第一篇:线性代数习题及解答
线性代数习题一
说明:本卷中,A-1表示方阵A的逆矩阵,r(A)表示矩阵A的秩,||||表示向量的长度,T表示向量的转置,E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
a11a12a133a113a123a131.设行列式a21a22a23=2,则a31a32a33=()
a31a32a33a21a31a22a32a23a33A.-6 B.-3 C.3
D.6 2.设矩阵A,X为同阶方阵,且A可逆,若A(X-E)=E,则矩阵X=()A.E+A-1 B.E-A C.E+A
D.E-A-
13.设矩阵A,B均为可逆方阵,则以下结论正确的是()
A.AA-1B可逆,且其逆为B-1 B.AB不可逆 C.AB-1D.B可逆,且其逆为A-1 AA-1B可逆,且其逆为B-1 4.设1,2,…,k是n维列向量,则1,2,…,k线性无关的充分必要条件是A.向量组1,2,…,k中任意两个向量线性无关
B.存在一组不全为0的数l1,l2,…,lk,使得l11+l22+…+lkk≠0 C.向量组1,2,…,k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D.向量组1,2,…,k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5.已知向量2(1,2,2,1)T,32(1,4,3,0)T,则=()A.(0,-2,-1,1)T B.(-2,0,-1,1)T C.(1,-1,-2,0)T
D.(2,-6,-5,-1)T
6.实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是()A.1
B.2)
(C.3 D.4 7.设是非齐次线性方程组Ax=b的解,是其导出组Ax=0的解,则以下结论正确的是
()
A.+是Ax=0的解 C.-是Ax=b的解 8.设三阶方阵A的特征值分别为A.2,4,C.
B.+是Ax=b的解 D.-是Ax=0的解
11,3,则A-1的特征值为()24B.1 3111, 24311,3 241D.2,4,3 9.设矩阵A=21,则与矩阵A相似的矩阵是()
1A.1123
01B.102
2C.
D.
21
10.以下关于正定矩阵叙述正确的是()A.正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 C.正定矩阵的行列式一定大于零
二、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分。
11.设det(A)=-1,det(B)=2,且A,B为同阶方阵,则det((AB))=__________.
3B.正定矩阵的行列式一定小于零 D.正定矩阵的差一定是正定矩阵
112.设3阶矩阵A=42t23,B为3阶非零矩阵,且AB=0,则t=__________. 1-131k13.设方阵A满足A=E,这里k为正整数,则矩阵A的逆A=__________. 14.实向量空间R的维数是__________.
15.设A是m×n矩阵,r(A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________. 16.非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________. n17.设是齐次线性方程组Ax=0的解,而是非齐次线性方程组Ax=b的解,则A(32)=__________. 18.设方阵A有一个特征值为8,则det(-8E+A)=__________.
19.设P为n阶正交矩阵,x是n维单位长的列向量,则||Px||=__________.
20.二次型f(x1,x2,x3)x15x26x34x1x22x1x32x2x3的正惯性指数是__________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
222121.计算行列式142126142. 114121222.设矩阵A=35,且矩阵B满足ABA=4A+BA,求矩阵B.
-1-1-123.设向量组1(3,1,2,0),2(0,7,1,3),3(1,2,0,1),4(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组,并将其余向量通过极大线性无关组表示出来.
124.设三阶矩阵A=24533,求矩阵A的特征值和特征向量. 4225.求下列齐次线性方程组的通解.
x1x35x40 2x1x23x40xxx2x023412242026.求矩阵A=3010360110110的秩.
1
2四、证明题(本大题共1小题,6分)
a1127.设三阶矩阵A=a21a12a22a32a13a23的行列式不等于0,证明: a33a31a13a11a121a21,2a22,3a23线性无关.
aaa313233
线性代数习题二
说明:在本卷中,A表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E表示单位矩阵。的行列式,r(A)表示矩阵A的秩。
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或T
*
A表示方阵A未选均无分。
1.设3阶方阵A的行列式为2,则
12A()A.-1 B.14 C.14 D.1 x2x1x22.设f(x)2x22x12x2,则方程f(x)0的根的个数为()
3x23x23x5A.0 B.1 C.2
D.3 3.设A为n阶方阵,将A的第1列与第2列交换得到方阵B,若AB,则必有(A.A0 B.AB0
C.A0
D.AB0
4.设A,B是任意的n阶方阵,下列命题中正确的是()A.(AB)2A22ABB2
B.(AB)(AB)A2B2
C.(AE)(AE)(AE)(AE)D.(AB)2A2B2
a1ba1b2a1b35.设A1a2b1aa0,b2b22b3,其中aii0,i1,2,3,则矩阵A的秩为(a3b1a3b2a3b3A.0 B.1 C.2
D.3 6.设6阶方阵A的秩为4,则A的伴随矩阵A*的秩为()A.0
B.2))C.3 D.4 7.设向量α=(1,-2,3)与β=(2,k,6)正交,则数k为()A.-10 C.3
B.-4 D.10 x1x2x348.已知线性方程组x1ax2x33无解,则数a=()2x2ax421A.C.1 2B.0 D.1 1 29.设3阶方阵A的特征多项式为A.-18 C.6
EA(2)(3)2,则A()
B.-6 D.18 10.若3阶实对称矩阵A(aij)是正定矩阵,则A的3个特征值可能为()A.-1,-2,-3 C.-1,2,3
B.-1,-2,3 D.1,2,3
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
3011.设行列式D42,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2253212.设Aaabb,B,则AB__________.aabb1032013.设A是4×3矩阵且r(A)2,B0,则r(AB)__________.10314.向量组(1,2),(2,3)(3,4)的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1,α2,…,αr可由向量组β1,β2,…,βs线性表示,则r与s的关系为__________.x1x2x3016.设方程组x1x2x30有非零解,且数0,则__________.xxx031217.设4元线性方程组Axb的三个解α1,α2,α3,已知1(1,2,3,4)T,23(3,5,7,9)T,r(A)3.则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A的秩为2,且A25A0,则A的全部特征值为__________.2111a019.设矩阵A0有一个特征值2,对应的特征向量为x2,则数a=__________.413220.设实二次型f(x1,x2,x3)xTAx,已知A的特征值为-1,1,2,则该二次型的规范形为__________.三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)21.设矩阵A(,22,33),B求
(,2,3),其中,,2,3均为3维列向量,且A18,B2.AB.111011122X101122.解矩阵方程0.110432123.设向量组α1=(1,1,1,3),α2=(-1,-3,5,1),α3=(3,2,-1,p+2),α4=(3,2,-1,p+2)问p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.T
T
T
T2x1x2x3124.设3元线性方程组x1x2x32, 4x5x5x1231(1)确定当λ取何值时,方程组有惟一解、无解、有无穷多解?
(2)当方程组有无穷多解时,求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).25.已知2阶方阵A的特征值为1(1)求B的特征值;(2)求B的行列式.26.用配方法化二次型性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵,证明
22f(x1,x2,x3)x122x22x34x1x212x2x3为标准形,并写出所作的可逆线
11及2,方阵BA2.3A0.习题一答案
习题二答案
线性代数习题三
说明:在本卷中,A表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A|=()A.-8 B.-2 C.2 D.8
TT
*12.设矩阵A=1,B=(1,1),则AB=()111A.0 B.(1,-1)C. D.111 3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是()A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA
12*-14.设矩阵A的伴随矩阵A=34,则A=()
A.143112112142 B.C.D.3431 342122225.下列矩阵中不是初等矩阵的是()..101001100A.010 B.010 C.030 0001000016.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有()
100 D.010
201A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则()A.α1, α2,β线性无关 B.β不能由α1, α2线性表示
C.β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D.β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一 8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为()A.0 B.1 C.2
D.3 2x1x2x309.设齐次线性方程组x1x2x30有非零解,则为()xxx0231A.-1 B.0 C.1 D.2 10.设二次型f(x)=xAx正定,则下列结论中正确的是()A.对任意n维列向量x,xAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式
TT0112的值为_________.1212.已知A=23,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.1113
313.设矩阵A=,P=,则AP=_________.012414.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|AB|=_________.15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且
-113251,13,则该线性方程组的通解是_________.37491117.已知P是3阶正交矩,向量3,0,则内积(P,P)_________.2218.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.1219.与矩阵A=03相似的对角矩阵为_________.12T
20.设矩阵A=,若二次型f=xAx正定,则实数k的取值范围是_________.2k
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)012021.求行列式D=101221010210的值.01012022.设矩阵A=100,B210,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.001000112223.若向量组11,21,36,40的秩为2,求k的值.13k2k232224.设矩阵A110,b1.1210(1)求A;(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩.(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.2-
1x12y12y2y326.求二次型f(x1,x2,x3)=-4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换x22y12y2y3所得的标准形.x2y3
3四、证明题(本题6分)27.设n阶矩阵A满足A=E,证明A的特征值只能是1.2线性代数习题三答案
第二篇:线性代数题库解答
知识能力层次
一、填空(每题2分)
1.设方程组有非零解,则
。
2.线性方程组有非零解,则 。
3.方程组有无穷多解,则
。
4.非齐次线性方程组(为矩阵)有惟一解的的充分必要条件是
____________。
5.设是阶方阵,是齐次线性方程组的两个不同的解向量,
则
。
6.设为三阶方阵,秩,是线性方程组的解,已知
,则线性方程组的通解为
。
7.三元线性方程组的系数矩阵的秩,已知该方程组的两个解分别
为
,,则的全部解可表为
。
8.设,欲使线性齐次方程组的基础解系有两个解向量,
则=
。
9.当
时,线性方程组无解。
10.方程组=的基础解系所含向量个数是___
_1______。
11.若5元线性方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量,
则
3
。
12.设线性方程组有解,则应满足条件。
13.设齐次线性方程组为,则它的基础解系中所包含的向量个数为
n-1 。
14.设是非齐次线性方程组的解向量,则是方程组 的
解向量.
15.设为非齐次线性方程组的一组解,如果也是该方程组的一个解,则 1 。
16.设矩阵,则齐次线性方程组的一个基础解系为。
17.若方程组有惟一解,则所满足的条件是。
18.设n元齐次线性方程组的一个基础解系中线性无关的解向量个数是n,则为
零矩阵
。
19.设是阶矩阵,如果,则任何 n个线性无关的n维向量 都是
的基础解系。
20.设n阶矩阵的各行元素之和均为零,且的秩为n-1,则线性方程组的通解为
。
二、单项选择填空题(每题2分)
1.线性方程组
(
A
)
A.
无解
B.
只有0解
C.
有惟一解
D.
有无穷多解
2.设方程组,
当=(
B
)时,方程组有非零解。
A.0
B.
±1
C.
2
D.
任意实数
3.已知非齐次线性方程组的系数行列式为0,则
(
D
)
A.方程组有无穷多解
B.
方程组无解
C.
方程组有惟一解或无穷多解
D.
方程组可能无解,也可能有无穷多解
4.
若齐次线性方程组有非零解,则的值为(
C )
A.
B.
C.
D.
5.当(
C
)时,仅有零解。
A.
B.
C.
D.
6.设为矩阵,只有零解的充要条件是 (
D
)
A.的行向量组线性无关
B.的行向量组线性相关
C.的列向量组线性相关
D.的列向量组线性无关
7.设A为m×n矩阵,且非齐次线性方程组有惟一解,则必有( C )
A.m=n B.r
(A)=
m C.r
(A)=n
D.r
(A)<
n
8.若方程组存在基础解系,则λ等于 ( D )
A.2 B.3 C.4
D.5
9.
设矩阵,,则非齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条件是
(
B
)
A.
B.
C.
D.
10.若,则元线性方程组 (
D
)
A.有无穷多解
B.有唯一解
C.无解
D.不一定
11.
设齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组,,是
的解,则下列正确的是
(
A
)
A.是的解
B.是的解
C.是的解
D.是的解
12.设为矩阵,只有零解的充要条件是 (
D
)
A.的行向量组线性无关
B.的行向量组线性相关
C.的列向量组线性相关
D.的列向量组线性无关
13.设齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组,
,是的解,则下列正确的是 (
A
)
A.是的解
B.是的解
C.是的解
D.是的解
14.已知非齐次线性方程组的系数行列式为0,则
(
D
)
A.方程组有无穷多解
B.
方程组无解
C.方程组有唯一解或无穷多解
D.方程组可能无解,也可能有无穷多解
15.是n元线性方程组有惟一解的 ( C )
A.充分必要条件
B.充分条件
C.必要条件
D.无关条件
16.已知线性方程组无解,则 ( A )
A.
B.
C.
D.
17.为矩阵,是非齐次线性方程组的导出组,则下列结论正确
的是 (
A
)
A.有无穷多解,则有非零解
B.有无穷多解,则仅有零解
C.仅有零解,则有唯一解
D.有非零解,则有无穷多解
18.设为矩阵,有解,则 ( B )
A.当有惟一解时,
B.当有惟一解时,
C.当有无穷解时,只有零解
D.当有无穷解时,
19.线性方程组
有解的充分必要条件是 ( A )
A.
B.
C.
D.
20.齐次线性方程组,(
C
)是它的一个基础解系。
A.
B.
C.
D.
三、判断题(每题2分)
1.若是的解,则也是它的解。
(
是
)
2.若是齐次线性方程组的解向量的一个极大无关组,则
是方程组的一个基础解系。
(
是
)
3.若齐次线性方程组有非零解,则线性方程组就一定有解。(
否
)
4.若有无穷多组解,则有非零解。
(
是
)
5.n线性非齐次方程组只要其系数矩阵的A秩,就一定有无穷多组解。
(
否
)
6.齐次线性方程组的基础解系不是惟一的。
7.是方程组的一个基础解系。(
是
)
8.方程组的每个基础解系中只含有一个解向量。
(
是
)
9.线性方程组在时,是有解的。
(
是
)
10.任何齐次线性方程组都有基础解系。
(
否
)
11.是方程组的一般解。
(
是
)
12.方程组的一般解可表示为。
(
否
)
13.时,方程组有解。
(
否
)
14.与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。
(
是
)
15.若是一个线性方程组的解,那么
(其中)也是它的一个解。
(
是
)
16.方程组有非零解。
(
否
)
17.方程组与方程组是同解的方程组。
(
是
)
18.用初等变换解,可以对实行列等行变换。
(
否
)
19.若是的解,是的解,则是的解。
(
否
)
20.给定方程组,当时,方程组有解。
(
否
)
理解能力层次
一、填空(每题2分)
1.已知方程组有无穷多解,则
-1
或3
。
2.设是的解向量,是其导出组的基础解系,则必线性 无关 。
3.
设四阶方阵且,则方程组的
一个解向量为
。
4.
设方程组有解,则其增广矩阵的行列式=
0
。
5.设,且方程组的解空间的维数为2,则 1 。
6.设为n阶方阵,方程组有非零解,则必有一个特征值等于
0
。
7.设,B是三阶矩阵,且,若,则
4
。
8.设为矩阵,,为是矩阵,的列向量是的解,则的最大数为 3 。
9.若齐次线性方程组中的系数矩阵的秩,且的代数余子式,则该方程组的通解可以表示为。
10.已知四元非齐次线性方程组,是它的三个解向量,且
,则齐次线性方程组的通解为
_____________。
11.齐次线性方程组有非零解,则应满足条件。
12.已知四元线性方程组的三个解为,且
,,则方程组的通解是
。
13.已知线性方程组的两个解为
则该方程组的全部解为
。
14.设齐次线性方程组的基础解系中含有三个解向量,其中矩阵,则
2
。
15.设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3,且,
,其中是它的的三个解向量,则方程组的通解为
。
16.设,,则齐次线性方程组的解空间的一组基为
。
17.已知是非齐次线性方程组线性无关的解,矩阵,且,若是方程组的通解,则常数须满足关系式
。
18.设是实正交矩阵,且,则线性方程组的解是
。
19.设矩阵,其中
则线性方程组的基础解系含有解向量的个数是
n-1
。
20.设为阶方阵,若齐次线性方程组只有零解,则的解是
只有零解
。
21.设任意一个维向量都是方程组的解,则
0
。
22.设非齐次线性方程组有两个解,,则该方程组的通解为
。
23.已知齐次线性方程组有无穷多解,则
-5或-6
。24.若线性方程组
无解,则常数应满足的条件是 .
25.3元非齐次线性方程组有3个解为,,,则系数矩阵=
。
26.若向量,都是线性方程组的解,则系数矩阵
=
。
27.方程组有解的充分必要条件为
。
28.设元非齐次线性方程组有解,其中为阶矩阵,则
0
。
29.
已知为阶方阵,是的列向量组,行列式,其伴随矩阵,则齐次线性方程组的通解为
是的极大线性无关组
。
30.
设,,,
其中,则线性方程组的解是。
二、单项选择填空题(每题2分)
1.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
(
C
)
A.的任意两个列向量线性相关
B.的任意两个列向量线性无关
C.中必有一列向量是其余列向量的线性组合
D.中任一列向量是其余列向量的线性组合
2.设矩阵,且,则线性方程组
(
D
)
A.可能无解;
B.一定无解;
C.可能有解;
D.一定有解
3.当
=( A )时,方程组无解
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
4.为矩阵,秩(A)
=,下列结论正确的是 ( B )
A.齐次线性方程组仅有零解
B.非齐次线性方程组有无穷多解
C.中任一个阶子式均不等于零
D.中任意个列向量必线性无关。
5.是个m方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解的 ( B )
A.充分必要条件
B.充分条件
C.必要条件
D.无关条件
6.设为矩阵,则齐次线性方程组有结论 ( C )
A.时,方程组仅有零解
B.时,方程组有非零解,且基础解系含个线性无关的解向量
C.若有n阶子式不为零,则方程组仅有零解
D.若中所有n
-
1阶子式不为零,则方程组仅有零解
7.n元线性方程组有惟一解的充分必要条件是 ( D )
A.导出组仅有零解
B.为方阵,且时,
C.
D.的列向量线性无关,且可由的列向量线性表示
8.设为矩阵,,则方程组
(
A
)
A.
当时,有解
B.
当时,有惟一解
C.
当时,有惟一解
D.
当时,有无穷多个解
9.设为矩阵,且,若的行向量组线性无关,则
(
A
)
A、方程组有无穷多解
B、方程组有唯一解
C、方程组无解
D、方程组仅有零解
10.
设矩阵,且,则线性方程组
(
D
)
A.可能无解;
B.一定无解;
C.可能有解;
D.一定有解
11.若线性方程组有惟一解,则的值为 (
D
)
A.
B.
C.
D.异于与的数
12.设是四元非齐次线性方程组的三个解向量,且,,(C为任常数),则线性方程组的通
解是
(
C
)
A.
B.
C.
D.
13.设矩阵,齐次线性方程组的系数行列式,而中的元素的代数余子式,则这个方程组的每个基础解系中解向量的个数都是
(
A
)
A.
B.
C.
D.
14.设向量组中是齐次线性方程组的一个基础解系,则向量组
(
D
)
也是的一个基础解系
A.
B.
C.
D.
15.设为矩阵,
,是非齐次方程组的三个不同的解,则正确的结论是
(
D
)
A.
线性相关
B.
是的基础解系
C.
的任何线性组合是的解
D.
当线性无关时,则是的通解,,其中是满足的任何数
16.要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵A为
(
B
)
A.
B.
C.
D.
17.设为矩阵,若有解,是其两个特解,的基础解系是,则
(
B
)
A.
的通解是
B.
的通解是
C.
的通解是
D.
的通解是
上述四项中均为任意常数
18.已知是齐次方程的基础解系,那么基础解系也可以是 (
B
)
A.
B.
C.
D.
19.齐次线性方程组
的系数矩阵记为,若存在三阶矩阵,使得,则
(
C
)
A.
B.
C.
D.
20.已知,,,
,则齐次线性方程组
的通解为
(
B
)
A.
B.
C.
D.
三、判断题(每题2分)
1.齐次线性方程组只有零解,则应满足的条件是。(
否
)
2.若非齐次线性方程组系数矩阵的秩小于n,则方程组有无穷多解。(
否
)
3.设为n阶方阵,且,是的两个不同的解向量,则的通解为。 (
否
)
4.设齐次线性方程组的系数行列式,而中的元素的代数余子式
,则这个方程组的每个基础解系中解向量的个数都是1。
(
是
)
5.设为矩阵,若非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,则时,
方程组有解。
(
是
)
6.设A,B都是n阶非零矩阵,且,则的秩都小于n。
(
是
)
7.设A为n阶奇导方阵,A中有一个元素的代数余子式,则齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为n
。 (
否
)
8.设为矩阵,只有零解的充要条件是的行向量组线性无关。
(
否
)
9.设为矩阵,只有零解的充要条件是的列向量组线性无关。
(
是
)
10.设为阶方阵,,且是的三个线性无关的解向量,则是的一个基础解系。 (
是
)
11.设为线性无关的n维列向量,,则非齐次线性方程组有惟一解。 (
是
)
12.设是的基础解系,则为的通解。
(
否
)
13.已知为非齐次线性方程组的两个不同的解,为对应的齐次方程组的基础解系,则(其中)是
的通解。 (
是
)
14.设4阶方阵的秩是3,且每行元素的和为零,则方程组的基础解系为
。 (
是
)
15.设为的基础解系,为一n维列向量,若,则可由线性表示。 (
是
)
16.给定方程组,则对任意的,方程组均有解,且有无穷多解。 (
是
)
17.设为矩阵,为维列向量,则当方程组有解时,加入一个方程
后方程组也有解。 (
否
)
18.设为矩阵,为维列向量,则当方程组无解时,加入一个方程
后方程组也无解。 (
是
)
19.设线性方程组,当时,方程组仅有零解。
(
否
)
20.设为矩阵,非齐次线性方程组系数矩阵的秩,则方程组有解。 (
是
)
简单应用能力层次
一、计算题(每题5分)
1.求线性方程组
的一般解.
解:
因为系数矩阵
……3分
所以一般解为:,
其中,是自由未知量。
…….……5分
2.求线性方程组的一般解。
解:因为增广矩阵
…………3分
所以一般解为:
(其中是自由未知量)。
…………5分
3.当取何值时,线性方程组有非零解?并求一般解.
解:
因为增广矩阵
………3分
所以当=
-2时,线性方程组有无穷多解,且一般解为:
是自由未知量)
…………5
4.当取何值时,线性方程组
有解?并求一般解.
解:因为增广矩阵
……3分
当=3时,线性方程组有无穷多解,且一般解为:
是自由未知量)。
…………5分
5.求线性方程组的一般解。
解:
因为系数矩阵
……3分
所以一般解为
(其中,是自由未知量)。
.......................……5分
6.设齐次线性方程组
问取何值时方程组有非零解,并求一般解.
解:因为系数矩阵
A
=
……3分
所以当l
=
5时,方程组有非零解.
且一般解为:
(其中是自由未知量)。
.......................……5分
7.设线性方程组
,求其系数矩阵和增广矩阵的秩,并判断其解的情况.
解
因为
.......................……3分
所以
r(A)
=
2,r()
=
3.
又因为r(A)
<
r(),所以方程组无解。
.......................……5分
8.求下列线性方程组的一般解。
解:因为增广矩阵
.......................……3分
所以一般解为:
(其中是自由未知量)
.......................……5分
9.设线性方程组讨论当a,b为何值时,方程组无解,有惟一解,有无穷多解。
.......................……3分
所以当且时,方程组无解;
当时,方程组有唯一解;
当且时,方程组有无穷多解。.
......................……5分
10.当取何值时,线性方程组
有解?并求一般解.
解:因为增广矩阵
................…3分
所以当=0时,线性方程组有无穷多解,且一般解为:
是自由未知量〕。
......................……5分
11.已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为
问取何值时,方程组有解?当方程组有解时,求方程组的一般解。
解:当=3时,,方程组有解.
当=3时,..............…3分
一般解为,
其中,
为自由未知量。
.....................……5分
12.当为何值时,方程组有解,并求其通解。
解:
..............…3分
当,同解方程组为令,
令
....................……5分
13.
设线性方程组为,问:、取何值时,方程组无解、
有惟一解、有无穷多解?
在有无穷多解时求出其通解。
解:
..............…2分
当时,方程组有惟一解
当,时,方程组无解
当,时,==2<3,方程组有无穷多组解,
其通解为,为任意常数。
....................……5分
14.线性方程组为
,问,各取何值时,线性方程组无解,有唯一解,有无穷多解?在有无穷多解时求出其通解。
解:
..............…3分
当2时,方程组有唯一解
当2,1时,方程组无解
当2,1时,=2<3,方程组有无穷多组解,其通解为
(为任意常数)。
....................……5分
15.已知是齐次线性方程组的一个解,试求方程组的一个包含的基础解系。
解:,,..............…2分
令,得方程组的两个解为:,,
从而所求基础解系即为和。
..............…5分
16.求解线性方程组。
解
:将增广矩阵化成阶梯形矩阵,即
, ..............…3分
因为
,r(`A)
=
r(A)
=
3,所以,方程组有解.
一般解为:
(x4是自由未知量)。
..............…5分
17.设线性方程组
试问c为何值时,方程组有解?若方程组有解时,求一般解。
解:因为
..............…2分
所以当c
=
0时,方程组有解.且
..............…3分
所以,原方程组的一般解为:
(x3是自由未知量)。
..............…5分
18.试讨论a取什么值时,线性方程组有解,并求出解。
解:
..............…3分
当时,方程组有解,解为
..............…5分
19.试讨论a取什么值时,线性方程组有解,并求出解。
..............…3分
当时,方程组有解,解为
..............…5分
20.设为4阶矩阵,且,试问的基础解系所含解向量的个数。
解:,,又因为4阶矩阵,故中至少有一个3阶子式不为0,则中至少有一个非零元素,则,
..............…2分
又,所以,
..............…4分
从而有,故的基础解系所含解向量的个数为4-1=3个。..............…5分
二、证明题(每题5分)
1.
设是的一个基础解系,证明:也是
的一个基础解系。
证明:是的一个基础解系,都是的解,且线性无关,从而都是的解,…………….2分
设
即
由线性无关,得,,
仅有零解,
从而线性无关,
也是的一个基础解系。…………….5分
2.证明方程组有解的充要条件是。
证明:……3分
方程组有解,即,即…………5分
3.设n阶矩阵可逆,
证明:线性方程组
无解。
证明:线性方程组的系数矩阵为,因为矩阵,所以,
…………….2分
又因为该方程组的增广矩阵为,而是可逆的,,
…………….4分
从而系数矩阵的秩<增广矩阵的秩,所以非齐次线性方程组无解。………….5分
4.设实数域上的线性方程组,证明:
(1)如果,则方程组有惟一解;
(2)如果则方程组无解;
(3)如果则方程组有无穷多解。
证明:(1)令,,
因为,,从而方程组有惟一解,由克莱姆法则得其解为:
;
(2),从而方程组无解;
(3),从而方程组有无穷多解。………….5分
5.
证明:含有n个未知量n+1个方程的线性方程组
若有解,则行列式
证明:易知方程组的系数矩阵为矩阵,所以,又因为该非齐次线性方程组有解,所以必须满足关系式:增广矩阵的秩,而增广矩阵为阶方阵,且,。
………….5分
6.设是矩阵,是矩阵,证明线性方程组,当时,必有非零解。
证明:是矩阵,是矩阵,且
,,
,由,得,
而是,所以当时,必有非零解。
……………….5分
7.已知行列式,证明方程组无解。
证明:由题设知方程组的增广矩阵的秩,
……………….2分
而系数矩阵是矩阵,,
……………….4分
故,方程组无解。
……………….5分
8.设是阶矩阵,若存在正整数,使线性方程组有解向量,
且,证明:向量组是线性无关的。
证明:设有常数,使得,
上式左乘,,得,………….3分
以此类推,分别左第乘,得,
故向量组线性无关。
……………….5分
9.设是矩阵,,且有惟一解,证明:为可逆矩阵,且的解为。
证明:有惟一解,仅有零解,故,
即为可逆矩阵,
……………….3分
于是由,得,所以。
……………….5分
10.设是矩阵,且,若满足,证明:。
证明:设,其中为维列向量,,
,故线性无关,
由于,即=,
……………….3分
所以,由于线性无关,
故,所以。
……………….5分
综合应用能力层次
一、计算题(每题8分)
1.设线性方程组,
讨论当为何值时,方程组无解?有惟一解?有无穷多解?(不必求解)
解:……5分
当时,方程组无解;
当时,方程组有惟一解;
当时,方程组有无穷多解
………….……8分
2.设线性方程组,
讨论当为何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?(不必求解)
解:……5分
当时,方程组无解;
当时,方程组有惟一解;
当时,方程组有无穷多解
………….……8分
3.设线性方程组,
讨论当为何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?(不必求解)
解:因为对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换得:
所以,当时,,方程组有唯一解。……………..5分
而当时,由上面的结果可知:
所以,当且时,,方程组无解;
当且时,,方程组有无穷多解。……….8分
4.
设线性方程组,
讨论当为何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?(不必求解)
解:对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换得:
,
…………………
5分
当时,因为,所以方程组有唯一解;
当且时,因为,所以方程组无解;
当且时,因为,所以方程组有无穷多解。…….8分
5.
当,为何值时,线性方程组
有唯一解、无解、有无穷多解?(不必求出解)
解:对方程组系数的增广矩阵施行初等行变换:
…….5分
由阶梯形矩阵可见:
(1)当时,,故此时方程组有唯一解;
(2)当且时,,,故此时方程组无解;
(3)当且时,,故此时方程组有无穷多解.…….8分
6当为何值时,线性方程组
有唯一解、无解、有无穷多解?在有解时,求出方程的通解。
解:
设方程组的增广矩阵为,对进行初等变换
=
…….…….4分
当a=-3时,
方程组无解。
当a-3且a2时,
方程组有唯一解。最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为
,
则方程组的解为。
…….…….6分
当a=2时,
方程组有无穷多个解。此时梯形矩阵对应的梯形方程组为
则方程组的解为 (c为任意常数)。 …….…….8分
7.
求线性方程组的全部解(用其导出组的基础解系表示).解:
….……5分
全部解为:…8分
8.
的全部解(用其导出组的基础解系表示)。
解:5分
全部解为:
………8分
9.求线性方程组的全部解(用其导出组的基础解系表示)。
解:对线性方程组的增广矩阵进行行初等变换得:
,
…………………………5分
令自由未知量,,得方程组的一个特解:,
令分别取:,,得到导出组的基础解系为:
;
所以,方程组的全部解为:
(其中、为任意常数)。……8分
10.
求线性方程组的全部解(用其导出组的基础解系表示)。
解:对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换得:
,…………..5分
令自由未知量,,,得到一个特解
,
再取分别为,得到导出组的基础解系:
,
所以方程组的全部解为
,(为任意常数)….8分
11.
用基础解系表示线性方程组的全部解。
解:设方程组的系数矩阵为,对其增广矩阵作初等变换,得:
………………..
5分
原方程组同解于,取得方程组一个特解。
导出组的系数矩阵可化为,
导出组与方程组同解,
取,得基础解系:。
故原方程组的全部解为:,(为任意系数)……..8分12.已知方程组(Ⅰ)
的解都是方程组
(Ⅱ)
的解,试确定。
解:=,
于是得方程组(Ⅰ)的全部解:
,…………..3分
将代入(Ⅱ)的导出组得,
将代入(Ⅱ)得,
解此四式得。
…………..8分
13.已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解,
(1)证明此方程组的系数矩阵的秩为2.
(2)求的值和方程组的通解.
解:(1)
设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是的两个线性无关的解.于是的基础解系中解的个数不少于2,即,从而,
又因为的行向量是两两线性无关的,所以,
两个不等式说明.
(2)对方程组的增广矩阵作初等行变换:
…………..3分
由,得出,代入后继续作初等行变换:
…………..5分
得同解方程组,
得到方程组的通解:
(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,
c1,c2为任常数.
…………..8分
14.设,.讨论为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?
并在有无穷多解时,求出其通解.
解:经计算
因此方程组有唯一解
…..……..2分
时,对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
因
,即时无解。
…..……..5分
时,同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
因,所以时有无穷多解。等价方程组为:
得通解为:,(为任意系数)
…..……..8分
15.已知线性方程组
,试讨论:
(1)取何值时,方程组无解;
(2)取何值时,方程有唯一解,并求出其解;
(3)取何值时,方程有无穷多解,并求出其通解。
解:
(1)时,
,无解;
…..……..2分
(2)时,,唯一解
.……..5分
(3)时,,无穷多解,
通解。
…..……..8分
16.已知4阶方阵均为4维列向量,其中线性无关,如果,求方程组的通解。
解:令,则由
得,
将代入上式,整理后得,
由线性无关,知,
…..……..5分
解此方程组得,其中k为任意常数。
…..……..8分17.已知线性方程组解:,讨论取何值时,方程无解;有惟一解;有无穷多解(不必求解)。
解:
…..……..4分
由于方程有解0,1,
故得时有惟一解;
时有无穷多解;
时无解。
…..……..8分
18.设线性方程组为:,试讨论下列问题:
(1)当取什么值时,线性方程组有唯一解?
(2)当取什么值时,线性方程组无解?
(3)当取什么值时,线性方程组有无穷多解?并在有无穷多解时求其解.(要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解)。
解
:线性方程组的系数行列式为
…..……..2
(1)当,即且时,线性方程组有唯一解;
…..……..4分
(2)当时,,线性方程组无解;….…..
6分
(3)当时
线性方程组有无穷多解,且其通解为。
…..……..8分
19.设线性方程组,已知是该方程组的一个解,求方程组的全部解。
解:将代入方程组中得,
…..……..2分
…..……..4分
当时,方程组有无穷多解,此时
,
方程组的全部解为:(c为任常数),
…..……..6分
当时,,于是,故方程组有无穷多解,
全部解为:。
…..……..8分
20.求一齐次线性方程组,使,构成它的一个基础解系。
解:显然,所求的方程组是一个5元线性方程组,且,
另一方面,由,得,其中,因此的每一列亦即的每一行,都是方程组的解,且该方程组的一个基础解系所含解向量的个数为,故只要求方程组的一个基础解系,则以为系数矩阵的方程组即满足要求,为此对矩阵施行初等行变换,得
,
…..…….
4分
由此得方程组的一个基础解系:,
…..…….
6分
故所求的线性方程组为,即。
…..…….
8分
二、证明题(每题8分)
1.已知三阶矩阵且的每一个列向量都是方程组的解,
求
(1)的值;(2)证明。
(1)解:由得中至少有一非零列向量,
的每一个列向量都是方程组的解,所给齐次方程组有非零解,则它的行列式
,。
………………..
4分
(2)证明:(反证法)若设,则可逆,因此由题意
与矛盾,所以。
………………..
8分
2.已知方程组,若互不相等,证明方程组无解。
证明:由于增广矩阵的行列式是范德蒙行列式,且互不相等,
故,
……....…4分
则,而系数矩阵为矩阵,,,方程组无解…8分
3.设有两个n元齐次线性方程组,。证明:
(1)若的解都是的解,则;
(2)若与同解,则。
证明:(1)由条件知的解空间是的解空间的子空间,因此的解空间的维数不大于的解空间的维数,即,于是;
…………….4分
(2)由条件知的解空间与的解空间是同一空间,因而该空间的维数为
,由此即得。
…………….8分
4.已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解,
(1)证明方程组系数矩阵的秩;
(2)求的值及方程组的通解。
解:(1)设是非齐次方程组三个线性无关的解,
令,则是其导出组的两个解
设即
因线性无关,所以必有,
即由此得线性无关,
因为导出组至少有两个线性无关的解,所以其基础解系至少包含两个解,故,由此得;
另一方面,导出组的系数矩阵
存在2阶不等于零的子式,
所以,,综上所述,即得。
…………….4分
(2)因非齐次方程组有解,故其增广矩阵与系数矩阵的秩相等,
由(1)得,故增广矩阵
的秩也为2,
用初等行变换把上述矩阵化为阶梯形
由此得 ,即
利用上述阶梯形矩阵,可得同解方程组
即
由此得通解为
:,其中为自由未知数。
…………….8分
5.设方程组(1)
及方程组(2),
其中,证明:方程组(1)有惟一解的充要条件是方程组(2)有惟一解。
证明:记方程组(1)和方程组(2)的系数矩阵分别为,并令,
则有,即有,于是,若方程组(1)有惟一解,则,即,从而,所以方程组(2)有惟一解。 …………….4分
反之若方程组(2)有惟一解,则,即可逆,所以,若,则,从而由的定义知,因此,矛盾,故,所以方程组(1)有惟一解。
…………….8分
发展应用能力层次
一、计算题(每题10分)
1.设有两个四元齐次方程组(Ⅰ);
(Ⅱ)
,
(1)线性方程组(Ⅰ)的基础解系;
(2)求方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解。
解:(1).方程组(Ⅰ)的系数矩阵,
则得(Ⅰ)的基础解系为:和;..............…3分
(2).由(1)的结果,方程组(Ⅰ)的一般解为:,
若两个方程组有公共解,将上式代入方程组(Ⅱ)中,必有,得,
所以(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解为:
。 ..............…10分
2.已知非齐次线性方程组,
;
(1)
求解方程组,用其导出组的基础解系表示通解;
(2)
同解,求的值。
解:(1)设组(I)的系数矩阵为,增广矩阵为,对作初等行变换,得:
,
因,故(I)有无穷多解,
且通解为,为任意常数。…………….5分
(2)将通解代入组(II)第一个方程,得到:
,即,
由得任意性,得。
将通解代入组(II)第二、三个方程,分别得到。
因此,。
…….…………10分
3.设非齐次线性方程组有3个解向量,,求此线性方程组的系数矩阵的秩,并求其通解。其中为常数。
解:设所给方程为,由题设可知是的3个解,因此
,是的两个线性无关的解,故,
又中有2阶子式,因此,
所以,
…………….5分
由于,所以,是的基础解系,因此可得线性方程组
的通解为:
(其中为任意常数)。
…….…………10分
4.设四元线性齐次方程组,又已知某线性齐次方程组的通解为
,
(1)求线性方程组的基础解系;
(2)问线性方程组,是否有非零的公共解?若有,则求出所有的非零公共解,若没有,则加以证明。
解:(1)的系数矩阵为
通解为。
…….…………4分
(2)将的通解代入中,则有,得,当时,则向量满足方程组,,
故方程组,有非零的公共解,所有非零公共解是。
…….…………10分
5.
已知齐次线性方程组
其中
试讨论和b满足何种关系时,
(1)
方程组仅有零解;
(2)
方程组有非零解.
在有非零解时,求此方程组的一个基础解系。
解:
方程组的系数行列式
=,
…….…………4分
(1)当时且时,r
(A)=
n,方程组仅有零解;
…….…………6分
(2)当b=0
时,原方程组的同解方程组为:,
由可知,不全为零.
不妨设,
得原方程组的一个基础解系为
,,,
当时,有,原方程组的系数矩阵可化为
由此得原方程组的同解方程组为:,,
.
原方程组的一个基础解系为:。
…….…………10分
6.设,
,
,
,
试讨论当为何值时,
(1)不能由线性表示;
(2)可由唯一地线性表示,
并求出表示式;
(3)可由线性表示,
但表示式不唯一,
并求出表示式。
解:设有数使得
(*)
记.
对矩阵施以初等行变换,
有
…….…………2分
(1)当时,
有
.
可知,故方程组(*)无解,
不能由线性表示;
…….…………4分
(2)当,
且时,
有
,方程组(*)有唯一解:,
,
.
此时可由唯一地线性表示,
其表示式为:;……………7分
(3)当时,
对矩阵施以初等行变换,
有
,
,方程组(*)有无穷多解,其全部解为:
,
,
,
其中为任意常数.
可由线性表示,
但表示式不唯一, 其表示式为:
。
…….…………10分
7.设有齐次线性方程组
试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解
解:方程组的系数行列式为
当,即或时,方程组有非零解
…….…………4分
当时,
故方程组的同解方程组为:
由此得基础解系为,
于是方程组的通解为:,其中为任意常数
.…7分
当时,
故方程组的同解方程组为:
,由此得基础解系为
于是方程组的通解为:,其中k为任意常数。
…….…………10分
8.已知3阶矩阵的第一行是不全为零,矩阵B=(k为常数),且,求线性方程组的通解
解:(1)如果,则,由知,因此,
所以的通解是:,其中为任常数;
…….……5分
(2)如果k
=9,则,那么,或2
若,则的通解是,其中t为任常数,
若,对,设,
则方程组的通解是,其中为任常数。
…….…………10分
9.已知线性方程组
(Ⅰ)
的一个基础解系为,,,,试写出线性方程组(Ⅱ)的通解。
解:方程组(Ⅰ),(Ⅱ)的系数矩阵分别记为,则由题设可知,于是,可见的n个行向量的转置向量为(Ⅱ)的n个解向量,
由于的秩为n,故(Ⅱ)的解空间维数为,…….…………5分
又的秩为2n与(Ⅰ)的解空间维数之差,即为n,故的n个行向量线性无关,从而它们的转置向量构成(Ⅱ)的一个基础解系,于是得到(Ⅱ)的通解:
,
其中为任意常数。
…….…………10分
10.求以为解向量的齐次线性方程组。
解:因为,
所以的一个极大无关组是,
…….…………3分
作矩阵,
易得线性的基础解系由决定,
取自由未知量得一基础解系为,6分
于是所求方程组的系数矩阵为,
所求的齐次线性方程组为。
…….…………10分
二、证明题(每题10分)
1.已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为。
证明:必要性:
设三条直线交于一点,则线性方程组
有惟一解,故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2,
于是,由于
但根据题设,故;
………….5分
充分性:
由,则从必要性的证明可知,,故秩()<
3
由于
故秩(A)=2,于是,秩(A)=
秩()=2,
因此方程组(*)有惟一解,即三直线交于一点。
………….10分
2.设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的基础解系,证明:线性无关。
证明:(反证法)假设线性相关,则必存在一组不全为零的数,使,
即有,
设,则,否则由上式知线性相关,因而与基础解系矛盾。所以, ………….5分
于是有,从而与是非齐次线性方程组的一个解矛盾,因此所给向量组是线性无关的。 ………….10分
3.设是齐次线性方程组的基础解系,向量满足,证明:向量组线性无关。
证明:设数,使,
即
…………….3分
假设,则可由线性表示,
即是方程的解,与题设矛盾,
因此,,
…………….7分
然后由线性无关,得,
所以向量组线性无关。
…………….10分
4.设为实矩阵,是维实列向量,证明:
(1)秩;
(2)非齐次线性方程组有解。
证明:(1)先证与是同解方程组,
因为若是的解,即,则,
所以的解都是的解,
当是的解时,即,由,
可知,故的解都是的解,
因此与是同解方程组,
由此,可知它们的基础解系含个解,故秩;….5分
(2)由可知
,
因此,故非齐次线性方程组有解。…………….10分
5.证明:方程组(其中均为整数)只有零解。
证明:方程组的系数行列式为,
若令,则由于均为整数,得也均为整数
为整数,,所以方程组有惟一解,即只有零解。 …………….10分
第三篇:高等数学(二)第一分册线性代数P23习题解答
P.23 §1.1 习题解答
1、求下列行列式中元素a12,a31,a33的余子式及代数余子式:
210311001751(ⅱ)(ⅰ)4
111解:M42121A2424212(1)11111
M103112
A1)31101031(1212
M213341
A(1)3321213341412、用定义计算行列式:
123(ⅰ)31
2231123解:31212232331 231312123522118
23310012115 解:M12231
01211 A12231
012107
M31015 012107
A31015 012317
M33105 002317
A33105 002112(ⅱ)031 224112解:031 2231010242422320
1210210300130011212212110002100211210021110000 1(ⅲ)1100
11解:11001201301012012(21)2132(1)32610 10***30***405132(ⅳ)40510012
10解:405100120120022001108246
3、用定义计算下列行列式,再按第二列或第三列展开,比较所得到的值是否相同
12321312503211403(ⅰ)01
2(ⅱ)11
1(ⅲ)
011100101223(1)10 解:(ⅰ)0121112111211
(ⅱ)11111001213123411
12540(ⅲ)***1411(31113420132011)
(34462)14
4、用定义计算下列行列式
132281(ⅰ)396
(ⅱ)057 1175001aa2a31aa2(ⅲ)bb2b3
(ⅳ)1bb2
cc2c31cc2132解:(ⅰ)3969633211328787001175757596281
(ⅱ)05725710 00101aa2a33
(ⅲ)bb2b3ab2ba32a3c2c3c2c3ba2c2c3cab2b3
c
a(b2c3c2b3)b(a2c3a3c2)c(a2b3a3b2)
abc(ab)(bc)(ca)
1aa22
(ⅳ)1bb2bba2aa2cc2acc2bb2
1cc2
(bc2b2c)(ac2a2c)(ab2a2b)
(ab)(bc)(ca)
第四篇:线性代数习题答案
习题 三(A类)
1.设α1=(1,1,0),α2=(0,1,1),α3=(3,4,0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解:α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)
2.设3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α),其中α1=(2,5,1,3),α2=(10,1,5,10),α=(4,1,-1,1).求α.解:由3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α)整理得:α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)
=(1,2,3,4)3.(1)×
(2)×
(3)√
(4)×
(5)×
4.判别下列向量组的线性相关性.(1)α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2),α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解:(1)线性无关;(2)线性相关;(3)线性无关;(4)线性相关.5.设α1,α2,α3线性无关,证明:α1,α1+α2,α1+α2+α3也线性无关.证明:设
k11k2(12)k3(123)0,即
(k1k2k3)1(k2k3)2k330.由1,2,3线性无关,有
k1k2k30, k2k30,k0.3所以k1k2k30,即1,12,123线性无关.6.问a为何值时,向量组
1(1,2,3),2(3,1,2),3(2,3,a)
'''线性相关,并将3用1,2线性表示.1312237(5a),当a=5时,3a117解:A231172.7.作一个以(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)为行向量的秩为4的方阵.解:因向量(1,0,0,0)与(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)线性无关, 所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量,因(1,0,0,1)与(1,0,1,0),(1,-1,0,0),(1,0,0,110)线性无关,所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为110100100000.01
8.设1,2,,s的秩为r且其中每个向量都可经1,2,,r线性表出.证明:1,2,,r为1,2,,s的一个极大线性无关组.【证明】若
1,2,,r
(1)线性相关,且不妨设
1,2,,t(t (2)是(1)的一个极大无关组,则显然(2)是1,2,,s的一个极大无关组,这与1,2,,s的秩为r矛盾,故1,2,,r必线性无关且为1,2,,s的一个极大无关组.9.求向量组1=(1,1,1,k),2=(1,1,k,1),3=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把1,2,3按列排成矩阵A,并对其施行初等变换.11A1k11k111200110110100k101k1k01110100k1001k011k10010 10当k=1时,1,2,3的秩为2,1,3为其一极大无关组.当k≠1时,1,2,3线性无关,秩为3,极大无关组为其本身.10.确定向量3(2,a,b),使向量组1(1,1,0),2(1,1,1),3与向量组1=(0,1,1), 2=(1,2,1),3=(1,0,1)的秩相同,且3可由1,2,3线性表出.【解】由于 0A(1,2,3)111B(1,2,3)1012111111001021a0b011021001;02,ba2 而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a2=0,即a=2,又 0c(1,2,3,3)1112110121a0b0210010 ,2ba2a要使3可由1,2,3线性表出,需ba+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求,即3=(2,2,0).11.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1=(6,4,1,-1,2),α2=(1,0,2,3,-4),α3=(1,4,-9,-6,22),α4=(7,1,0,-1,3); (3)α1=(1,-1,2,4),α2=(0,3,1,2),α3=(3,0,7,14),α4=(1,-1,2,0),α=(2,1,5,6).解:(1)把向量组作为列向量组成矩阵Α,应用初等行变换将Α化为最简形矩阵B,则 111 0 1 4 11 4 11 4 1950 1 2 1 30 9 55A90 1 B 1 5 40 9 590 0 00 0 00 0 03 6 70 18 100 0 05可知:R(Α)=R(B)=2,B的第1,2列线性无关,由于Α的列向量组与B的对应的列向量有相同的线性组合关系,故与B对应的Α的第1,2列线性无关,即α1,α2是该向量组的一个极大无关组.(2)同理, 6 1 1 70-11 55 71 2-9 0 4 0 4 10 8 40 10-11 55 7 1 2-9 01 2-9 00-8 40 11 3-6 10 5-15-10 5-15-1 2 4 22 30 8 40 10 0 0 01 2-9 070 1-5-11450 0 0-11240 0 10 110 0 0 01 2-9 01 0 0 00 1-5 00 1 0 00 0 10 00 0 1 0B0 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0 可知R(Α)=R(B)=4,Α的4个列向量线性无关,即α1,α2,α3,α4是该向量组的极大无关组.(3)同理,1 0 3 1 21 0 3 1 21 0 3 1 21 0 3 1 2-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1, A2 1 7 2 50 1 1 0 10 0 0-4-40 0 0 1 14 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0可知R(Α)=R(B)=3,取线性无关组α1,α3,α5为该向量组的一个极大无关组.12.求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解:(1)以向量组为列向量组成Α,应用初等行变换化为最简形式.31 0 11-1 5-11-1 5-11-1 5-1271 1-2 30 2-7 470 1-2 20 1-2B, A3-1 8 10 2-7 420 0 0 00 0 0 00 0 0 01 3-9 70 4-14 8 0 0 0 0可知,α1,α2为向量组的一个极大无关组.x1x2537x1x22设α3=x1α1+x2α2,即解得,x1,x2 223x1x28x3x912x1x21x1x23设α4=x3α1+x4α2,即解得,x11,x22 3x1x21x3x712所以a332a172a2,a4a12a2.1 1 1 4-31 1 1 4-31 0 2 1-21-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1B(2)同理, A2 1 3 5-50-1 1-3 10 0 0 0 03 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0可知, α 1、α2可作为Α的一个极大线性无关组,令α3=x1α1+x2αx1x21可得:即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, xx312x1x24可得:即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, x1x22x1x23可得:即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αxx1122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.设向量组1,2,,m与1,2,,s秩相同且1,2,,m能经1,2,,s线性表出.证明1,2,,m与1,2,,s等价.【解】设向量组 1,2,,m (1)与向量组 1,2,,s (2)的极大线性无关组分别为 1,2,,r (3)和 1,2,,r (4)由于(1)可由(2)线性表出,那么(1)也可由(4)线性表出,从而(3)可以由(4)线性表出,即 riaj1ijj(i1,2,,r).因(4)线性无关,故(3)线性无关的充分必要条件是|aij|≠0,可由(*)解出j(j1,2,,r),即(4)可由(3)线性表出,从而它们等价,再由它们分别同(1),(2)等价,所以(1)和(2)等价.14.设向量组α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组β1,β2,…,βt的秩为r2,向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩为r3,试证: max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.证明:设αs1,…,Sr1为α1,α2,…,αs的一个极大线性无关组, βt1,βt2,…,t为β1,r2β2,…,βt的一个极大线性无关组.μ1,…,r为α1, α2,…,αs,β1,β2,…,βt的一 3个极大线性无关组,则α s1,…,S和βt1,…,β r1tr2 可分别由μ1,…,r线性表示,所 3以,r1≤r3,r2≤r3即max{r1,r2}≤r3,又μ1,…,r可由α 3s1, …,αsr1,βt1,…,βtr2线性表示及线性无关性可知:r3≤r1+r2.15.已知向量组α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩为3,试确定a的值.解:以向量组为列向量,组成矩阵A,用行初等变换化为最简形式: 1 a a a1 a a a13a a a aa 1 a aa-1 1a 0 00 1-a 0 0 a a 1 aa-1 0 1-a 00 0 1-a 0a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a由秩A=3.可知a≠1,从而1+3a=0,即a=- 13.16.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.2575(1)75***4204311320; (2)213448112012130251411.3112【解】(1)矩阵的行向量组的一个极大无关组为1,2,3; 3412(2)矩阵的行向量组的一个极大无关组为1,2,4.3417.集合V1={(x1,x2,,xn)|x1,x2,,xn∈R且x1x2xn=0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由(0,0,…,0)∈V1知V1非空,设(x1,x2,,xn)V1,(y1,y2,,yn)V2,kR)则 (x1y1,x2y2,,xnyn)k(kx1,kx2,,kxn).因为 (x1y1)(x2y2)(xnyn)(x1x2xn)(y1y2yn)0, kx1kx2kxnk(x1x2xn)0,所以V1,kV1,故V1是向量空间.18.试证:由1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1),生成的向量空间恰为R3.【证明】把1,2,3排成矩阵A=(1,2,3),则 1A101010120, 1所以1,2,3线性无关,故1,2,3是R3的一个基,因而1,2,3生成的向量空间恰为R3.19.求由向量1(1,2,1,0),2(1,1,1,2),3(3,4,3,4),4(1,1,2,1),5(4,5,6,4)所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵 A(1,2,3,4,5)1210111234341121415006401102320411114130024011003200111043 ,20∴1,2,4是一组基,其维数是3维的.20.设1(1,1,0,0),2(1,0,1,1),1(2,1,3,3),2(0,1,1,1),证明: L(1,2)L(1,2).【解】因为矩阵 A(1,2,1,2)110010112133011001101100230001 ,00由此知向量组1,2与向量组1,2的秩都是2,并且向量组1,2可由向量组1,2线性表出.由习题15知这两向量组等价,从而1,2也可由1,2线性表出.所以 L(1,2)L(1,2).21.在R3中求一个向量,使它在下面两个基 (1)1(1,0,1),(2)1(0,1,1),2(1,0,0)2(1,1,0)3(0,1,1)3(1,0,1) 下有相同的坐标.【解】设在两组基下的坐标均为(x1,x2,x3),即 x1x1(1,2,3)x2(1,2,3)x2,x3x31011000x101x2111x31101x10x21x3 即 1102101x1x0, 120x3求该齐次线性方程组得通解 x1k,x22k,x33k (k为任意实数)故 x11x22x33(k,2k,3k).22.验证1(1,1,0),2(2,1,3),3(3,1,2)为R3的一个基,并把1(5,0,7), 2(9,8,13)用这个基线性表示.【解】设 A(1,2,3),B(1,2),又设 1x111x212x313,2x121x222x323, 即 x11(1,2)(1,2,3)x21x31x12x22, x32记作 B=AX.则 1(AB)1010***25079r2r18131002331003420105570019r2r317r2r3132313329作初等行变换134 因有AE,故1,2,3为R3的一个基,且 2(1,2)(1,2,3)3133, 2即 121323,2313223.(B类) 1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2,b=4 6.abc≠0 7.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:(1)α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论.(2)α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.解:(1)由向量组α1,α2,α3线性相关,知向量组α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4线性无关,所以α2, α3线性无关,故α2, α3是α1, α2, α3的极大线性无关组,所以α1能由α2, α3线性表示.(2)不能.若α4可由α1,α2,α3线性表示,而α2,α3是α1,α2,α3的极大线性无关组,所以α4可由α2,α3线性表示.与α2,α3,α4线性无关矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1线性相关,但其中任意 n个向量都线性无关,证明:必存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使 k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.证明:因为α1,α2,…,αn,αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0 n+1=0,由任意 n+1线性相关,所以存在不全为零的k1,k2,…,kn,kn+1使若k1=0,则k2α2+…+kn+1αn个向量都性线无关,则k2=…=kn+1=0,矛盾.从k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n<m,E为n阶单位矩阵.若AB=E,证明:B的列向量组线性无关.证明:由第2章知识知,秩A≤n,秩B≤n,可由第2章小结所给矩阵秩的性质,n=秩E≤min{秩A,秩B}≤n,所以秩B=n,所以B的列向量的秩为n,即线性无关. 综合练习一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er2,s5,t8或r5,s8,t2或r8,s2,t5.01Fi2,j1.01G12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序数为k2;当k为偶数时,排列为偶排列,当k为奇数时,排列为奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)(aa1222a13a1411a22a33a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x18.01Nf(x)g(x)s(x).01O1.f(x)g(x)s(x)02AB、D.02B3.02C6.02Dx0,1,2.02E(1)n1(n1)xn.02F(12131)n!.02G(1)n(n1)2nn1(n1)n.2.02H(1)n1(nax)xn1.02I(1)n[(1)nn].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa0,b0.4403G1,3.03Habii03If(x)2x23x1.i1i1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1aa2)(1a)3.04Bn1.04Cx1x2...xn1(1a1x1a2x2...anxn).04Dx1x2...xn[1a(1x1...1.1x2xn)]04E(x1)n..49.04F1(1)a1(1)2a2an1...(1)anan1...a2a1n04G(n1)当a,n1n1当a.05A0.05B1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H9,18.06An!(n1)!(n2)!...2!1!.06B(cos).4ij1icosj07A(1x)2(10x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E2.08Fa0且bb/4.08Gf(x)2x23x1.08H甲、乙、丙三种化肥各需3千克,5千克,15千克.综合练习二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a2n).01N(AB)(AB).01S(2)A249(A2E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(1)n1n1k2(n1)!.(2)(1)n1n!(k1,2,,n).01V两年后在岗职工668人,培训人员334人.01W即晴天概率为146256,阴天的概率为6248256,下雨天的概率为256.xnx426001X1y023/21/200xn.yn1nyzn101/40zn4236z224012102A4982242.02B2n102420121.02C2220242222.1nn(n1)2.4n14n0002D201n.02En1n142.400001002nn.2n1.0002n.50.10002FA20061.由于A5A.1100003A(1)(1)n11(2)1200n!A.0230.0034(3)A6E.(4)12(EB).(5)B(E2A)1.10103BB510E.03D1211.03C(2)A2A5(A2E).03EA11(A3E).(A4E)11106(AE).03FB1114(5A23AE).03G(EABA)1B(EAB)1B1.03HB1110(A23A4E).03I(EAB)1EA(EBA)1B.10001/21/20003NA1003O1122212.1/21/61/391/85/241/121/422100201003403P000123310005200003Q(A1A2A41A3)1A11A2(A4A3A11A2)1A111(A4A3(A1A2A4A3)4A3A11A2)1.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)1/3;(6)576;(7)3.04B10804F521220101.04GA0A(bTA1),05AD.05C2.05D当a1且b2,r(A)4;当a1且b2时,r(A)2;.51.当a1,b2或a1,b2时,r(A)3.05E当c1,并且a1或b0时,r(A)1;当c1,a1且b0时,r(A)3;当c1,但a1或b0时,r(A)3;当c1,a1且b0时,r(A)2.05F当ab0时,r(A)0;当ab0时,r(A)1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n.05G11n.05Hr[(A*)*]n,如果r(A)n,0,如果r(A)n.1111101005K111105L01041111.11110010.00022400110005M220005N12200022.00120233.003405OA.0211106A1321.06B202.03052231106C43206D22.319/213/2.21112300106E020.06F21001.121012103006G003300..52.综合训练三01AC.01BB.01CB.01Dt1.01Ea2b.01F(1)当t5时,1,2,3线性相关;(2)当t5时,1,2,3线性无关;(3)3122.01G(1)当a1时,1,2,3线性相关;(2)当b2且a1时,可由i唯一的表出:122;当b2且a1时,可由i线性表出:(2t1)1(t2)2t3,其中t是任意常数.02AB.02BC.02C B.02D D.02E t5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)当a2时,不能用1,2,3线性表出;(2)当a2且a1时,有唯一的表达式:a11(a1a2a2)212a23;当a1时,(1kl)1k2l3,k,l.02J(1)若0且3,可由1,2,3唯一线性表示;(2)若0,可由1,2,3线性表示,但不唯一;(3)若3,不能由1,2,3线性表示.02K(1)当b2时,不能由1,2,3线性表出;(2)当b2,a1时,可唯一表示为122;当b2,a1时,可表示为(2k1)1(k2)2k3()k为任意常数.02L(1)当a1,b0时,不能表示成1,2,3,4的线性组合;(2)当a1时,有唯一表示式:2ba1ab1b1a12a130.402M(1)当a4时,可由1,2,3唯一线性表出..53.(2)当a4时,不能由1,2,3线性表示.(3)当a4且3bc1时,可由1,2,3线性表出,但不唯一:t1(2tb1)2(2b1)3(t为任意常数).02N不等价.03AD.03B1.03Cn.03D(1)R(1,2,3,4)2;向量组的一个极大无关组为2,4;12(24),3234;(2)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,3,5;2135,4135;(3)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,2,3;4123,5120.3.03ER(1,2,3,4,5)3.03Fa15,b5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct1.x1y1104D4.04E矩阵xy221的秩小于3.xnyn111422204F(1)C3,(CR);(2)k170k012,(k1,k2R);201523/23/4(3)C13/2C217/40,(C1,C2R).0104G(1)无解;(2)(1/2,2,1/2,0)Tk(1/2,0,1/2,1)T,其中k为任意常数;(3)(514,3314,0,7)Tk(1,1,2,0)T.(k为任意常数);.54.(4)C131(7,177,1,0,0)TC(101911127,7,0,1,0)TC3(7,7,0,0,1)T(2,3,0,0,0)T,(C1,C2,C3R).04H(1)1,2,3是所给方程组的基础解系.(2)1,2,3不是所给方程组的基础解系.104I当1时,有解,解为1k12,其中k为任意常数.0104J(1)当1且45时,方程组有唯一解;1当1时,其通解为1k01,其中k0为任意实数;1当45时,原方程组无解;(2)当2且1时,方程组唯一解;当2时,方程组无解;当1时,方程组有无穷多组解.全部解为21k110k012001,其中k1,k2是任意常数.04K(1)当a0时,方程组无解;x12/a,当a0,b3时,方程组有唯一解:x21,x30;x12/a,当a0,b3时,方程组有无穷多解:x213t,(tR).2x3t.(2)当a0或a0时b4,方程组无解;方程组不可能有唯一解;当a0且b4时,方程组有无穷多解.通解是.55.(6,4,0,0,0)Tk1(2,1,1,0,0)Tk2(2,1,0,1,0)Tk3(6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意实数.(3)当a1,b36时,方程组无解;当a1,a6时,方程组有唯一解,x(b36)a1,x12(a4)(b36)162a1,xb36230,x4a1;当a1,b36时,方程组有无穷多解,通解为(6,12,0,0)Tk(2,5,0,1)T.k为任意常数;当a6时,方程组有无穷多解,通解是(1(1142b),1(122b),0,1(bT77736))k(2,1,1,0)T.04L(1)当ab,bc,ca时,方程组仅有零解x1x2x30.(2)当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k1(1,1,0)T(k1为任意常数).当acb时,方程组有无穷多组解,全部解为k2(1,0,1)T(k2为任意常数).当bca时,方程组有无穷多组解,全部解为k3(0,1,1)T(k3为任意常数).当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k4(1,1,0)Tk5(1,0,1)T(k4,k5为任意常数).2104M(1)方程组有无穷多组解,通解为41k(k为任意常数502).1(2)当m2,n4,t6时,方程组(I),(II)同解.04Na2,t4.04O非零公共解为t(1,1,1,1)T.(t为任意常数)04P原来至少要有3121个桃子,最后还剩下1020个桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G1.05H1..56.05I(1,2,3,4)Tk(1,1,1,1)T,其中k是任意实数.05J(3,2,0)Tk(1,1,1)T.(k为任意常数)05K通解为(9,1,2,11)Tk1(10,6,11,11)Tk2(8,4,11,11)T05L3m2n.05M2.1/2005N通解为1/21k,其中k为任意常数.011105O(1)1可由2,3,4线性表出.(2)4不能用1,2,3线性表出.x1k2t,06A(2)通解是x2k2,其中t是任意实数.x3t,06B通解是(a8,4,2,1)T12a24a3,a22a3,a3,0)Tk(,其中k是任意实数.06E方程组的唯一解为(ATA)1ATb.06L(II)的通解为c1(a11,a12,...,a1,2n)Tc2(a21,a22,...,a2,2n)T...cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn为任意常数.综合练习四1/21/61/(23)01A45.01B11/221/6;31/(23).0;02/601/(23)3/202A(1)10,22,33,1/2k10对应特征向量为11/2,1.57.1122对应特征向量为k2,013对应特征向量为k331.1(2)18,231,218对应特向量为k11,其中k1为任意非零常数.21231对应特征向量为k201k32,其中k2,k3是不全为10零的实数.(3)101232全部特征向量为k12k20,(k1,k2不全为零).0102BA的特征值是1,2,2a1,a221对应的特征向量依次是k13,k22,k31.(k1,k2,k3全不为0).01a102CA的特征值2(二重)及0,2对应特征向量为k1(0,1,0)Tk2(1,0,1)T.0对应特征向量为k3(1,0,1)T.02D(1)当b0时,A的特征值为12na,则任一非零向量均为其特征向量.(2)当b0时,A的特征值为12n1ab,na(n1)b当1n1ab对应特征向量为1111k1000k21kn100,01.58.1a(n1)b对应特征向量为k1nn,(kn0).102Ea2,b3,c2,01.2n21102F112n212n23n1.112n202GA与B特征值相同但不相似.02Ha7,b2,P15112202I1102.0.101302Ja1,b8,c10.02K(1)|EA|4a34a23a2a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k(2)2i(i1,2,,n);i(i1,2,,n);(3)kii(i1,2,,n);(4)i(i1,2,,n);(5)1(i1,2,,n);(6)|A|1,2,,n);i(ii(7)f(i),(i1,2,,n).03E|A|21.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全为零.0对应特征向量为k11k11...kn1n1(k1,k2,...,k3不全为零的任意常数).03L3,2,2.03M(1)P1AP全部特征值是1,12,,n.Pi是P1AP的属于i的特征向量..59.(2)(P1AP)T全部特征值是11,2,,n.PTi是(PAP)T的属于i的特征向量.03P1(n1重),3,1对应特征向量为k1(y2,y1,0,,0)Tk2(y3,0,y1,,0)Tkn1(yn,0,0,,y1)T,k1,k2,,kn1不全为0,3对应特征向量为kn(x1,x2,,xn)T,kn0.04AD.04B546333.76804C(1)a3,b0,1.(2)A不能相似于对角阵.404D当a1时,A1116114.442当a111410222时,A301055.22519132504E(1)3k(1,0,1)T(2)A162102.(k);为任意非零常数521301104F1/201/200004G.1011/201/2.11011104H111.04IAPP1P(2E)P12E.1115404J6333.76804OA的特征值是2与1(n1重)..60.X1(1,1,,1)T是A属于2的特征向量,X2(1,1,0,,0)T,X3(1,0,1,,0)T,,Xn(1,0,0,,1)TA属于1的特征向量.11112n2n2nA111112n2n2n.12n112n12n05A0.05BA能对角化.05CA能对角化.1105D(1)12(2);1;(3)311;21(4)1(5)A2.;不能对角化;(6)20405E令P212100,则11.011021005F(1)T12403212,T1AT010122002.111263(2)T111133263,TAT.01166311123605GP120036,P1AP1.1114236.61.221535305HQ1425353,QTAQ22.705235305Ia1,b3.A能对角化.05J01,a3,b0.A不能相似于对角阵.1105Kxy0.05L111111.05MA~1111.0905N105PA~B.0.00105Q(1)x0,y2;(2)P210.11106An!.06B6.06C(2n3)!.06Dk(k2)2.06FO.06EE.3n13n106G(1)(2)6n13123n123n1;93;(3)10013n123n13n.13n223n23n06Hx10051001.06Ix51003210013.n06Ja1n563,nliman5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是综合练习五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.00101F010.01Gy21y22y23.10001H(1)fz21z22,相应的线性变换为zPy(P1112P1)x.P1010,P1002013,001001x1(2)z2z22111/2z112z3.相应的线性变换x2x3112z2.001/2z3100(3)f12y2222y3相应的线性变换x1101/21/21y,x101Ix1212y1201Jc3,4y219y22.3122y2x3221y311126301Ka2,b3.xCy,C111263,2106301Lf(x)x2221,x2,x312x2x32x1x22x2x34x1x3.切平面方程为2x1x2x31.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)2;(2)1.1012241102I0,P01002NB1314111.114.022.63.综合练习六01A(1)V1是向量空间.(2)V2是向量空间.01B(1)W1不是子空间.(2)W2是子空间.dimW22.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一组基.(3)W3是子空间,dimW32.(1,1,0),(2,0,1)是W3的一组基.(4)W4不是子空间.(5)W5不是子空间.01CW1W2是V的子空间,W1W2不一定是V的子空间.T02B5114,14,4,4.02C坐标变换公式为x1111x1x1212x1x2102x2或x32001x2x010x3x3111x3在所给定的两组基下具有相同坐标的全部向量为k32,k3为任意实数.T02D(1)(3,4,4)T;(2)112,5,132.02E(5/21/21,2)(1,2,3)3/23/2.5/25/202F(1,2,2)T时,坐标乘积的极大值是18.002G(1)A110011000110.1011(2)所求非零向量010203k4k4(k为非零任意常数).02H(1)111011;(2)0011(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0,0,1)T;(3)A11.02I(1,1,,1).3.64.a11a1203Aa21a22a11a12a31a32a2203C(1)a12a32a21a11a31a23a13;a33a12a22a12a32a13a23a13.a3301103B020.210a11a21(2)ka31ka12a22ka32a13a23;ka33a11a21a11a12a21a22(3)a21a31a21a22a31a32aa31a3231a11a12a13a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31a32a33.65.第五篇:线性代数习题答案