x1x3化成 · ·128规范形fy22y211y23，同时也把二次型 f322x222x213x232x1x32x1x34x2x3 化成标准形f2222k1y1k2y2k3y3.解：记f1XTAX，其中

A212150204

200212150091rA2043r1r1r12012E10022 c3c1c12c11112010001201000120000911000r11022162001025r2039r29r2331c23669c21110r34c112229212c2230c301343690010304125266取 P02136，则PTAPE 004记

fT2XBX，其中

129· ·

3012B032

12210021253120266则 BT22032211PBP063 01223651336640043111220212526634422

25242021132636444 1112300341212242312

141321B2 2224其中

B3122132 222显然B都是实对称矩阵，它们的特征值为11,B24倍的关系，特征向量相同.3120(33)12(4)

|EB2|1321(3)2(42)22202(4)4则B2的特征值为0,234，故B1的特征值为0,1,1.以下求B2的特征向量.·130 ·

0112211

对于10，求得α1，单位化后122 1122

对于1α234，求得α21,300

1

由Schmidt标准正交化后得

121212132,

0212111222

令

Q(111,2,3)2122.11202

则Q为正交矩阵，且有

0QTB(PTBP)Q11QQT

112511266121222

令 CPQ121023161222312213004102242于是

QTPTAPQQTEQE

27362131620342131· · 即

CACE

T0CTBC1

1在可逆线性变换XCY下 f1y12y2y322.f2y2y3（注：经验算本题所得C是正确的，需要注意的是C并不惟一）

31．求一可逆线性变换XPY，将二次型f化成二次型g.22f2x129x23x38x1x24x1x310x2x3

22g2y123y26y34y1y24y1y38y2y3

42222295，gYTBY，B234

解：fXTAX，A4253246 将A,B分别作合同变换如下：

24220020049501101022r1011rr000A253rr3r132

c22c1 c3c2E100c3c1121121010010011001001001

在可逆线性变换XC1Z下 f2z12z2121C1011

0012204012r1026rr3r12c10cc3c111010001

其中

2223B24E10010022在可逆线性变换YC2Z下g2z1z2.· ·132

02204r3r201c3c210001010110000 121111其中

C2012

0011由

ZC2Y得

1XC1ZC1C2Y

12111113611012003令

PC1C201

00100100122在可逆线性变换XPY下fg2z1.z2

32．A是正定矩阵，AB是实对称矩阵，则AB是正定矩阵的充分必要条件是B的特征值全大于零．

证：先证必要性．

设 为B的任一特征值，对应的特征向量为X,则X0, 且有

1BXX

用XA左乘上式有 TXT(AB)XXTAX

因为AB，A都是正定矩阵，故

XT(AB)X0,于是0，即B的特征值全大于零．

再证充分性．

XTAX0

因为A是正定矩阵，所以A合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P，使

PTAPE

（1）

由AB是对称矩阵，知P(AB)P也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q，使 TQT[PT(AB)P]QDdiag(1,,i,,n)

（2）

即有

(QPA)B(PQ)Ddiag(1,,i,,n)

（3）

其中1,,i,,n是P(AB)P的特征值．

在（1）的两端左乘Q，右乘Q有 TTTTQT(PTAP)QE即(QTPTA)(PQ)E

TT这说明(QPA)与(PQ)互逆，也就是说

(QTPTA)(PQ)1

将上式代入（3），说明矩阵B与对角阵D相似，故它们的特征值相等；由条件知B的特征值全大于零，因此对角阵D的特征值也全大于零． 由（2）知AB与D合同，因此AB的特征值全大于零．

·133·

T

33．设A,B为n阶实正定阵，证明：存在可逆阵P，使PAPE且PTBPdiag(1,2,,n)，其中12n0为|AB|0的n个实根.证：因A正定，故存在可逆矩阵P1，使

TP1AP1E

因B正定，故存在可逆矩阵P2，使

BP2TP2

于是

TTTTP1BP1P1P2P2P1(P2P1)(P2P1)

易见P1BP1为正定矩阵，不妨设它的特征值为 T12n0.TTTT则

|EPBP||PAPPBP||P|111111|AB||P1|

T故

|EP1BP1|0|AB|0 即

12n0为|AB|0的几个实根.由

P1BP1为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使

TQT(P1BP1)Qdiag(1,2,,n)T

令

PP，则 1Q

PTAPE,PTBPdiag(1,2,,n)

34．设A为n阶实正定阵，B为n阶实半正定阵，则|AB||A|.证：因为A是n阶正定矩阵，所以存在n阶可逆矩阵C，使得

CTACE.T

因为B是n阶半正定阵，则CBC仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q，使得

Q1(CTBC)QQT(CTBC)QDdiag(1,,i,,n)

其中 i0,i1,n,为CTBC的特征值，且有

QT(CTAC)QE

令PCQ，则P为可逆矩阵，于是

PTAPE,PTBPD

PT(AB)PPTAPPTBPED

上式两端取行列式，得

|P||AB||P||ED|(1i)1|PT||A||P| Ti1n因

|P||P|0，故

|AB||A|.35．设A,B均为实正定阵，证明：方程|AB|0的根全大于0.证：由33题知|EP1BP1|0|AB|0.其中P1BP1为正交矩阵，它的特征值i0，i1,,n，故|AB|0的根全大于0.· ·134TTT

36．设A为n阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B，使AB．

证：因为A是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P，使

212P-1APPTAPD

n其中1,2,,n

令i为A的n个特征值，它们全大于零．

i(i1,2,,n), 则

2111122222D 2nnnn1122TPT

而

APDPPnn1122PTPPT

Pnn12T

令

B=PP

n2显然B为正定矩阵，且AB．

37．设A为n阶可逆实方阵，证明：A可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．

T

证：因为A是n阶可逆实方阵，故AA是正定矩阵，所以存在n阶正定矩阵B，使

ATAB2.于是有

(AB1)T(AB1)(B1)TATAB1(B1)TB2B1E

这说明AB是正交阵.令

ABQ

则

AQB，其中Q是正交矩阵，B是正定矩阵.38．A、B 为n阶正定矩阵，则AB也为n阶正定矩阵的充分必要条件是： AB=BA，即A与B可交换．

·135· 11证：方法一

先证必要性．

由于A、B、AB都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有

ATA,BTB,(AB)TAB

于是

AB(AB)TBTATBA

即A与B可交换．

再证充分性．

由条件AB=BA得

(AB)T(BA)TATBTAB

因此AB是对称矩阵．

因为A,B是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P、Q，使

APTP,BQTQ

于是

ABPTPQTQ

上式左乘Q，右乘Q1得

Q(AB)Q1QPTPQT(PQT)T(PQT)

这说明AB与对称矩阵(PQT)T(PQT)相似；因为PQT是可逆矩阵，故矩阵(PQT)T(PQT)是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零．

综合上述知AB正定．

方法二

必要性同方法一，以下证明充分性．

由条件AB=BA得

(AB)T(BA)TATBTAB

因此AB是对称矩阵．

由于A正定，所以存在可逆矩阵Q，使

A=QQ 于是

TTTT EABEQQBEQQBQ(Q)

T

QTE(QT)1QT(QBQT)(QT)1QTEQBQT(QT)1EQBQTT

EAB0EQBQT0

这说明AB与QBQ有相同的特征值．

因为B是正定矩阵，易见QBQ也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零．

· ·136

T综合上述知AB正定．

39．设A、B为实对称矩阵，且A为正定矩阵，证明：AB的特征值全是实数．

证：因为A是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q，使AQTQ，于是有

EABEQTQBEQT(QBQT)(QT)1QEQBQ(Q)即|EAB|0|EQBQT|0.TTTT1EQBQT

因为B是实对称矩阵，所以QBQ也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB的特征值也都是实数．

40．设A是正定矩阵，B是实反对称矩阵，则AB的特征值的实部为零．

证：因为A是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q，使AQTQ

EABEQTQBEQT(QBQT)(QT)1QEQBQ(Q)AB的特征值实部也为零．

TTT1EQBQT

因为B是实反对称矩阵，所以QBQT也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故

41．设A是正定矩阵，B是半正定的实对称矩阵，则AB的特征值是非负的实数．

证：由于A是正定的，所以A也是正定的，于是存在可逆矩阵P，使得A因此

11PTP，EABAA1BAPTPBAPTE(PT)1BP1P APTPE(PT)1BP1AA1E(PT)1BP1E(PT)1BP1E(P1)TBP1

1T1即EAB0E(P)BP0.由于B是半正定的实对称矩阵，故(P)BP1T1是半正定的实对称矩阵，因此E(P1)TBP10的根是非负实数．于是EAB0的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．

42．求证实二次型f(x1,,xn)

证：二次型的矩阵为

(krsrs)xx的秩和符号差与k无关．

rsr1s1nn2k33k4k22k34k46k56k59k6A3k4nk(n1)2nk(n2)3nk(n3)

nk(n1)2nk(n2)3nk(n3)

2nk2n·137·

对矩阵A作合同变换，即把A的第1行的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n行上；同时把A的第1列的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n列上，得到与矩阵A合同的矩阵B为

2(n1)0000

00k2,2,(n1)倍依次加到第1，3，对矩阵B作合同变换，即把B的第2行的2k2,2,(n1)倍依次加到第1，3，4，…，n4，…，n行上；同时把B的第2列的2列上，得到与矩阵B合同的矩阵C为 k21B2(n1)100001C0010000000000

0由合同变换的传递性，故A与C合同，于是原二次型可经可逆线性变换化简成

f(x1,,xn)2y1y2

y1z1z2再作可逆线性变换

y2z1z2yzii于是二次型f化成规范形

(i3,,n)2 f(x1,,xn)2z122z

2显然二次型f(x1,,xn)的秩为2，符号差为0，它们的值均与k无关．

43．设二次型fa时，二次型f正定．

证：二次型 f的矩阵A的各阶顺序主子式的值与它的阶数n的奇偶性有关：

（1）当n=2m+1时，二次型f的矩阵为 xi1n2ibini1xxinni1，其中a、b为实数，问a、b满足什么条件

baabAa

baba · ·138它的各阶顺序主子式为

a,,am1,am(a2b2),am1(a2b2)2,,a(a2b2)m

（2）当n=2m时，二次型f的矩阵为

baab Ababa它的各阶顺序主子式为

a,,am,am1(a2b2),am2(a2b2)2,,(a2b2)m

综合（1），（2）可知：当a0且a2b2时，二次型f是正定的．

44．设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n,Aij是A(aij)nn中元素aij的代数余子式

nnAijxixj(i,j1,2,,n)，二次型f(x1,x2,,xn)i1j1A1

（1）记X(x1,x2,,xn)T，把f(x1,x2,,xn)写成矩阵形式，并证明二次型f（X）的矩阵为A．

（2）二次型g(X)XAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由．

证：方法一

（1）因为A是实对称矩阵，故AijTAji．由r(A)=n, 故A可逆，且

A11*A A二次型f(x1,x2,,xn)的矩阵形式为

A11A21An1x11AAAn2x2f(X)(x1,x2,,xn)1222

AAAAxnnn1n2n111TT11从而(A)(A)A.故A也是实对称矩阵，因此二次型f(X)的矩阵为A．

11T1T11

（2）因为(A)AA(A)EA，所以A与A合同，于是二次型g(X)XTAX与f(X)有相同的规范形．

方法二

（1）同证法１

（2）对二次型g(X)XAX作可逆线性变换，XAY, 其中

T1Y(y1,y2,,yn)T,则

T1T1T11TT11

g(X)XAX(AY)A(AY)=Y(A)AAY=Y(A)AAY=YAY

T1由此可知A与A合同，二次型g(X)XAX与f(X)有相同的规范形．

·139· 1T

45．试说明二次型

f(x1,x2,x3)(x1x2x3)2[ax1(ad1)x2(a2d1)x3]2

+n[(ad)xii22 (a2d)x(a3d)x]1i2i3当d10时，无论n为何值，f(x1,x2,x3)的秩均为2．

解：fXT(ATA)X，其中

1aAad2adn1ad1a2d2a2dn1a2d1a3d2

a3dn1110d12d1行对矩阵A作行的初等变换，可得A000.000

所以当d10时，A的秩为2，这与n的取值无关，因此二次型f的秩为2．

46．已知A是n阶正定矩阵，令二次型f(x1,x2,,xn)XTAXxn的矩阵为B，求证：（1）B是正定矩阵；（2）BA．

证：（1）设

a11aA21an1a11a21则

Ban1a12a1na22a2n，aijaji an2anna12a1na22a2n

an2ann1

显然B为实对称矩阵，且B与A的前n-1阶顺序主子式完全相同，由于A是正定矩阵，故它的各阶顺序主子式全大于零，因此B的前n-1阶顺序主子式也全大于零． 现考虑B的第n阶顺序主子式即它的行列式，有

a11a

B21an1可见B是正定矩阵．

· ·140a12a1na11a1n1a22a2n+

an11an1n1an2annan1ann10=AAn10

（*）01

（2）由（*）即知BA．

47．设n元实二次型fXTAX，1,2,,n 是A的特征值，且12n． 证明：对于任一实维列向量X有1XTXXTAXnXTX.证：设1,2,,n是f的特征值，则存在正交变换X=PY，使 fXTAXYT(PTAP)Y1y122y2nyn

由已知条件12n，有

1YTYfXTAXnYTY

（1）

又因为P是正交矩阵，于是有

XTXYTPTPYYTY

将此结果代入（1）即为

1XTXXTAXnXTX

48．证明：若二次型ai1i1nnijxixjXTAX是正定二次型，则

a11a21f(y1,y2,,yn)an1y1是负定二次型．

a12a22an2y2a1na2nannyny1y2 yn0

证：因为f 是正定二次型，故它的表示矩阵A是正定矩阵，因此A是可逆矩阵，作可逆线性变换Y=AZ．对上述行列式的列作消法变换，将第j列的-zj(j1,2,,n)倍加入第n+1列，其中Z(z1,z2,,zn)T,则

a11a21

f(y1,y2,,yn)an1y1a12a22an2y2a1na2nannyny1a11y2a21ynan10y1a12a22an2y2a1n0a2n0 ann0yn(y1z1y2z2ynzn)TTTT

A(y1z1y2z2ynzn)=AYZ=AZAZ=AZAZ 因为A是正定矩阵，所以A<0，可见f(y1,y2,,yn)是负定二次型．

49．设A是正定矩阵，则

（1）AannAn1，其中An1是A的n-1阶顺序主子式；

（2）Aa11a22ann．

解：（1）因为A是正定矩阵，故

·141·

a11a12a1n1a21a22a2n1An1

aaan1n1n11n12也是正定矩阵，于是由48题知

a11a1n1y1 fn1(y1,y2,,yn1)=

an11an1n1yn1y1yn10是负定二次型，因此由行列式的加法运算有

a11a1n1a1na11a1n1Aan11an1n1an1nan11an1n1an1ann10an1ann1其中An1为A的顺序主子式．

0fn1(a1n,a2n,,an1n)annAn1 0ann当a1n,a2n,,an1n中至少有一个不为零时，fn1(a1n,a2n,,an1n)<0

A

50．设P(pij)nn是n阶可逆矩阵，求证：P222(p12jp2jpnj).j1np11p21pn1pppp1222n2p

证：PTPppp2nnnpn1nTpp211pn11pnpn22p2nn12n2pi1i112*pi1n2i*2

n2pini1

因为P是可逆矩阵，故PP是正定矩阵，由49题的结论（2），有

22PP(p)(p12jp2jpnj)T2ijj1i1j12nnn显然 PPP，所以有PT222(p12jp2jpnj).j1n · ·142

第五篇：线性代数习题及答案复旦版

线性代数习题及答案(复旦版)[]

线性代数习题及答案习题一

1.求下列各排列的逆序数.(1)341782659；

(2)987654321；

(3)n(n?1)…321；

(4)13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2.【解】

(1)τ(341782659)=11;

(2)τ(987654321)=36;

(3)τ(n(n?1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n?1)=;

(4)τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1).2.略.见教材习题参考答案.3.略.见教材习题参考答案.4.本行列式的展开式中包含和的项.解： 设，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有

展开式中含项有.5.用定义计算下列各行列式.(1)；

(2).【解】(1)D=(?1)τ(2314)4!=24;

(2)D=12.6.计算下列各行列式.(1)；

(2)；

(3)；

(4).【解】(1);

(2);

7.证明下列各式.(1)；

(2)；

(3)

(4)；

(5).【证明】(1)

(2)

(3)首先考虑4阶范德蒙行列式: 从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

(4)对D2n按第一行展开，得

据此递推下去，可得

(5)对行列式的阶数n用数学归纳法.当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

但由归纳假设

从而有

8.计算下列n阶行列式.(1)

(2)；

(3).(4)其中 ；

(5).【解】(1)各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得

将第一行乘（?1）后分别加到其余各行，得

(2)按第二行展开

(3)行列式按第一列展开后，得

(4)由题意，知

.(5)

.即有

由

得.9.计算n阶行列式.【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得

将第一行乘（?1）后加到其余各行，得

10.计算阶行列式（其中）..【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.11.已知4阶行列式;试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式.【解】

同理

12.用克莱姆法则解方程组.(1)

(2)

【解】方程组的系数行列式为

故原方程组有惟一解，为

13.λ和μ为何值时，齐次方程组

有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

即

故或时，方程组有非零解.14.问：齐次线性方程组

有非零解时，a,b必须满足什么条件？ 【解】该齐次线性方程组有非零解

，a,b需满足

即(a+1)2=4b.15.求三次多项式，使得

【解】根据题意，得

这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于

故得 于是所求的多项式为

16.求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为 ax+by+c=0(a,b不同时为0)按题设有

则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.习题 二

1.计算下列矩阵的乘积.（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）.【解】

(1)

(2);

(3)(10);(4)

(5);

(6).2.设，求(1);(2)；(3)吗? 【解】(1)

(2)

(3)由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2.3.举例说明下列命题是错误的.(1)若，则；

(2)若，则或；(3)若，则.【解】

(1)以三阶矩阵为例，取,但A≠0(2)令,则A2=A,但A≠0且A≠E(3)令

则AX=AY,但X≠Y.4.设, 求A2，A3，…，Ak.【解】

5.，求并证明：.【解】 今归纳假设

那么

所以，对于一切自然数k,都有

6.已知，其中

求及.【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得

而

7.设，求||.解：由已知条件，的伴随矩阵为

又因为，所以有，且，即

于是有

.8.已知线性变换

利用矩阵乘法求从到的线性变换.【解】已知

从而由到的线性变换为

9.设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A, 所以

(B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故也为对称阵.10.设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.则

AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因AB=BA,则(AB)′=B′A′=BA=AB, 所以，AB为对称阵.11.A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：(1)B2是对称矩阵.(2)AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.【证明】

因A′=A,B′= ?B,故

(B2)′=B′²B′= ?B²(?B)=B2;(AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′

= ?BA?A²(?B)=AB?BA;(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′

= ?BA+A²(?B)= ?(AB+BA).所以B2是对称矩阵，AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.12.求与A=可交换的全体二阶矩阵.【解】设与A可交换的方阵为,则由 =, 得.由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.13.求与A=可交换的全体三阶矩阵.【解】由于 A=E+, 而且由

可得

由此又可得

所

以

即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.14.求下列矩阵的逆矩阵.(1)；

(2)；(3)；

(4)；(5)；

(6)，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.【解】

(1);

(2);(3);

(4);(5);

(6).15.利用逆矩阵，解线性方程组

【解】因,而 故

16.证明下列命题：

(1)若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2)若A可逆，则A*可逆且（A*）?1=（A?1）*.(3)若AA′=E,则（A*）′=(A*)?1.【证明】（1）因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得

|A|²|B|²B*A*=|AB|E(B*A*)

=(AB)*AB(B*A*)=(AB)*A(BB*)A*

=(AB)*A|B|EA*=|A|²|B|(AB)*.∵

|A|≠0,|B|≠0, ∴

(AB)*=B*A*.(2)由于AA*=|A|E,故A*=|A|A?1,从而(A?1)*=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A.于是

A*(A?1)*=|A|A?1²|A|?1A=E, 所以

(A?1)*=(A*)?1.(3)因AA′=E，故A可逆且A?1=A′.由(2)(A*)?1=(A?1)*,得(A*)?1=(A′)*=(A*)′.17.已知线性变换

求从变量到变量的线性变换.【解】已知

且|A|=1≠0,故A可逆，因而

所以从变量到变量的线性变换为

18.解下列矩阵方程.(1)；

(2)；

(3)；

(4).【解】(1)令A=;B=.由于 故原方程的惟一解为

同理

(2)X=;

(3)X=;

(4)X= 19.若(k为正整数)，证明：

.【证明】作乘法

从而E?A可逆，且

20.设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A?1及(A+2E)?1.【证】因为A2?A?2E=0, 故

由此可知，A可逆，且

同样地

由此知，A+2E可逆，且

21.设，,求.【解】由AB=A+2B得(A?2E)B=A.而

即A?2E可逆，故

22.设.其中，求.【解】因可逆，且故由 得

23.设次多项式，记,称为方阵的次多项式.(1)，证明

，；

(2)设，证明，.【证明】

(1)即k=2和k=3时，结论成立.今假设

那么

所以，对一切自然数k，都有

而

(2)由(1)与A=P ?1BP,得 B=PAP ?1.且

Bk=(PAP ?1)k= PAkP ?1, 又

24.，证明矩阵满足方程.【证明】将A代入式子得

故A满足方程.25.设阶方阵的伴随矩阵为，证明：(1)若｜｜＝０，则｜｜＝０；

(2).【证明】（1）若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*|≠0，则有A*(A*)?1=E,由此又得 A=AE=AA*(A*)?1=|A|(A*)?1=0，这与| A*|≠0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0.(2)由A A*=|A|E，两边取行列式，得 |A|| A*|=|A|n, 若|A|≠0，则| A*|=|A|n?1 若|A|=0,由(1)知也有 | A*|=|A|n?1.26.设

.求(1);(2);(3)；(4)｜｜k(为正整数).【解】

(1);

(2);(3);

(4).27.用矩阵分块的方法，证明

下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）；

（2）;

（3）.【解】(1)对A做如下分块

其中 的逆矩阵分别为

所以A可逆，且

同理(2)(3)

习题 三

1.略.见教材习题参考答案.2.略.见教材习题参考答案.3.略.见教材习题参考答案.4.略.见教材习题参考答案.5.，证明向量组线性相关.【证明】因为

所以向量组线性相关.6.设向量组线性无关，证明向量组也线性无关，这里 【证明】

设向量组线性相关，则存在不全为零的数使得

把代入上式，得.又已知线性无关，故

该方程组只有惟一零解，这与题设矛盾，故向量组线性无关.7.略.见教材习题参考答案.8..证明：如果，那么线性无关.【证明】已知,故R(A)=n,而A是由n个n维向量

组成的，所以线性无关.9.设是互不相同的数，r≤n.证明：是线性无关的.【证明】任取n?r个数tr+1,…,tn使t1,…,tr,tr+1,…,tn互不相同，于是n阶范德蒙行列式

从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量也线性无关.10.设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组.【证明】若

(1)线性相关，且不妨设

(t

(2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是的一个极大无关组，这与的秩为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组.11.求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.当k=1时，的秩为为其一极大无关组.当k≠1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12.确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1), =(1,2,1),=(1,0,?1)的秩相同，且可由线性表出.【解】由于

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

要使可由线性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0).13.设为一组n维向量.证明：线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n维向量都可由线性表示，则单位向量，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组的秩为n，因此线性无关.必要性：设线性无关，任取一个n维向量,则线性相关，所以能由线性表示.14.若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由已知条件，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且

，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15.略.见教材习题参考答案.16.设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.【解】设向量组(1)与向量组(2)的极大线性无关组分别为(3)和(4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即

因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.17.设A为m³n矩阵，B为s³n矩阵.证明：.【证明】因A,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示，故

同理

故有

又设R(A)=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R（B）=k, 是B的行向量组的极大线性无关组.设是中的任一行向量，则若属于A的行向量组，则可由表示，若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示，故

所以有.18.设A为s³n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r³s矩阵.证明：B＝KA行无关的充分必要条件是R(K)=r.【证明】设

A=(As,Ps³(n?s)), 因为A为行无关的s³n矩阵，故s阶方阵As可逆.()当B=KA行无关时，B为r³n矩阵.r=R(B)=R(KA)≤R(K)，又K为r³s矩阵R(K)≤r,∴ R(K)=r.()当r=R(K)时，即K行无关，由B=KA=K(As,Ps³(n?s))=(KAs,KPs³(n?s))知R(B)=r,即B行无关.19.略.见教材习题参考答案.20.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)；

(2).【解】(1)矩阵的行向量组的一个极大无关组为;(2)矩阵的行向量组的一个极大无关组为.21.略.见教材习题参考答案.22.集合V1＝{()｜∈R且＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设)则

因为

所以,故是向量空间.23.试证：由,生成的向量空间恰为R3.【证明】把排成矩阵A=(),则 , 所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3.24.求由向量所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵

∴是一组基，其维数是3维的.25.设,证明:.【解】因为矩阵

由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以.26.在R3中求一个向量，使它在下面两个基

下

有相同的坐标.【解】设在两组基下的坐标均为()，即

即

求该齐次线性方程组得通解(k为任意实数)故

27.验证为R3的一个基，并把 用这个基线性表示.【解】设 又设 , 即

记作

B=AX.则

因有,故为R3的一个基，且

即.习题四

1.用消元法解下列方程组.(1)

(2)【解】(1)

得

所以

(2)①

②

③

解②?①³2得

x2?2x3=0 ③?① 得

2x3=4 得同解方程组 ④

⑤

⑥

由⑥得

x3=2, 由⑤得

x2=2x3=4, 由④得

x1=2?2x3 ?2x2 = ?10, 得

(x1,x2,x3)T=(?10,4,2)T.2.求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)

(2)

(3)

(4)【解】(1)

得同解方程组

得基础解系为.(2)系数矩阵为

∴ 其基础解系含有个解向量.基础解系为

(3)

得同解方程组

取得基础解系为

(?2，0，1，0，0)T,(?1，?1，0，1，0).(4)方程的系数矩阵为

∴ 基础解系所含解向量为n?R(A)=5?2=3个 取为自由未知量

得基础解系

3.解下列非齐次线性方程组.(1)

(2)(3)

(4)【解】

（1）方程组的增广矩阵为

得同解方程组

(2)方程组的增广矩阵为

得同解方程组

即

令得非齐次线性方程组的特解 xT=(0，1，0，0)T.又分别取

得其导出组的基础解系为 ∴ 方程组的解为

(3)

∴ 方程组无解.(4)方程组的增广矩阵为

分别令

得其导出组的解为

令, 得非齐次线性方程组的特解为：xT=(?16,23,0,0,0)T, ∴ 方程组的解为

其中为任意常数.4.某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.车间

消耗系数 车间 1 2 3 出厂产量（万元）总产量（万元）1 0.1 0.2 0.45 22 x1 2 0.2 0.2 0.3 0 x2 3 0.5 0 0.12 55.6 x3

表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.解：根据表中数据列方程组有

即

解之

5.取何值时，方程组

(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为

|A|=.(1)当≠1且≠?2时，|A|≠0，R(A)=R(B)=3.∴ 方程组有惟一解

（2）当=?2时，R(A)≠R(B),∴ 方程组无解.(3)当=1时

R(A)=R(B)<3,方程组有无穷解.得同解方程组

∴ 得通解为

6.齐次方程组

当取何值时，才可能有非

零解?并求解.【解】方程组的系数矩阵为

|A|= 当|A|=0即=4或=?1时，方程组有非零解.(i)当=4时，得同解方程组

(ii)当=?1时, 得

∴()T=k²(?2,?3,1)T.k∈R 7.当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.（1）

(2)【解】方程组的增广矩阵为(1)

(i)当b≠?52时,方程组有惟一解

(ii)当b=?52,a≠?1时，方程组无解.(iii)当b=?52，a=?1时，方程组有无穷解.得同解方程组(*)其导出组的解为

非齐次线性方程组（*）的特解为

取x4=1，∴ 原方程组的解为

(2)

(i)当a?1≠0时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.(ii)当a?1=0时,b≠?1时，方程组R(A)=2

取

∴ 得方程组的解为

8.设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.【解】设B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量, 由

为Ax=0的解.求=0的解.由

得同解方程组

∴ 其解为 取

则

9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及

求方程组Ax=b的通解.【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组

R(A)=1Ax=0的基础解系中含有3?R(A)=3?1=2个解向量.由为Ax=b的解为Ax=0的解, 且线性无关为Ax=0的基础解系.又

∴ 方程组Ax=b的解为

10.求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.(1)

(2)【解】

(1)设齐次线性方程组为Ax=0 由为Ax=0的基础解系，可知

令

k1=x2 ，k2=x3

Ax=0即为x1+2x2?3x3=0.(2)A()=0A的行向量为方程组为的解.即的解为

得基础解系为=(?5 ?1 1 1 0)T =(?1 ?1 1 0 1)T A= 方程为

11.设向量组=（1，0，2，3），=（1，1，3，5），=（1，?1，a+2，1），=（1，2，4，a+8），=（1，1，b+3，5）

问：（1）a，b为何值时，不能由，，线性表出？

（2）a，b为何值时，可由，，惟一地线性表出？并写出该表出式.（3）a，b为何值时，可由，，线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式.【解】(*)

(1)不能由，，线性表出方程组（*）无解,即a+1=0,且b≠0.即a=?1,且b≠0.(2)可由，，惟一地线性表出方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠?1.(*)等价于方程组

(3)可由，，线性表出，且表出不惟一方程组（*）有无数解，即有 a+1=0,b=0a=?1,b=0.方程组（*）为常数.∴

12.证明：线性方程组有解的充要条件是.【解】

方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A)得证.13.设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明

（1）线

性无关；

（2）线性无关.【 证明】(1)线性无关 成立, 当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),k=0

∵为Ax=0的基础解系

由于.由于为线性无关

∴线性无关.(2)证线性无关.成立

当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),且k=0 即

由(1)可知，线性无关.即有ki=0(i=1,2,…,n?r),且

∴线性无关.14.设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)

（Ⅰ）

(Ⅱ)

(1)求方程组（Ⅰ）的通解；

(2)当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？ 解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵进行行初等变换

由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组（*）

得方程组（*）的基础解系

令，得方程组（Ⅰ）的特解

于是方程组（Ⅰ）的通解为，k为任意常数。

(2)方程组（Ⅱ）的增广矩阵为

系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，令

(**)方程组（**）的基础解系为 当时，当时，方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解，则，故有

把m，n代入方程组，同时有

，即t = 6.也就是说当m=2，n=4，t=6时，方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解.习题五

1.计算.【解】

2.把下列向量单位化.(1)＝（3，0，－1，4）；

(2)＝（5，1，－2，0）.【解】

3.利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.(1)1 =(0，1，1)′, 2 =(1,1,0)′, 3 =(1,0,1)′;

(2)1 =(1,0,?1,1), 2 =(1,?1,0,1), 3 =(?1,1,1,0)【解】

4.试证，若n维向量与正交，则对于任意实数k，l，有k与l正交.【证】与正交.∴ 与正交.5.下列矩阵是否为正交矩阵.【解】

(1)A′A≠E, ∴A不是正交矩阵

(2)A′A=EA为正交矩阵 6.设x为n维列向量，x′x＝1，令H＝E－２xx′.求证H是对称的正交矩阵.【证】

∴ H为对称矩阵.∴ H是对称正交矩阵.7.设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.【证】A与B为n阶正交矩阵A′A=EB′B=E(AB)(AB)′=AB²(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E ∴ AB也是正交矩阵.8.判断下列命题是否正确.(1)满足Ax＝x的x一定是A的特征向量；

(2)如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值的特征向量.则k1x1＋k2x2＋…＋krxr也是A对应于的特征向量；

(3)实矩阵的特征值一定是实数.【解】

(1)╳.Ax=x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量.(2)╳.例如：E3³3x=x特征值=1, 的特征向量有 则不是E3³3的特征向量.(3)╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数.9.求下列矩阵的特征值和特征向量.【解】(1)

当时，为得解

对应的特征向量为.当时，其基础解系为,对应的特征

向量为

∴ 特征值为

(i)当时，其基础解系为

∴ 对应于=2的特征向量为 且使得特征向量不为0.(ii)当时, , 解得方程组的基础解系为

∴ 对应于的特征向量为

特征值为(i)当时，得基础解系为 对应的特征向量为(ii)当时，其基础解系为(2,?2,1)′, 所以与对应的特征向量为(iii)当时，其基础解系为(2,1,?2)′ ∴ 与对应的特征向量为

∴ A的特征值为1,2.(i)当时，其基础解系为(4,?1,1,0)′.∴ 其对应的特征向量为k²(4,?1,1,0)T,k∈R且k≠0.(ii)当时，其基础解系为：（1,0,0,0）′.∴ 其对应的特征向量为

10.设3阶方阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝0，λ3＝－1，对应的特征向量依次为

求矩阵A.【解】

由于为不同的特征值线性无关，则有 可逆

11.设3阶实对称矩阵A的特征值为－1，1，1，与特征值－1对应的特征向量x＝（－1，1，1）′，求A.【解】对应的特征向量为x1=(?1,1,1)T,设对应的特征向量为x2=(x1,x2,x3)T,A为实对称矩阵，所以(x1,x2)=0,即有?x1+x2+x3=0.得方程组的基础解系为

可知为对应的特征向量.将正交化得

=(?1,1,1)T, 单位化：;=(1,1,0)T，;则有

12.若n阶方阵满足A2＝A，则称A为幂等矩阵，试证，幂等矩阵的特征值只可能是1或者是零.【证明】设幂等矩阵的特征值为，其对应的特征向量为x.由A2=A可知 所以有或者=1.13.若A2＝E，则A的特征值只可能是±1.【证明】设是A的特征值，x是对应的特征向量.则Ax=x A2x=(Ax)=2x 由A2=E可知 x=Ex=A2x=2x(2?1)x=0, 由于x为的特征向量，∴ x≠02?1=0=±1.14.设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征根，1,2分别是A的属于λ1, λ2的特征向量，证明1+2不是A的特征向量.证明：假设1+2是A的属于特征根λ的特征向量，则

A（1+2）=λ（1+2）=λ1+λ2.又

A（1+2）= A1+ A 2=λ11+λ22 于是有

（λ?λ1）1+（λ?λ2）2 =0 由于，1与2线性无关，故λ?λ1=λ?λ2=0.从而与矛盾，故1+2不是A的特征向量.15.求正交矩阵T，使T－１AT为对角矩阵.【解】

(i)当时，方程组的基础解系为(?2,1,0)T,(2,0,1)T.(ii)当时，其基础解系为.取,单位化为, 取，取，使正交化.令 单位化

得.(i)当时，其基础解系为

正交化得

单位化得

(ii)当时，其基础解系为

单位化得

(i)当时，其基础解系为

由于()=0,所以正交.将它们单位化得

(ii)当时，其基础解系为=(1,?1,?1,1)T, 单位化得

(iii)当时，其基础解系为=(?1,?1,1,1)T, 单位化为

(i)当=2时，其基础解系为=(2,1,?2)T, 单位化得 ,(ii)当=5时，=(2,1,2)T.其基础解系为=(2,?2,1)T

.单位化得.(iii)当=?1时, , 其基础解系为=(1,2,2)T, 单位化得 , 得正交阵

16.设矩阵与相似.(1)求x与y；

(2)求可逆矩阵P，使P－1AP=B.【解】(1)由A~B可知，A有特征值为?1,2,y.由于?1为A的特征值，可知.将x=0代入|A?E|中可得

可知y= ?2.(2)(i)当=?1时，其基础解系为

=(0,?2,1)T, = ?1对应的特征向量为 =(0,?2,1)T.(ii)当=2时，其基础解系为

=(0,1,1)T 所以=2对应的特征向量为

=(0,1,1)T(ⅲ)当=?2时, , 其基础解系为

=(?2,1,1)T, 取可逆矩阵

则

17.设，求A100.【解】

特征值为(i)当时，其基础解系为

(ii)当时，其基础解系为(?1,1,2)T.令,则

18.将下列二次型用矩阵形式表示.(1)；

(2)；

(3).【解】(1)(2)(3)

19.写出二次型 的矩阵.【解】

20.当t为何值时，二次型的秩为2.【解】

21.已知二次型经过正交变换化为标准型，求参数a,b及所用的正交变换矩阵.【解】由题知 二次型矩阵

当时，即有

2ab=0.当时，当时，(ⅰ)当时，得基础解系为=(1,0,?1)T, 单位化

(ⅱ)当时，其基础解系为=(0,1,0)T.(iii)当时，其基础解系为=(1,0,1)T.单位化得

得正交变换矩阵

22.用配方法把下列二次型化为标准型，并求所作变换.【解】

令

由于

∴ 上面交换为可逆变换.得

令为可逆线性变换

令为可逆线性交换 所作线性交换为

23.用初等变换法化下列二次型为标准型，并求所作变换.【解】(1)

(2)二次型矩阵为

24.设二次型

(1)用正交变换化二次型为标准型；

(2)设A为上述二次型的矩阵，求A5.【解】(1)二次型的矩阵为

求得A的特征值.对于，求解齐次线性方程组(A?E)x=0，得基础解系为

将正交单位化得 对于，求解方程组(A+2E)x=0, 得基础解系为将单位化得 于是

即为所求的正交变换矩阵，且(2)因为所以 故

25.求正交变换，把二次曲面方程化成标准方程.【解】的矩阵为

(1)当时，其基础解系为

正交化得

单位化得

(2)当时,.其基础解系为.单位化得

正交变换矩阵

为所求正交变换.得

二次曲面方程的标准方程为

26.判断下列二次型的正定性.【解】(1)矩阵为

∴ 二次型为负定二次型.(2)矩阵

∴ 二次型为正定二次型.(3)矩阵为

∴ 为正定二次型.27.t满足什么条件时，下列二次型是正定的.【解】(1)二次型的矩阵为

可知时，二次型为正定二次型.(2)二次型的矩阵为

当t满足时，二次型为正定二次型.28.假设把任意x1≠0，x2≠0，…，xn≠0代入二次型都使f＞0，问f是否必然正定? 【解】错，不一定.当为实二次型时,若≠0，都使得f>0,则f为正定二次型.29.试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的.【证】A,B是正定矩阵，则存在正定二次型 = xTAx

= xTBx 且A′=A，B′=B(A+B)′=(A′+B′)=A+B 有

= xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0 ∴ A+B为正定.30.试证：如果A是n阶可逆矩阵，则A′A是正定矩阵.【证】A可逆(A′A)′= A′²(A′)′= A′A A′A = A′E A

可知A′A与E合同

A′A正定.31.试证：如果A正定，则A′,A－１，A*都是正定矩阵.【证】A正交，可知A′=A 

可逆阵C，使得A=C′EC.(i)A=C′ECA′=(C′EC)′A′=C′E′(C′)′=C′EC ∴ A′与E合同，可知A′为正定矩阵.(ii)(A?1)′=(A′)?1=A?1可知A?1为对称矩阵.由A正交可知，A为点对称矩阵

其特征值设为且有>0(i=1,2,…,n)Axi=xixi=A?1xiA?1xi=xi 可知A?1的特征值为，(i=1,2,…,n)∴ A?1正定.(iii)由A*=|A|²A?1可知

(A′)1=|A|²(A?1)′=|A|²A?1=A* 由(ii)可知A?1为正定矩阵即存在一个正定二次型 = xTA?1x 有>0 ∵ A正交|A|>0 = xTA*x=xT²|A|²A?1x=|A|²(xTA?1x)即有时，xTA?1x>0 ∵ |A|>0,即有 = xTA*x >0 ∴ A*为正定矩阵.习题

六

1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： k²；

(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；

(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法.【解】（1）是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1?8条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则(A+B)′=A′+B′=?A?B=?(A+B),(kA)′=kA′=k(?A)=?(kA), 所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.（2）否.因为(k+l)²,而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.（3）否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）.（4）否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合.2.设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U＝Ｖ.【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V.3.设是n维线性空间Vn的线性无关向量组，证明Vn中存在向量使成为Vn的一个基(对n?r用数学归纳法).【证明】对差n?r作数学归纳法.当n?r=0时，结论显然成立.假定对n?r=k时，结论成立，现在考虑n?r=k+1的情形.因为向量组还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在一个向量不能由线性表出，把添加进去所得向量组 ，必定还是线性无关的，此时n?(r+1)=(n?r)?1=(k+1)?1=k.由归纳法假设, ,可以扩充为整个空间的一个基.根据归纳法原理，结论普遍成立.4.在R４中求向量＝(0,0,0,1)在基＝(1,1,0,1),＝(2,1,3,1), ＝(1,1,0,0), ＝(0,1,－1,－1)下的坐标.【解】设向量在基下的坐标为(),则 即为

解之得()=(1,0,?1,0).5.在R３中，取两个基

＝(1，2，1)，＝(2，3，3)，＝(3，7，1)；

＝(3，1，4)，＝(5，2，1)，＝(1，1，－6)，试求到的过渡矩阵与坐标变换公式.【解】取R３中一个基（通常称之为标准基）=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1).于是有

所以由基到基的过渡矩阵为

坐标变换公式为

其中()与（）为同一向量分别在基与下的坐标.6.在R4中取两个基

(1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；

(2)求向量()在后一个基下的坐标；

(3)求在两个基下有相同坐标的向量.【解】(1)

这里A就是由基到基的过渡矩阵.(2)设,由于()=()A?1,所以

因此向量在基下的坐标为

(3)设向量在这两个基下有相同的坐标,那么

即

也就是

解得,其中为任一非零实数.7.证明3阶对称矩阵的全体S构成线性空间，且S的维数为6.【证明】首先，S是非空的（∵0∈S）,并且A,B∈S,k∈R,有(A+B)′=A′+B′=A+B(kA)′=kA′=kA.这表明S对于矩阵的加法和数量乘法是封闭的.其次，这两种矩阵运算满足线性空间定义中的18条性质.故S是线性空间.不难验证，下列6个对称矩阵.构成S的一个基，故S的维数为6.8.说明平面上变换的几何意义，其中

(1)；

(2)；

(3)；

(4).【解】,T把平面上任一点变到它关于y轴对称的点.,T把平面上任一点变到它在y轴的投影点.,T把平面上任一点变到它关于直线x=y对称的点.,T把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90°后所对应的点.9.设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间［维数为］，给定n阶方阵P，变换

T(A)＝P′AP，A∈Ｖ

称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换.【证明】因为A,B∈V,k∈R,有

T(A+B)=P′(A+B)P=P′AP+P′BP=T(A)+T(B), T(kA)=P′(kA)P=k(P′AP)=kT(A).所以T是线性空间V的一个线性变换.10.函数集合

V3＝｛＝(a2x2+a1x+a0)ex｜a2，a

1,a0∈R｝

对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基

1＝x2ex, 2＝2xex, 3＝3ex，求微分运算D在这个基下的矩阵.【解】

即

因此D在基下的矩阵为.11.2阶对称矩阵的全体

对于矩阵的加法与数乘构成3维线性空间，在Vn中取一个基

(1)在V3中定义合同变换

求在基下的矩阵及T的秩与零度.(2)在V3中定义线性变换

求T在基下的矩阵及T的像空间与T的核.【解】(1)

由此知，T在基下的矩阵为

显然M的秩为3，故这线性变换T的秩为3，零度为0.(2)

即

T()=()M, 其中就是T在基下的矩阵.显然有

所以

T(V3)=L(T(A1))=L(A1+A2+A3).最后求出T?1(0).设A=x1A1+x2A2+x3A3∈T ?1(0),那么T(A)=0，即

也就是()MX=0,它等价于齐次方程组MX=0，解之得基础解系(2,?1,0),(1,0,?1).故T ?1(0)=L(2A1?A2,A1?A3).习题

七

1.求下列矩阵的Smith标准型.【解】(1)对矩阵作初等变换，得

即为所求.(2)对矩阵作初等变换得

即为所求.(3)不难看出，原矩阵的行列式因子为

所以不变因子为

故所求的Smith标准形是(4)对矩阵作初等变换，得

即为所求.2.求下列矩阵的不变因子.【解】(1)显然，原矩阵中左下角的二阶子式为1，所以 D1=1, D2=1, D3=(2)3.故所求的不变因子为 d1=1, d2=1, d3=(2)3.(2)当b≠0时，且在矩阵中右上角的三阶子式

而,所以D3=1.故所求的不变因子为 d1=d2=d3=1, d4= [(+a)2+b2]2.3.证明的不变因子为

d1(λ)=…=dn-1(λ)=1,dn(λ)=λn+a1λn?1+…+an-1λ+an.【证明】由于该矩阵中右上角的n-1阶子式等于非零常数(-1)n-1,所以 D1()=D2()=…=Dn-1()=1.而该矩阵的行列式为

Dn()=n+a1n-1+…+an-1+an, 故所给矩阵的全部不变因子为

d1()=…=dn-1()=1, dn()=n+a1n-1+…+an-1+an.4.证明（a为任一非零实数）相似.【证明】 记

经计算得知，E-A与E-B的行列式因子均为D1=D2=1,D3=(-0)3,所以它们的不变因子也相同，即为d1=d2=1,d3=(-0)3,故A与B相似.5.求下列复矩阵的若当标准型.【解】设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得

于是A的全部初等因子为.故A的若当标准形是

(2)设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得

所以A的全部初等因子为.故A的若当标准形是