线性代数 第一单元(行列式)试卷(专升本)

第一篇：线性代数 第一单元(行列式)试卷(专升本)

第1题 标准答案：D 1-3-1 计算行列式

，结果＝（）。

A、60

B、70

C、80

D、90

第2题 标准答案：C 1-1-1 排列32145的逆序数是（）。

A、1

B、2

C、3

D、4

第3题 标准答案：B 1-2-1 已知3阶行列式

计算：

的值，结果＝（）。

A、10 B、20

C、30

D、40

第二篇：线性代数教案-第三章 行列式及其应用

第三章行列式及其应用

本在线性代数应用于几何、分析等领域时,行列式理论起着重要的作用,线性代数范畴的矩阵理论的进一步深化,也要以行列式作工具.本章研究行列式理论以及它的一些作用.一、教学目标与基本要求

（一）知识

1n阶行列式的定义及性质

现将这些性质作为公理体系来定义n阶行列式.设A[aij]是任意一个n阶方阵,用Ai记其第i行元素为分量的n元向量,即

2,,n, Ai(ai1,ai2,,ain),i1,并称其为行向量.有序向量组{A1,,An}所定义的实值函数d(A1,,An)被称为n阶行列式函数,如果它满足下列公理: 公理1 对每行具有齐性,即对任意实数t,有

,n.d(,tAk,)td(,Ak,),k1,公理2 对每行都具加性.即对任意n元向量B,有

d(,AkB,)d(,Ak,)d(,Ak1,B,Ak1,), k1,,n.公理3若任意相邻两行相等,则行列式为零.即若AkAk1(k1,,n1),则d(A1,,An)0.公理4 对于R中常用基{e1,,en},有 nd(e1,,en)1.当{A1,,An}取定,则称d(A1,,An)为一个n阶行列式.有时也简称为n阶行列式函数为n阶行列式.n行列式常被记为detA,|A|,或

a11a21an1a12a22a1na2n.an2ann公理4意味着,对于n阶单位方阵E,有 detE|E|1.前两个公理意味着,行列式函数是它每一行的线性函数,即对任意一行(如第1行)而言,若t1,,tp是任意p个实数,B1,,Bp是任意p个n元向量(p是任意正整数),有

d(tkBk, A2,,An)tkd(Bk,A2,,An)

k1k1pp定理3.1.1满足公理1,2,3的行列式函数d(A1,,An)具有以下性质:(1)若行列式某一行为零,则此行列式为零.(2)对调行列式任意两行,则行列式变号.(3)若行列式任意两行相等,则此行列式为零.(4)若向量组{A1,,An}是相关的,则行列式d(A1,,An)0.(5)把行列式某行乘以数加到另一行去,行列式值不改变.行列式的计算

例3.2.2设A是形如下式的n阶对角方阵

a11000a22000(a0,ij)

ijann则detAa11a22ann.由该例可得到: 例3.2.3设A是形如下式的n阶上三角方阵

a1100a12a220a1na2n(主对角线下方各元素为零)ann则detAa11a22ann.定理3.2.1 设d是满足行列式公理1～4的n阶行列式函数,f是满足行列式公理1～3的n阶行列式函数,则对任意选定的n元向量A1,,An及R中常用基{e1,,en},有

nf(A1,,An)d(A1,,An)f(e1,,en).(3.2.2)若f还满足行列式公理4,则有

f(A1,,An)d(A1,,An).1定理3.2.2 若A是一个非奇异方阵(即A存在),则detA0,且

detA11 detA定理3.2.3 设A1,,An是n个n元向量.该向量独立的充要条件是d(A1,,An)0.本节最后,讨论分块对角方阵的行列式的简便算法.定理3.2.3 形如式(3.2.10)的分块对角方阵成立着

AOdetdetAdetB OB本定理可以推广到一般情形:若C是一个具有对角子块A1,,An的分块对角方阵,即

A1COA2O, An则detC(detA1)(detA2)(detAn).行列式的展开公式

定义3.3.1给定n阶方阵A[akj](n≥2).去掉其元素akj所在的第k行和第j列后,余下元素按原来位置构成的n1阶方阵,被称为元素akj的余子阵,记为Akj.而称detAkj为akj的余子式.定理3.3.1对任意n阶方阵A[akj](n≥2),有

(1)kjdetAkj,k1,,n.(3.3.2)detAkj从而有

n,n.(3.3.3)detAakj(1)kjdetAkj,k1,j1此式被称为行列式按第k行的展开式.定义3.3.2对行列式detA而言,称(1)kjdetAkj为元素akj的代数余子式,记为cofakj.下面将利用数学归纳法来证明n阶行列式函数的存在性,从而在理论上确立了n阶行列式函数的存在唯一性.与此同时,可得到行列式按列展开的公式.定理3.3.2设n1阶行列式函数存在.对任意n阶方阵A[akj],定义函数

f(A1,,An)(1)k1ak1detAk1,(3.3.4)k1n则它是n阶行列式函数

定理3.3.3对任意n阶方阵A[akj],有

(1)j1nnij ikdetA,(3.3.6)akjdetAij 0, ik ikdetA,ij(3.3.7)(1)adetAjkji ikj1 0,定理3.3.4对任意n阶方阵A[akj],有

detAdetAT.4 伴随阵及方阵的逆

定义3.4.1给定n阶方阵A[aij],称n阶方阵[cofaij]为A的伴随阵,记为

TA*.据此定义知: A的伴随阵A*位于第j行第i列的元素,就是A的元素aij的代数余子式

cofaij(1)ijdetAij.定理3.4.1对任意n阶方阵A[aij](n≥2),有

AA*(detA)E.1又:若detA0,则A存在,且有

A11A*.detA1定理3.4.2对任意n阶方阵A而言,A存在得充分必要条件是detA0.当detA0,就有

A111A*,detA1 detAdetA5

矩 阵 的 秩

定义3.5.1在一个mn矩阵A中,任取k行k列(k≤min(m,n)),位于这些行列交叉处的元素按原来位置构成的k阶行列式,被称为矩阵A的k阶子式.A中不为零的子式.A中不为零的子式的最高阶数,被称为矩阵A的秩,记为R(A).若A没有不为零的子式(等价的说法是: A是零矩阵),则认为其秩为零.推论 若A有一个r阶子式不为零,而所有r1阶子式全为零,则R(A)r.定理3.5.1初等变换不改变矩阵的秩.等价的说法是:若A～B(即A与B等价),则R(A)R(B).若A是n阶方阵且R(A)n,则称A为满秩方阵.显然,下列命题等价:(1)A是满秩方阵.(2)detA0.(3)A是可逆的(非奇异的).克莱姆法则

定理3.6.1对于含有n个未知量x1,,xn的n个线性代数方程构成的方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2(3.6.1)    an1x1an2x2annxnbn,(或写为aj1nij,n.)xjbi,i1,如果其系数方阵A[aij]是非奇异的(即detA0),则它是唯一解.这里cofakj是方阵A的元素akj的代数余子式.式(3.6.2)表示的线性代数方程组(3.6.1)的解亦可表示为

xjdetCjdetA,j1,,n.(3.6.3)这里方阵Cj是A中第j列换为列阵b所成的n阶方阵.读者容易验证(3.6.3)式右端与(3.6.2)式右端相等.二本章重点及难点

1、理解用公理定义行列式概念中的数学原理

2、利用公理4进行行列式计算

3、方阵的行列式及方阵可逆之间的关系

4、矩阵的秩

5、利用伴随阵求解方阵的逆

6、克莱母法则

三：本章教学内容的深化和拓宽

１． ２． 若第四个公理改变,行列式的值如何改变 当克莱母法则法则的相关条件改变又如何? 四：思考题和习题

1(3)(4)

3(1)5(2)

7(3)

10(2)15 16(2)

五、教学方式（手段）

本章主要采用讲授新课的方式。

第三篇：线性代数教案 第一节：低阶行列式

《线性代数》教案

第一章：行列式 本章重点：行列式的计算及其性质的应用

本章难点：行列式的几条性质的证明及利用这些性质计算行列式 基本要求：

1． 会用对角线法则计算2阶行列式和3阶行列式 2． 了解n阶行列式的概念

3． 了解行列式的性质并掌握4阶行列式的计算，会计算简单的n阶行列式 4． 了解克莱姆法则

第四篇：线性代数试卷

厦门理工学院继续教育学院20 第 学期期末试卷

线性代数（考试时间：120分钟）

专业 姓名 层次形式 成绩

一、选择题（每小题4分，共16分）1.A，B为三阶方阵，矩阵X满足AXABXBBXAAXBE则().22111(A)X(AB);(B)X(AB)(AB)(C)X(AB)(AB)(D)以上答案都不对.2.11；

A、B、C为n阶方阵，且ABC,A、B、C的列向量组分别为1,2,,n；1,2,,n(A)；

1,2,,n.若

1,2,,n线性相关，则().1,2,,n线性相关;(B)

1,2,,n线性相关；

(C)（A）与(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.设A,B为三阶矩阵，且r(A3A2E)3，若r(B)2则r(ABB)().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)无法判断． A22334.设三阶矩阵

B22，3，其中,,2,3均为三维行向量，已知A18，2B2，则AB().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空题（每小题4分，共16分）

En10ABOB为n阶非零矩阵，5.设A、，且A的阶梯形为1Da1111b1111c1111n00，则矩阵B的秩=.6.已知，则此行列式的所有代数余子式之和i,j1Aij.1

1A0Tx(1,1)7.已知是1a的一个特征向量，则a.8.为已知A是3阶方阵，1,2,3是三维线性无关的向量.若A112，A223，A313，则A的行列式等于.三、计算下列各题（每小题7分，共28分）

01D1110111110111110111110.9.计算n阶行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)2x18x2x32ax1x2222正定，求a的取值范围.411.已知(1,1,1),(1,0,1)，且A.求A.TTT

2A02 030110B002010000

12.已知矩阵X满足AX2BBA2X，求X．

四、解答下列各题（每小题14分，共28分）

2x13x23x3ax1x2x313x4x2(a2)x3a1x2xax12313.求a使方程组1与1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)XAXx1x32ax1x22x1x32bx2x3T22的秩为2，Tf(x1,x2,x3)(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求经正交变换所得的标准型，并写出相应的正交矩阵.3

五.解答下列各题（每小题4分，共12分）

15.设1,2,,t是线性方程组AxO的基础解系，向量满足AbO.证明1,2,,t,线性无关.16.已知A是n阶方阵且可对角化，问BAAE可否对角化？证明你的结论.2 T17.已知A为n阶矩阵.证明方程组AxO与AAxO的解相同.

第五篇：线性代数试卷

线性代数试题

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

选择题部分

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1．设行列式A.－3 C.1 2．设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)= A.1 C.3 3．设A为2阶可逆矩阵，若A1B.2 D.4 a1a2b1acabc1，112，则111 b2a2c2a2b2c2B.－1 D.3 13A.

2553C. 21A.r=m时，Ax=0必有非零解 C.r

，则A= 251B.25D.23 53 14．设A为m×n矩阵，A的秩为r，则

B.r=n时，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x12x23x38x1x312x2x3的矩阵为

1A.081C.04 08212 1230426 631B.001D.4008212 034026 63═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=______．

7．设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=8．设矩阵A=12，则A=______.34a12a11a12a11，B=，且r(A)=1，则r（B）=______.a21a22a11a21a12a229．设向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，则β－2α=________． 10．设向量α=(3，－4)T，则α的长度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T线性无关，则数k的取值必满足______.12．齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为______．

12210013．已知矩阵A=212与对角矩阵D=010相似，则数a=______ 22100a14．设3阶矩阵A的特征值为－1，0，2，则|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，则实数t的取值范围是______． x2tx

3三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

abc16．计算行列式D=2a2a2b2cbac2b.2ccab17．已知向量α=（1，2，k），β=1，，且βαT=3，A=αTβ，求(1)数k的值；(2)A10． 11231231218．已知矩阵A=231，B=00，求矩阵X，使得AX=B.3401019．求向量组α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

2x3yz020．设线性方程组2xyz1，问：

xyz1═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值时，方程组无解？

(2)λ取何值时，方程组有解？此时求出方程组的解．

00121．求矩阵A=010的全部特征值与特征向量．

1002222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x38x2x3为标准形，并写出所用的可逆线性变换．

四、证明题（本题7分）

23．设向量组α1，α2线性无关，且β=clα1+c2α2，证明：当cl+c2≠1时，向量组β－α1,β－α2线性无关．

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