线性代数题[本站推荐]

第一篇：线性代数题[本站推荐]

已知：A是三阶方阵，A*A不等于零向量，A*A*A等于零向量。

问：1）能否求出A的特征值？说明原因。

2）A能否和一个对角阵相似，若能侧求出；否则，说明原因。

2.证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系。

解：

（1）∵A^3=0 ∴|A|^3=0 ∴|A|=0，即|A-0E|=0,∴0是矩阵A的一个特征 设λ为矩阵A的任一特征值，则存在非零向量x，使得Ax=λx

上式两边同左乘矩阵A，得AAx=(A^2)x=A(λx)=λAx=(λ^2)x

∴λ^2是3阶矩阵A^2的特征值。同理，λ^3是矩阵A^3的特征值。

即(A^3)x=(λ^3)x

又∵A^3=O,∴(A^3)x=(λ^3)x=0∵x≠0 ∴λ^3=0 即λ=0

即三阶方阵A的3个特征值全为0.（2）这题我觉得不能。

∵矩阵A能和对角阵相似的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。对于题中的三阶方阵A，由（1）的讨论可知其三个特征值全为0.下面用反证法证明。

假设三阶方阵A能与对角阵相似。

则A存在3个线性无关的特征向量。

则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中有三个向量，即Ax=0的解集的秩为3 设Ax=0的解集为S，则R(A)+R(S)=n=3

∵R(S)=3,∴R(A)=0

即矩阵A的秩为0.当且仅当A=O

又∵根据题设条件，A^2≠O,显然A≠O，与上面推出的A=O矛盾

∴假设不成立，即A不能和一个对角阵相似

2、证明：

设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1，α2，...，αr，设其基础解系的秩为r 设向量组β1，β2，...，βn是与Ax=0的基础解系等价的线性无关的向量组 ∵向量组β1，β2，...，βn线性无关∴向量组的秩R(β1，β2，...，βn)=n 又∵向量组α1，α2，...，αr与向量组β1，β2，...，βn等价

∴R(α1，α2，...，αr)=R(β1，β2，...，βn)=n即n=r

向量组β1，β2，...，βn中有r个向量β1，β2，...，βr

且向量组β1，β2，...，βr可由向量组α1，α2，...，αr线性表示

即对于其中任何一个向量βi=ki1*α1+ki2*α2+...+kir*αr

∴向量组β1，β2，...，βr中的每一个向量都是齐次线性方程组Ax=0的一个解向量 又∵齐次线性方程组Ax=0的解集中的最大无关组的秩为r

∴向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的解集中的一个最大无关组

即向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的一个基础解系，命题得证

第二篇：0907线性代数真题及答案

全国2009年7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184 试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵;R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是(C)．．．A.（A+B）T=AT+BT C.A(B+C)=BA+CA a112.已知a21a31a12a22a32a132a11a23=3，那么a21a332a312a12a222a32B.|AB|=|A||B| D.(AB)T=BTAT 2a13a23=(B)2a33A.-24 C.-6

B.-12 D.12

3.若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（C)A.A=1A* AB.A0

C.(A2)1(A1)2 D.(3A)13A1

41312021234.若A=，B=，C=2矩阵的312，则下列矩阵运算的结果为3×15221是(D)A.ABC C.CBA

B.ACTBT D.CTBTAT

5.设有向量组A：1，2，3，4，其中1，2，3线性无关，则(A)A.1，3线性无关

C.1，2，3，4线性相关

B.1，2，3，4线性无关 D.2，3，4线性相关

浙04184# 线性代数（经管类）试题

6.若四阶方阵的秩为3，则（B)A.A为可逆阵

C.齐次方程组Ax=0只有零解

B.齐次方程组Ax=0有非零解 D.非齐次方程组Ax=b必有解

7.设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是(B)A.A的行向量组线性相关 C.A的行向量组线性无关

8.下列矩阵是正交矩阵的是（A)010010A.

0011011110B.2011B.A的列向量组线性相关 D.A的列向量组线性无关

cosC.sinsin

cosD.220221666106333

3339.二次型fxTAx(A为实对称阵)正定的充要条件是（D)A.A可逆

C.A的特征值之和大于0

0k010.设矩阵A=0k2正定，则(C)024B.|A|>0

D.A的特征值全部大于0

A.k>0 C.k>1 1:D1k0;2:D2k00k0k20;0kB.k0 D.k1 3D3k1k20k2kk4k44kk10

2402

4二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

浙04184# 线性代数（经管类）试题

1211263.11.设A=（1，3，-1），B=（2，1），则ATB=63。

ATB32,11221121012.若1310,则k-1。

k21210210211311312k1k10.k1.k11k21k110120060*630。20013.设A=，则A=214013120121*A2003120.A可逆.A1A20A0131A*AA1.而A,E320012011②401012-14013001③3201001②+(-2)①0001000130010①+(-2)②1000③+(-1)②001012003121201004021013001120-140141

12012010000060101012-140.A112-14063012001161121316112132140600601A*AA112630630.1221421414.已知A2-2A-8E=0，则（A+E）-1=A22A8E0.1A3E。5A22A3E5E015AEA3E5E.11AEA3EE5A3EAEE.AE 1A3E5浙04184# 线性代数（经管类）试题

15.向量组1(1,1,0,2),2(1,0,1,0),3(0,1,1,2)的秩为___2。

将三个向量的转置向量拼成一个43的矩阵，化简此矩阵11A021011011③+1②+(-1)①01②01101④+(-2)①④+(-2)②0110011020220001.rA2.0016.设齐次线性方程Ax=0有解，而非齐次线性方程且Ax=b有解,则是方程组____Ax=b的解。

x1x2017.方程组的基础解系为11。

x2x301___1。18.向量(3,2,t,1),(t,1,2,1)正交,则t__________t1,3,2,t,13t22t1t10.t1.211

103b119.若矩阵A=与矩阵B=相似，则x=4ab。304axAB103b143xabx4ab.04ax31232122220。20.二次型f(x1,x2,x3)x12x23x3x1x23x1x3对应的对称矩阵是123203

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1340403521.求行列式D=的值。

20227622

浙04184# 线性代数（经管类）试题

13404035解D20227622④+2①13402090403522624351213222按

解：把所有行向量转置为列向量形成44的矩阵，并将其化为简化阶梯形矩阵.2354115302640264③①TTTA1T,2,3,41153235431953195115311531②③+2①02640132④+3①20515100515100264026410211021①+1②1①③+5②01320132④+2②1②记为,,,B.13420000000000000000显然B是A的简化阶梯形矩阵.易见：B的秩为2，从而A的秩为2,原向量组的秩为2.易见：B的列向量组的一个极大线性无关组为1,2.TA的列向量组的一个极大线性无关组为1T,2;从而1,2是原向量组的一个极大线性无关组.24.求取何值时,齐次方程组 (4)x13x20

4x1x30

5xxx0123

有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解。

浙04184# 线性代数（经管类）试题

解方程的个数与未知量的个数相同，考察系数矩阵A是否为可逆矩阵.43A450011430③+1②41010按

631解A的特征方阵EnA053.A的特征方程为0641EnA006353253=-1-1-122-1205-4186464得1=2=1，3=-2，为A的两个特征值.用来求特征向量的矩阵方程为63x101x16x23x301053x0,即齐次线性方程组E3Ax5x23x30.20x0646x24x303属于121的特征向量满足线性方程组6x23x30,即x32x23个未知量1个方程,必有2个自由未知量,不妨取x1、x2为自由未知量，10x110令或，则x30或2，于是得2个线性无关的特征向量p10，p21.x201023x16x23x30属于32的特征向量满足线性方程组为3x23x30.,即x1x2x3,6x26x303个未知量2个方程,必有1个自由未知量,不妨取x1为自由未知量，令x11,则x21,x31,1于是得1个线性无关的特征向量p31.122226.用配方法求二次型f(x1,x2,x3)x14x2x32x1x34x2x3的标准形，并写出相应的线性变换。

222解二次型f(x1,x2,x3)x124x2x32x1x34x2x3x122x1x3x34x224x2x3x32x322x1x32x2x3x322x1y1y3y1x1x31设y22x2x3，即x2y2y3，2yx33x3y3222可使得f(x1,x2,x3)x1x32x2x3x3g(y1,y2,y3)y12y2y3.即二次型的标准形；221y1x110此时相应的线性变换xPy为x201212y2.x0013y3

浙04184# 线性代数（经管类）试题

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.证明：若向量组1,2,n线性无关,而11n,212,323,，nn1+n，则向量组1,2,,n线性无关的充要条件是n为奇数。

证设k11k22knn0.将已知条件代入得k11nk212k323knn1n0.整理得k1k21k2k32kn1knn1knk1n0.1,2,n线性无关,k1k2k2k3kn1knknk10.k1k2k3k4knk1,当n为奇数，则n1为偶数,则上式为k1k2k3k4kn1knknk1.由此knkn0,k1k2k3k4kn1kn0.因此,1,2,,n线性无关.反之,若1,2,,n线性无关,即当且仅当k1k2k3k4kn1kn0时,等式k11k22knn0才成立,k11nk212k323knn1n0k1k21k2k32kn1knn1knk1n01,2,n线性无关,k1k2k2k3kn1knknk10k1k2k3k4knk1,当n为偶数时,令k1k2k3k4kn1,则1234n1n0也成立,这与条件不符.当n为奇数时,则n1为偶数,则有k1k2k3k4kn1knknk1，立得k1k2k3k4kn1kn0,等式k11k22knn0才成立，这与条件完全相符.证毕.浙04184# 线性代数（经管类）试题

第三篇：武汉大学2014年线性代数真题

武汉大学２０１４年线性代数真题

11一．由A00

230001，且[(A)*]1BA6AB12E，求B.22010s0s1

s2

sn1sn1sn1x000二．计算Ds1snkk，其中skx1x2k.xns2n1xn

三．有1,2,则1,2,四．线性空间V定义的第(3),(4)条公理，即

(3)任意的V，存在0V，使00；

(4)任意的V，存在V，使0.证明他们的等价条件为：任意的,V，存在xV，使x.五．设sln(F)是M(F)上A,B矩阵满足ABBA生成的子空间，证明,s,s1，且iiits1,i1，s，证明如果1,2，s线性无关，,s1必定线性无关.dim(sln(F))n21.六．设数域K上的n维线性V到m维线性上的所有线性映射组成空间Homk(V,V')，证明

(1)Homk(V,V')是线性空间；

(2)Homk(V,V')的维数为mn．

010

10七．已知F1c0c1，cn30cn21cn1

（１）求F的的特征多项式f(x)与最小的项式m(x)；

（２）求所有与F可交换的矩阵．

八．设是复数域上的线性变换，为恒等变换，0为的一个特征值，0在的最小多项式中的重数m0min{kN|ker(0)ker(0)kkk1}．

九．设f(,)为V上的非退化双线性函数，对g(x)V*，存在唯一的V，使得f(,)g(),V．

十．设是欧式空间V上的正交变换，且m,m1，记W{xV|(x)x}，W为其正交补，对任意的V，若有,其中W,W，证明

1mi1=().mi1

第四篇：2013年10月自考线性代数真题

2013年10月自考线性代数真题

说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。T

*

选择题部分

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1．设行列式a1a2b1b21，a1a2c1c22，则

a1a2b1c1b2c2

A.－3 C.1 2．设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)= A.1 C.3 3．设A为2阶可逆矩阵，若A1B.－1 D.3 B.2 D.4 13

2553C. 21A.13*，则A= 251B.25D.23 53 14．设A为m×n矩阵，A的秩为r，则 A.r=m时，Ax=0必有非零解 C.r

222B.r=n时，Ax=0必有非零解 D.r

5．二次型f(xl，x2,x3)=x12x23x38x1x312x2x3的矩阵为

1A.081C.04 0212026812 346 31B.001D.4008212 034026 63非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=______．

127．设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=，则A=______.34a12a11a12a118．设矩阵A=，B=，且r(A)=1，则r（B）=______.aaaaaa2122112112229．设向量α=(1，0，1)，β=(3，5，1)，则β－2α=________．

T10．设向量α=(3，－4)，则α的长度||α||=______．

TT11．若向量αl=(1，k)，α2=(－1,1)线性无关，则数k的取值必满足______.12．齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为______．

T

T12210013．已知矩阵A=212与对角矩阵D=010相似，则数a=______ 22100a14．设3阶矩阵A的特征值为－1，0，2，则|A|=______．

15．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1x2tx3正定，则实数t的取值范围是______．

三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

222abc16．计算行列式D=

2abac2c2a2bcabT

T2b2c.17．已知向量α=（1，2，k），β=1，，且βα=3，A=αβ，求(1)数k的值；

10(2)A．

11231231218．已知矩阵A=231，B=00，求矩阵X，使得AX=B.3401019．求向量组α1=(1,0,2,0), α2=(－1,－1,－2,0), α3=(－3,4,－4,l), α4=（－6,14,T－6,3）的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．

T

T

T2x3yz020．设线性方程组2xyz1，问：

xyz1(1)λ取何值时，方程组无解？

(2)λ取何值时，方程组有解？此时求出方程组的解．

00121．求矩阵A=010的全部特征值与特征向量． 1002222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x38x2x3为标准形，并写出所用的可逆线性变换．

四、证明题（本题7分）

23．设向量组α1，α2线性无关，且β=clα1+c2α2，证明：当cl+c2≠1时，向量组β－α1,β－α2线性无关．

第五篇：2010年4月自学考试线性代数真题

全国2010年4月高等教育自学考试

线性代数试题 课程代码：02198

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设A，B，C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（）A．ACB B．CAB C．CBA

D．BCA

2．设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（）A．-8 B．-2 C．2

D．8 a11a12a13a113a133．已知A=aaB=a1221a2223，a213aa，P=100030，Q=10031023，则B=（a31a32a3322a313a32a33001001A．PA B．AP C．QA

D．AQ

4．设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，A的秩为r1，B=AC的秩为r，则（）A．r>r1 B．r=r1

C．r

D．r与r1的关系不能确定

5．已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）A．若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2 B．若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2 C．若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0 D．若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（）A．只含有一个零向量的向量组线性相关 B．由3个2维向量组成的向量组线性相关 C．由一个非零向量组成的向量组线性相关 D．两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7．已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3,β线性相关，则（）A．α1必能由α2,α3,β线性表出 B．α2必能由α1,α3,β线性表出 C．α3必能由α1,α2,β线性表出

D．β必能由α1,α2,α3线性表出

8．设A为m×n矩阵，m≠n，则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（））

A．小于m C．小于n

B．等于m D．等于n

9．设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（）A．AT C．A-1

B．A2 D．A*

22210．二次型f(x1,x2,x3)x1x2x32x1x2的正惯性指数为（）

A．0 C．2

B．1 D．3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．行列式***0的值为_________.12．设A为n阶可逆矩阵，且|A|=1，则|A-1|=_________.n11320T13．设矩阵A=，B=，则AB=_________.20101211114．矩阵方程X=11的解X=_________.0115．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=_________.xxx016．齐次线性方程组123的基础解系所含解向量的个数为_________.2xx3x0312117．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵A2必有一个特征值为_________.31220的特征值为4，1，-2，则数x=_________.18．设矩阵A=2x200119．已知A=a12012b000是正交矩阵，则a+b=_________.120．二次型f(x1,x2,x3)4x1x22x1x36x2x3的矩阵是_________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

abcc2cc3b221．计算行列式D=a2aa3bb30022．设A=0a4a10000a200的值.00，其中ai≠0（i=1,2,3,4），求A-1.a3023．设向量组α1=(2,1,3,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(-1,1,-3,0)T，α4=(1,1,1,1)T，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.x12x23x342x2ax32 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解24．问a为何值时，线性方程组2x2x3x6231时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）.20025．求矩阵A=032的特征值和全部特征向量.023x1y12222P26．已知二次型f(x1,x2)5x1经正交变换4x1x25x2xy化为标准形f7y13y2，求所用的正交矩阵22P.四、证明题（本题6分）

27．设A，B都是n阶方阵，且|A|≠0，证明AB与BA相似.