07-08线性代数文科试卷A参考答案及评分标准格式

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第一篇:07-08线性代数文科试卷A参考答案及评分标准格式

中国计量学院200 7 ~ 200 8 学年 33.解:由已知得:

k41 0k10

………4分

513又:0k1k41k24k3(k1)(k3)

………6分 5

1k1,k.……8分

1114.解:D1230 ………5分

135即r(1,2,3)3 …………8分 所以向量组线性相关 ………10分

202512125118015.(10分)1,2,3,4,5033410036072000100231052……(B)10(1)1,2,4为一个极大线性无关组 …………5分(2)3212 5124 ………10分 6.(12分)(1)r(A)3 …………4分

53353(2)基础解系为:11,20 ………10分

2003155x1363x5213(3)通解为:x30k11k20其中c1,c2为任意实数 …12分

21x40x603501《 线性代数C 》课程试卷(A)参考答案及评分标准

五.证明(10分)

1、因为1,2,,n线性相关,所以存在不全为0的k1,k2,,kn,使得

k11k22knn0

………………2分 k11k22knn00

由于k1,k2,,kn,0不全为0,所以结论得证。…

………………5分

2、由AAAE

………………2分

两边取行列式得AAA 因为A可逆,所以A0 所以AAn1n

………………….5分

《 线性代数C 》课程试卷(A)参考答案及评分标准

第二篇:线性代数4试卷及答案

线性代数(经管类)试题B 试卷满分100分

考试时间120分钟

(出卷人:廖磊)试卷说明:AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式。

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.若行列式|A|=0,则A中()A.必有一行全为0 C.有两列成比例

a11a12a22a32a13a33B.行向量组线性相关 D.所有元素全为0

a11a315a112a125a212a225a312a32a13a23,则D1的值为()a33a23=3,D1=a212.设行列式D=a21a31A.-15 B.-6 C.6 D.15 3.设A,B,C,D均为n阶矩阵,E为n阶单位方阵,下列命题正确的是()A.若A20,则A0

B.若A2A,则A0或AE C.若ABAC,且A0,则BC

D.若ABBA,则(AB)A2ABB

2224.设A、B为n阶方阵,满足A2=B2,则必有()A.A=B C.|A|=|B| 1A.0010012010 012 0B.A=-B D.|A|2=|B|2

1B.001D.2311012311 01235.设3阶方阵A的秩为2,则与A等价的矩阵为()

1C.20 6.设A,B为同阶可逆方阵,则下列等式中错误的是()..A.|AB|=|A| |B| C.(A+B)-1=A-1+B-1

7.设2阶矩阵A=,则A=()

*

B.(AB)-1=B-1A-1 D.(AB)T=BTAT

A.

B.

C.

D.acb,则d

8.设2阶矩阵A=A.C.dcb abaA=()

dbdbcaca*

B.

dc

D.

9.设矩阵A=,则A中()A.所有2阶子式都不为零

B.所有2阶子式都为零 C.所有3阶子式都不为零

D.存在一个3阶子式不为零

10.设1,2是x1x2x312x1x20,的两个解,则()

1A.12是2x1B.12是2x1C.21是2xxx2x301x20,的解,的解 xx2x301x20xx2x311x20xx2x311x20,的解,的解 1D.22是2x11.设1,2,3,均为n维向量,又1,2,线性相关,2,3,线性无关,则下列正确的是()

A.1,2,3线性相关 B.1,2,3线性无关 C.1可由2,3,线性表示 D.可由1,2线性表示

12.设向量1(a1,b1,c1),2(a2,b2,c2),1(a1,b1,c1,d1),2(a2,b2,c2,d2),则下列命题中正确的是()

A.若1,2线性相关,则必有1,2线性相关

B.若1,2线性无关,则必有1,2线性无关 C.若1,2线性相关,则必有1,2线性无关 D.若1,2线性无关,则必有1,2线性相关

13.设A为m×n矩阵,齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是()A.A的列向量组线性相关

B.A的列向量组线性无关 C.A的行向量组线性相关

D.A的行向量组线性无关

14.设α1,α2,α3,α4为向量空间V的一个基,则V的维数=(A.1 B.2 C.3

D.4 15.设A与B是两个相似n阶矩阵,则下列说法错误..的是()A.AB

B.秩(A)=秩(B)C.存在可逆阵P,使P-1AP=B

D.E-A=E-B

16.正交矩阵的行列式为()A.0 B.+1 C.-1

D.±1 17.矩阵A=的非零特征值为()A.

4B.

3C.

2D.1

18.当矩阵A满足A2=A时,则A的特征值为()A.0或1 B.±1 C.都是0

D.都是1)19.二次型A.0 C.2 f(x,y,z)xy2.2的正惯性指数p为()

B.1 D.3

22220.设有二次型f(x1,x2,x3)x1x2x3,则f(x1,x2,x3)()

A.正定 C.不定

B.负定 D.半正定

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=_____________.a3b321.若aibi0,i1,2,3,则行列式a2b1a3b112322.三阶行列式D222,则A11A12A13__________.4513A=0121423.设,B=10012,则AB=__________.01114中元素9的代数余子式A32=____________ 1624.行列式234925.若k1120,则k=___________.26.设A,B均为n阶矩阵,(AB)E,则(BA)=__________.a11x1a12x2a13x3027.若齐次线性方程组a21x1a22x2a23x30有非零解,则其系数行列式的值为

axaxax032233331122______________.128.设矩阵A=232t423,若齐次线性方程组Ax=0有非零解,则数t=____________.5129.设矩阵A=0002010,矩阵B=A-E,则矩阵B的秩r(B)=______________.130.已知A有一个特征值-2,则B=A2+2E必有一个特征值___________.31.方程组x1x2x30的通解是___________.T

T32.已知向量α=(2,1,0,3),β=(1,-2,1,k),α与β的内积为2,则数k=____________.33.设向量α=(b,12,12)T为单位向量,则数b=______________.34.设AX0为一个4元齐次线性方程组,若1,2,3为它的一个基础解系,则秩(A)=_________.35.已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵A经初等行变换化为:,若方程组无解,则a的取值为

36.已知3维向量(1,3,1)T,(1,2,4)T,则内积(,)=____________.37.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.38.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.12121010339.矩阵A=所对应的二次型是___________.T40.设3元实二次型f(x1,x2,x3)XAX经正交变换化成的标准形为f3y1,则矩阵

2A的特征值为_________.三、计算题(本大题共5小题,每小题10分,共50分)

***241.计算四阶行列式的值.42.设A=301214,B=10012,求矩阵0AB.143.已知矩阵A=10011130,B=10201110,4(1)求A的逆矩阵A-1;(2)解矩阵方程AX=B.44.设A=311100210111022,求A1.45.设1A=001,B=00120023,且A,B,X满足(E-B1A)TBTXE.求X,X1.46.求向量组1=(1,2,1,3),2=(4,-1,-5,-6),3=(1,-3,-4,-7)的秩和其一个极大线性无关组.47.设向量组1(1,1,0),2(2,4,1),3(1,5,1),4(0,0,1),求该向量组的秩,并判断其线性相关性。

x12x24x332x22x3348.求线性方程组2x2x6x3231817,2的通解.49.设矩阵A=(1)求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.(2)判定A是否可以与对角矩阵相似,若可以,求可逆矩阵P和对角矩阵,使得P-1AP=.50.已知二次型f(x1,x2,x3)=2x1+3x2+3x3+2ax2x3通过正交变换可化为标准形f=y1+2y2+5y3,求a. 22222

2四、证明题(本大题10分)

51.设1,2,3是齐次方程组A x =0的基础解系.证明:

11,212,3123一定是Ax =0的基础解系.

52.设A,B均为正交矩阵,且AB,试证AB0.

321、AB0121104210011110123200***021460

2

322、(A,E)=11

11300………………………..3分 110……….………………….1分 001001211………………………2分 311………………………..1分 111002010000112111121121010

01000221101001000021101001000011212012111011

1112……2分

所以A112112…………………………………………1分

12

23、令A=(1,2,3)=131000499184156134………………………….2分 7155………………………………………………….2分 1010004900150………………………………………………………….2分 0所以向量组1,2,3的秩为2………………………………………….2分 极大线性无关组为1,2或1,3或2,3……………………….2分

124、(A,b)0212020242222242633………………………………………………..2分 313303021041033……………………………………2分 2010001021003………………………………………………………….1分 20所以非齐次方程的一般解为

x12x33xx322……………………………………………

1分

所以齐次方程组的一个特解为*0320…………………………..1分

2x2x13对应的齐次方程组为得基础解系为11…………….2分 x2x31所以原方程组的通解为*k11,其中k1为任意常数………………….1分

25、(1)项式AE8172=(1)(9)

所以特征值11,29…………………………………………………..1分

7当11时,AE1711010

即x1x2,所以特征向量为1………………………………..1分

1对应特征值11全部特征向量为k11,k为任意非零常数………..1分

当29时,A9E11717017 07即x17x2,所以得到对应的特征向量2………………………..1分 1对应特征值29的全部特征向量为k22,k2为任意非零常数……….1分(2)因为矩阵A有两不同的特征值1和9,(或者说存在两个线性无关的特征向量

1,2),所以矩阵A可以对角化……………………………………………..2分

可逆矩阵P=(1,2),即1091P=171,..............................2分

10...............1分 .9且有P1AP0

26、,所以对角矩阵为0证明:首先,1,2,3 的个数与所给的基础解系1,2,3个数相同,都为3,即

n-r=3………………………………………………………………………1分 其次A1A10,A2A(12)0,A3A(123)0

所以,1,2,3都是方程组Ax =0的解………………………………………2 最后,根据提设条件可以写出矩阵等式

1(1,2,3)=(1,2,3)0011011………………………………………2分 11110111把它记为BAP.因为标出矩阵的行列式P00=10…….1分

P是可逆矩阵………………………………………………………..1分 所以,r(B)r(A)3,这说明1,2,3线性无关………………………

2分

所以,1,2,3必是Ax =0的基础解系……………………………………….1分

***104021000213分 21、解:D=002=

00012100210002***0215154分

3分 =0001=00022、解:(1)A1E100100100011112210111111020111211000100100100100010112211211112121110010001分 11 001 00010010112分 11211A211A1112分 1BXA1(2)AXB方程两边同时左乘2X211211,得 A1AXAB2分

1311100111504422321223分 3

23、解: EBATBXEB(EBTA)TXEBAXE3分

T2X001200020001T1200020001112000120003分 10120X10011200020004分 112101210

24、解:令A145006603分

01110111121

011000013分 1所以向量组的秩为3。因为未知数的个数大于向量组的秩,所以向量组线性相关。……4分 200

25、解:f的矩阵为A03a

……2分

0a3203a0a3(2)3aa3先求A的特征值,AE00

(2)(69a)0

……(1)

……2分 22由已知,二次型可通过正交变换可化为标准形f=y1+2y2+5y3,得 矩阵A的特征值为1,2,5。

……2分

将λ1=1代入(1)式,得

(21)(16*19a)0a2.4分

四、证明题

26、证:由已知可知

AATE

BBTE

……2分

AT2222ABAAABEABBBAB TTTTT

BTATBBTATBABB

……4分 再由AB,又正交阵的行列式为1

……1分 不妨设A1,则B1

则 ABAB,故AB0

……3分

第三篇:线性代数试卷及答案1

一、填空题(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案填在题中横线上)

31(1)三阶行列式

111311113111______________________.1

312121(2)设A,B11,则AB______________________.10111(3)已知(1,2,3)T,(1,1,1)T,则T_____.5001(4)设A031,则A________.021

121313,5,且线性方程组Ax无解,则a_____.(5)设A21

40a216

二、计算题(本题共3小题,每小题10分,满分30分,要求写出演算过程或步骤)

1.计算n级行列式10

11110111110111110。111

2022.设三阶方阵A和B满足关系式AB2AB,且A040,求(AE)1。202

3.求下面线性方程组的通解

x1x2x3x40x1x2x33x41

xx2x3x0.5341

2三、解答题(本题共2小题,每小题15分,满分30分,要求写出演算过程或步骤)

1.设1(1,1,1),2(1,2,3),3(1,3,t)。

(1)问当t为何值时,向量组1,2,3线性无关?

(2)当t为何值时,向量组1,2,3线性相关?

(3)当向量组1,2,3线性相关时,将3表示为1和2的线性组合。

x1x2x31

2.为何值时,线性方程组x1x2x3

xxx

2312

(1)有惟一解?(2)无解?(3)有无穷多个解。

四、证明题(本题共2小题,每小题10分,满分20分,)

1.设b13a12a2,b2a2a3,b34a35a1,且a1,a2,a3线性无关,证明:向量组

b1,b2,b3也线性无关。

2.设A为n阶可逆矩阵A的伴随矩阵,证明:AA

填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)

**

n

11110.500



222011

333023

;;2(1)48(2);(3)(4)(5)1

二、计算题(本题共3小题,每小题10分,满分30分,要求写出演算过程或步骤)1.解:

0111

11011111111

1101110111

11011

11101

1111011101

n1n1n1n1n11

11111110

…………………………………………………….(6分)

0111

1011



1101

1110

………….(3分)



(n1)



(n1)

000

11000



10001

……………………………………………..…….(9分)

100



1

(1)n1(n1)…………………………………………….………………………….(10分)

2.解:

原方程

(AE)(B2E)2E……….(5分)

001

1(AE)1(B2E)010

2100…………………………………(5分)

3.解

对方程组的系数矩阵

A作初等行变换, 有

111012

1111010012

211131

00000111232

由此得基础解系为

………(5分)

T

(1,1,0,0)(1,0,2,1)1, 2

T,(7分)

(,0,0)T

特解为

(8分)

于是所求方程组的通解为

1212

xk11k22, 其中1

k,k2,k

3为任意常数………….(10分)

三、解答题(本题共2小题,每小题15分,满分30分,要求写出演算过程或步骤)

1.解:设有数组

k1,k2,k3,使k11k22k330,k1(1,1,1)k2(1,2,3)k3(1,3,t)(0,0,0)。………………………(2分)

于是有方程组

k1k2k30,

k12k23k30,k3ktk0

23

1其系数行列式

……………………………………(3分)

D23t

53t………………………………………………………….(4分)

(1)当

t5

时,D0,方程组只有零解:

k1k2k30

。此时,向量组

1,2,

3线性无

关。………………………………………………………………………………(5分)

(2)当

t5时,D0,方程组有非零解,即存在不全为0的常数k1,k2,k3,使k11k22k330。此时,向量组

1,2,3线性相关。……………….(5分)

(3)当

t5时,方程组的系数矩阵的秩小于3。由左上角2阶子式不为零可知,系数矩阵的秩等于2。因此,取方程组①的前2个方程

k1k2k30,

k12k23k30,令

k31,解得k11,k22,即12230,从而3122。

………………………………………………………………………………………….(5分)

2.解:

11

110,111,2时,方程组有唯一解。………………(5分)(1)即

121111



11011(1)

211200(1)(2)(1)(1),(2)

则当

2时,方程组无解。…………………………………………….(5分)

111

xk11k200

010。1(3)当时,方程组有无穷多个解,通解为

…………………………………….(5分)

四、(本题共2小题,每小题10分,满分20分,)

305

210b1,b2,b3a1,a2,a3014…………………….(4分)

1.证明:因为

且a1,a2,a3线性无关…………………………………………………………(6分)

5210220

又01

……………………………………………….(8分)

故向量组b1,b2,b3也线性无关………………………………………………….(10分)

*1

2.证明:因为

AAA…………………………………………….(4分)

|A*||A1|n

1

所以

……………………… ……….(8 分)

A

n1

…………………………….10分)(

第四篇:近年华南理工大学线性代数试卷及答案

以下是四套近年的统考题,仅供参考.

试卷

(一):

一.填空题(共20分)

1.若A*是6阶方阵A的伴随矩阵,且rank(A)4,则rank(A*)_______.2.设Asincossin,则A100__________cos__________.3.设V(x1,x2,x3)T|2x1x23x30是R3的子空间,则V 的维数是__________.4.对称矩阵A 的全部特征值为4,-5,3,2,若已知矩阵AE为正定矩阵,则常数 必须大于数值____________.1005.已知n阶矩阵A00100000010100000,0,则矩阵A1的逆是

__________________.二.选择题(共20分)

1.若A,B是n 阶方阵, 下列等式中恒等的表达式是()

(A)(AB)2AB;(B)(AB)1A1B1;(C)AB|A||B|;(D)(AB)*B*A*.2.若A为n阶方阵,则A为正交矩阵的充分必要条件不是()(A)A的列向量构成单位正交基;(B)A的行向量构成单位正交基;(C)A1AT;(D)detA1.3.若V1是空间Rn的一个k维子空间,1,2,,k是V1的一组基;V2是空间R的一个k维子空间, 1,2,,k是V2的一组基,且mn,km,kn,则:m()

(A)向量组1,2,,k可以由向量组1,2,,k线性表示;(B)向量组1,2,,k可以由向量组1,2,,k线性表示;

(C)向量组1,2,,k与向量组1,2,,k可以相互线性表示;(D)向量组1,2,,k与向量组1,2,,k不能相互线性表示.4.若1,2是实对称方阵A的两个不同特征根, 1,2是对应的特征向量,则以下命题哪一个不成立()(A)1,2都是实数;(B)1,2一定正交;

(C)12有可能是A的特征向量;(D)12有可能是A的特征根.5.已知A为n1阶方阵,且rank(A)k,非齐次线性方程组AXB的nk1个线性无关解为1,2,,nk,nk1, 则AxB的通解为().(A)c11c22cnknk;(B)c11c22cnknkcnk1nk1;

(C)c1(1nk1)c2(2nk1)cnk(nknk1);(D)c1(1nk1)c2(2nk1)cnk(nknk1)nk1.三.解下列各题(共25分)

1.若A为3阶方阵,且A.11 2.设 A1111111111112nA,A,求矩阵.1112, 求: A1A*

3.计算向量(1,2,4)T在基1(1,1,1)T,2(0,1,1)T,3(1,1,1)T下的坐标.4.设向量组 1(2,1,0,3),2(1,3,2,4),3(3,0,2,1),4(2,2,4,6),TTTT

求向量组的一个最大线性无关组.135.利用分块矩阵方法,计算A002400002000的逆矩阵.41

四.证明题(8分)设n维向量组1,2,,n和向量组1,2,,n有关系

123n213n n12n1问n维向量组1,2,,n和向量组1,2,,n是否同秩? 证明你的结论.五.(8分)二次型f(x1,x2,x3,x4)2x13x23x32x2x3,0, 通过正交变换, 可将此二次型化为标准形fy12y25y3,求参数及所用正交变换.六.(8分)求线性方程组

x1x2x3x40 x1x2x33x411xx2x3x23412222222

的通解.七.(6分)解矩阵方程,并写出解方程时初等矩阵的变换过程

010100010X01000101120140231 0八.(5分)设A是4阶方阵,且A的特征根1,2,3,4互不相同,证明:(1)方阵A有四个线性无关的特征向量.(2)方阵A可以对角化.试卷

(二):

一.计算下列各题:(每小题6分,共30分)

***176, 180213(1)162162(2)求2A23AE2,其中A1

(3)已知向量组1(0,2,3)T,2(2,3,3)T,3(1,2,t)T线性相关,求t.(4)求向量(1,2,4)T在基1(1,0,1)T,2(0,1,1)T,3(1,2,1)T下的坐标.(5)设A35, 求A的特征值.0A二.(8分)设2030010,且ABATB,求矩阵B.2120c03b00a32112三.(8分)计算行列式:

00x

四.(8分)设有向量组

1(0,1,1,2,3),2(1,0,1,2,5),3(1,1,0,2,7),4(3,3,2,0,6), TTTT 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五.(8分)求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.3x12x2x3x44x510, 2x1x23x3x4x54,7x5xx2x18.1345六.(8分)求出把二次型fa(x1x2x3)2x1x22x1x32x2x3化为标准形的正交变换,并求出使f为正定时参数a的取值范围.222七.(10分)设三阶实对称矩阵A的特征值为3(二重根)、4(一重根),1(1,2,2)T是A的属于特征值4的一个特征向量,求A.八.(10分)当a,b为何值时,方程组

ax1x2x34,x12bx23x310, x3bx3x2,231 有惟一解、无穷多解、无解? 九.(10分)(每小题5分,共10分)证明下列各题

(1)设A是可逆矩阵, A~B, 证明B也可逆, 且A1~B1.(2)设,是非零n1向量,证明是nn矩阵T的特征向量.试卷(三):

一. 填空题(每小题4分,共20分)

11.已知正交矩阵P使得PTAP0001000,则PTA2006(EA)P________2.2.设A为n阶方阵,1,,n为A的n个特征值,则 det(A2)_________.3.设A是mn矩阵,B是m维列向量,则方程组AXB有无数多个解的充分必要条件是:_________.4.若向量组(0,4,2)T,(2,3,1)T,(t,2,3)T的秩为2,则t_____.15555124813927, 则D(x)0的全部根为:_________.5.D(x)xxx23二. 选择题(每小题4分,共20分)

010100100 1.行列式的值为().A.1 B.-1 n(n1)n(n1)C.(1)2 D.(1)2

2.对矩阵Amn施行一次行变换相当于().A.左乘一个m阶初等矩阵 B.右乘一个m阶初等矩阵 C.左乘一个n阶初等矩阵 D.右乘一个n阶初等矩阵 3.若A为mn矩阵,r(A)rn,MX|AX0,XRn, 则().A.M是m维向量空间 B.M是n维向量空间 C.M是mr维向量空间 D.M是nr维向量空间 4.若n阶方阵A满足,A20, 则下列命题哪一个成立().A.r(A)0 B.r(A) C.r(A)n2n2n2 D.r(A)5.若A是n阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立().A.矩阵AT为正交矩阵 B.矩阵A1为正交矩阵 C.矩阵A的行列式是1 D.矩阵A的特征值是1

三.解下列各题(每小题6分,共30分)

1.若A为3阶正交矩阵, A*为A的伴随矩阵, 求det(A*).a1a1111a1111a.2.计算行列式 1110 3.设A2020000,ABAB,求矩阵B.1 4.求向量组1(1,2,1,2)T,2(1,0,1,2)T,3(1,1,0,0)T,4(1,1,2,4)T的一个 最大无关组.5.求向量(1,2,1)T在基(1,1,1)T,(0,1,1)T,(1,1,1)T下的坐标.四.(12分)求方程组 x1x22x3x4x52 3x1x22x37x43x52

x5x10x3xx623451 的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分)用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵

f(x1,x2,x3)2x1x2x2x32x1x3 六.证明题(6分)设0,1,2,r是线性方程组AX对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,是线性方程组AX的一个解, 求证1,2,,r,线性无关.试卷(四):

一.填空题(共20分)

1.设A是mn矩阵,B 是m 维列向量,则方程组AXB有唯一解的充分必要条件是: 2.已知E为单位矩阵, 若可逆矩阵P使得2P1APP1A2P3E, 则当EA可逆时, A3

3.若t为实数, 则向量组α=(0,4,t),β=(2,3,1),γ=(t,2,3+t)的秩为: 4.若A为2009阶正交矩阵,A*为A的伴随矩阵,则A*= 5.设A为n阶方阵,1,2,,n是A的n个特征根,则i1niiiEA =

二.选择题(共20分)

1.如果将单位矩阵E的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为P(j,i(k)),将矩阵Amn的第i列乘k加到第j列相当于把A:

A, 左乘一个P(i,j(k));B,右乘一个P(i,j(k));C. 左乘一个P(j,i(k));D,右乘一个P(j,i(k)).2.若A为m×n 矩阵,B是m维非零列向量,r(A)rmin{m,n}。集合nM{X:AXB,XR}, 则

A,M 是m维向量空间,B,M是n-r维向量空间 A,M是m-r维向量空间,D,A,B,C都不对

3.若n阶方阵A满足 A23A4E,则以下命题哪一个成立 A,AE,B,r(A)r(E)

C.detAdetE,D,r(AE)r(AE)n

4.若A是2n阶正交矩阵,则以下命题哪一个一定成立:

A,矩阵A*A1为正交矩阵,B,矩阵 2A1为正交矩阵 C, 矩阵AA*为正交矩阵,D,矩阵 AA*为正交矩阵

10011105.如果n阶行列式11的值为-1,那么n的值可能为:

A, 2007,B,2008 C, 2009, D,2000

三.判断题(每小题4分, 共12分)(1)对线性方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变.()(2)实对称矩阵的特征值为实数.()(3)如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例.()

四.解下列各题(每小题8分, 共16分)

51111.求向量1,在基10,21,31下的坐标.1013122.设A2221333314nnn,1计算detA

11五.(10分)求矩阵A011010110010列向量组生成的子空间的一个标准正交基.11六.证明题(6分)设A是m行n列矩阵, 如果线性方程组AX对于任意m维向量都有解,证明A的秩等于m.七、(10分)用正交变换化下列二次型为标准型,并写出正交变换矩阵

f(x1,x2,x3)2x14x1x23x24x2x34x3..22

2八、(6分)设矩阵A,B都是正定矩阵,证明矩阵AB也是正定矩阵.

第五篇:线性代数试卷

厦门理工学院继续教育学院20 第 学期期末试卷

线性代数(考试时间:120分钟)

专业 姓名 层次形式 成绩

一、选择题(每小题4分,共16分)1.A,B为三阶方阵,矩阵X满足AXABXBBXAAXBE则().22111(A)X(AB);(B)X(AB)(AB)(C)X(AB)(AB)(D)以上答案都不对.2.11;

A、B、C为n阶方阵,且ABC,A、B、C的列向量组分别为1,2,,n;1,2,,n(A);

1,2,,n.若

1,2,,n线性相关,则().1,2,,n线性相关;(B)

1,2,,n线性相关;

(C)(A)与(B)都成立;(D)(A)或(B)成立.3.设A,B为三阶矩阵,且r(A3A2E)3,若r(B)2则r(ABB)().(A)1 ;(B)2;

(C)3;(D)无法判断. A22334.设三阶矩阵

B22,3,其中,,2,3均为三维行向量,已知A18,2B2,则AB().(A)1 ;(B)2;

(C)3;(D)4.二、填空题(每小题4分,共16分)

En10ABOB为n阶非零矩阵,5.设A、,且A的阶梯形为1Da1111b1111c1111n00,则矩阵B的秩=.6.已知,则此行列式的所有代数余子式之和i,j1Aij.1

1A0Tx(1,1)7.已知是1a的一个特征向量,则a.8.为已知A是3阶方阵,1,2,3是三维线性无关的向量.若A112,A223,A313,则A的行列式等于.三、计算下列各题(每小题7分,共28分)

01D1110111110111110111110.9.计算n阶行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)2x18x2x32ax1x2222正定,求a的取值范围.411.已知(1,1,1),(1,0,1),且A.求A.TTT

2A02 030110B002010000

12.已知矩阵X满足AX2BBA2X,求X.

四、解答下列各题(每小题14分,共28分)

2x13x23x3ax1x2x313x4x2(a2)x3a1x2xax12313.求a使方程组1与1有公共解,并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)XAXx1x32ax1x22x1x32bx2x3T22的秩为2,Tf(x1,x2,x3)(1,1,1)是A的特征向量.(1)求a,b的值;(2)求经正交变换所得的标准型,并写出相应的正交矩阵.3

五.解答下列各题(每小题4分,共12分)

15.设1,2,,t是线性方程组AxO的基础解系,向量满足AbO.证明1,2,,t,线性无关.16.已知A是n阶方阵且可对角化,问BAAE可否对角化?证明你的结论.2 T17.已知A为n阶矩阵.证明方程组AxO与AAxO的解相同.

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