07-08线性代数B试卷答案（大全5篇）

第一篇：07-08线性代数B试卷答案

河北科技大学2007——2008 学年第一学期

《 线性代数》试卷（B）答案及评分标准

学院

班级

一．填空题（每题3分，共18分）

1．1

2．217 3

3．2 4．1

5．1

6．1

二．单项选择题：（每题3分，共18分）

1．C

2．B 3．D

4．C 5．D 三． 计算题（每题10分，共30分）1．解一

按第一行展开，12400013026．C

原式30020434 …………………………………………5分 0

4…………………………………………………………………5分

1013002400002003解二

原式 …………………………………………………3分

12400………………………………………………………4分

3002

4…………………………3分 2．构造矩阵A123410232021123…………………………25分

求得R(A)2，即R(A)2…………………………3分 矩阵A中位于1,2行1,2列的二阶子式

103220…………………………3分

B卷试题答案及评分标准（共4页）第1页 故1,2是T的一个最大无关组．…………………………………………………2分 注：（用行初等变换求出最大无关组可相应给分）。

150007302 13．解一

因为A1 ………………………………………………4分

所以151XAB0007301020112021………………………………………………2分

221412 5013027………………………………………………………………4分

解二 5因为00100141252012~0100100012214125 …………………………6分

所以21XAB21

………………………………………………………4分

四． 证明题（10分）

证一

由于R1,22, …………………………………………………………4分 而向量组1,2,3可由向量组1,2线性表出，故R1,2,3R1,22，…………………………………………………4分 所以1,2,3线性相关． …………………………………………………………2分 证二

由已知条件设1a111a212,2a121a222,2a121a222,……2分

2k0设有常数k1,k2,k3，使得

k11k233．

（1）

代入整理得a11k1a12k2a13k31a21k1a22k2a23k320．………………2分

B卷试题答案及评分标准（共4页）第2页 a11k1a12k2a13k30作齐次线性方程组 

（2）……………………2分

akakak0222233211由于方程组（2）的未知量的个数大于方程个数，故必有非零解．…………2分 于是存在不全为0的数k1,k2,k3，使（1）成立．所以1,2,3线性相关．…2分 五.计算题（12分）

对增广矩阵作初等行变换，得行阶梯形矩阵

1~A11111101131~0121302~11011101~002200000101001201212分 20因为R(A)R(A)24，故方程组有无穷多解，且其对应的同解方程组为

1xxx3412 , ……………………………2分 1x22x421x1x30令，得2，故01x2x402121为原方程组的一个特解.…………2分 200x1x3x4在对应的齐次方程组



x2x24中，取x310x111,，得出,

……………………………………2分

x201x4011101则1,2 为对应齐次方程组的基础解系，………………………… 2分

1001从而原方程组的通解为xk11k220,k1,k2为任意实数。………………2分

B卷试题答案及评分标准（共4页）第3页 六． 计算题（12分）（1）EA1143…………………………………………24分

所以A的特征值为10,23, …………………………………………………2分

A的属于10及23的特征向量分别为

TTk14,1,k21,1,k1,k2为非零常数．

…………………………………………2分

（2）因A无重特征值，故A可对角化． ………………………………………2分

4令P110,1，………………………………………………………23分

则有P1AP．…………………………………………………………………2分

B卷试题答案及评分标准（共4页）第4页

第二篇：中国计量线性代数B(B)试卷及答案

一、选择题：（3×5=15分）

2xxx2111x1211x1311、行列式

中含有x4项的系数是（）

（A）（B）

（C）（D）-1

2、已知A、B、C均为n阶可逆矩阵，且ABC=E，则下列结论必然成立的是（）.(A)ACB=E

(B)

BAC=E

(C)BCA=E

(D)CBA=E

3、三元齐次线性方程组x1x20 x3 0 的一个基础解系为（）

（A）（1，1，0）T

（B）（1，2，0）T

（C）（-1，1，0）T

（D）

不存在

 ax1 +x40 x12x2-x404、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是a=（）

(a2)xx 4x0124 2xx3xax01234（A）-1/6

（B）-1（C）1/6

（D）1

5、设A、B均为n阶方阵，则必有（）

(A)ABAB(B)(AB)AB(C)AB AB(D)(AB)1TTTAB11

二、填空题（3×5=15分）

1、五级排列51324的逆序数为__________.a

2、已知矩阵A000b000, 则A 5=_____________.c

3、若矩阵A311213, 则A的标准形式为_________.4、如果向量组1(1,2,2)T, 2(4,t,3)T, 3(3,1,1)T线性无关, 则t______.5、设矩阵的行列式A3, 则A1__________.三、计算题（10×6=60分）

xaxaaaaxaaaax1、计算行列式Daaa

2、求向量组1(2,3,5)T, 2(1,1,2)T, 3(1,2,3)T,4(2,3,1)T的秩，并求该向量组的一个最大无关组.

23、求矩阵A11的特征值与特征向量.2

4、解矩阵方程

11已知AX=B，求X.其中A1100011 , B22510 3

5、用基础解系表示下列线性方程组的全部解

x12x2x32x40

 2x1x12341

6、设二次型 f2x1x22x1x34x2x

3求： 1）与f对应的矩阵

2）化f为标准型

四、证明题（5×2=10分）

1、设n阶矩阵A 满足 A22A4E0，证明 AE可逆, 并求其逆矩阵.2、已知向量组1,2,,s线性无关, 而向量组1,2,,s, 线性相关，证明向量可由向量组1,2,,s线性表示。

一、1、B

2、C

3、C

4、D

5、C a

二、1、5

2、1

3、05c010

4、t35、1/3 0b

5三、1(x3a)111axaa3aaxaaaax71、原式

(x3a)(xa)102、1,2,3,410001012153…………………………………………7 5故秩为3，1,2,3为最大线性无关组。……………………………………10

3、由 AE0得

得11,2

3…………………………………………………………4

1矩阵A的与11对应的全部特征向量为c1(c10)

………………7

1矩阵A的与23对应的全部特征向量为c2(c20)

……………10

11

4、A1013301

21……………………………………7 1110

……………………………………10 1231XAB215、对增广矩阵B施以初等行变换得 1B003500103501

1…………………………3 0

133010……………………………………10 全部解为uc1c21550010

6、解：二次型的矩阵A1101…………………………………3 120 二次型f对应的标准形为f2y21212y24y23

四、1）由已知得AE(A3E)E

故AE可逆，且(AE)1A3E

2）由已知得存在不全为零的数k1,k2,,ks,k

使得

k11k22kssk0

显然k0（反证）

故

k1kk2ks1k2ks 证毕！

………………………………10

………………………………1

……………………………………5

…………………………1

……………………3

……………………5

第三篇：线性代数4试卷及答案

线性代数（经管类）试题B 试卷满分100分

考试时间120分钟

(出卷人：廖磊)试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．若行列式|A|=0，则A中（）A．必有一行全为0 C．有两列成比例

a11a12a22a32a13a33B．行向量组线性相关 D．所有元素全为0

a11a315a112a125a212a225a312a32a13a23，则D1的值为（）a33a23=3，D1=a212．设行列式D=a21a31A．-15 B．-6 C．6 D．15 3．设A，B，C，D均为n阶矩阵，E为n阶单位方阵，下列命题正确的是（）A．若A20，则A0

B．若A2A，则A0或AE C．若ABAC，且A0，则BC

D．若ABBA，则(AB)A2ABB

2224．设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有（）A．A=B C．|A|=|B| 1A．0010012010 012 0B．A=-B D．|A|2=|B|2

1B．001D．2311012311 01235．设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）

1C．20 6.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（）．．A.|AB|=|A| |B| C.(A+B)-1=A-1+B-1

7．设2阶矩阵A＝，则A＝()

*

B.(AB)-1=B-1A-1 D.(AB)T=BTAT

A．

B．

C．

D．acb，则d

8．设2阶矩阵A＝A．C．dcb abaA＝（）

dbdbcaca＊

B．

dc

D．

9．设矩阵A＝，则A中()A．所有2阶子式都不为零

B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零

D．存在一个3阶子式不为零

10．设1,2是x1x2x312x1x20，的两个解，则（）

1A．12是2x1B．12是2x1C．21是2xxx2x301x20，的解，的解 xx2x301x20xx2x311x20xx2x311x20，的解，的解 1D．22是2x11．设1,2,3,均为n维向量，又1,2,线性相关，2,3,线性无关，则下列正确的是（）

A．1,2,3线性相关 B．1,2,3线性无关 C．1可由2,3,线性表示 D．可由1,2线性表示

12．设向量1(a1,b1,c1),2(a2,b2,c2),1(a1,b1,c1,d1),2(a2,b2,c2,d2)，则下列命题中正确的是（）

A．若1,2线性相关，则必有1,2线性相关

B．若1,2线性无关，则必有1,2线性无关 C．若1,2线性相关，则必有1,2线性无关 D．若1,2线性无关，则必有1,2线性相关

13．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是()A．A的列向量组线性相关

B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关

D．A的行向量组线性无关

14．设α1，α2，α3，α4为向量空间V的一个基，则V的维数=（A．1 B．2 C．3

D．4 15.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误．．的是（）A.AB

B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P-1AP=B

D.E-A=E-B

16．正交矩阵的行列式为（）A．0 B．+1 C．-1

D．±1 17．矩阵A＝的非零特征值为()A．

4B．

3C．

2D．1

18．当矩阵A满足A2=A时，则A的特征值为（）A．0或1 B．±1 C．都是0

D．都是1）19．二次型A．0 C．2 f(x,y,z)xy2.2的正惯性指数p为（）

B．1 D．3

22220.设有二次型f(x1,x2,x3)x1x2x3,则f(x1,x2,x3)（）

A.正定 C.不定

B.负定 D.半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=_____________.a3b321．若aibi0,i1,2,3,则行列式a2b1a3b112322．三阶行列式D222，则A11A12A13__________.4513A=0121423.设,B=10012,则AB=__________.01114中元素9的代数余子式A32=____________ 1624．行列式234925.若k1120,则k=___________.26．设A，B均为n阶矩阵，(AB)E，则(BA)=__________.a11x1a12x2a13x3027．若齐次线性方程组a21x1a22x2a23x30有非零解，则其系数行列式的值为

axaxax032233331122______________.128.设矩阵A=232t423，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________.5129．设矩阵A=0002010，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=______________.130.已知A有一个特征值-2,则B=A2+2E必有一个特征值___________.31.方程组x1x2x30的通解是___________.T

T32.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α与β的内积为2，则数k=____________.33.设向量α=（b,12,12）T为单位向量，则数b=______________.34．设AX0为一个4元齐次线性方程组，若1,2,3为它的一个基础解系，则秩（A）=_________.35．已知某个3元非齐次线性方程组Ax＝b的增广矩阵A经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为

．

36．已知3维向量(1,3,1)T,(1,2,4)T，则内积(,)=____________.37.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.38.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.12121010339.矩阵A=所对应的二次型是___________.T40．设3元实二次型f(x1,x2,x3)XAX经正交变换化成的标准形为f3y1，则矩阵

2A的特征值为_________.三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

***241.计算四阶行列式的值.42．设A=301214,B=10012,求矩阵0AB.143.已知矩阵A=10011130，B=10201110，4（1）求A的逆矩阵A-1；（2）解矩阵方程AX=B.44．设A=311100210111022,求A1.45.设1A=001,B=00120023,且A,B,X满足(E-B1A)TBTXE.求X,X1.46．求向量组1=（1，2，1，3），2=（4，-1，-5，-6），3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.47．设向量组1(1,1,0)，2(2,4,1)，3(1,5,1)，4(0,0,1)，求该向量组的秩，并判断其线性相关性。

x12x24x332x22x3348．求线性方程组2x2x6x3231817，2的通解.49.设矩阵A=（1）求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.（2）判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵，使得P-1AP=.50．已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x1＋3x2＋3x3＋2ax2x3通过正交变换可化为标准形f＝y1＋2y2＋5y3，求a． 22222

2四、证明题（本大题10分）

51.设1,2,3是齐次方程组A x =0的基础解系.证明：

11,212，3123一定是Ax =0的基础解系．

52．设A，B均为正交矩阵，且AB，试证AB0.

321、AB0121104210011110123200***021460

2

322、（A,E）=11

11300………………………..3分 110……….………………….1分 001001211………………………2分 311………………………..1分 111002010000112111121121010

01000221101001000021101001000011212012111011

1112……2分

所以A112112…………………………………………1分

12

23、令A=（1,2,3)=131000499184156134………………………….2分 7155………………………………………………….2分 1010004900150………………………………………………………….2分 0所以向量组1,2,3的秩为2………………………………………….2分 极大线性无关组为1,2或1,3或2,3……………………….2分

124、(A,b)0212020242222242633………………………………………………..2分 313303021041033……………………………………2分 2010001021003………………………………………………………….1分 20所以非齐次方程的一般解为

x12x33xx322……………………………………………

1分

所以齐次方程组的一个特解为*0320…………………………..1分

2x2x13对应的齐次方程组为得基础解系为11…………….2分 x2x31所以原方程组的通解为*k11,其中k1为任意常数………………….1分

25、（1）项式AE8172=（1)(9)

所以特征值11,29…………………………………………………..1分

7当11时，AE1711010

即x1x2，所以特征向量为1………………………………..1分

1对应特征值11全部特征向量为k11，k为任意非零常数………..1分

当29时，A9E11717017 07即x17x2，所以得到对应的特征向量2………………………..1分 1对应特征值29的全部特征向量为k22，k2为任意非零常数……….1分（2）因为矩阵A有两不同的特征值1和9,(或者说存在两个线性无关的特征向量

1,2),所以矩阵A可以对角化……………………………………………..2分

可逆矩阵P=(1,2),即1091P=171,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

10．．．．．．．．．．．．．．．１分 ．9且有P1AP0

2６、，所以对角矩阵为0证明：首先，1,2,3 的个数与所给的基础解系1,2,3个数相同，都为３，即

n-r=3………………………………………………………………………1分 其次A1A10,A2A(12)0,A3A(123)0

所以，1,2,3都是方程组Ax =0的解………………………………………2 最后，根据提设条件可以写出矩阵等式

1(1,2,3)=(1,2,3)0011011………………………………………2分 11110111把它记为BAP.因为标出矩阵的行列式P00=10…….1分

P是可逆矩阵………………………………………………………..1分 所以，r(B)r(A)3，这说明1,2,3线性无关………………………

2分

所以，1,2,3必是Ax =0的基础解系……………………………………….1分

***104021000213分 21、解：D=002=

00012100210002***0215154分

3分 =0001=00022、解：(1)A1E100100100011112210111111020111211000100100100100010112211211112121110010001分 11 001 00010010112分 11211A211A1112分 1BXA1(2）AXB方程两边同时左乘2X211211,得 A1AXAB2分

1311100111504422321223分 3

23、解： EBATBXEB(EBTA)TXEBAXE3分

T2X001200020001T1200020001112000120003分 10120X10011200020004分 112101210

24、解：令A145006603分

01110111121

011000013分 1所以向量组的秩为3。因为未知数的个数大于向量组的秩，所以向量组线性相关。……4分 200

25、解：f的矩阵为A03a

……2分

0a3203a0a3(2)3aa3先求A的特征值，AE00

(2)(69a)0

……（1）

……2分 22由已知，二次型可通过正交变换可化为标准形f＝y1＋2y2＋5y3，得 矩阵A的特征值为1，2，5。

……2分

将λ1=1代入（1）式，得

(21)(16*19a)0a2.4分

四、证明题

26、证：由已知可知

AATE

BBTE

……2分

AT2222ABAAABEABBBAB TTTTT

BTATBBTATBABB

……4分 再由AB，又正交阵的行列式为1

……1分 不妨设A1，则B1

则 ABAB，故AB0

……3分

第四篇：线性代数试卷及答案1

一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案填在题中横线上）

31（1）三阶行列式

111311113111______________________.1

312121（2）设A,B11，则AB______________________.10111（3）已知(1,2,3)T,(1,1,1)T，则T_____.5001（4）设A031，则A________.021

121313,5，且线性方程组Ax无解，则a_____.（5）设A21

40a216

二、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．计算n级行列式10

11110111110111110。111

2022．设三阶方阵A和B满足关系式AB2AB,且A040,求(AE)1。202

3．求下面线性方程组的通解

x1x2x3x40x1x2x33x41

xx2x3x0.5341

2三、解答题（本题共2小题，每小题15分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．设1(1,1,1),2(1,2,3),3(1,3,t)。

（1）问当t为何值时，向量组1,2,3线性无关？

（2）当t为何值时，向量组1,2,3线性相关？

（3）当向量组1,2,3线性相关时，将3表示为1和2的线性组合。

x1x2x31

2．为何值时，线性方程组x1x2x3

xxx

2312

（1）有惟一解？（2）无解？（3）有无穷多个解。

四、证明题（本题共2小题，每小题10分，满分20分，）

1．设b13a12a2,b2a2a3,b34a35a1，且a1,a2,a3线性无关，证明：向量组

b1,b2,b3也线性无关。

2．设A为n阶可逆矩阵A的伴随矩阵，证明：AA

填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）

**

n

11110.500



222011

333023

；；2（1）48(2)；（3）（4）（5）1

二、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）1.解：

0111

11011111111

1101110111

11011

11101

1111011101

n1n1n1n1n11

11111110

…………………………………………………….（6分）

0111

1011



1101

1110

………….（3分）



(n1)



(n1)

000

11000



10001

……………………………………………..…….（9分）

100



1

(1)n1(n1)…………………………………………….………………………….（10分）

2．解：

原方程

(AE)(B2E)2E……….（5分）

001

1(AE)1(B2E)010

2100…………………………………（5分）

3．解

对方程组的系数矩阵

A作初等行变换, 有

111012

1111010012

211131

00000111232

由此得基础解系为

………（5分）

T

(1,1,0,0)(1,0,2,1)1, 2

T,（7分）

(,0，0)T

特解为

（8分）

于是所求方程组的通解为

1212

xk11k22, 其中1

k,k2,k

3为任意常数………….（10分）

三、解答题（本题共2小题，每小题15分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．解：设有数组

k1,k2,k3，使k11k22k330，k1(1,1,1)k2(1,2,3)k3(1,3,t)(0,0,0)。………………………（2分）

于是有方程组

k1k2k30,

k12k23k30,k3ktk0

23

1其系数行列式

……………………………………（3分）

D23t

53t………………………………………………………….（4分）

（1）当

t5

时，D0，方程组只有零解：

k1k2k30

。此时，向量组

1,2,

3线性无

关。………………………………………………………………………………（5分）

（2）当

t5时，D0，方程组有非零解，即存在不全为0的常数k1,k2,k3，使k11k22k330。此时，向量组

1,2,3线性相关。……………….（5分）

（3）当

t5时，方程组的系数矩阵的秩小于3。由左上角2阶子式不为零可知，系数矩阵的秩等于2。因此，取方程组①的前2个方程

k1k2k30,

k12k23k30,令

k31，解得k11,k22，即12230，从而3122。

………………………………………………………………………………………….（5分）

2．解：

11

110,111,2时，方程组有唯一解。………………（5分）（1）即

121111



11011(1)

211200(1)(2)(1)(1)，（2）

则当

2时，方程组无解。…………………………………………….（5分）

111

xk11k200

010。1（3）当时，方程组有无穷多个解，通解为

…………………………………….（5分）

四、（本题共2小题，每小题10分，满分20分，）

305



210b1,b2,b3a1,a2,a3014…………………….（4分）

1．证明：因为

且a1,a2,a3线性无关…………………………………………………………（6分）

5210220

又01

……………………………………………….（8分）

故向量组b1,b2,b3也线性无关………………………………………………….（10分）

*1

2．证明：因为

AAA…………………………………………….（4分）

|A*||A1|n

1

所以

……………………… ……….（8 分）

A

n1

…

…………………………….10分）（

第五篇：线性代数 复习题B包含答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

a11a12a22a32a13a333a113a213a123a323a223a133a333a231．设行列式a21a31a234，则3a31 等于

(B)A．102 B．-108 C．36 D．-144

002．若三阶方阵A等价于矩阵020000，则A的秩是1（C）A．0 C．2

3．设A为n阶方阵，且A=E，则以下结论一定正确的是（D）A．A=E

C．A可逆，且A=A

4．A是n阶方阵，且A的第一行可由其余n-1个行向量线性表示，则下列结论中错误的是（D）．．

13B．1 D．3

B．A不可逆 D．A可逆，且A=A-1A．r(A)≤n-1

B．A有一个列向量可由其余列向量线性表示

C．|A|=0

D．A的n-1阶余子式全为零

5．若α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则Ax=b必有一个解是（D）A．α1＋α2

B．α1－α2 C．α1－2α

D．2α1－α6．设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量，当A是3阶方阵时，（C）

A．r(A)=0

B．r(A)=1 C．r(A)=2

D．r(A)=3

7．设3阶矩阵A的特征值为1，3，5，则A的行列式|A|等于（D）A．3 C．9

B．4 D．15

02000相似，则A2=2

208．已知方阵A与对角阵B=0（C）A．-64E C．4E

B．-E D．64E 9．二次型f(x1, x2)=是（B）

x216x1x24x1B．31D．13

 45 422的矩阵1A．42 41C．0 64

aA10．已知矩阵

bk12aB矩阵k2k1bbc正定，k1和k2都是正常数，则

k1k2b(D)。2k2cA.不是对称矩阵

B.是正定矩阵 C.必是正交矩阵

D.是奇异矩阵

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。a1b111．行列式

a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3=___0_______.a2b1a3b112．排列12453的逆序数为_____-2________.5013．0103201111500= 012013.14．设=（1，2，4），=(-1,-2,y)且与线性相关，212则y=____-4 ______。15．二次型f(x1,x2)2x12x22x1x2经正交

y13y22222变换化成的标准形是__

三、计算题

__.ab16．（6分）计算行列式

babaabab的值.aba解：babbaba2ab1a2(ab)0b0baababba2(ab)[ab(ab)]2(ab)[a2b2ab]2(a3b3)01．（6分）设A=1331023且AB=A+2B，求B。

解：ABA2BA312301（A2E)BA2E211且det(A2E)2(A2E)的逆存在1求的(A2E)11B(A2E)1得B110得B22311642-311313A316603011312303

18．（8分）已知a1(2求一个与a1

10)a2(201)，a2都正交的单位向量a3。解：令a3(x1 x2 x3)根据题意（a1,a3)2x1x20（a2,a3)2x2x30求2x1x202x1x30得xk(1 2-2), kR令k1得Ca3(1 2-3)单位化得a313(1 2-2）

19．（10）求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并以此写出其结构式通解.x1x25x3x40x1x22x33x40 3x1x28x3x40

x13x29x37x40

解：系系矩阵11A311113A为52891r4r1r33r132r1r17100012245771414481151102130274000001722000000000000x1 x2为约束变量，x4为自由变量得x7132x3x4 x22x32x4令（xTTT3,x4)分别为(2 0）和（0 1）得1（3 7 2 0）T T2（1-2 0）xk11k22 , k1、k2R

20．（10分）已知向量组

a1(1351),a2(213a3(5117),a4(331

（1）判断向量组a1,a2,a3,a4是否线性相关?（2）求此向量组a1,a2,a3,a4的一个极大无关组.4),1)解：令向量组13即A5121A（a1 a2 a3 a4)5117270651401231rrr5451r13023r1r01100100010001002713612000010514261236162TTTT3410r3r2r400r(A)34a1 a2 a3 a4线性相关，且a1 a2 a4为一个极大线性无关组

2521．（10分）已知A=

1

1ab23的一个特征向量是2=(1，1，-1)T（1）确定a,b以及的特征值。（2）求r(A)。

11解：A2a11b11,且2b1 1b1a3 b02A51r(A)3

130232

22．(10

22分

2)设二次型fx1,x2,x32x13x23x32ax1x22bx2x3xQy经正交变换

222化为标准形fy12y25y3，求a，b的值.解：f的矩阵A和标准型矩阵2Aa0a3bD为501b D3QAQQ-T2根据题意为AQDA相似于D，切11，22，35为A的特征值将1带入det(EA)01deta0a2b022b42ab02将2带入det(EA)00deta0a1b02ba01a0 b2易证5时,det(EA)0