中国计量线性代数B(B)试卷及答案5篇

第一篇：中国计量线性代数B(B)试卷及答案

一、选择题：（3×5=15分）

2xxx2111x1211x1311、行列式

中含有x4项的系数是（）

（A）（B）

（C）（D）-1

2、已知A、B、C均为n阶可逆矩阵，且ABC=E，则下列结论必然成立的是（）.(A)ACB=E

(B)

BAC=E

(C)BCA=E

(D)CBA=E

3、三元齐次线性方程组x1x20 x3 0 的一个基础解系为（）

（A）（1，1，0）T

（B）（1，2，0）T

（C）（-1，1，0）T

（D）

不存在

 ax1 +x40 x12x2-x404、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是a=（）

(a2)xx 4x0124 2xx3xax01234（A）-1/6

（B）-1（C）1/6

（D）1

5、设A、B均为n阶方阵，则必有（）

(A)ABAB(B)(AB)AB(C)AB AB(D)(AB)1TTTAB11

二、填空题（3×5=15分）

1、五级排列51324的逆序数为__________.a

2、已知矩阵A000b000, 则A 5=_____________.c

3、若矩阵A311213, 则A的标准形式为_________.4、如果向量组1(1,2,2)T, 2(4,t,3)T, 3(3,1,1)T线性无关, 则t______.5、设矩阵的行列式A3, 则A1__________.三、计算题（10×6=60分）

xaxaaaaxaaaax1、计算行列式Daaa

2、求向量组1(2,3,5)T, 2(1,1,2)T, 3(1,2,3)T,4(2,3,1)T的秩，并求该向量组的一个最大无关组.

23、求矩阵A11的特征值与特征向量.2

4、解矩阵方程

11已知AX=B，求X.其中A1100011 , B22510 3

5、用基础解系表示下列线性方程组的全部解

x12x2x32x40

 2x1x12341

6、设二次型 f2x1x22x1x34x2x

3求： 1）与f对应的矩阵

2）化f为标准型

四、证明题（5×2=10分）

1、设n阶矩阵A 满足 A22A4E0，证明 AE可逆, 并求其逆矩阵.2、已知向量组1,2,,s线性无关, 而向量组1,2,,s, 线性相关，证明向量可由向量组1,2,,s线性表示。

一、1、B

2、C

3、C

4、D

5、C a

二、1、5

2、1

3、05c010

4、t35、1/3 0b

5三、1(x3a)111axaa3aaxaaaax71、原式

(x3a)(xa)102、1,2,3,410001012153…………………………………………7 5故秩为3，1,2,3为最大线性无关组。……………………………………10

3、由 AE0得

得11,2

3…………………………………………………………4

1矩阵A的与11对应的全部特征向量为c1(c10)

………………7

1矩阵A的与23对应的全部特征向量为c2(c20)

……………10

11

4、A1013301

21……………………………………7 1110

……………………………………10 1231XAB215、对增广矩阵B施以初等行变换得 1B003500103501

1…………………………3 0

133010……………………………………10 全部解为uc1c21550010

6、解：二次型的矩阵A1101…………………………………3 120 二次型f对应的标准形为f2y21212y24y23

四、1）由已知得AE(A3E)E

故AE可逆，且(AE)1A3E

2）由已知得存在不全为零的数k1,k2,,ks,k

使得

k11k22kssk0

显然k0（反证）

故

k1kk2ks1k2ks 证毕！

………………………………10

………………………………1

……………………………………5

…………………………1

……………………3

……………………5

第二篇：线性代数4试卷及答案

线性代数（经管类）试题B 试卷满分100分

考试时间120分钟

(出卷人：廖磊)试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．若行列式|A|=0，则A中（）A．必有一行全为0 C．有两列成比例

a11a12a22a32a13a33B．行向量组线性相关 D．所有元素全为0

a11a315a112a125a212a225a312a32a13a23，则D1的值为（）a33a23=3，D1=a212．设行列式D=a21a31A．-15 B．-6 C．6 D．15 3．设A，B，C，D均为n阶矩阵，E为n阶单位方阵，下列命题正确的是（）A．若A20，则A0

B．若A2A，则A0或AE C．若ABAC，且A0，则BC

D．若ABBA，则(AB)A2ABB

2224．设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有（）A．A=B C．|A|=|B| 1A．0010012010 012 0B．A=-B D．|A|2=|B|2

1B．001D．2311012311 01235．设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）

1C．20 6.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（）．．A.|AB|=|A| |B| C.(A+B)-1=A-1+B-1

7．设2阶矩阵A＝，则A＝()

*

B.(AB)-1=B-1A-1 D.(AB)T=BTAT

A．

B．

C．

D．acb，则d

8．设2阶矩阵A＝A．C．dcb abaA＝（）

dbdbcaca＊

B．

dc

D．

9．设矩阵A＝，则A中()A．所有2阶子式都不为零

B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零

D．存在一个3阶子式不为零

10．设1,2是x1x2x312x1x20，的两个解，则（）

1A．12是2x1B．12是2x1C．21是2xxx2x301x20，的解，的解 xx2x301x20xx2x311x20xx2x311x20，的解，的解 1D．22是2x11．设1,2,3,均为n维向量，又1,2,线性相关，2,3,线性无关，则下列正确的是（）

A．1,2,3线性相关 B．1,2,3线性无关 C．1可由2,3,线性表示 D．可由1,2线性表示

12．设向量1(a1,b1,c1),2(a2,b2,c2),1(a1,b1,c1,d1),2(a2,b2,c2,d2)，则下列命题中正确的是（）

A．若1,2线性相关，则必有1,2线性相关

B．若1,2线性无关，则必有1,2线性无关 C．若1,2线性相关，则必有1,2线性无关 D．若1,2线性无关，则必有1,2线性相关

13．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是()A．A的列向量组线性相关

B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关

D．A的行向量组线性无关

14．设α1，α2，α3，α4为向量空间V的一个基，则V的维数=（A．1 B．2 C．3

D．4 15.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误．．的是（）A.AB

B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P-1AP=B

D.E-A=E-B

16．正交矩阵的行列式为（）A．0 B．+1 C．-1

D．±1 17．矩阵A＝的非零特征值为()A．

4B．

3C．

2D．1

18．当矩阵A满足A2=A时，则A的特征值为（）A．0或1 B．±1 C．都是0

D．都是1）19．二次型A．0 C．2 f(x,y,z)xy2.2的正惯性指数p为（）

B．1 D．3

22220.设有二次型f(x1,x2,x3)x1x2x3,则f(x1,x2,x3)（）

A.正定 C.不定

B.负定 D.半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=_____________.a3b321．若aibi0,i1,2,3,则行列式a2b1a3b112322．三阶行列式D222，则A11A12A13__________.4513A=0121423.设,B=10012,则AB=__________.01114中元素9的代数余子式A32=____________ 1624．行列式234925.若k1120,则k=___________.26．设A，B均为n阶矩阵，(AB)E，则(BA)=__________.a11x1a12x2a13x3027．若齐次线性方程组a21x1a22x2a23x30有非零解，则其系数行列式的值为

axaxax032233331122______________.128.设矩阵A=232t423，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________.5129．设矩阵A=0002010，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=______________.130.已知A有一个特征值-2,则B=A2+2E必有一个特征值___________.31.方程组x1x2x30的通解是___________.T

T32.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α与β的内积为2，则数k=____________.33.设向量α=（b,12,12）T为单位向量，则数b=______________.34．设AX0为一个4元齐次线性方程组，若1,2,3为它的一个基础解系，则秩（A）=_________.35．已知某个3元非齐次线性方程组Ax＝b的增广矩阵A经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为

．

36．已知3维向量(1,3,1)T,(1,2,4)T，则内积(,)=____________.37.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.38.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.12121010339.矩阵A=所对应的二次型是___________.T40．设3元实二次型f(x1,x2,x3)XAX经正交变换化成的标准形为f3y1，则矩阵

2A的特征值为_________.三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

***241.计算四阶行列式的值.42．设A=301214,B=10012,求矩阵0AB.143.已知矩阵A=10011130，B=10201110，4（1）求A的逆矩阵A-1；（2）解矩阵方程AX=B.44．设A=311100210111022,求A1.45.设1A=001,B=00120023,且A,B,X满足(E-B1A)TBTXE.求X,X1.46．求向量组1=（1，2，1，3），2=（4，-1，-5，-6），3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.47．设向量组1(1,1,0)，2(2,4,1)，3(1,5,1)，4(0,0,1)，求该向量组的秩，并判断其线性相关性。

x12x24x332x22x3348．求线性方程组2x2x6x3231817，2的通解.49.设矩阵A=（1）求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.（2）判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵，使得P-1AP=.50．已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x1＋3x2＋3x3＋2ax2x3通过正交变换可化为标准形f＝y1＋2y2＋5y3，求a． 22222

2四、证明题（本大题10分）

51.设1,2,3是齐次方程组A x =0的基础解系.证明：

11,212，3123一定是Ax =0的基础解系．

52．设A，B均为正交矩阵，且AB，试证AB0.

321、AB0121104210011110123200***021460

2

322、（A,E）=11

11300………………………..3分 110……….………………….1分 001001211………………………2分 311………………………..1分 111002010000112111121121010

01000221101001000021101001000011212012111011

1112……2分

所以A112112…………………………………………1分

12

23、令A=（1,2,3)=131000499184156134………………………….2分 7155………………………………………………….2分 1010004900150………………………………………………………….2分 0所以向量组1,2,3的秩为2………………………………………….2分 极大线性无关组为1,2或1,3或2,3……………………….2分

124、(A,b)0212020242222242633………………………………………………..2分 313303021041033……………………………………2分 2010001021003………………………………………………………….1分 20所以非齐次方程的一般解为

x12x33xx322……………………………………………

1分

所以齐次方程组的一个特解为*0320…………………………..1分

2x2x13对应的齐次方程组为得基础解系为11…………….2分 x2x31所以原方程组的通解为*k11,其中k1为任意常数………………….1分

25、（1）项式AE8172=（1)(9)

所以特征值11,29…………………………………………………..1分

7当11时，AE1711010

即x1x2，所以特征向量为1………………………………..1分

1对应特征值11全部特征向量为k11，k为任意非零常数………..1分

当29时，A9E11717017 07即x17x2，所以得到对应的特征向量2………………………..1分 1对应特征值29的全部特征向量为k22，k2为任意非零常数……….1分（2）因为矩阵A有两不同的特征值1和9,(或者说存在两个线性无关的特征向量

1,2),所以矩阵A可以对角化……………………………………………..2分

可逆矩阵P=(1,2),即1091P=171,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

10．．．．．．．．．．．．．．．１分 ．9且有P1AP0

2６、，所以对角矩阵为0证明：首先，1,2,3 的个数与所给的基础解系1,2,3个数相同，都为３，即

n-r=3………………………………………………………………………1分 其次A1A10,A2A(12)0,A3A(123)0

所以，1,2,3都是方程组Ax =0的解………………………………………2 最后，根据提设条件可以写出矩阵等式

1(1,2,3)=(1,2,3)0011011………………………………………2分 11110111把它记为BAP.因为标出矩阵的行列式P00=10…….1分

P是可逆矩阵………………………………………………………..1分 所以，r(B)r(A)3，这说明1,2,3线性无关………………………

2分

所以，1,2,3必是Ax =0的基础解系……………………………………….1分

***104021000213分 21、解：D=002=

00012100210002***0215154分

3分 =0001=00022、解：(1)A1E100100100011112210111111020111211000100100100100010112211211112121110010001分 11 001 00010010112分 11211A211A1112分 1BXA1(2）AXB方程两边同时左乘2X211211,得 A1AXAB2分

1311100111504422321223分 3

23、解： EBATBXEB(EBTA)TXEBAXE3分

T2X001200020001T1200020001112000120003分 10120X10011200020004分 112101210

24、解：令A145006603分

01110111121

011000013分 1所以向量组的秩为3。因为未知数的个数大于向量组的秩，所以向量组线性相关。……4分 200

25、解：f的矩阵为A03a

……2分

0a3203a0a3(2)3aa3先求A的特征值，AE00

(2)(69a)0

……（1）

……2分 22由已知，二次型可通过正交变换可化为标准形f＝y1＋2y2＋5y3，得 矩阵A的特征值为1，2，5。

……2分

将λ1=1代入（1）式，得

(21)(16*19a)0a2.4分

四、证明题

26、证：由已知可知

AATE

BBTE

……2分

AT2222ABAAABEABBBAB TTTTT

BTATBBTATBABB

……4分 再由AB，又正交阵的行列式为1

……1分 不妨设A1，则B1

则 ABAB，故AB0

……3分

第三篇：线性代数试卷及答案1

一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案填在题中横线上）

31（1）三阶行列式

111311113111______________________.1

312121（2）设A,B11，则AB______________________.10111（3）已知(1,2,3)T,(1,1,1)T，则T_____.5001（4）设A031，则A________.021

121313,5，且线性方程组Ax无解，则a_____.（5）设A21

40a216

二、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．计算n级行列式10

11110111110111110。111

2022．设三阶方阵A和B满足关系式AB2AB,且A040,求(AE)1。202

3．求下面线性方程组的通解

x1x2x3x40x1x2x33x41

xx2x3x0.5341

2三、解答题（本题共2小题，每小题15分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．设1(1,1,1),2(1,2,3),3(1,3,t)。

（1）问当t为何值时，向量组1,2,3线性无关？

（2）当t为何值时，向量组1,2,3线性相关？

（3）当向量组1,2,3线性相关时，将3表示为1和2的线性组合。

x1x2x31

2．为何值时，线性方程组x1x2x3

xxx

2312

（1）有惟一解？（2）无解？（3）有无穷多个解。

四、证明题（本题共2小题，每小题10分，满分20分，）

1．设b13a12a2,b2a2a3,b34a35a1，且a1,a2,a3线性无关，证明：向量组

b1,b2,b3也线性无关。

2．设A为n阶可逆矩阵A的伴随矩阵，证明：AA

填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）

**

n

11110.500



222011

333023

；；2（1）48(2)；（3）（4）（5）1

二、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）1.解：

0111

11011111111

1101110111

11011

11101

1111011101

n1n1n1n1n11

11111110

…………………………………………………….（6分）

0111

1011



1101

1110

………….（3分）



(n1)



(n1)

000

11000



10001

……………………………………………..…….（9分）

100



1

(1)n1(n1)…………………………………………….………………………….（10分）

2．解：

原方程

(AE)(B2E)2E……….（5分）

001

1(AE)1(B2E)010

2100…………………………………（5分）

3．解

对方程组的系数矩阵

A作初等行变换, 有

111012

1111010012

211131

00000111232

由此得基础解系为

………（5分）

T

(1,1,0,0)(1,0,2,1)1, 2

T,（7分）

(,0，0)T

特解为

（8分）

于是所求方程组的通解为

1212

xk11k22, 其中1

k,k2,k

3为任意常数………….（10分）

三、解答题（本题共2小题，每小题15分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．解：设有数组

k1,k2,k3，使k11k22k330，k1(1,1,1)k2(1,2,3)k3(1,3,t)(0,0,0)。………………………（2分）

于是有方程组

k1k2k30,

k12k23k30,k3ktk0

23

1其系数行列式

……………………………………（3分）

D23t

53t………………………………………………………….（4分）

（1）当

t5

时，D0，方程组只有零解：

k1k2k30

。此时，向量组

1,2,

3线性无

关。………………………………………………………………………………（5分）

（2）当

t5时，D0，方程组有非零解，即存在不全为0的常数k1,k2,k3，使k11k22k330。此时，向量组

1,2,3线性相关。……………….（5分）

（3）当

t5时，方程组的系数矩阵的秩小于3。由左上角2阶子式不为零可知，系数矩阵的秩等于2。因此，取方程组①的前2个方程

k1k2k30,

k12k23k30,令

k31，解得k11,k22，即12230，从而3122。

………………………………………………………………………………………….（5分）

2．解：

11

110,111,2时，方程组有唯一解。………………（5分）（1）即

121111



11011(1)

211200(1)(2)(1)(1)，（2）

则当

2时，方程组无解。…………………………………………….（5分）

111

xk11k200

010。1（3）当时，方程组有无穷多个解，通解为

…………………………………….（5分）

四、（本题共2小题，每小题10分，满分20分，）

305



210b1,b2,b3a1,a2,a3014…………………….（4分）

1．证明：因为

且a1,a2,a3线性无关…………………………………………………………（6分）

5210220

又01

……………………………………………….（8分）

故向量组b1,b2,b3也线性无关………………………………………………….（10分）

*1

2．证明：因为

AAA…………………………………………….（4分）

|A*||A1|n

1

所以

……………………… ……….（8 分）

A

n1

…

…………………………….10分）（

第四篇：近年华南理工大学线性代数试卷及答案

以下是四套近年的统考题，仅供参考．

试卷

（一）：

一.填空题（共20分）

1.若A*是6阶方阵A的伴随矩阵，且rank(A)4,则rank(A*)_______.2.设Asincossin，则A100__________cos__________.3.设V（x1,x2,x3)T|2x1x23x30是R3的子空间，则V 的维数是__________.4.对称矩阵A 的全部特征值为4,-5,3,2,若已知矩阵AE为正定矩阵,则常数 必须大于数值____________.1005.已知n阶矩阵A00100000010100000,0,则矩阵A1的逆是

__________________.二．选择题（共20分）

1.若A,B是n 阶方阵, 下列等式中恒等的表达式是（）

(A)(AB)2AB；(B)(AB)1A1B1；(C）AB|A||B|；(D)(AB)*B*A*.2.若A为n阶方阵,则A为正交矩阵的充分必要条件不是()(A)A的列向量构成单位正交基；(B)A的行向量构成单位正交基；(C)A1AT；(D)detA1.3.若V1是空间Rn的一个k维子空间,1,2,,k是V1的一组基;V2是空间R的一个k维子空间, 1,2,,k是V2的一组基,且mn,km,kn,则:m（）

(A)向量组1,2,,k可以由向量组1,2,,k线性表示；(B)向量组1,2,,k可以由向量组1,2,,k线性表示；

(C)向量组1,2,,k与向量组1,2,,k可以相互线性表示；(D)向量组1,2,,k与向量组1,2,,k不能相互线性表示.4.若1,2是实对称方阵A的两个不同特征根, 1,2是对应的特征向量,则以下命题哪一个不成立()(A)1,2都是实数；(B)1,2一定正交；

(C)12有可能是A的特征向量；(D)12有可能是A的特征根.5.已知A为n1阶方阵,且rank(A)k,非齐次线性方程组AXB的nk1个线性无关解为1,2,,nk,nk1, 则AxB的通解为().(A)c11c22cnknk；(B)c11c22cnknkcnk1nk1；

(C)c1(1nk1)c2(2nk1)cnk(nknk1)；(D)c1(1nk1)c2(2nk1)cnk(nknk1)nk1.三.解下列各题(共25分)

1.若A为3阶方阵,且A.11 2.设 A1111111111112nA,A,求矩阵.1112, 求: A1A*

3.计算向量(1,2,4)T在基1(1,1,1)T,2(0,1,1)T,3(1,1,1)T下的坐标.4.设向量组 1(2,1,0,3),2(1,3,2,4),3(3,0,2,1),4(2,2,4,6),TTTT

求向量组的一个最大线性无关组.135.利用分块矩阵方法,计算A002400002000的逆矩阵.41

四.证明题(8分)设n维向量组1,2,,n和向量组1,2,,n有关系

123n213n n12n1问n维向量组1,2,,n和向量组1,2,,n是否同秩? 证明你的结论.五.(8分)二次型f(x1,x2,x3,x4)2x13x23x32x2x3,0, 通过正交变换, 可将此二次型化为标准形fy12y25y3,求参数及所用正交变换.六.(8分)求线性方程组

x1x2x3x40 x1x2x33x411xx2x3x23412222222

的通解.七.(6分)解矩阵方程,并写出解方程时初等矩阵的变换过程

010100010X01000101120140231 0八.(5分)设A是4阶方阵,且A的特征根1,2,3,4互不相同,证明:(1)方阵A有四个线性无关的特征向量.(2)方阵A可以对角化.试卷

（二）：

一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）

***176, 180213（1）162162（2）求2A23AE2,其中A1

（3）已知向量组1(0,2,3)T,2(2,3,3)T,3(1,2,t)T线性相关,求t.(4)求向量(1,2,4)T在基1(1,0,1)T,2(0,1,1)T,3(1,2,1)T下的坐标.(5)设A35, 求A的特征值.0A二.(8分)设2030010,且ABATB,求矩阵B.2120c03b00a32112三.(8分)计算行列式:

00x

四.(8分)设有向量组

1(0,1,1,2,3),2(1,0,1,2,5),3(1,1,0,2,7),4(3,3,2,0,6), TTTT 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五.(8分)求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.3x12x2x3x44x510, 2x1x23x3x4x54，7x5xx2x18.1345六.(8分)求出把二次型fa(x1x2x3)2x1x22x1x32x2x3化为标准形的正交变换,并求出使f为正定时参数a的取值范围.222七.(10分)设三阶实对称矩阵A的特征值为3(二重根)、4(一重根),1(1,2,2)T是A的属于特征值4的一个特征向量,求A.八.(10分)当a,b为何值时,方程组

ax1x2x34,x12bx23x310, x3bx3x2,231 有惟一解、无穷多解、无解? 九．(10分)(每小题5分,共10分)证明下列各题

(1)设A是可逆矩阵, A~B, 证明B也可逆, 且A1~B1.(2)设,是非零n1向量,证明是nn矩阵T的特征向量.试卷(三):

一． 填空题（每小题4分，共20分）

11．已知正交矩阵P使得PTAP0001000，则PTA2006(EA)P________2.2．设A为n阶方阵，1,,n为A的n个特征值，则 det(A2)_________.3．设A是mn矩阵，B是m维列向量，则方程组AXB有无数多个解的充分必要条件是：_________.4．若向量组(0,4,2)T,(2,3,1)T,(t,2,3)T的秩为2,则t_____.15555124813927, 则D(x)0的全部根为:_________.5．D(x)xxx23二． 选择题（每小题4分，共20分）

010100100 1.行列式的值为().A.1 B.-1 n(n1)n(n1)C.(1)2 D.(1)2

2.对矩阵Amn施行一次行变换相当于().A.左乘一个m阶初等矩阵 B.右乘一个m阶初等矩阵 C.左乘一个n阶初等矩阵 D.右乘一个n阶初等矩阵 3.若A为mn矩阵,r(A)rn,MX|AX0,XRn, 则().A.M是m维向量空间 B.M是n维向量空间 C.M是mr维向量空间 D.M是nr维向量空间 4.若n阶方阵A满足,A20, 则下列命题哪一个成立().A.r(A)0 B.r(A) C.r(A)n2n2n2 D.r(A)5.若A是n阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立().A.矩阵AT为正交矩阵 B.矩阵A1为正交矩阵 C.矩阵A的行列式是1 D.矩阵A的特征值是1

三.解下列各题（每小题6分,共30分）

1.若A为3阶正交矩阵, A*为A的伴随矩阵, 求det(A*).a1a1111a1111a.2.计算行列式 1110 3.设A2020000,ABAB,求矩阵B.1 4.求向量组1(1,2,1,2)T,2(1,0,1,2)T,3(1,1,0,0)T,4(1,1,2,4)T的一个 最大无关组.5.求向量(1,2,1)T在基(1,1,1)T,(0,1,1)T,(1,1,1)T下的坐标.四.(12分)求方程组 x1x22x3x4x52 3x1x22x37x43x52

x5x10x3xx623451 的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分)用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵

f(x1,x2,x3)2x1x2x2x32x1x3 六.证明题(6分)设0,1,2,r是线性方程组AX对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,是线性方程组AX的一个解, 求证1,2,,r,线性无关.试卷(四):

一.填空题（共20分）

1.设A是mn矩阵，B 是m 维列向量，则方程组AXB有唯一解的充分必要条件是： 2.已知E为单位矩阵, 若可逆矩阵P使得2P1APP1A2P3E, 则当EA可逆时, A3

3.若t为实数, 则向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3+t）的秩为: 4.若A为2009阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵，则A*= 5.设A为n阶方阵，1,2,,n是A的n个特征根，则i1niiiEA =

二.选择题（共20分）

1.如果将单位矩阵E的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为P(j,i(k)),将矩阵Amn的第i列乘k加到第j列相当于把A：

A, 左乘一个P(i,j(k));B，右乘一个P(i,j(k));C． 左乘一个P(j,i(k));D，右乘一个P(j,i(k)).2.若A为m×n 矩阵，B是m维非零列向量，r(A)rmin{m,n}。集合nM{X:AXB,XR}, 则

A，M 是m维向量空间，B，M是n-r维向量空间 A，M是m-r维向量空间，D，A，B，C都不对

3.若n阶方阵A满足 A23A4E，则以下命题哪一个成立 A，AE，B，r(A)r(E)

C.detAdetE，D，r(AE)r(AE)n

4.若A是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立：

A，矩阵A*A1为正交矩阵，B，矩阵 2A1为正交矩阵 C, 矩阵AA*为正交矩阵，D，矩阵 AA*为正交矩阵

10011105.如果n阶行列式11的值为-1,那么n的值可能为：

A, 2007，B，2008 C, 2009, D，2000

三.判断题(每小题4分, 共12分)(1)对线性方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变.()(2)实对称矩阵的特征值为实数.()(3)如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例.()

四.解下列各题（每小题8分, 共16分）

51111．求向量1，在基10,21,31下的坐标.1013122．设A2221333314nnn,1计算detA

11五.(10分)求矩阵A011010110010列向量组生成的子空间的一个标准正交基.11六.证明题（6分）设A是m行n列矩阵, 如果线性方程组AX对于任意m维向量都有解，证明A的秩等于m.七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵

f(x1,x2,x3)2x14x1x23x24x2x34x3..22

2八、（6分）设矩阵A，B都是正定矩阵，证明矩阵AB也是正定矩阵.

第五篇：线性代数试卷

厦门理工学院继续教育学院20 第 学期期末试卷

线性代数（考试时间：120分钟）

专业 姓名 层次形式 成绩

一、选择题（每小题4分，共16分）1.A，B为三阶方阵，矩阵X满足AXABXBBXAAXBE则().22111(A)X(AB);(B)X(AB)(AB)(C)X(AB)(AB)(D)以上答案都不对.2.11；

A、B、C为n阶方阵，且ABC,A、B、C的列向量组分别为1,2,,n；1,2,,n(A)；

1,2,,n.若

1,2,,n线性相关，则().1,2,,n线性相关;(B)

1,2,,n线性相关；

(C)（A）与(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.设A,B为三阶矩阵，且r(A3A2E)3，若r(B)2则r(ABB)().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)无法判断． A22334.设三阶矩阵

B22，3，其中,,2,3均为三维行向量，已知A18，2B2，则AB().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空题（每小题4分，共16分）

En10ABOB为n阶非零矩阵，5.设A、，且A的阶梯形为1Da1111b1111c1111n00，则矩阵B的秩=.6.已知，则此行列式的所有代数余子式之和i,j1Aij.1

1A0Tx(1,1)7.已知是1a的一个特征向量，则a.8.为已知A是3阶方阵，1,2,3是三维线性无关的向量.若A112，A223，A313，则A的行列式等于.三、计算下列各题（每小题7分，共28分）

01D1110111110111110111110.9.计算n阶行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)2x18x2x32ax1x2222正定，求a的取值范围.411.已知(1,1,1),(1,0,1)，且A.求A.TTT

2A02 030110B002010000

12.已知矩阵X满足AX2BBA2X，求X．

四、解答下列各题（每小题14分，共28分）

2x13x23x3ax1x2x313x4x2(a2)x3a1x2xax12313.求a使方程组1与1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)XAXx1x32ax1x22x1x32bx2x3T22的秩为2，Tf(x1,x2,x3)(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求经正交变换所得的标准型，并写出相应的正交矩阵.3

五.解答下列各题（每小题4分，共12分）

15.设1,2,,t是线性方程组AxO的基础解系，向量满足AbO.证明1,2,,t,线性无关.16.已知A是n阶方阵且可对角化，问BAAE可否对角化？证明你的结论.2 T17.已知A为n阶矩阵.证明方程组AxO与AAxO的解相同.